高二数学曲线与方程练习题
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线(1)练习 新人教A版高二选修1-1数学试题
2.2 双曲线（1）A 级 基础巩固一、选择题1．已知M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是导学号 03624438( C )A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支[解析]∵|PM |－|PN |＝|MN |＝4，∴动点P 的轨迹是一条射线． 2．双曲线3x 2－4y 2＝－12的焦点坐标为导学号 03624439( D ) A ．(±5,0) B ．(0，±5) C ．(±7，0)D ．(0，±7)[解析] 双曲线3x 2－4y 2＝－12化为标准方程为y 23－x 24＝1，∴a 2＝3，b 2＝4，c 2＝a 2＋b 2＝7，∴c ＝7，又∵焦点在y 轴上，故选D ．3．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值X 围是导学号 03624440( A )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－1[解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.4．(2016·某某某某高二检测)已知双曲线2mx 2－my ＝4的一个焦点为(0，6)，则m 的值为导学号 03624441( B )A ．1B ．－1C ．73D ．－73[解析] 将双曲线方程化为x 22m－y 24m＝1.因为一个焦点是(0，6)，所以焦点在y 轴上，所以c ＝6，a 2＝－4m ，b 2＝－2m ，所以a 2＋b 2＝－4m －2m ＝－6k＝c 2＝6.所以m ＝－1.5．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为导学号 03624442( D )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3[解析] 由双曲线的标准方程，知a 2＝10，b 2＝2，则c 2＝a 2＋b 2＝10＋2＝12，因此2c ＝43，故选D ．6．(2015·某某理)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于导学号 03624443( B )A ．11B ．9C ．5D ．3[解析] 由题，|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6， 即||3－|PF 2|＝2a ＝6，解得|PF 2|＝9. 二、填空题7．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于__48__.导学号 03624444[解析] 依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝16.∴S △PF 1F 2＝12×16×102－1622＝48.8．已知双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为__2或22__.导学号 03624445[解析] 设F 1为左焦点，F 2为右焦点，当点P 在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝10，|PF 2|＝22；当点P 在双曲线右支上时， |PF 1|－|PF 2|＝10，|PF 2|＝2. 三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程.导学号 03624446 (1)焦点在x 轴上，c ＝6且经过点(－5,2)； (2)过P (3，154)和Q (－163，5)两点．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－4b2＝1a 2＋b 2＝6，解之得a 2＝5，b 2＝1， 故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋22516B ＝12569A ＋25B ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－116B ＝19.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.B 级 素养提升一、选择题1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是导学号 03624447( B )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1[解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴5a 2－16b2＝1，又a2＋b 2＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故选B ．2．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为导学号 03624448( D )A ．13B ．12C ．23D ．32[解析] 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D ．3．已知m 、n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y ＋n ＝0与nx 2＋my 2＝mn 所表示的曲线可能是导学号 03624449( C )[解析] 把直线方程和曲线方程分别化为y ＝mx ＋n ，x 2m ＋y 2n＝1.根据图形中直线的位置，判定斜率m 和截距n 的正负，从而断定曲线的形状．4．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是导学号 03624450( D )A ．16B ．18C ．21D ．26[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 5．若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值X 围是导学号 03624451( C )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2,1)[解析] 由题意，方程可化为y 2m 2－4－x 21－m＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>01－m >0，解得m <－2.故选C ．二、填空题6．(2016·某某某某高二检测)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，有一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的方程为y 24－x 25＝1 .导学号 03624452[解析] 解法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据双曲线的定义，知2a＝|152＋12－152＋72|＝4，故a ＝2.又b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1. 解法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法三：设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1. 7．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于__4__.导学号 03624453[解析] 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. 三、解答题8．已知双曲线方程为2x 2－y 2＝k ，焦距为6，求k 的值.导学号 03624454 [解析] 由题意知c ＝3，若焦点在x 轴上，则方程可化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴k 2＋k ＝32，即k ＝6.若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k2＝1.∴－k ＋(－k2)＝32，即k ＝－6.综上，k 的值为6或－6.C 级 能力提高1．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值为__－1__.导学号 03624455[解析] 将双曲线的方程化为x 21k－y 28k＝1，因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)， 所以焦点在y 轴上，且c ＝3. 所以a 2＝－8k ，b 2＝－1k.所以－8k －1k＝9，解得k ＝－1.2．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线如何变化？导学号 03624456[解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1. ①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1. (4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．。
高二数学 2.3 第1课时第1课时 双曲线及其标准方程
第二章 2.3 第1课时一、选择题1．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线[答案] D [解析] 方程mx 2－my 2＝n可化为：y 2－n m －x 2－n m＝1，∵mn <0，∴－nm>0，∴方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线．2．双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )A ．22或2B ．7C ．22D ．2[答案] A[解析] ∵a 2＝25，∴a ＝5，由双曲线定义可得||PF 1|－|PF 2||＝10，由题意知|PF 1|＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝22或2.3．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－3<k <－2B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－2[答案] A[分析] 由于方程表示焦点在x 轴上的双曲线，故k ＋3>0，k ＋2<0.[解析] 由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3>0k ＋2<0，解得－3<k <－2.4．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 22＝1有相同的焦点，则m 的值是( )A ．±1B ．1C ．－1D ．不存在[答案] A[解析] 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1， 对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3， 故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上， 故4－m 2＝m 2＋2. ∴m 2＝1，即m ＝±1.5．