凸函数的几个等价定义
凸函数的等价命题及其应用举例
凸函数的等价命题及其应用举例一、凸函数的定义及其等价命题定义1：f 在区间I 上有定义，如果对[]1,0,,,2121∈∀<∈∀t x x I x x ， 有)()()1())1((2121x tf x f t tx x t f +-≤+-，则f 称在I 上为凸函数。
这个一般定义下，我们得到了凸函数的几个等价命题： 命题1：下面几个命题等价： （1）)(x f 为区间上的凸函数；（2）对,,,2121x x I x x <∈∀令21)1(tx x t x +-=，则1221211;x x x x t x x x x t --=---=于是有)()()(21211122x f x x x x x f x x x x x f --+--≤；（3）对,,,,321321x x x I x x x <<∈∀，有232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--；（4）对),2(0,,,,,,2121≥>∈∀n t t t I x x x n n ∑==ni it11，有;)()(11∑∑==≤ni i ini i i x f tx t f ；（5）对,,00R I x ∈∃∈∀α，使得I x x x x f x f ∈-≥-),()()(00α。
引理:若f 为定义在)(0x U +上的单调有界函数,则左极限)(lim 0x f x x +→存在.下面给出凸函数的一个重要性质:性质:)(x f 是[]b a ,上的凸函数,则)(x f 上()b a ,连续. 证明:本证明分两步:首先证明)(x f 是()b a ,上的凸函数,则)(x f 在()b a ,内任一点0x 都存在左右导数.下面只证明凸函数)(x f 在0x 存在右导数,同理可证明也存在左导数.事实上,由命题1(3),设2031020121,,0h x x h x x x x h h +=+==<<,(这里取充分小的2h ,使()b a h x ,20∈+).则,)()()()(20201010h x f h x f h x f h x f -+≤-+令hx f h x f h F )()()(00-+=,由上式可见)(h F 为递增函数,现取0),,(x x b a x <'∈',则对任何0≥h ,只要),,(0b a h x ∈+,由命题1(3)也有)()()()()(0000h F hx f h x f x x x f x f =-+≤-''-,于是上面不等式左端为定数,因而函数)(h F 在0>h 上有上界,根据引理得)(lim 0h F h +→存在.即)(0x f +存在.再证明)(x f 在0x 存在左右导数,则)(x f 在0x 连续.事实上,在0x 存在右导数,则)(x f 在0x 右连续)(x f 在0x 存在左导数,则)(x f 在0x 左连续 故, )(x f 在0x 连续.综上,性质得证.命题2[：如果)(x f 在I 上任一闭区间上有上界，则它是凸函数的充分条件是：（6）2)()()2(,,212121x f x f x x f I x x +≤+∈∀推论1：将上一命题中“在I 上任一闭区间上有上界”换成“在I 上连续”，结论仍然成立。
凸函数的几种定义
凸函数的几种定义凸函数在优化和数学分析中有广泛的应用，其有多种定义，本文将介绍凸函数的几种定义。
1. 凸函数的一阶定义凸函数的一阶定义是指，定义域上的任意两个点之间的割线上，函数值的下凸性。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果对于所有的x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，都有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，那么f(x)为凸函数。
2. 凸函数的二阶定义凸函数的二阶定义是指，定义域上的所有点都满足函数的二阶导数大于或等于零。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果f''(x)≥0，那么f(x)为凸函数。
3. 凸函数的三阶定义凸函数的三阶定义是指，定义域上的所有点的曲率大于或等于零。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果其曲率f'''(x)≥0，那么f(x)为凸函数。
4. 凸函数的凸集定义凸函数的凸集定义是指，函数图像的下方区间所形成的区间也是凸集。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果其图像下方区间S={(x,y)| y≤f(x)}是凸集，并且S 在[a,b]上是凸的，那么f(x)为凸函数。
综上所述，凸函数的几种定义都指向了函数图像呈现的下凸性，即直线割过函数图像后位于函数图像下方的性质，其不同的定义方式体现了不同的性质和求解方法。
无论采用哪种定义方式，都需要考虑实际问题的特征和函数的定义域，以得到准确可靠的结果。
凸函数的性质有很多，例如在区间[a,b]上凸函数f(x)上，对于任意的x1,x2∈[a,b]和0≤λ≤1，都有f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)，即凸函数的凸组合仍为凸函数。
此外，凸函数也有一些应用，例如在最优化问题中，将问题转化为凸函数求解可以更优effective。
然而，有些函数仅在部分定义域内为凸函数，而在另一部分定义域内则不是，因此在实际应用中必须慎重选择凸函数进行求解。
凸函数的性质及其应用
即 证f在 （上x)≥式α中（分x－别x２)令+f（xx＝２) x １ ， x ＝ （∨x３得x∈ ［ ａ ， ｂ ］ ) f （ x x ３３) －－ xf （２ x ２ ) ≥ α ≥ f （ xx ２ ２) －－ fx （１ x １) ，
３ 、应用举例：
例 １：用凸函数方法证明 ｙｏｕｎｇｅｒ 不等式：x a y a ≤α x＋ β y(x，
