集合的含义及运算

第一讲 集合的含义及运算

一．课标要求

1、理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法

2、集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用

3、理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的

运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法

4、交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用

二．要点精讲

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉；

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

（4）常用数集及其记法：

2．集合的包含关系：

（1）集合的子集、真子集

（2）简单性质：1）A ⊆A ；2）Φ⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；4）若集合A 是n 个元素的

集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）；

3、主要方法：

①解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么；

②．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；

③．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；

4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化

5．全集与补集：

（1）概念 （2）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 。

6．交集与并集：

7．集合的简单性质：

（1）;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂

（2）;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃ （3）);()(B A B A ⋃⊆⋂

（4）B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆; S S C B C A ⊆;()S A C B 同样等价

（5）S C （A ∩B ）=（S C A ）∪（S C B ），S C （A ∪B ）=（S C A ）∩（S C B ）

【课前预习】

1.（2008· 山东，1）满足M ⊆{}4321,,,a a a a ,且M {}{}21321,,,a a a a a = 的集合M 的个数是（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

2、（2011新全国）已知集合M={}0,1,2,3,4，N={}1,3,5，P=M N ,则P 的子集的个数共有（ ）

A.2

B.4

C.6

D.8

3.设全集U={}7,5,3,1，集合M={},|5|,1-a M ⊆U ，U M={}7,5，则a 的值为 （ ）

A.2或-8

B.-8或-2

C.-2或8

D.2或8

4、【07全国Ⅰ】设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}b a b a b a

+=，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D -2

5（2011北京理）已知集合2{|1}P x x =≤，{}M a =，若P

M P =，则a 的取值范围是( )

A. (,1]-∞-

B. [1,)+∞

C. [1,1]-

D. (,1]

-∞-[1,)+∞ 6、（2011.江西理2） 若集合}3121|{≤+≤-=x x A ，}02|{≤-=x

x x B ，则=B A ( )

A.}01|{<≤-x x

B. }10|{≤

C. }20|{≤≤x x

D. }10|{≤≤x x

三．典例解析

题型1：集合的概念

例1．（1）设集合},4121|{Z k k x x A ∈+==，若2

9=x ，则下列关系正确的是（ ） A ．A x ⊂ B ．A x ∈ C ．A x ∈}{ D ．{}x A x ⊂}{

（2）已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，

{|1}G x x =≥，则 （ ）

()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G =

（3）设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成

立的是（ ）

A ．P Q

B ．Q P

C ．P =Q

D ．P ∩Q =Q

题型2：集合的性质

例2已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是（ ）

A ．15

B ．16

C ．3

D ．4

例3（1）已知全集32{1,3,2}S x x x =--，A ={1,21x -}如果}0{=A C S ，则这样的实数x 是否

存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由。

（2）设集合{},,P x y x y xy =-+，{}

2222,,0Q x y x y =+-，若P Q =，求,x y 的值及集合P 、Q ．

题型3：集合的运算

例4．（1）（06全国Ⅱ理，2）已知集合M ＝｛x |x ＜3}，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝（ ） A ．∅ B ．｛x |0＜x ＜3} C ．｛x |1＜x ＜3} D ．｛x |2＜x ＜3}

（2）（06安徽理，1）设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，

则()

R C A B 等于（ ） A ．R B ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅

题型4：图解法解集合问题

例5．（1）设全集{}|010,U x x x N *=<<∈，若{}3A

B =，{}1,5,7U A

C B =，{}9U U C A C B =，则A = ，B = ． （2）已知全集I ＝N *，集合A ＝｛x ｜x ＝2n ，n ∈N *｝，B ＝｛x ｜x ＝4n ，n ∈N ｝，则（ ）

A ．I ＝A ∪

B B ．I ＝（I

C A ）∪B

C ．I ＝A ∪（I C B ）

D ．I ＝（I C A ）∪（I C B ）

(3)（2009湖南卷）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两

项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .

题型5：集合综合题

例6设集合A={}023|2=+-x x x ,B {}0)5()1(2|22=-+++=a x a x x .

(1)若A B={}2,求实数a 的值；

(2)若A B=A,求实数a 的取值范围；

(3)若U=R ，A （U B ）=A.求实数a 的取值范围.