△ABC 中，A (－5,0)、B (5,0)，点C 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin A －sin B sin C＝( )A.35 B ．±35 C ．－45 D ．±45[答案] D[解析] 在△ABC 中，sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R ＝102R. ∴sin A －sin B sin C ＝|BC |－|AC |2R 102R ＝|BC |－|AC |10.又∵|BC |－|AC |＝±8， ∴sin A －sin B sin C ＝±810＝±45.6．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16 B ．18 C ．21D ．26[答案] D[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5 ＝26. 二、填空题7．双曲线2x 2－y 2＝m 的一个焦点是(0，3)，则m 的值是__________________．[答案] －2[解析] 双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m ＝1，由题意得a 2＝－m ，b 2＝－m 2，∴c 2＝－32m ＝3，∴m ＝－2.8．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为__________________．[答案] y 24－x 25＝1[解析] 椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，且c ＝3，a 2＋b 2＝9.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A (15，4)、B (－15，4)，由点A 在双曲线上知，16a 2－15b 2＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝916a 2－15b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝5.∴所求曲线的方程为y 24－x 25＝1.三、解答题9．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解析] 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有 |MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3.∴M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝c 2－a 2＝914.∴双曲线方程为4x 29－4y 291＝1(x ≤－32)．10．已知双曲线经过两点M (1,1)、N (－2,5)，求双曲线的标准方程．[解析] 设所求双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，将点M (1,1)、N (－2,5)代入上述方程，得到⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝14m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝87n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.一、选择题1．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线C 上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线C 的方程为( )A.x 29－y 27＝1B.x 29－y 27＝1(y >0)C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1D.x 29－y 27＝1(x >0) [答案] D[解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)．2．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( ) A.23B ．1C ．2D ．4[答案] D[解析] NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线定义知，|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D.3．设F 1、F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．42 B ．83 C ．24D ．48[答案] C[解析] 由3|PF 1|＝4|PF 2|知|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又c 2＝a 2＋b 2＝1＋24＝25，∴c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24.4．设F 为双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，在x 轴上F 点的右侧有一点A ，以F A 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M 、N ，则|FN |－|FM ||F A |的值为( )A.25B.52C.54D.45 [答案] D[解析] 对点A 特殊化，不妨设点A 为双曲线的右焦点，依题意得F (－5,0)，A (5,0)， |FN |－|NA |＝8，|FM |＝|NA |，所以|FN |－|FM |＝8，|FN |－|FM ||F A |＝810＝45，选D.二、填空题5．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的直线被双曲线截取的线段的长度为________．[答案]833[解析] ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7， 该直线方程为x ＝7，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 6．已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为M 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为M 2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为______________________．[答案] x 24－y 212＝1(x ≥2)[解析] 设动圆圆心为M ，动圆半径为r ，根据题意得，|MM 1|＝5＋r ，|MM 2|＝1＋r ，两式相减得|MM 1|－|MM 2|＝4<8＝|M 1M 2|，故M 点在以M 1(－4,0)、M 2(4,0)为焦点的双曲线的右支上，故圆心M 的轨迹方程为x 24－y 212＝1(x ≥2)．三、解答题7．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？[解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝1和x ＝－1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45°<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝1和y ＝－1.(4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．8．在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为a 、b 、c ，B (－1,0)、C (1,0)，求满足sin C －sin B＝12sinA 时，顶点A 的轨迹，并画出图形． [解析] ∵sin C －sinB ＝12sin A ，∴c －b ＝12a ＝12×2＝1，即|AB |－|AC |＝1<|BC |＝2.∴动点A (x ，y )的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线 ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ′＝12c ′＝2b ′2＝c ′2－a ′2，∴⎩⎨⎧a ′＝12b ′＝32.∴A 点轨迹方程为x 214－y 234＝1.由于c >b 就是|AB |>|AC |，可知A 点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点(12，0)如图所示．。
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.过抛物线的焦点的一直线交抛物线于两点，若线段的长为，则线段的长为 .【答案】【解析】根据题意，由于抛物线，可知焦点为（1，0），准线x=-1，则由于过抛物线的焦点的一直线交抛物线于两点，那么可知线段的长为，，那么设出直线PQ：y=k(x-1)与联立方程组得到，则可知=,故答案为【考点】抛物线的定义点评：解决的关键是理解抛物线定义中抛物线上点到焦点的距离等于到其准线的距离。
属于基础题。
2.已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程．【答案】．【解析】设动圆圆心为M（x，y），半径为r，由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为．【考点】本题主要考查直线与圆的去位置关系，抛物线的定义，抛物线的标准方程。
点评：简单题，利用数形结合的方法，认识到“M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等”，从而可利用抛物线的定义进一步求标准方程。
此乃常用方法。
3.双曲线的焦距为【答案】【解析】根据已知等轴双曲线，可知a=b=1，那么结合=2，因此可知其焦距2c的值为，故答案为。
【考点】本试题考查了双曲线的性质。
点评：解决该试题的关键是对于双曲线的方程中a,,b的求解，然后借助于平方关系式，得到结论，属于基础题。
4.已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为__________ 。
【答案】【解析】设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得=m++n+= m+n+=3，故m+n=，，故线段AB的中点到y轴的距离为【考点】本题考查了抛物线的性质点评：抛物线的定义是解决抛物线的距离问题的常见方法5.设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且．（1）求椭圆的离心率；（2）若过、、三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由.【答案】（1）;（2）;（3），0），由（c，0），A（0，b）,知【解析】(1)设Q（x，由 ,可知为中点．从而得到,，进一步计算可求出记心率的值.（2）由⑴知，可求出△AQF的外接圆圆心为（-，0），半径r=|FQ|=,所以再利用圆心到直线l的距离等于半径a,可得到关于a的方程解出a值，从而得到椭圆C的方程.(3) 设，平行四边形是菱形可转化为,,所以,则,然后直线MN与椭圆方程联立，消y，再借助韦达定理来解决即可.，0），由（c，0），A（0，b）解：（1）设Q（x知，由于即为中点．故，故椭圆的离心率（4 分）（2）由⑴知得于是（，0） Q，△AQF的外接圆圆心为（-，0），半径r=|FQ|=所以，解得=2，∴c =1，b=，所求椭圆方程为（8 分）（3）由（Ⅱ）知：代入得设，则，（10分）由于菱形对角线垂直，则故则（12分）由已知条件知且故存在满足题意的点P且的取值范围是．（13分）6.设是三角形的一个内角，且，则方程表示的曲线是焦点在 _轴上的__ （填抛物线、椭圆、双曲线的一种）【答案】y、椭圆【解析】因为，所以，两边平方得：，因为是三角形的一个内角，所以，，所以。