由于f ２（ x )+f ２（ ｙ ）≥２f（ x ）f（ y ） ，故（Ｄ）式成立，结论得证。 另：设 f （ x )=e－２x＞０ 为 Ｒ 上的凸函数，但 f（ １x ） =e－２x 仍为凸函数 定理 ６：若 f （ x )为区间 Ｉ 上的凸函数，对∨ x ∈ Ｉ，且 x 为 Ｉ 的 内点，则单侧导数f （ ＇－x )，f ＋＇（ x ) 皆存在，且 f ＇－（ x )≤ f ＇＋（ x ) (∨x ∈Ｉ) 推论：若f （x)为区间 Ｉ 上的凸函数，则f（ x ）在区间 Ｉ的内点连续．
仅当对∨ x１，x２，…，xn ∈ Ｉ ，有 n f （ ∑ i＝ １ n x i ）≤n １ ∑ i＝ n１ f （x１） 推论 １：若 f （x ）在区间 Ｉ 上为凸函数，则对 Ｉ 上∨ x１＜x２＜x３，有
f （xx２）２－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－xf （２ x ２） 注：若 f （x ）在 Ｉ 上连续，则上述定义 １，２，３ 等价
的凸函数，反之不真。
证明：要证 f（ 1 x ） 为Ｉ上的凸函数，即证∨x１，x２∈Ｒ，λ∈
（０，１ ）有
１ f （λx１＋（１－λ）x２）
≤ f （ λx １） ＋
１－λ f （x２）
………
函数凸性定义的等价性及其判别方法研究
函数凸性定义的等价性及其判别方法研究吴文虎(陕理工数学与计算科学学院数学与应用数学 092班，陕西 汉中 723000)指导教师：雍龙泉【摘要】凸分析是数学中相对年轻的一个分支。
凸函数作为凸分析的主要研究对象，在凸分析中占有重要地位，其定义、性质经常作为解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这些方面的问题的工具被加以使用。
本文深入地讨论了凸函数的几种不同定义的等价性,判别方法及凸函数的应用。
首先给出了凸函数的六个不同方式的定义。
然后探究出定义之间的关系，得出定义的等价性，在前三个定义中下（上）凸函数的本质是连接函数图形上任意两点的线段，处处都不在函数图形的下方（或上方）。
后三个定义中下（上）凸函数的本质是左差商不大于(不小于)右差商，左右差商当自变量差分减小时是不减（不增）的。
然后给出凸函数的判别方法的研究及其证明。
最后举例说明凸函数的相关结论在不等式的证明、验证级数的收敛性等方面的应用。
【关键词】 凸函数；等价定义；判定方法1、引言凸分析，或称凸集和凸函数理论，是数学中相对年轻的一个分支，在本世纪三十年代才出现比较系统的研究凸集的著作，40至50年代，特别是在优化领域发现了凸集的许多应用以后，更进一步促进了这一理论的发展，随着数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论等学科发展的需要，凸分析日益受到大家的重视，60年代后期出现凸分析的奠基之作，即R.T.Rockafellar 的“Convex Analysis”,无穷维空间中凸分析的理论在这一时期也得到了充分的发展，到现在，凸分析已经成了解决数学规划论、对策论、数理经济学、逼近论、变分学、最优控制理论这方面问题的主要手段。
凸分析包括凸集、凸函数、凸锥、赋范空间的凸性、正解理论等方面的内容，其基本研究对象是凸集和凸函数，基本工具是凸集分离定理，而这些概念和定理都可以纯代数的研究，即在一个不引入拓扑的线性空间中来研究。
微积分中凸函数概念的等价性
引理2 设f(x)在区间[a ,b]上连续， [ 在开区间(a,b) 内单侧可导， 则 必存在t e (a,b) ， 使得弦斜率F(b,a)介于H C )和f+(g)之间。
这是推广的微分中值定理。
可使有些叙述和证明过程变得较为简便。 显然F(x,y)=F(y,x)， 两
者不必加 以区别 。
、 导数(切线倾角) 的单增性也可作为下凸函数的定义， 它与定义的等 价性不必附加条件， 只需对切线、 导数作一些广泛的理解即可。
参考文献
任意点x0， 存在单侧导数， 并且对任意x e D, 以下不等式成立 { - f(xo + f+'(xo xo (x)) )(x- ) (6) Ax)- f(xo + f- ,(xo X ) )(x- .) (7) 在严格下凸意义下， (6)(7)为严格不等式。
这里给出充分性证明和严格下凸意义下的必要性证明。
充分性 对任意x,<xo ， <x, 在(6)式中取x=x， 可得F(xo,x1)- f+(xo , ) 取x=x: 可得F(xo,x}- f+(xo 于是(2)式得证， )， 故f(x)下凸。 得F(xo,y)<F(xo 仿照一般下凸的必要性证明， ,x)。 可得f- (x,)- f+(xo - F )(X,y)， . 结合起来即f- (xo - f+(xo ))<F(xo 将此不等式乘以(x- xo)即得对 ,x)， ( 应于(6 ) , (7)的严格不等式。类似可证x<x,〕 的情形。 不等式(6) , (7) 的几何意义是“ 曲线位于左、 右切线的上方”所以 ，
37对象访问策略对象访问策略用来确定一个角色可以具有哪些访问权限可以表示为一个二元组角色权限列表其中权限列表包含了所有的角色可以拥有的权限而权限又可以表示为一个二元组对象操作列表其中操作列表包含所有的角色所具有的可以对该目标进行的操作
02凸优化理论与应用_凸函数
6
下水平集(sublevel set)
定义：集合
C { x dom f | f ( x ) }
称为 f 的 下水平集。
定理：凸函数的任一下水平集均为凸集。 任一下水平集均为凸集的函数不一定为凸函数。
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
7
函数上半图(epigraph)
定义：集合
epi f {( x , t ) | x dom f , f ( x ) t }
称为函数
f
的上半图。
f
定理：函数
为凸函数当且仅当
f
的上半图为凸集。
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
8
Jensen不等式
f
为凸函数，则有：
yC
凸函数的透视算子
g ( x , t ) tf ( x / t )
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
11
共轭函数(conjugate function)
定义：设函数 f : R 定义为
*
n
R
，其共轭函数 f : R
T
*
n
R
，
f ( y ) su p ( y x f ( x )).
