第二章 利息理论

2015-8-26
项目 一、城乡居民及单位 存款 （一）活期 （二）定期 1.整存整取 三个月 半年 一年 二年 三年 五年 1.35 1.55 1.75 2.35 3.00 3.05 0.35 年利率% 项目 年利率% 一、短期贷款 六个月（含） 六个月至一年 （含） 二、中长期贷 款 一至三年（含） 三至五年（含） 五年以上 5.00 5.00 5.15 4.60 4.60
1.06 6 4 1.06 4 x 1.06 10 x 3.7435千元
1.067 4 1.065 x 10 1.06 x 3.7435千元
例.（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问以 季度计息的年名义利率等于多少？ （2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔 钱在4年末积累到15000元，问实际利率？ （1）4000（1 j ) 3 4 5700 j 3 %
课程学习主要 内容？ 1. 现金价值分析 2. 产品定价理论（保险） 课程学习有什 么用处？ 1. 银行招聘笔试和从业资格考试； 2. 金融投资和保险方向从业； 3. 理财规划师； 4. 精算师
精算师体系：中国精算师、英国精算师、日本精算师、北 美精算师、 澳大利亚精算师 准精算师部分全部的九门课程的考试，全部科目为：《数学基 础（１）》、《数学基础（２）》、《复利数学》、《寿险精 算数学》、《风险理论》、《生命表基础》、《寿险精算实 务》、《非寿险精算实务》和《综合经济基础》。 获得准精算师资格的考生，通过五门精算师课程的考试并满 足有关精算专业培训要求，答辩合格后，才能取得“精算师 考试合格证书”。
a1 (t ) t 期贴现因子 现值：
1年在复利下的现值: v 1
1 a( 1 ) 1 i
贴现额： 将来某时期支付的金额提前到现在支付，则 支付中应扣除一部分金额。 实际贴现率（期初计息）：单位货币在单位时间内的贴现额. 第n 期实际贴现率：
I( n ) a( n ) a( n 1 ) dn A( n ) a( n )
精算学
主讲人：蔡风景 数学学院：统计教研室 2015-9
联系电话：13695756075（M） 电子邮箱：26059719@qq.com 办公室:南校区3B-213
课程要求
1. 指定教材： 熊福生，沈治中编.寿险精算学，武汉大学出版社. 2. 参考书： (1)王燕，寿险精算学，中国人民大学出版社， 2008. (2)王晓军等，寿险精算学，中国人民大学出版 社，2005. 3. 课堂笔记、计算器
i ( 4 ) 4 j 12 %
（2）3000 (1 i ) 4 6000 (1 i ) 2 15000
(1 i ) 2 1 由 (1 i ) 2 1
6 ( 舍去负根 ) 6
i 20 . 4 % （ i 2 . 204 舍去 )
I( n ) A( 0 ) ( a( n ) a( n 1 )) A( 0 ) i
复利：利上生利的计息方式.
a( t ) ( 1 i )t ;in i; I( n ) i A( n 1 )
t t 1 ,( 1 i ) 1 i t 单利与复利两者关系：
余额宝收益
基本概念
利息：利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它 的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所 有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。（要 素：本金、利率、时期长度） 利率：一定时期内利息额与本金的比。 积累函数：单位投资经时间t后的本利和 a (t )
期货合约：两对手之间签定的一个在确定的将来时间按确定 的价格购买或出售某项资产的协议。 多头：合约一方同意在将来某个确定的日期以某个确定的 价格购买标的资产。 空头：另一方同意在同样的日期以同样的价格出售该标的 资产。 期货品种：股票、汇率、黄金、农产品等(航空：石油期货) 中国期货交易所： 1）上海期货交易所（金属、黄金、燃料油、天然橡胶） 2）大连期货交易所（玉米、黄大豆、豆油、聚乙烯等） 3）郑州期货交易所（小麦、棉花、绿豆、白砂糖、菜籽油） 4）中国金融类期货交易所
n
活期利率 0.35%？
收益率 现金流动分析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
V (0) (v t Rt )
t 0
n
收益率定义（内部收益率）：投资支出现值与投资回收相等 的利率值。
V (0) (v t Rt ) 0
t 0
n
满足上式的i值为现金流的收益率。 例. 某人借款1万元，年利率为10%，连同自己手头资金1万 元共计2万元，投入期货交易购买1年期黄金期货，1年后作 为现货卖出收入2万4千元。计算该投资人的投资收益率。
a( 0 ) 1 a( t ) 单调不减函数
总额函数：本金经一定时间后形成的金额 A( t )
A( t ) a( t ) A( 0 ) I ( n ) A ( n ) A ( n 1) 第n期利息 I (n)：
实际利率（期末计息）：度量期内利息额与本金之比。 第n 期实际利率：
i( m )单调递减 名义贴现率 d ( m ) 每1/m度量期支付利息一次，而在每 (m)
1/m度量期上的实际贴现率 d
d 1 m
(m ) m
m
1 d
d ( m )单调递增
两者关系：
i( m ) d ( m )
(m) d i( m ) m
例. （1）求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名义利 率，以及每年计息4次的年名义贴现率？ （2）已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的实 际利率？ （1）解：
例. 以每年计息2次的年名义贴现率为10%，在6年后支付5 万元，求其现值。
(2) A( 6 ) d PV )26 5 ( 0.95 )12 2.702 5 ( 1 d )6 5 ( 1 a( 6 ) 2
利息力(息力)：衡量确切时点上利率水平的指标. 若利息力依赖于时间
0 t 1 ,( 1 i ) t 1 i t
t 1,( 1 i )t 1 i t
单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。
0 t 1 相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大 的积累值，所以短期业务一般单利计息。
t 1
相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的 积累值，所以长期业务一般复利计息。
贴现率等价预付利息的利率.
复贴现(常数)
a 1 ( t ) (1 d ) t dn d
例.某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利计息、 复利计息、贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少积累 值？ 1)A(5)=5000(1+5×2%)=5500 2)A(5)=5000(1+2%)5=5520 3)A(5)=5000/(1-2%)5=5531
利息问题求解原则 本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素 知三求一的问题。 工具：现金流图
现金流 p0 时间坐标 0
p1
p2