高二数学双曲线练习题及答案
高二数学双曲线练习题及答案下面是一份高二数学双曲线练习题及答案的文章，请你仔细阅读：高二数学双曲线练习题及答案双曲线是数学中重要的曲线之一，在高二数学学习中也占有重要地位。
为了帮助同学们更好地掌握双曲线知识，我们提供一些练习题以及答案，供同学们进行巩固和练习。
题目一：已知双曲线C的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，焦点F在y轴上，顶点坐标为(0, a)，离心率为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，求双曲线C的方程。
答案一：由双曲线的性质可知，焦点到顶点的距离与焦点到曲线上一点的距离之比等于离心率。
设F的坐标为（0, c），则离心率为：$\frac{CF}{Ca}=\frac{1}{\sqrt{2}}$由焦点的坐标可得c=a(1/√2)由离心率的定义可得：$\sqrt{a^2-c^2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$解得a^2=4c^2。
将焦点的坐标带入，得到方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4c^2}=1$题目二：已知双曲线C的一支渐近线方程为y=3x-2，焦点的坐标为（1,0），求双曲线C的方程。
答案二：由双曲线的性质可得，双曲线的渐近线的斜率为圆心到焦点连线的斜率。
设焦点坐标为(F, 0)，则斜率为：k = tanα，其中α为双曲线的倾斜角又由渐近线y=3x-2可得，圆心到焦点连线的斜率为3因此，k=3=tanα，则α为60度，倾斜角为60度。
由焦点坐标可知，焦点在(x1, y1)上，即（1,0）由双曲线的方程性质可得，双曲线的公式为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$根据双曲线标准方程，我们可以将双曲线方程改写为：$\frac{(y-y1)^2}{a^2}-\frac{(x-x1)^2}{b^2}=1$代入焦点坐标（1,0）得到：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{(x-1)^2}{b^2}=1$将双曲线的倾斜角代入，可得：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{(x-1)^2}{b^2}-\frac{(y-x)^2}{a^2}=1$化简得：$\frac{2x^2+2xy+2x+2y^2-4y}{a^2}=0$这样得到了双曲线C的方程。
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.若动点与定点和直线的距离相等，则动点的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线【答案】D【解析】因为定点F（1，1）在直线上，所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点A与直线，垂直的直线．故选D．【考点】1．抛物线的定义；2．轨迹方程．2. F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆【答案】C【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程。
解：因为|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|，所以点M的轨迹是线段，故选C。
3.椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系。
利用“点差法”求弦的斜率，由点斜式写出方程。
故选B。
4.如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A．（1, 0）B．（2, 0）C．（3, 0）D．（－1, 0）【答案】A【解析】由已知，所以=4，抛物线的焦点坐标为（1, 0），故选A。
【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质。
点评：熟记抛物线的标准方程及几何性质。
5.圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+ y 2-x-2 y -=0B．x2+ y 2+x-2 y +1="0"C．x2+ y 2-x-2 y +1=0D．x2+ y 2-x-2 y +=0【答案】D【解析】由抛物线定义知，此圆心到焦点距离等于到准线距离，因此圆心横坐标为焦点横坐标，代入抛物线方程的圆心纵坐标,1，且半径为1，故选D。
【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质，同时考查了圆的切线问题。
点评：抛物线问题与圆的切线问题有机结合，利用抛物线定义，简化了解答过程。
2.1曲线方程-人教A版高中数学选修2-1课时练习
高二年级（数学）学科习题卷曲线方程 一、选择题：1．已知命题“曲线C 上的点的坐标是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( ) A ．满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上 B ．方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 C ．方程f (x ，y )＝0所表示的曲线不一定是C D ．以上说法都正确2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是 ( )A ．两条直线B ．四条直线C ．两个点D ．四个点3．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是A ．两个点B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线4．已知A (－1，0)，B (1，0)，C 为平面内的一动点，且满足||2||AC BC =，则点C 的轨迹方程为 ( )A ．22610x y x +++＝B ．22610x y x +-+＝C ．2210103x y x +-+= D ．2210103x y x +++=5．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是 ( )6．已知A (1，0)，B (－1，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝2，则点M 的轨迹方程是( ) A ．011()y x =-≤≤ B ．0(1)y x =≥ C ．1)0(y x =≤- D ．0(||1)y x =≥7．已知A (－2,0)、B (2,0)，△ABC 的面积为10，则顶点C 的轨迹是( )A ．一个点B ．两个点C ．一条直线D ．两条直线二、填空题：8．等腰三角形底边的两个顶点是B (2，1)，C (0，－3)，则另一顶点A 的轨迹方程是______________． 9．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足：4OP OA ⋅=，则动点P 的轨迹方程为______________．10．已知O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2215x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足5NP NM =，则点P 的轨迹方程为______________．三、解答题：11．已知A 、B 分别是直线y x =和y x =上的两个动点，线段AB 的长为P 是AB 的中点，求动点P 的轨迹C 的方程．12.已知点P (2，2)，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及POM △的面积．13.两个定点(2,2),(0,2)P Q -，长为2的线段AB 在直线y x =上移动，求直线PA ，QB 的交点M 的轨迹方程。
高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析
高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析1.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线的极坐标方程为：，曲线C：（为参数），其中．（Ⅰ）试写出直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若点P为曲线C上的动点，求点P到直线距离的最大值．【解析】（Ⅰ）直接利用极坐标与直角坐标的互化，以及消去参数，即可取得直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离加半径即可求出点P到直线距离的最大值．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，则直线的直角坐标方程为.曲线C：，且参数，消去参数可知曲线C的普通方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C是以（0,2）为圆心，半径为2的圆，则圆心到直线的距离，所以点P到直线的距离的最大值是.【考点】参数方程化成普通方程．2.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线的直角坐标方程为 .【答案】【解析】已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，因此方程【考点】参数方程的应用.3.已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρ·cos＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．【答案】（1）普通方程：，圆的参数方程为：，为参数；（2）.【解析】（1）圆的普通方程与圆的极坐标方程之间的转换关系在于圆上一点与极径，极角间的关系：,圆的普通方程与圆的参数方程的关系也在于此，即圆上一点与圆半径,圆上点与圆心连线与轴正向夹角的关系：；（2）利用圆的参数方程，将转化为关于的三角函数关系求最值，一般将三角函数转化为的形式.试题解析：由圆上一点与极径，极角间的关系：，可得,并可得圆的标准方程：,所以得圆的参数方程为：，为参数.由（1）可知：故.【考点】(1)圆的普通方程与圆的参数方程和极坐标之间的关系；（2）利用参数方程求最值. 4.已知曲线M与曲线N：ρ＝5cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线M的方程为() A．ρ＝－10cos B．ρ＝10cosC．ρ＝－10cos D．ρ＝10cos【答案】B【解析】设点是曲线M上的任意一点,点关于极轴的对称点必在曲线N上,所以故选B.【考点】极坐标方程.5.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．6.极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆【答案】C【解析】化简为,得到或,化成直角坐标方程为：或,故选C.【考点】极坐标方程与普通方程的互化7.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.(1)求的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】（1），（2）相交【解析】解:(Ⅰ)由点在直线上,可得所以直线的方程可化为从而直线的直角坐标方程为 5分(Ⅱ)由已知得圆的直角坐标方程为所以圆心为,半径以为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交 10分【考点】直线与圆点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。