n
为真锥，函数 f : R
n
R
称为 K 单调增，若函数 f ( x ) 满足：
x K y f (x) f ( y)
广义凸函数的定义：设K R 均有
m
为真锥，函数 f : R
n
R
m
称为 K 凸，若函数 f ( x ) 满足对 x , y dom f , 0 1
21第二十一讲 凸函数的等价条件,例
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
例 2 讨论函数 f ( x) = arctan x 的凹凸区间.
解 因为
f
′(
x)
=
1
1 + x2
,
x ∈ (−∞, + ∞),
= f ′′( x)
−2 x (1 + x2 )2 ,
x ∈ (−∞, + ∞).
所以当 x ∈ (−∞, 0)时, f ′′( x) > 0 , f ( x) 为凸函数； 当 x ∈ (0，+ ∞) 时, f ′′( x) < 0, f ( x) 为凹函数 .
= f ( x2 )
f= +′( x2 )
f ′( x2 ),
所以 f ′( x1 ) ≤ 故 f ′( x) 递增.
f ( x2 ) − f ( x1 ) ≤ x2 − x1
f ′( x2 ),
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
y
O x1 − h x1
x2 x2 + h x
对于 x1 > x2 ,仍可得到相同的结论.
(ii) f ′( x) 为 I 上的增函数 ; (iii) 对于 I 上的任意两点 x1, x2 , 有
f ( x2 ) ≥ f ( x1 ) + f ′( x1 )( x2 − x1 ).
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§5 函数的凸性与拐点
将(6)式乘以λ，(7) 式乘以(1 − λ )作和，并注意到
λ x1 + (1 − λ ) x2 − x0 =0, 得 λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x 2 ) ≥ f ( x=0 ) f (λ x1 + (1 − λ ) x2 )
凸(凹)函数的3种定义及其等价关系研究
长 江 大 学 学报 （ 然科 学版 ） ２ １ 年 ６ 第 ７ 第 ２ ： 自 ００ 月 卷 期 理工
（ （ｘ ＋ （ －， ２ ≥ ， ｚ ） （ － Ａ ｆ ｘ ） ｆ Ａ ｌ １ Ｄｘ ） ｌ １ ＋ １ ） （ ２ ） ｆ（
则称 ， ｚ 为 Ｊ 的凸 （ （） 上 凹）函数 。 定 义 ２。 设 函数 厂 ｚ 在 区间 Ｊ 连续 ， Ｖｚ ，。∈ ， ： （） 上 若 ｚ 有
１ 凸 （ 凹） 函数 的 ３种定 义
凸 （ 凹）函数的曲线具有如下特征 （ 图 １ ： 如 ）
ｒ
１ ）凸 （ 凹） 函数 的 曲线上 任 意 ２点 间 的弧
度 总在 ２点连线 的下 （ 上）方 ；
．
ｊ（ ）
２ ）凸 （ 凹）曲线 总位于该 曲线 上任 意 点切 线 的上 （ ）方 。 下 由曲线 的特点 可 以得 到如下 ３种定 义 。 定义 １ ］ 设 ， ｚ 口 （ ）为定 义在 区间 Ｊ上 的 函
（） 函数 ａ凸
／ 。 ｝
Ｏ 一
（） ｂ 凹函数
图 １ 凸 （ ） 函数 的 曲线特 征 凹
数 ， Ｙｚ ， ２∈ ， ∈ （ ，） 有 ： 若 １ｚ Ｖ Ｏ１，
厂（ ＋ （ －Ａ ｘ ） １ ） ｚ ≤ （ ＋ （ － Ａ ｆ（ ｚ ｚ） １ ） ｘ）
— 一 一
） ｔ 一 ） ≤
Ｚ１
！ ． 二
Ｚ２一 Ｚ１
２
令 ห้องสมุดไป่ตู้
凹凸函数的两个定义的等价性证明及应用
凹凸函数的两个定义的等价性证明及应用
**定义一：** 凹凸函数是指一类函数，使得每个变量的值固定，函数值也固定，但是函数的斜率随自变量的变化而变化。
**定义二：** 凹凸函数是指函数f(x)，它有两个极值点，使得f'(x)=0,f''(x)>0 或 f'(x)=0,f''(x)<0。
**证明：**
假设f(x)是凹凸函数，可以根据定义二，得到
f'(x)=0,f''(x)>0 或 f'(x)=0,f''(x)<0，易知f有两个极值点。
每个变量的值固定，函数值也固定，因此f没有最大值和最小值，随着自变量的变化，函数的斜率会变化。
从而可以证明定义一和定义二的等价性。
**应用：** 凹凸函数一般用于优化问题，如凸优化问题，用来研究最小或最大化函数，比如求解线性规划、二次规划等最优化问题。
;。
凸性与凹性的定义与判定方法
凸性与凹性的定义与判定方法在数学中，凸性与凹性是重要的概念。
它们被广泛应用于优化理论、凸优化、经济学、工程学等领域。
本文将为读者介绍凸性与凹性的定义以及判定方法。
一、凸性的定义与判定方法凸性是指一个函数、集合或者其他数学对象的性质，它有以下两种等价的定义：1. 凸性的定义：设X是一个实数集，f: X → R是定义在X上的函数。
如果对于任意的x1,x2∈X和0≤λ≤1，有：f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)则f是凸函数。
2. 极端点法判定凸性：对于一个连续的函数f(x)，可以通过以下两步判断它是否是凸函数：(1) 寻找函数的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)；(2) 根据f''(x)的符号判断函数是否为凸函数。
- 当f''(x)≥0时，函数f(x)为凸函数；- 当f''(x)≤0时，函数f(x)为凹函数。
二、凹性的定义与判定方法凹性是凸性的一种特殊情况，定义如下：1. 凹性的定义：设X是一个实数集，f: X → R是定义在X上的函数。
如果对于任意的x1,x2∈X和0≤λ≤1，有：f(λx1+(1−λ)x2)≥λf(x1)+(1−λ)f(x2)则f是凹函数。
2. 极端点法判定凹性：与判定凸函数的方法类似，对于一个连续的函数f(x)，可以通过以下两步判断它是否为凹函数：(1) 寻找函数的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)；(2) 根据f''(x)的符号判断函数是否为凹函数。
- 当f''(x)≤0时，函数f(x)为凹函数；- 当f''(x)≥0时，函数f(x)为凸函数。
三、凸性和凹性的应用1. 优化理论：在优化问题中，凸性和凹性是重要的性质。
对于凸优化问题，其目标函数和约束条件一般是凸函数，这保证了优化问题的全局最优解是唯一的。
对数性凸函数的性质及应用解读
对数性凸函数的性质及应用王传坚(楚雄师范学院数学系2003级1班)指导老师郎开禄摘要:在本文中，得到了对数性凸函数的四个性质，并讨论了对数性凸函数的性质的应用。