pn
t1
t2

tn
方法：建立现金流分析方程（求值方程） 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现值相等。
例. 某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年 末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，若 以6%的年利率复利计息，问X=？
平价关系:
d d
(m)
i
(m)
i (m 1)
例. 一笔业务按利息强度6%计息，求投资500元、经8年的 积累值。
A( 8 ) 500 a( 8 ) 500e8 500e0.48 808.04
例. 确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值。
t 0.05(1 t ) 2
4 )i d i d ; 经济解释：某人可借款1而在期末还1+i；也可借1-d，期末 还1，两种选择本金差为d，利息 i d ，实际利息差为i-d， 两者等价.
(m) i 每1/m度量期支付利息一次，而在每 名义利率
(m) i 1/m度量期上的实际利率 m m
i (m) 1 1 i m
例. 在民间“一分”利息下，问本金翻倍需要几年？
i ( 12 ) 12 %时， ( 1 1 %)
12 n
ln 2 2 n 5 .8( 年 ) 12 ln 1 .01
例. 在现行银行一年定期存款下，问本金翻倍需要多少年？
i 1 .75 %时， ln 2 39 .95( 年 ) ( 1 1 .75 %) 2 n ln 1 .0175
a (t h) a (t ) a(t ) d (t ) lim[ ] ln a(t ) h 0 a (t ) h a(t ) dt
r dr a(t ) e 0
t
复利计息
m
lim i ( m )
m
ln(1 i )
lim d ( m )
I( n ) A( n ) A( n 1 ) a( n ) a( n 1 ) in A( n 1 ) A( n 1 ) a( n 1 )
a(1 ) a( 0 ) a(1 ) 1 i1 a( 0 )
单利：只在本金上计息.
a ( t ) 1 it i in 1 ( n 1) i
第一节 利息分析
项目 一、城乡居民及单位 存款 （一）活期 （二）定期 1.整存整取 三个月 半年 一年 二年 三年 五年 2.35 2.55 2.75 3.35 4.00 4.75 0.35 年利率% 项目
2014-11-22
年利率%
一、短期贷款 六个月（含） 六个月至一年 （含） 二、中长期贷 款 一至三年（含） 三至五年（含） 五年以上 6.00 6.00 6.15 5.60 5.60
i、关系 d
1 )d ( 1 i ) i ;
经济解释：年末应付利息是年初可付利息的积累值. 2 )v 1 d ; 经济解释：(1-d) 在利率i下经过1年积累值为1，与1折现 至期初相等价. 3 )d i v ; 经济解释：单位投资1，期初获利息d，以利率i度量，期 末获i，贴现至期初为 i v 值，两者等价.
（2）
d ( 12 ) 12 8% 12 1 i (1 ) (1 ) 1.0836 i 0.0836 12 12
例. 求1万元按每年计息4次的年名义利率6%投资3年的积累 值？
(4) i A( 3 ) ( 1 i )3 ( 1 )43 ( 1.015 )12 1.2 4
1 i( 2 ) 2 (1 ) 1 i 1 8% i( 2 ) [( 1 8%) 2 1] 2 7.85% 2
1 d ( 4 ) 4 (1 ) 1 i d ( 4 ) [ 1 ( 1 8%) 4 ] 4 7.623% 4
中国体系准精算师 A1数学(概率统计)、A2金融数学(复利数学)、A3精算模型 (风险管理)、A4(经济学)、A5(寿险精算)、A6(非寿险精 算)、A7(会计与财务)、A8(精算管理) 寿险方向：保险法及相关法规*、保险公司财务管理* 、健康保险、投资学、个人寿险与年金精算实务* 、资 产负债管理、员工福利计划 非寿险方向：保险法及相关法规*、保险公司财务管理 、健康保险、投资学、非寿险精算实务* 、非寿险定价 *、 员工福利计划*、非寿险责任准备金评估*
10
1000e 0

0.05(1 t )2 dt
1000e

0.05 10 1 t 0
1046.50
利息问题求解
利息问题求解四要素 1）原始投资本金； 2）投资时期长度； 3）利率及计息方式 期初/期末计息：利率/贴现率 积累方式：单利计息、复利计息 利息转换时期：实际利率、名义利率、利息力 4）本金在投资期末的积累值；