高中数学 2.1.1曲线与方程
曲线与方程(30分钟 50分)一、选择题(每题3分,共18分)(x 0,y 0)=0是点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上的 ( )A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也没必要要条件【解析】选C.由曲线与方程的概念可知,假设点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上,那么必有f(x 0,y 0)=0;又当f(x 0,y 0)=0时,点P(x 0,y 0)也必然在方程f(x,y)=0对应的曲线上,应选C.2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是 ( )=x 与y=√x =lgx 2与y=2lgxC.y +1x −2=1与lg(y+1)=lg(x-2) +y 2=1与|y|=√1−x 2【解析】选D.要紧考虑x,y 的取值范围,A 中y 2=x 中y ∈R,而y=√x 中y ≥0,B 中y=lgx 2中x ≠0,而y=2lgx 中x>0;C 中y +1x −2=1中y ∈R,x ≠2,而lg(y+1)=lg(x-2)中y>-1,x>2,故只有D 正确. 3.(2021·石家庄高二检测)方程x 2+y 2=1(xy<0)的曲线形状是 ( )【解析】选C.方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部份.4.(2021·安阳高二检测)曲线y=√1−x 2和y=-x+√2公共点的个数为 ( )B.2 【解析】选C.由{y =√1−x 2,y =−x +√2,得-x+√2=√1−x 2,两边平方并整理得(√2x-1)2=0,因此x=√22,这时y=√22,故公共点只有一个(√22,√22). 【误区警示】解题中易忽略y=√1−x 2中x 的取值范围,而写成x 2+y 2=1,从而解出两组解而致使出错.5.如果曲线C 上点的坐标知足方程F(x,y)=0,那么有( )A.方程F(x,y)=0表示的曲线是CB.曲线C 的方程是F(x,y)=0C.点集{P|P ∈C}⊆{(x,y)|F(x,y)=0}D.点集{P|P ∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}【解析】选,B 错,因为以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不必然在曲线C 上,假设以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上,那么点集{P|P ∈C}={(x,y)|F(x,y)=0},故D 错,选C.6.(2021·青岛高二检测)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是 ( )A.两条直线B.一条直线和一双曲线C.两个点D.圆【解析】选C.由题意,{x −y =0,xy =1,因此x=1,y=1或x=-1,y=-1,因此方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是两个点(1,1)或(-1,-1).二、填空题(每题4分,共12分)7.(2021·天津高二检测)点P(2,-3)在曲线x 2-ay 2=1上,那么a= .【解析】将(2,-3)代入x 2-ay 2=1,得a=13. 答案:13【变式训练】已知点A(a,2)既是曲线y=mx 2上的点,也是直线x-y=0上的一点,那么m= .【解析】因为点A(a,2)在直线x-y=0上,得a=2,即A(2,2).又点A 在曲线y=mx 2上,因此2=m ·22,得m=12. 答案:12 8.(2021·重庆高二检测)若是直线l :x+y-b=0与曲线C:y=√1−x 2有公共点,那么b 的取值范围是 .【解题指南】此题考查曲线的交点问题,能够先作出曲线y=√1−x 2的图象,利用数形结合解题. 【解析】曲线C:y=√1−x 2表示以原点为圆心,以1为半径的单位圆的上半部份(包括(±1,0)),如图,当l 与l 1重合时,b=-1,当l 与l 2重合时,b=√2,因此直线l 与曲线C 有公共点时,-1≤b ≤√2.答案:[-1,√2]9.方程y=√x 2−4x +4所表示的曲线是 .【解析】原方程可化为:y=|x-2|={x −2,x ≥2,−x +2,x <2.因此方程表示的是射线x-y-2=0(x ≥2)及x+y-2=0(x<2).答案:两条射线【误区警示】此题易轻忽方程自身的条件对y 的约束,即y ≥0,而将方程变形为(x+y-2)(x-y-2)=0,从而得出方程表示的曲线是两条直线.三、解答题(每题10分,共20分)10.方程√1−|x |=√1−y 表示的曲线是什么图形?【解析】原方程可化为{1−y =1−|x |,1−|x |≥0,即{y =|x |,|x |≤1, 因此它表示的图形是两条线段y=-x(-1≤x ≤0)和y=x(0≤x ≤1).如图:11.曲线x 2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,求k 的范围,假设有一个交点、无交点呢?【解析】由{y =k (x −2)+4,x 2+(y −1)2=4,得(1+k2)x2+2k(3-2k)x+(3-2k)2-4=0,Δ=4k 2(3-2k)2-4(1+k 2)[(3-2k)2-4]=48k-20.因此Δ>0,即k>512时,直线与曲线有两个不同的交点; Δ=0,即k=512时,直线与曲线有一个交点; Δ<0,即k<512时,直线与曲线没有交点. 【拓展延伸】曲线与直线交点个数的判别方式曲线与直线交点的个数确实是曲线方程与直线方程联立方程组解的组数,而方程组解的组数可利用根的判别式进行判定.此题是判定直线和圆的交点问题,用的是代数法.也可用几何法,即通过圆心到直线的距离与半径的关系求出k 的范围.有些题目,在判定交点个数时,也可用数形结合法.(30分钟 50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.已知曲线ax 2+by 2=2通过点A(0,2)和B(1,1),那么a,b 的值别离为 ( )A.12,32B.32,12 32,32 D.12,-32【解析】选B.因为点A(0,2)和B(1,1)都在曲线ax 2+by 2=2上,因此{a ·0+4b =2,a +b =2,解得{a =32,b =12. 2.(2021·临沂高二检测)方程x 2|x |+y 2|y |=1表示的图形是 ( ) A.一条直线B.两条平行线段C.一个正方形D.一个正方形(除去四个极点)【解析】选D.由方程可知,方程表示的图形关于坐标轴和原点对称,且x ≠0,y ≠0,当x>0,y>0时,方程可化为x+y=1,表示第一象限内的一条线段(去掉两头点),因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个极点).3.已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=4及直线l:x+2y-2=0,那么点M(4,-1) ( )A.不在圆C上,但在直线l上B.在圆C上,但不在直线l上C.既在圆C上,也在直线l上D.既不在圆C上,也不在直线l上【解析】选C.将点M(4,-1)的坐标别离代入圆C及直线l的方程,均知足.4.(2021·成都高二检测)已知方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确信的两条曲线有两个交点,那么a的取值范围是( )>1 <a<1<a<1或a>1 ∈【解题指南】别离作出y=a|x|和y=x+a所表示的曲线.再依照图象求a的取值范围.【解析】选A.因为a>0,因此方程y=a|x|和y=x+a(a>0)的图象大致如图,要使方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确信的两条曲线有两个交点,那么要求y=a|x|在y轴右边的斜率足够大,因此a>1.【变式训练】如下图,定圆半径为a,圆心为(b,c),那么直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由{ax+by+c=0,x−y+1=0,因此{x=−b+ca+b,y=a−ca+b.因为a+b<0,a-c>0,b+c<0,因此x<0,y<0,因此交点在第三象限,选C.二、填空题(每题5分,共10分)5.(2021·济宁高二检测)曲线y=|x-2|-2的图象与x轴所围成的三角形的面积是.【解析】当x-2<0时,原方程可化为y=-x;当x-2≥0时,原方程可化为y=x-4.故原方程表示两条共极点的射线,易患极点为B(2,-2),与x 轴的交点为O(0,0),A(4,0),因此曲线y=|x-2|-2与x 轴围成的三角形面积为S △AOB = 12|OA|·|y B |=4. 答案:46.(2021·石家庄高二检测)曲线y=-√1−x 2与曲线y+|ax|=0(a ∈R)的交点个数为 .【解析】由{y =−√1−x 2,y +|ax |=0,得-|ax|=-√1−x 2,即a 2x 2=1-x 2,因此(a 2+1)x 2=1,解得x=√1a 2+1和x=-√1a 2+1, 代入y=-|ax|,得y=-√a 21+a 2,因此它们有2个交点.答案:2【一题多解】由y=-√1−x 2,得x 2+y 2=1(y ≤0)表示半圆如图:由y+|ax|=0,得y=-|a||x|,表示过原点的两条射线,如图.因此由图象可知,它们有两个交点.答案:2三、解答题(每题12分,共24分)7.已知点P(x 0,y 0)是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,求证:点P 在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【证明】因为P 是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,因此P 在曲线f(x,y)=0上,即f(x 0,y 0)=0,P 在曲线g(x,y)=0上,即g(x 0,y 0)=0,因此f(x 0,y 0)+λg(x 0,y 0)=0+λ0=0,故点P 在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【拓展延伸】证明曲线与方程关系的技术 解答本类问题的关键是正确明白得并运用曲线的方程与方程的曲线的概念,明确两条原那么,即假设点的坐标适合方程,那么该点必在方程的曲线上;假设点在曲线上,那么该点的坐标必适合曲线的方程.另外,要证明方程是曲线的方程,依照概念需完成两步:①曲线上任意一点的坐标都是方程的解;②以方程的解为坐标的点都在曲线上.二者缺一不可.8.当曲线y=1+√4−x 2与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时,求实数k 的取值范围.【解析】曲线y=1+√4−x 2是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆,如图. 直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线.设切线PC 的斜率为k 0,切线PC 的方程为y=k 0(x-2)+4.圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径2,即0√1+k 0=2, 因此k 0=512,直线PA 的斜率k 1=34, 因此实数k 的取值范围是512<k ≤34.。