关键词:凸函数;.对数性凸函数; 基本性质; 应用.The research and application on some properties oflogarithmatic convex functionWang Chuanjian(Department of Math, Chu Xiong Normal University, Chu Xiong,Yun Nan ,675000)Abstract: In this paper, the author gives some properties of logarithmatic convex function bystudying the fundamental properties, and give some application about the properties of logarithmatic.Key Words:Convex Function; Logarithmatic Convex Function; Fundamental Property; Application.导师评语：凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]( [1] 刘芳园，田宏根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》，2006,25(3):22-25.)中,刘芳园，田宏根引入对数性凸函数的概念,研究获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数基本性质的一些应用.受文[1]的启发,在文[1]的基础上,王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性性质及其应用>>进一步研究了对数性凸函数性质,获得了对数性凸函数的两个性质(推论1,推论2)和四个基本结果(定理3, 定理4, 定理5, 定理6),并讨论了对数性凸函数的性质及其应用.王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性质及其应用>>选题具有理论与实际意义,通过研究所获结果具有理论与实际意义.该论文的完成需要较好的数学分析基础,主要结果的证明有一定的技巧,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文规范.该同学在撰写论文过程中,悟性好,独立性强.对数性凸函数的性质及其应用前 言凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]中，引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的基本性质的一些应用,受文[1]的启发,在文[1]的基础上,在本文中,我们获得了对数性凸函数的七个基本性质，并讨论了对数性凸函数性质的应用。
论文-凸函数的定义和性质
凸函数的定义和性质摘要中文摘要内容：在已有的凸函数研究结果上，讨论了凸函数的8种常见定义和13种常见性质，对各种定义之间的等价关系进行了推导，对性质定理进行了证明和分析，并举例应用了凸函数的定义和性质。
关键词：凸函数凹函数严凸等价性可导增函数目录预备知识.............................................................................................................................. - 3 - 定义1 ............................................................................................................................. - 3 -定义2 ............................................................................................................................. - 3 -1凸函数的等价定义........................................................................................................... - 4 - 1.1凸函数的等价定义 (4)定义3 ............................................................................................................................. - 4 -定义4 ............................................................................................................................. - 5 -定义5 ............................................................................................................................. - 5 -定义6：......................................................................................................................... - 7 -定义7 ............................................................................................................................. - 7 -定义8 ............................................................................................................................. - 7 -1.2利用凸函数的等价定义判断函数的凹凸性 .. (7)例1 ................................................................................................................................. - 8 -例2 ................................................................................................................................. - 8 -2凸函数的性质................................................................................................................... - 9 - 2.1凸函数的性质及其证明 . (9)性质1 ............................................................................................................................. - 9 -性质2 ........................................................................................................................... - 10 -性质3 ........................................................................................................................... - 10 -性质4 ........................................................................................................................... - 10 -性质5 ............................................................................................................................ - 11 -性质6 ........................................................................................................................... - 12 -性质7 ........................................................................................................................... - 12 -性质8 ........................................................................................................................... - 12 -性质9 ........................................................................................................................... - 12 -性质10 ......................................................................................................................... - 13 -性质11 ......................................................................................................................... - 14 -2.2凸函数性质的应用 . (14)例1 ............................................................................................................................... - 14 -例2 ............................................................................................................................... - 15 -3结束语............................................................................................................................. - 15 -预备知识凸函数是用来区分增减函数的增减方式是不同两种类型的函数；即使一个函数是增函数，也有如图1所示的两种方式，于是我们规定)(1x f 的增加方式叫做凹函数，反之把)(2x f 规定为凸函数。
凸函数的几个等价定义讲解
本科生毕业论文题目凸函数的几个等价定义系别班级姓名学号答辩时间年月学院目录摘要 (4)1凸函数的定义 (6)2凸函数的等价定义和性质 (6)2.1凸函数的等价定义 (6)2.2凸函数的性质 (7)3凸函数等价定义和性质的应用举例 (10)3.1一些集合上的凸函数举例 (10)3.2运用凸函数等价定义证明不等式 (11)总结 (16)参考文献 (17)谢辞 (18)凸函数的几个等价定义摘要凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen在1905年的著述中。
它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。
为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。
本文主要归纳了凸函数的几个常见定义和性质以及它们在不等式证明等几个方面的应用。
关键词：凸函数；等价性；不等式Several equivalent of convex function definedAbstractConvex function is a kind of important function, it is the concept of the earliest Jensen in 1905 in the works. It in pure mathematics and applied mathematics of many fields has wide application, it has become the mathematical programming, the game theory and mathematical economics, variational learn and optimal control subjects such as theoretical basis and powerful tools. In order to theoretical breakthrough, strengthen them in practical application, produced the generalized convex function. This paper mainly summarizes the convex function of several common definition and characteristics and their inequation and so on several aspects in the application. [Key wards]Convex functions; Equivalence; Inequality.凸函数是一种性质特殊的函数，在许多数学分支中，经常可以看到有关的应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。
凸函数的三种典型定义及其间的等价关系
Ｖ０１．１５Ｎｏ．３ＪｏｕｍａｌｏｆＨ衄ｄａＪｌＶ确ａｔｉｏｎａｌａＩｌｄＴｅｃｈｎｉｃａｌＣ０１ｌｅｇｅＳｅｐｔ．２００２凸函数的三种典型定义及其问的等价关系花树忠（邯郸市职工大学基础教学部邯郸０５６００１）摘要：凸函数是一类常见的重要函数，有着十分广泛的应用。
但是，不同数学教材中常常会给出不同的定义。
本文给出三种比较多见的凸函数定义并就三者间的等价性进行证明。
关键词：凸函数；等价；定义凸函数是一类重要的函数，笔者在多年的学习及教学过程中发现，不同数学教材中对凸函数的定义有多种形式，典型的有本文给出的三种，但教材中在理论上对它们间的等价关系的证明很少见到，下面笔者就常见的三种凸函数定义及其间的等价关系给予介绍和证明。
一、凸函数的三种典型定义及其几何意义定义ｌ若函数八茹）对于区间（口，６）内的任意ｚｌ，菇２以及Ａ∈（ｏ，１），恒有，［Ａ算ｌ＋（１一Ａ）菇２］≤Ｖ（石１）＋（１一Ａ）八髫２）则称八茹）为区间（口，６）上的凸函数。
其几何意义为：凸函数曲线ｙ＝“菇）上任意两点（ｚ。
，厂（省１））、（菇２，，（菇２））问的割线总在曲线之上。
定义２若函数，（菇）在区间（ｏ，６）内连续，对于区间（ａ，６）内的任意菇ｌ，并２，恒有，（半）≤如，（髫。
）＋以并２）］则称厂（髫）为区间（口，６）上的凸函数。