人教版高二数学选修1-1双曲线及其标准方程练习题答案及详解
－＋－－＝ C.－＝ D.－5(5，A.－＝ B.－＝－－＝．椭圆＋m 2＝与双曲线m 2－＝A.－＝ B.－＝C.－＝－＝ D.－ D.m －b．已知方程＝．以椭圆椭圆＝A.＝＝－＋a 2＝与双曲线a －＋．过双曲线＝．如果椭圆椭圆＝．设双曲线与椭圆＝3＝1. 5、C ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、C ∵c 9－y 22m ，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|·||PF 2|＝m －a . 11、x 273－y 275＝1 12、833∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ïìx ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 13、1 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 14、 x 24－y 212＝1(x ≤－2) 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|P A |＝4<|AB |＝8， 由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：x 24－y 212＝1(x ≤－2)． 15、椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，人教版高二数学选修1-1双曲线及其双曲线及其标准方程标准方程练习题答案及详解 1、D 2、A 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1. 3、A 设动圆设动圆半径半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、B 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双，双曲线方程曲线方程为y 2－x 2＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|·||PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、A 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对，对椭圆椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.∴m 2＝1，即m ＝±1. 8、D 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，为焦点，实轴实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 27＝1(x >0) 9、D |A F AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 10、A 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝＝7，该弦所在，该弦所在直线直线方程为x ＝7， 由îïí＋2－b 2＝∴16a 2－15b －＝3，(3－3(3－－3)·((3－y 2＝－y M 2＝－3－)(3－－y 2M 2＝±233，＝233. ＝12|F ＝3，∴x 2M ＋y 2M ＝3①－y M 2＝±233，＝233. 椭圆＝双曲线a 2＝为：。
2021年高二数学(人) 专题07 曲线与方程(练习) (学生版)
专题07曲线与方程课时训练【基础巩固】1．（湖南省邵阳一中2019届期中）已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，点Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则点Q 的轨迹方程是()A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝02.（黑龙江省绥化一中2019届模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A B C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是()3．（浙江省嘉兴一中2019届模拟）设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为()A ．y 2＝2x B.(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝24．（湖北省鄂州一中2019届模拟）设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2PA ―→，且O Q ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是()A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋322＝1(x ＞0，y ＞0)5.（江苏启东中学2019届模拟）已知点A (－4,4)，B (4,4)，直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与BM 的斜率之差为－2，点M 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的轨迹方程为__________．6．（江苏省常州一中2019届期末）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB→－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．【能力提升】7.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP = 。
最新-高二数学 双曲线及其标准方程单元练习题 精品
双曲线及其标准方程习题一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 )1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差││；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件2.若双曲线的一个焦点是，，则等于 ． ． ． ．2kx ky =1(04)k [ ]A B C D 22---33258332583.点到点，与它关于原点的对称点的距离差的绝对值等于，则点的轨迹方程是 ． ．． ．P (60)10P [ ]A y 11=1B y 25=1C y 6=1D y 25=12222-----x x x x 2222256125114.k 5+y 6k=1[ ]A B C D 2＜是方程表示双曲线的 ．既非充分又非必要条件 ．充要条件．必要而非充分条件 ．充分而非必要条件x k 25--5. 如果方程x 22表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6.下列曲线中的一个焦点在直线上的是 ． ．． ．4x 5y +25=0[ ]A y 16=1B +y 16=1C x 16=1D +x 16=12222---x x y y 2222925925 7. 若a ·，则ax 22=b 所表示的曲线是 [ ]A ．双曲线且焦点在x 轴上B ．双曲线且焦点在y 轴上C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上D ．椭圆8.以椭圆的焦点为焦点，且过，点的双曲线方程为． ．． ．x x y y y 2222296109251150+y 25=1P(35)[ ]A y 10=1B x 6=1C x 3=1D x 2=122222----9.到椭圆的两焦点距离之差的绝对值等于椭圆短轴的点的轨迹方程是 ． ．． ．x x x x x 2222225251697+y 9=1[ ]A y 9=1B y 9=1C y 7=1D y 9=122222----10.直线与坐标轴交两点，以坐标轴为对称轴，以其中一点为焦点且另一点为虚轴端点的双曲线的方程是 ． ．． ．或2x 5y +20=0[ ]A y 16=1B y 84=1C y 84=1D y 84=1y 84=122222------x x x x x 2222284161001610011.以坐标轴为对称轴，过，点且与双曲线有相等焦距的双曲线方程是 ．或 ．或．或 ．或A(34)y 20=1[ ]A y 20=1x 20=1B y 15=1x 15=1C y 20=1x 15=1D y 5=1x 10=1222222222x x y x y x y x y 22222222255510105102015---------12.与双曲线共焦点且过点，的双曲线方程是 ． ．． ．x x x x x 2222215520916------y 10=1(34)[ ]A y 20=1B y 5=1C y 16=1D y 9=12222213. 已知，方程和bx 22=ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ]14.已知△一边的两个端点是、，另两边斜率的积是，那么顶点的轨迹方程是 ． ．． ．ABC A(7,0)B(70)C [ ]A x +y =49B +x 49=1C =1D 5y 147=12222---,x 355147514749492222y y x二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 ) 1.已知双曲线的焦距是，则的值等于 ．x k 21+-y 5=18k 22.设双曲线，与恰是直线在轴与轴上的截距，那么双曲线的焦距等于 ．x a 22--y b=1(a >0,b >0)a b 3x +5y 15=0x y 22双曲线及其标准方程习题答案一、单选题1. B2. C3. A4. D5. B6. C7. B8. B9. C 10. A 11. C 12. A 13. B14. D二、填空题1. 102.234。
高二数学练习试题-曲线方程和圆