其几何意义为：凸函数曲线，，＝“石）上任意两点（茗。
，八菇。
））、（戈：，“石２））问割线的中点总在曲线上相应点（具有相同横坐标）之上。
定义３若函数．厂（菇）在区间（口，６）内可微，且对于区间（口，６）内的任意茹及粕，恒有／．（戈）≥，（菇ｏ）＋厂（菇ｏ）（菇一茗ｏ）则称，（茗）为区间（口，６）上的凸函数。
其几何意义为：凸函数曲线，，＝．厂（菇）上任一点处的切线，总在曲线之下。
二、凸函数的两个重要推论推论１设八并）是定义ｌ下的凸函数，则对于区间（口，６）内的任意三点髫ｌ＜戈２＜ｚ３，有—ｉ＝百一≤—ｉ＝百一≤一ｉｉ一／．（菇２）一，（髫１）以菇３）一八茗。
凸函数的几个定义及关系
凸函数的几个定义及关系摘要：凸函数是一重要的概念，它在许多学科里有重要的应用，在研究生入学试题中，也时有涉及.本文主要是概述凸函数的几种不同的定义及它们的关系.关键词：凸函数；严格凸函数；等价1.凸函数几种不同的定义定义1.1.1（凸函数）设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1），总有f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）（1.1）则称f为I上的凸函数.如果（1.1）中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数[1].现代数学多数采用这种定义，除此之外，还有其他形式的定义.定义1.1.2f（x）在区间I上有定义，f（x）称为I上的凸函数，当且仅当：x1，x2∈I，有fx1+x22≤f（x1）+f（x2）2（1.2）如果（1.2）式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数[2].定义1.1.3f（x）在区间I上有定义，f（x）称为是凸函数，当且仅当x1，x2，……，xn∈I有fx1+x2+……xnn≤f（x1）+f（x2）+……+f（xn）n（1.3）如果（1.3）式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数的定义[2].定义1.1.4f（x）在区间I上有定义，当且仅当曲线y=f（x）的切线恒保持在曲线以下，则称f（x）为凸函数.若除切点之外，切线严格保持在去线的下方，则称f（x）为严格凸函数[3].2.几个定义的关系定理2.1.1定义1.1.2与定义1.1.3等价证明1.定义1.1.2定义1.1.3这里采用反向归纳法，其要点是：（1）证明命题对于自然数的某个子序列成立；（2）证明命题当n=k+1成立时，必对n=k也成立.1由式（1.2）知式（1.3）当n=2时成立，现证n=4时式（1.3）成立事实上，x1，x2，x3，x4∈I，由式（1.2），我们有fx1+x2+x3+x44=x1+x22+x3+x422≤fx1+x22）+f（x3+x422≤f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）4此即式（1.3）对n=4成立，一般来说，对任一自然数k，重复上面方法，应用（1.2）式k次，可知fx1+x2+……+x2k2k≤f（x1）+f（x2）+……+f（x2k）2k这说明式（1.3）对一切n=2k皆成立.2[证明式（1.3）对n=k+1成立时，必对n=k也成立]记A=x1+x2+……+xkk，则x1+x2+……+xk=kA，所以A=x1+x2+……+xk+Ak+1由式（1.3）对n=k+1成立，故f（A）=fx1+x2+……+xk+Ak+1≤f（x1）+f（x2）+……+f（xk）+f（A）k+1不等式两边同乘以k+1，减去f（A），最后除以k，我们可以得到fx1+x2+……+xkk≤f（x1）+f（x2）+……+f（xk）k此式表示（1.3）对n=k成立.1.定义1.1.3定义1.1.2显然定理2.1.2若f（x）连续，则定义1.1.1、1.1.2、1.1.3等价证明1（定义1.1.1定义1.1.2、1.1.3）在定义1中令λ=12，则由式（1.1）得fx1+x22=f[λx1+（1-λ）x2]≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）=f（x1）+f（x2）2（x1，x2∈I）此式表明（1.2）式成立，所以定义1.1.1蕴涵定义1.1.2，而定义1.1.2、1.1.3等价，故定义1.1.1也蕴涵定义1.1.32（定义1.1.2、1.1.3定义1.1.1）设x1，x2∈I为任意两点，为了证明式（1.1）对于任意实数λ∈（0，1）成立，我们先来证明：式（1.1）当λ为有理数时则λ=mn∈（0，1），（mf[λx1+（1-λ）x2]=fmnx1+1-mnx2=fmx1+（n-m）x2n=fx1+x1+…+x1mn+x2+x2+…x2n-mn、≤f（x1）+f（x1）+…f（x1）mn+f（x2）+f（x2）+…+f（x2）n-mn =mf（x1）+（n-m）f（x2）n=λf（x1）+（1-λ）f（x2）λ为有理数的情况获证.若λ∈（0，1）为无理数，则存在有理数λn∈（0，1），（n=1，2，…）使得λn→λ（当n→∞时）从而由f（x）的连续性f[λx1+（1-λ）x2]=f{limn→∞[λnx1+（1-λn）x2]}=limn→∞f[λnx1+（1-λn）f（x2）]对于有理数λn∈（0，1），（n=1，2，…），上面已证明有f[λnx1+（1-λn）x2]≤λnf（x1）+（1-λn）f（x2）f[λx1+（1-λ）x2]≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）即式（1.1）对任意无理数也成立λ∈（0，1）也成立.这就证明了定义1.1.2、1.1.3蕴涵定义1.1.1.注上述证明里可以看到从定义1.1.1定义1.1.2、1.1.3无需连续性，定义1.1.2、1.1.3定义1.1.1才需要连续性，可见定义1.1.1强于定义1.1.2、1.1.3.。
凸函数的性质及其应用
摘要高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。
凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。
凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。
同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。
为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。
本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。
关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题AbstractConvex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines.Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's.The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply.Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem目录摘要 (I)Abstract ......................................................................................................................... I I第1章绪论 (1)第2章预备知识 (3)2.1 凸函数的定义 (3)2.2 凸函数的定理 (6)2.3 凸函数的简单性质 (9)2.4 几种常见的不等式 (10)第3章在数学中的应用 (12)3.1. 初等不等式的证明 (12)3.2 函数不等式的证明 (14)3.3 积分不等式的证明 (15)第4章凸函数在经济学的中应用 (19)4.1 最优化问题 (19)4.1.1 线性规划下的最优化问题 (19)4.1.2 非线性规划下的最优化问题 (21)4.2 Arrow-pratt风险厌恶度量 (26)结论 (28)参考文献 (29)致谢 (30)第1章绪论提起凸函数我们就知道它是一种性质特殊的函数，在初高中阶段我们只是对其性质，及其图像进行了简单的认识。
凸函数定义的等价性证明_赵丹.caj
'
'
∑[f-(xk-1)(xk-xk-1)]≤∑[f(xk)-f(xk-1)]≤∑[f-(xk)(xk-xk-1)]
k=1 k=1
'
n
n
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图 2.1 凸函数 13 种定义之间的关系 由图 2.1 可知， 要得到凸函数 13 种定义之间的等价关 系， 只需对部分关系进行证明。 定理 2.1 若 f 在 I 内任意一点单侧可导，则由定义
' ' f+(x1)=lim f(x3)-f(x1) ≤lim f(x2)-f(x3) =f-(x2) x3-x1 x2-x3 x →x x →x
3 1 3 2
'
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f(x1)+f(x2)+…+f(xn) (n∈N+)， 则 f 为 I 内的凸函数。 2 定义 2.10[6] 若 f 在 I 内可导， 坌x， y∈I 有 f(x)≥f'(y)(xy)+f(y)， 则称 f 为 I 内的凸函数。 定义 2.11[6] 设函数 f 在 I 内可导， 且 f'(x)单调递增， 则 称 f 为 I 内的凸函数。 定义 2.12 [6] 设函数 f 在 I 内连续， 且二次可导， f''(x) ≥0， 则称 f 为 I 内的凸函数。 定义 2.13 [7] 坌x1， x2 ∈I， 准 (λ)=f[λx1 +(1-λ)x2] 为 [0， 1] 上 的凸函数， 则称 f 为 I 内的凸函数。
[4]
0 引言
凸性是一个十分重要的概念， 在数学规划， 最优化理 经济管理等领域中有十分重要作用。 20 世 论， 变分不等式、 纪 60 年代以来， 凸函数的概念通过不同的途径被推广， 提 出了伪凸函数， 严格伪凸函数， 强伪凸函数， 拟凸函数， 半 严格拟凸函数， 严格拟凸函数， 强拟凸函数等概念。 80 年代 提出的预不变凸函数， 预不变拟凸函数等概念是对凸性概 念的重要推广，但却保留了凸函数的很多优秀的性质特 征。 在文献 [1]、 [2]、 [4]、 [7] 中， 作者给出了凸函数的 9 种定 义， 讨论了它们之间的关系。文献中， 作者在可导条件给出 并给出了其定义之间的强弱关系以 了凸函数的 3 种定义， 及凸函数的连续性等。文献[6]、 [7]、 [8]、 [15]、 [20]中， 作者给 出了其中 3 种定义之间的等价性证明。文献[5]、 [14]、 [16]、 [18]、 [19] 中， 作者讨论了凸函数在不等式证明及求解等方 面的应用。 本文在已有文献的基础上，总结了凸函数的 13 种不 从定义 13 出发， 采用循环 同形式的定义。在一定条件下， 的方式导出它们之间的完整的等价性关系。
关于凸函数的等价命题
关于凸函数的等价命题
金维栋
【期刊名称】《黄冈师范学院学报》
【年(卷),期】1990(000)003
【摘要】文[1]、[2]中给出了凸函数的一般定义,讨论了不同条件下凸函数的一些基本性质及其判定定理。
本文将在此基础上进一步地给出一般条件下凸函数的又一个等价命题及其若干简单应用。
凸函数定义称函数 f(x)为区间Ⅰ上的凸函数。
如果(?)x,y∈I,(?)λ∈(0,1)有(?)λx+(1—λ)y]≤λf(x)+((?)-λ)f(y)。
在这个一般定义下,[1],[2]得到了凸函数的几个判定定理:定理1 下面几个命题等价:(1) f(x)为区间Ⅰ上的凸函数;
【总页数】3页(P36-38)
【作者】金维栋
【作者单位】黄冈师专数学科
【正文语种】中文
【中图分类】G658.3
【相关文献】
1.n元可微凸函数的几个等价命题 [J], 王良成
2.凸函数等价性命题的证明 [J], 周科
3.λ-广义凸函数的定义与等价命题 [J], 马素艳;陈明浩;马素娟;刘真真
4.关于凸函数的若干等价命题 [J], 王良成;陈芸
5.线性空间上凸函数若干等价命题 [J], 王良成;吴开映
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本科生毕业论文题目凸函数的几个等价定义系别班级姓名学号答辩时间年月学院目录摘要 (4)1凸函数的定义 (6)2凸函数的等价定义和性质 (6)2.1凸函数的等价定义 (6)2.2凸函数的性质 (7)3凸函数等价定义和性质的应用举例 (10)3.1一些集合上的凸函数举例 (10)3.2运用凸函数等价定义证明不等式 (11)总结 (16)参考文献 (17)谢辞 (18)凸函数的几个等价定义摘要凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen在1905年的著述中。
它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。
为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。
本文主要归纳了凸函数的几个常见定义和性质以及它们在不等式证明等几个方面的应用。
关键词：凸函数；等价性；不等式Several equivalent of convex function definedAbstractConvex function is a kind of important function, it is the concept of the earliest Jensen in 1905 in the works. It in pure mathematics and applied mathematics of many fields has wide application, it has become the mathematical programming, the game theory and mathematical economics, variational learn and optimal control subjects such as theoretical basis and powerful tools. In order to theoretical breakthrough, strengthen them in practical application, produced the generalized convex function. This paper mainly summarizes the convex function of several common definition and characteristics and their inequation and so on several aspects in the application. [Key wards]Convex functions; Equivalence; Inequality.凸函数是一种性质特殊的函数，在许多数学分支中，经常可以看到有关的应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。