高二数学练习—曲线方程和圆一．选择题： 1．已知以方程)(y x F ，＝0的解为坐标的点都在曲线C 上，则下列说法正确的有 （ ） （A ）方程)(y x F ，＝0的曲线是C ； （B ）曲线C 的方程是)(y x F ，＝0； （C ）不在曲线C 上的点的坐标不是方程)(y x F ，＝0的解； （D ）曲线C 上的点的坐标都是方程)(y x F ，＝0的解．2．方程x －y ＝0所表示的图形是（ ）3．到点A （－1，0）和点B （1，0）的斜率之积为－1的动点P 的轨迹方程是（ ） （A ）2x ＋2y ＝1；（B ）2x ＋2y ＝1（x ≠±1)；（C ）2x ＋2y ＝1（x ≠0）；（D ）y ＝21x -．4．若直线y ＝kx ＋2和曲线22x ＋32y ＝6有两个公共点，则k 的值是（ ）（A ）k ＝±36；（B ）k ≠±36；（C ）－36＜k ＜36；（D ）k ＞36或k ＜－36． 5．在圆2)2(-x ＋2)3(+y ＝2上与点（0，－5）距离最大的点的坐标是（ ）（A ）（5，1）； （B ）（4，1）； （C ）（2＋2，2－3）； （D ）（3，－2）． 6．方程2x ＋2y ＋ax ＋2ay ＋22a ＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是（ ）（A ）a ＜－2； （B ）－32＜a ＜0； （C ）－2＜a ＜0； （D ）－2＜a ＜32． 7．过点M （3，2）作⊙O ：2x ＋2y ＋4x －2y ＋4＝0的切线方程是（ ） （A ）y ＝2； （B ）5x －12y ＋9＝0； （C ）12x －5y －26＝0； （D ）y ＝2或5x －12y ＋9＝08．圆2x ＋2y －4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长为（ ）（A ）6； （B ）225； （C ）1； （D ）5． 9．与圆C ：1)1()1(22=-+-y x 相切，且与x 轴、y 轴都相切的圆的个数有（ ）（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．10．两圆2x ＋2y －2x ＝0与2x ＋2y ＋4y ＝0的位置关系是（ ） （A ）相离； （B ）外切； （C ）相交； （D ）内切． 二．填空题：11．曲线y ＝|x |与圆2x ＋2y ＝4所围成的最小区域的面积是 ．12．设圆2x ＋2y －4x －5＝0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是 ． 13．圆心在直线y ＝x 上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程是 ． 14．集合A ＝{)(y x ，|2x ＋2y ＝4}，B ＝{)(y x ，|2)3(-x ＋2)4(-y ＝2r }，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是 ．O （A ） O （B ） O （C ）O （D ）三．解答题：15．已知直线l :y ＝x ＋b ，曲线C ：y ＝21x 有两个公共点，求b 的取值范围． 解：16． 如图，已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：2x ＋2y ＝1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于2．求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 解：17．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为72，求圆C 的方程． 解：18．由点P （0，1）引圆2x ＋2y ＝4的割线l ，交圆于A ，B 两点，使ΔAOB 的面积为27（O 为原点），求直线l 的方程．解：QO P B A高二数学练习—曲线方程和圆一．选择题： 1．已知以方程)(y x F ，＝0的解为坐标的点都在曲线C 上，则下列说法正确的有 （ C ） （A ）方程)(y x F ，＝0的曲线是C ； （B ）曲线C 的方程是)(y x F ，＝0； （C ）不在曲线C 上的点的坐标不是方程)(y x F ，＝0的解； （D ）曲线C 上的点的坐标都是方程)(y x F ，＝0的解．2．方程x －y ＝0所表示的图形是（ D ）3．到点A （－1，0）和点B （1，0）的斜率之积为－1的动点P 的轨迹方程是（ B ） （A ）2x ＋2y ＝1；（B ）2x ＋2y ＝1（x ≠±1)；（C ）2x ＋2y ＝1（x ≠0）；（D ）y ＝21x -．4．若直线y ＝kx ＋2和曲线22x ＋32y ＝6有两个公共点，则k 的值是（ D ）（A ）k ＝±36；（B ）k ≠±36；（C ）－36＜k ＜36；（D ）k ＞36或k ＜－36． 5．在圆2)2(-x ＋2)3(+y ＝2上与点（0，－5）距离最大的点的坐标是（ D ）（A ）（5，1）； （B ）（4，1）； （C ）（2＋2，2－3）； （D ）（3，－2）． 6．方程2x ＋2y ＋ax ＋2ay ＋22a ＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是（ D ）（A ）a ＜－2； （B ）－32＜a ＜0； （C ）－2＜a ＜0； （D ）－2＜a ＜32． 7．过点M （3，2）作⊙O ：2x ＋2y ＋4x －2y ＋4＝0的切线方程是（ D ） （A ）y ＝2； （B ）5x －12y ＋9＝0； （C ）12x －5y －26＝0； （D ）y ＝2或5x －12y ＋9＝08．圆2x ＋2y －4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长为（ A ）（A ）6； （B ）225； （C ）1； （D ）5． 9．与圆C ：1)1()1(22=-+-y x 相切，且与x 轴、y 轴都相切的圆的个数有（ D ）（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．10．两圆2x ＋2y －2x ＝0与2x ＋2y ＋4y ＝0的位置关系是（ C ） （A ）相离； （B ）外切； （C ）相交； （D ）内切． 二．填空题：11．曲线y ＝|x |与圆2x ＋2y ＝4所围成的最小区域的面积是 π ．12．设圆C ：2x ＋2y －4x －5＝0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是：x ＋y －4＝0． 13．圆心在直线y ＝x 上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程是 2)1(-x ＋2)1(-y ＝1 ． 14．集合A ＝{)(y x ，|2x ＋2y ＝4}，B ＝{)(y x ，|2)3(-x ＋2)4(-y ＝2r }，其中r ＞0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是 3或7 ．O （A ） O （B ） O （C ）O （D ）三．解答题：15．已知直线l :y ＝x ＋b ，曲线C ：y ＝21x -有两个公共点，求b 的取值范围． 解：b ∈[1，2)．16． 如图，已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：2x ＋2y ＝1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于2．求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 解：如图，设直线MN 切圆于N ， 得：|MN |2＝|MO |2－|ON |2＝|MO |2－1． 设点M 的坐标为)(y x ，，则122-+y x ＝22)2(2y x +-⋅，整理得：2)4(-x ＋2y ＝7，它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0），半径为7．17．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为72，求圆C 的方程．解：设圆心坐标为（3m ，m ）．因为圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，所以圆心到直线y ＝x 的距离为||22|2|m m =． 由半径、弦心距、半径的关系得127922±=∴+=m m m∴所求圆的方程为：2)3(-x ＋2)1(-y ＝9或2)3(+x ＋2)1(+y ＝9．18．由点P （0，1）引圆2x ＋2y ＝4的割线l ，交圆于A ，B 两点，使ΔAOB 的面积为27（O 为原点），求直线l 的方程．解：直线l 的方程为：x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0．QON MOP BA。
2021年高二数学(人) 专题09 双曲线及其方程(练习) (老师版)
5x，且与椭圆x2 ＋y2＝1
2
12 3
有公共焦点，则
C
的方
程为(
)
A. x2－y2＝1 B. x2－y2＝1C. x2－y2＝1 D. x2－y2＝1
8 10
45
54
43
【答案】B
3、设 F1，F2 是双曲线 x2－ y2 ＝1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2 的面积等于( ) 24
4 －m2－2a2，消去 x2，得 m2＝a2.又O→P·O→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)·(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝m2－4a2＝－3， 所以 m＝±1，a2＝1，b2＝2.直线 l 的方程为 y＝x±1，双曲线的方程为 x2－y2＝1.
2
2
11、（河北衡水中学
A．4 2 B．8 3C．24 D．48
【答案】C
4、椭圆 x2 ＋y2＝1(m＞n＞0)与双曲线x2－y2＝1(a＞0，b＞0)的公共焦点为
m2 n2
a2 b2
F1，F2，若
P
是两曲线的一个交点，则
|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－a
B．m2－a2C.m－a 2
D. m－ a
【答案】B 5、已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左焦点为 F，离心率为 2.若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条
2019
届模拟）若双曲线
E：x2－y2＝1(a＞0)的离心率等于 a2
2，直线 y＝kx－1 与双曲线 E 的右
支交于 A，B 两点．
(1)求 k 的取值范围；
(2)若|AB|＝6
高二数学同步检测 曲线与圆的方程
高二上数学同步检测 曲线与圆的方程说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆，则a 的取值范围是( ) A.（-∞,-2）B.(32-,2) C.(-2,0) D.(-2,32) 答案：D解析:要使该方程表示圆，只需a 2+4a 2-4(2a 2+a -1)>0,即-2<a <32. 2.已知点A(-1,0),B(1,0),动点M 满足|M A|-|M B|=2,则点M 的轨迹方程为( ) A.y =0(-1≤x ≤1) B.y =0(x ≥1) C.y =0(x ≤-1) D.y =0(|x |≥1) 答案：B解析:由|M A|-|M B|=2且|AB|=2,知M 在AB 的延长线上(包括B 点). 3.曲线y =x +1与曲线y =|x 2-1|的交点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C解析:解法一:由⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,12x y x y ,得⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧=-=01y x 或⎩⎨⎧==32y x ,故选C. 解法二:在同一坐标系中分别画出y =x +1与y =|x 2-1|的图象,由图可知两曲线共有3个交点.4.(2007江西新余第一学期期末考试,4)圆(x -3)2+(y -4)2=1关于直线x +y =0对称的圆的方程为( )A.(x +3)2+(y -4)2=1B.(x +4)2+(y +3)2=1C.(x +4)2+(y -3)2=1D.(x -3)2+(y -4)2=1 答案：B解析:由题意知,即求点(3,4)关于直线x +y =0的对称点,不妨设为(x 0,y 0),则11)3400-=-⨯--x y ,0242300=+++y x 解得x 0=-4,y 0=-3.故选B. 5.直线x +2y +1=0被圆(x -2)2+(y -1)2=25所截得的弦长等于( ) A.52B. 53C. 54D. 35答案：C解析:圆(x -2)2+(y -1)2=52,∴圆心为C(2,1),半径为5. ∴C 到直线l :x +2y +1=0的距离 |CH|=221122+++ =5.∴|AH|=525-=25. ∴|AB|=2|AH|=45,故选C.6.若直线3x +4y +k =0与圆x 2+y 2-6x +5=0相切,则k 的值等于( ) A.1或-19 B.10或-10 C.-1或-19 D.-1或19 答案：A解析:x 2+y 2-6x +5=0⇔(x -3)2+y 2=4,则圆心坐标为(3,0),半径为2,由243k043322=++⨯⨯＋,得k =1或k =-19.7.(2006四川高考,6)已知两定点A(-2,0)、B(1,0),如果动点P 满足|P A|=2|P B|,则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于…( ) A.π B.4π C.8π D.9π 答案：B解析:设动点为P (x ,y ),由|P A|=2|P B|,则2222)1(2)2y x y x +-=++（平方变形得(x -2)2+y 2=4,则P 点的轨迹是一个半径为2的圆,其面积为4π.8.圆x 2+y 2-4x +2y -c =0与直线x =0交于A 、B 两点,圆心为P ,若△P AB 是正三角形,则c 的值为( ) A.31B.31-C.334D.334-答案：A解析:圆心(2,-1)到x =0的距离为2,设圆的半径为R ,则R 2=316,∴c +5=316.∴c =31. 9.(2006江苏南通高三调研,7)在平面直角坐标系中,已知曲线⎩⎨⎧=+-=θθsin cos 2y x (θ是参数,且θ∈［2π,23π］),那么曲线C 关于直线y =x 对称的曲线是( )答案：B解析:将参数方程化为普通方程为(x +2)2+y 2=1,由于θ∈［2π,23π］,故x =-2+c osθ∈［-3,-2］,y =si n θ∈［-1,1］,故曲线的普通方程为(x +2)2+y 2=1(x ∈［-3,-2］,y ∈［-1,1］).设其关于y =x 对称曲线上任意一点为(x ,y ),则(y ,x )在曲线C 上即得对称曲线的方程为x 2+(y +2)2=1.由于x 、y 分别相当于对称曲线上的y 和x .故y ∈［-3,-2］,x ∈［-1,1］.故对称曲线方程为x 2+(y +2)2=1(y ∈［-3,-2］,x ∈［-1,1］),图形对应于B.10.若直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交,则点P (a ,b )的位置是( ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.都有可能 答案：B解析:本题主要考查直线与圆的位置关系. 依题意1122<+-b a <1,得a 2+b 2>1,故P 点在圆外.第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题（本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上） 11.若实数x 、y 满足x 2+y 2=1,则12--x y 的最小值等于. 答案：43 解析:令x =si n θ,则y =c osθ,∴⇒--=--=1sin 2cos 12θθx y t c osθ-2=tsi n θ-t ⇒12+t si n (θ+φ)=-2+t. ∴431122≥⇒≤++-t t t.12.若过点（1，2）总可作两条直线和圆x 2+y 2+kx +2y +k 2-15=0相切，则实数k 的取值范围是______________. 答案：2<k <338或338-<k <-3解析:依题意⎪⎩⎪⎨⎧>-++++>--+,015441,0)15(44222k k k k 解之,得2<k <338或338-<k <-3.13.动圆x 2+y 2-6mx -2(m -1)y +10m 2-2m -24=0的圆心轨迹方程是___________.答案：x -3y -3=0解析:圆的方程可化为 (x -3m )2+［y -(m -1)］2=25.不论m 取何实数,方程都表示圆.设动圆圆心为(x 0,y 0),则⎩⎨⎧-==1300m y mx .消去参变量m ,得x 0-3y 0-3=0,即动圆圆心的方程为x -3y -3=0. 14.若圆x 2+y 2+mx -41=0与直线y =-1相切,且其圆心在y 轴的左侧,则m 的值为_________-. 答案：3解析:由已知有(x +2m )2+y 2=412m +,则有02<-m,即m >0.又圆与y =-1相切,则半径R =1,所以1412=+m ⇒m =±3. 又m >0,则3=m .三、解答题(本大题共5小题,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分8分)一圆和直线l :x +2y -3=0切于点P （1，1），且半径为5，求这个圆的方程.解法一：设圆心坐标为C （a ,b ）， 圆方程即为(x -a )2+(y -b )2=25. ∵点P （1，1）在圆上， 则(1-a )2+(1-b )2=25.① 又l 为圆C 的切线， 则C P ⊥l ,∴211=--a b .② 联立①②解得⎪⎩⎪⎨⎧+=++52151b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=52151b a ,即所求圆的方程是(x -1-5)2+（y -1-25）2=25或(x -1+5)2+(y -1+25)2=25. 解法二：设圆方程为(x -a )2+(y -b )2=25,过P （1，1）的切线方程是(1-a )(x -a )+(1-b )(y -b )=25.整理得(1-a )x +(1-b )y -［a (1-a )+ b (1-b )+ 25］=0, 这就是已知直线l 的方程, 即325)1)(1(2111+--=-=-b a a b a . 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=52151b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=52151b a ,即得圆方程.16. (本小题满分8分)已知直线l :2mx -y -8m -3=0和圆C:(x -3)2+(y +6)2=25. (1)证明不论m 取什么实数,直线l 与圆C 总相交; (2)求直线l 被圆C 截得的线段最短时的直线l 方程. 解法一:(1)把y =2mx -8m -3代入圆C,得(4m 2+1)x 2+2(-16m 2+6m -3)x +(64m 2-48m -7)=0. ∵Δ=64×(6m 2+1)>0,∴l 与C 总相交.(2)设交点为A 、B,由弦长公式得|AB|=241m +|x 1-x 2|,即|AB|=144324422+++m m m .令14432422+++=m m m t ,得4×(6-t)m 2+3m +4-t=0. ∵m ∈R ,∴Δ=9-4×4(6-t)(4-t)≥0. 解得425415≤≤t ,t 最小值为415,此时61-=m . ∴当l 被C 截得的线段最小值为152,此时l 的方程为x +3y +5=0. 解法二:(1)圆心C(3,-6)到l 的距离14322+==m m d ⇔4(d 2-1)m 2+12m +d 2-9=0,(*)∵m ∈R ,∴Δ=122-4×4(d 2-1)(d 2-9)≥0. 解得0≤d ≤10⇔d <R .故不论m 为何实数,l 与C 总相交.(2)由(1)知d 最大为10,所以弦|AB|最小=21521025=-,把10=d 代入(*)得61-=m . ∴当l 被C 截得的线段最短时l 的方程为x +3y +5=0.解法三:(1)由直线方程知l 过定点M (4,-3),而(4-3)2+ (-3+6)2=10<25, ∴M 在圆内.∴不论m 取何实数,l 与C 都相交.(2)由几何知识知当l 被C 截得线段中点为M 时,弦心距最大而弦长最短,此时M C 与l 垂直. ∴M C 斜率为343)3(6=----.∴l 斜率为312-=m ,即m 61-=m . 此时l 的方程为x +3y +5=0.17. (本小题满分9分）光线l 过点P （1，-1），经y 轴反射后与圆C ：(x -4)2+(y -4)2=1相切，求光线l 所在的直线方程.解：设l 与y 轴的交点（即反射点）为Q ,点P 关于y 轴的对称点为P ′（-1，-1）.由光学知识可知直线P ′Q 为反射线所在的直线，且为圆C 的切线. 设P ′Q 的方程为y +1=k (x +1)，即kx -y +k -1=0, 由于圆心C （4，4）到P ′Q 的距离等于半径长， ∴111442=+-+-k k k .解得34=k 或43=k . 由l 与P ′Q 关于y 轴对称可得l 的斜率为34-或43-， ∴光线l 所在的直线方程为y +1=34- (x -1)或y +1=43- (x -1),即4x +3y -1=0或3x +4y +1=0.18. (本小题满分9分）已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.证明:如下图所示,以四边形ABCD 互相垂直的对角线CA 、DB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立直角坐标系.设A(a ,0),B(0,b ),C(c ,0),D(0,d ).过四边形ABCD 外接圆的圆心O′分别作AC 、BD 、AD 的垂线,垂足分别为M 、N 、E,则M 、N 、E 分别是线段AC 、BD 、AD 的中点,由线段的中点坐标公式,得x O′=x m =2c a +,y O′=y n =2d b +,x E =2a ,y E =2d.∴|O′E|=222221)222()222c b d d b a c a+=-++-+（. 又|BC|=22c b +.∴|O′E|BC 21=19. (本小题满分10分）某一种大型商品在A 、B 两地出售，且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：按单位距离计算，A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A 、B 两地距离10 km .顾客选择A 或B 地购买这件商品的标准是：包括运费的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.解：以A 、B 所确定的直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立坐标系. ∵AB=10，∴A （-5，0）、B （5，0）.设某地P 的坐标为（x ,y ），且P 地居民选择A 地购买商品便宜，并设A 地的运费为3a 元/千米，则B 地运费为a 元/千米. ∵P 地居民的购货总费用满足条件： 价格+A 地运费≤价格+B 地运费，即2222)5()5(3y x a y x a +-≤++,两边平方整理得222)415()45(≤+2+y x . ∴以点C(425-,0)为圆心，15[]4为半径的圆是两地购货区域的分界线，圆C 内的居民从A 地购货便宜;圆C 外的居民从B 地购货便宜;圆C 上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等，因此可以随意从A 地、B 地之一购货.。