本文从凸函数的定义出发,先是总结和部分证明了凸函数各种等价定义，归纳了凸函数的相关性质；其次，总结了凸函数的一些应用。
1 凸函数的定义定义1 设2R D ⊂为凸集， R D f →:．如果对于D 中任意两点'x 与"x ，以及任一实数λ()10<<λ， 恒有)"()1()'()"x )1('(x f x f x f λλλλ-+<-+则称f 是凸集D 上的严格凸函数。
注：若()f -是严格凸函数，则称f 是严格凹函数，凹函数也可由上述定义的反向不等式来定义。
下图中的()a 和()b 分别是一元凸函数和二元凸函数的直观形象,2 凸函数的等价定义和性质函数的凸性与函数的连续性、函数的导数之间存在着密切的联系，为叙述方便起见，下面只限于讨论一元凸函数的性质。
2.1 凸函数的等价定义定义2 设()f x 是定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点1x ,2x ,恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭则称()f x 为I 上的凸函数。
定义3 若在定义I 上成立不等式（1x ≠2x ）122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭<()()122f x f x +则称()f x 是I 上严格的凸函数。
定义4 下面几个定义等价： （1）)(x f 为区间上的凸函数；（2）对,,,2121x x I x x <∈∀令21)1(tx x t x +-=，则1221211;x x xx t x x x x t --=---=于是有)()()(21211122x f x x x x x f x x x x x f --+--≤；（3）对 ,,,,321321x x x I x x x <<∈∀，有232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--；（4）对),2(0,,,,,,2121≥>∈∀n t t t I x x x n n ∑==ni it11，有∑∑==≤ni i i ni i i x f t x t f 11)()(；（5）对R I x ∈∃∈∀α,0，使得I x x x x f x f ∈-≥-),()()(00α。
定义5 如果)(x f 在上I 一阶可导，则它是凸函数的充分必要条件是：)(x f '在I 上单调递增，I x x x x f x f x f I x ∈∀-'+≥∈∀),)(()()(,00000)(x f 的图形在某任一点))(,(00x f x 的切线的上方。
定义6如果)(x f 在I 上二阶可导，则它是凸函数的充分必要条件是：0)(≥''x f 。
定义7 可微函数)(x f ：R R n →是凸函数的充要条件是：)(x f 作为n R 在中任一直线{}n R p x R p x ∈∈+,,αα上的一元函数)(p x f y α+=满足))((R p x f ∈+'ααα单调增。
定义8 设n R S ⊂是非空开凸集，)(x f 是定义在I 上的二次可微函数，则)(x f 是凸函数的充分必要条件是：在S 的每一点Hesse 矩阵半正定,其中 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=''221212212)(n n n x f x x fx x f x f x f 为Hesse 矩阵。
定义9 )(x f 为()b a ,上的连续凸函数的充分必要条件是：()(){}y x f b a x y x A ≤∈=)(,,且为凸集（水平集）。
定义10 )(x f 在I 上是凸函数的充分必要条件是：)(x f 对任意定义于()1,0上，值域()[]I g ⊂1,0的可积函数()x g ，有()()⎰⎰≤121)((dx x g f dx x g f ，只要右边有意义。
2.2 凸函数的性质性质1 设()x f 在区间I 上为凸函数，对任意0≠k ，则:0>k 时，()x kf 在区间I 上为凸函数;0<k 时，()x kf 在区间I 上为凹函数。
性质2 设()x f ，()x g 是间I 上的凸函数，则其和()()x g x f +也是I 上的凸函数。
性质3 若设()x f ，()x g 是间I 上的凸函数，则()(){}x g x f ,m ax为I 上的凸函数。
性质4 设()u ϕ是单调递增的凸函数，=u ()x f 是凸函数，则复合函数()[]x f ϕ也是凸函数。
性质5 设()x f 为区间I 上的凹函数，()0>x f ，则()x f 1为区间I 上的凸函数，反之不真。
性质6 若()x f 在区间I 上为凸函数，对任意I x ∈，则x 为I 的内点. 则单侧导数()()x f x f '',+-皆存在，且()()x f x f ''+-≤。
性质7 ()x f 为区间[]b a ,上的凸函数，对任意[],,,0R b a x ∈∃∈α对任意I x ∈有()()()00x f x x x f +-≥α。
性质8 设)(x f 是区间I 上的凸函数，则在I 的任一闭子区间上)(x f 有界[]I b a ⊂, ，∀x ∈[]b a ,，取λ=ab a x --则b a x λλ+-=)1()(x f ≤()M b f a f ≤+-)()(1λλ( 此处)(),(max(b f a f M =) 再令=c2ba +，∀x ∈[]b a , 存在x 关于c 的对称点x '， 由)(x f 的凸性得到M x f x f x f c f 21)(212)()()(+≤'+≤因此，)(x f ≥ m M c f =-)(2。
性质9 设)(x f 是区间()b a ，上的凸函数，则在()b a ，的任一闭子区间上)(x f 满足Lipschitz 条件。
3凸函数等价定义的应用举例 3.1一些集合上的凸函数凸函数是建立在凸集上的一类函数，以下是相应集合上的凸函数的举例： 1.实数域R 上的二次函数：R x x x f ∈=,)(2；2.Euclid 空间R n 上的范数函数：1,,)()(11>∈==∑=p R x p x xx f pni i p,其中T n x x x ),,(1 =，特别221)(n x x x x f ++==是R n 上的凸函数。
3.Banach 空间ℜ中凸集S 上的距离函数：ℜ∈-=∈x y x x ds sy ,inf )(。
4.线形拓扑空间X 中凸集S 上的Minkowski 函数（泛函），{}X x s x x u s ∈∈>=,0inf )(αα。
5.线形空间V 上的仿射函数：,,,)(V x x x l ∈+>=<βα其中R V ∈∈βα,。
6.线形空间V 中凸集S 上的指示函数：⎩⎨⎧∈∞+∈=Vx sx x s ,,0)(δ。
3.2 运用凸函数等价定义证明不等式 3.2.1.Jensen 不等式：设)(x f 在I 上是凸函数，),2(0,,,,,,2121≥>∈∀n p p p I x x x n n∑==ni ip11,∑∑==≤ni i i n i i i x f p x p f 11)()(，(1)设),2,1(0n i a i =>,有.111212121na a a a a a a a a nnn n n++≤≤+++(2)设),,2,1(0,n i b a i i =>,有qni i p pni i p ni ii b a ba 11111)()(∑∑∑===≤其中111,1,1++>>qp q p 。