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.椭圆两焦点为，，P在椭圆上，若的面积最大值为12，则该椭圆的离心率是____________。
【答案】【解析】根据题意，由于椭圆两焦点为，，P在椭圆上，若的面积最大值为12，那么当点P在短轴端点的时候，可以达到最大值，焦距为6，那么可知其面积公式为，故可知a=5，那么可知其离心率为，故答案。
【考点】椭圆的性质点评：解决的关键是对于椭圆性质的运用，属于基础题。
2.已知抛物线，为抛物线的焦点，椭圆；（1）若是与在第一象限的交点，且，求实数的值；（2）设直线与抛物线交于两个不同的点，与椭圆交于两个不同点，中点为，中点为，若在以为直径的圆上，且，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）设，，代入又，（2）设中点，联立，得到，，，设中点，联立，，，，，由条件知，，，，，，，，又，，又，得到恒成立【考点】直线与椭圆的位置关系点评：解决的关键是能理解椭圆的性质，以及结合联立方程组的代数法思想来求解垂直时满足的条件，结合函数的知识得到范围。
属于中档题。
3.若平面上两定点之间的距离为,一动点到这两定点的距离之和为，则该动点的轨迹为( ) A．椭圆B．一段线段C．圆D．不确定【答案】B【解析】只有这两点之间的点到这两点的距离和为5cm，所以该点的轨迹为一段线段。
【考点】轨迹的求法；对椭圆定义的理解。
点评：我们要深刻理解椭圆的定义：平面内动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a，当时，动点P的轨迹是椭圆；当时，动点P的轨迹为线段F1F2；当时，动点P的轨迹不存在。
4.若一条抛物线以原点为顶点，准线为，则此抛物线的方程为 .【答案】【解析】因为抛物线的准线为，所以抛物线的焦点在x的正半轴上，且p=2，所以抛物线的方程为。
【考点】抛物线的标准方程。
点评：因为抛物线的标准方程有四种形式，所以我们在求抛物线的标准方程时，一定要注意抛物线焦点所在的位置。
5.直线与圆的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定【答案】C【解析】根据点到直线的距离公式可以求出圆心到直线的距离为半径，所以直线与圆相交.【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系的判断.点评：判断直线与圆的位置关系，最好用圆心到直线的距离与半径的关系来判断，这种几何法比代数法简单.6.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为．【答案】【解析】抛物线的准线方程为，所以双曲线中，又因为双曲线的渐近线为，所以，两式联立可得，所以双曲线的方程为.【考点】本小题主要考查双曲线的渐近线的求解、双曲线中基本量的计算和双曲线与抛物线的关系，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.点评：双曲线和抛物线的基本量的计算要准确，尤其是双曲线中的渐近线是经常考查的内容，要给予充分的重视.7.（本小题满分14分）已知抛物线,焦点为,一直线与抛物线交于两点,且,（1）求的中点的横坐标（2）若的垂直平分线恒过定点求抛物线的方程;（3）求在条件（2）下面积的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由题意设, AB中点，由得. …… 2分（2）又由，得，…… 4分所以，依题意, ，…… 6分抛物线方程为. …… 7分（3）由及, ，…… 8分令得，又由和得: ，…… 9分，……11分. ……14分或用求导讨论单调性得最大值.【考点】本小题主要考查抛物线标准方程的求解、直线与抛物线的位置关系的判断和应用、点差法的应用、韦达定理和三角形面积公式的应用，考查学生综合利用所学知识分析问题、转化问题、解决问题的能力，考查学生的运算求解能力.点评：直线与圆锥曲线的综合问题一般运算量较大，考查知识点较多，内容比较综合，要仔细分析，恰当转化，准确计算.8.求满足下列条件的曲线方程(1)经过两点P（，1），Q（）的椭圆的标准方程.(2)与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的标准方程.(3)【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）设椭圆方程的一般形式，然后利用待定系数法确定a，b 的值即可.(2)可设双曲线方程为降低解题难度.(3)先求焦点，由于焦点有两个，所以所求标准方程也有两个.根据转化为,再求解即可.（1）（2）（3）9.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则满足条件的直线有（）A．2条B．3条C．4条D．无数条【答案】B【解析】当A、B两点都在右支上时，最小值应为，所有只有一条；当A、B两点分别在两支上时，最小值应为,所以有两条；共有三条，应选B.10.（本题满分14分）设, 若向量，，且，（1）求点M()的轨迹C的方程；（2）过点(0，3)作直线L与曲线C交于两点,设,是否存在这样的直线L，使得四边形OAPB是矩形?若存在,求出直线L的方程；若不存在,说明理由.【答案】解：（1）由知点M到两定点的距离之和为8，这说明轨迹C是以为焦点的椭圆………………3分由2=8，c=2，故点M的轨迹方程为：……5分（2）假设存在直线L∵L斜率必存在，设L：y=kx+3，由y=kx+3得（4+…………8分由于△=＞0 恒成立，所以L与C恒有交点，并且（*）……10分∵OAPB是矩形∴⊥，即∴…………12分将（*）代入解得∴存在L：，使得OAPB是矩形。
2023-2024学年高二数学单元速记——圆锥曲线的方程(压轴题专练)(解析版)
第三章圆锥曲线的方程（压轴题专练）一、选择题A ．(1,4)-B ．(1,2)【答案】A【分析】先求得p ，然后联立方程组并写出根与系数关系，求得直线MQ 、直线QN ，进而确定正确答案.【详解】直线1:22p l y x ⎛=+⎫⎪⎝⎭，即240x y p -+=，依题意，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线240x y -+=,25p ==，所以抛物线方程为24y x =，直线():1l y k x =+，由()214y k x y x ⎧=+⎨=⎩消去x 并化简得2440ky y k -+=，216160,11k k ∆=->-<<，且0k ≠，设()()()112233,,,,,M x y N x y Q x y ，则124y y =.由131322311313444MQ y y y y k y y x x y y --===-+-，直线MQ 的方程为()13411y x y y +=-+，所以()1113411y x y y +=-+，即()()3111144y y y x =++-，则122111334y y y y y y +++=-，故31341y y y +=-+，所以323441y y y +=-+，所以()2323440y y y y +++=，直线QN 的方程为()22234y y x x y y -=-+，即()()223244y y y y x x -+=-，则()222222334y y y y y y x y =--+-，故()232340y y y y y x -++=，所以1,4==-x y ，也即直线QN 过定点()1,4-.故选：A.【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的方法有：根据焦点或准线来求、根据抛物线的定义来求、利用待定系数法来求、通过已知条件列等量关系式，化简后得到抛物线的标准方程.求解直线和抛物线的交点，可通过联立方程组来求解.【答案】A【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，结合离心率可得11211a c e a e c⎧=⎪⎨⎪=⎩，在12PF F △中，利用余弦定理可得112e =，进而结合椭圆性质可知：当Q为椭圆短轴顶点时，12FQF ∠取到最大值，分析求解即可.【详解】由题意可知：12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，又因为1122121ce a c e a e e ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩，可得11211a ce a e c⎧=⎪⎨⎪=⎩，由直线1PF 与y 轴的交点的坐标为230,2a⎛⎫⎪⎝⎭可得12cos PF F ∠=，在12PF F △中，由余弦定理可得()()()()()2221212112212112122cos 222a a c a a PF F F PF PF F PF F F a a c ++--+-∠==⋅+⋅()22212121111211a a c c c a a c e c e c c e e ++===+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，1121e e =+，整理得42118210e e +-=，解得2114e =或2112e =-（舍去），且10e >，所以112e =，由椭圆性质可知：当Q 为椭圆短轴顶点时，12FQF ∠取到最大值，此时12111sin22F QF c e a ∠===，且()120,πFQF ∠∈，则12π0,22F QF ⎛∠⎫∈ ⎪⎝⎭，所以12π26F QF ∠=，即12π3F QF =∠.故选：A..【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于找到12cos PF F ∠的两种表达方式，构造了关于1e 的方程，从而得解.【答案】B【分析】根据已知条件依次求得,P Q 两点的坐标，由此可求得12k k ⋅的值.【详解】设椭圆标准方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线的标准方程为22221x y s t-=，则22222a b s tc -=+=，由c a =，2222445,5a c c a ==，所以2222221,55b ac a a b =-==，所以椭圆方程可化为2225x y a +=，由2222225x y a x y c⎧+=⎨+=⎩，两式相减得222214,2y a c b y b =-==±，2222115,442x c b b x=-==±，则1,2A b ⎫⎪⎪⎝⎭，根据对称性可知,A C 关于原点对称，,A B 关于x 轴对称.则11,,,,,022B b C b P ⎫⎛⎫⎫--⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线CP的方程为12b y x b x ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭.将1,22A b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入22221x y s t -=得222215144b bs t -=，由222222222151444b b s t s t a b b ⎧-=⎪⎨⎪+=-=⎩，解得223s b =或225s b =，而225a b =，s a <，所以223s b =，所以222243t b b b =-=，所以双曲线方程可化为222213x y bb-=，由2222132x y bb y x b ⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-⎪⎪⎪⎭⎩消去y 并化简得22762550x b +-=，设()00,Q x y ，解得001,3838xy b ==-，所以1,3838Q b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以12121122383AC AQ b bk k k k k +====⋅=.故选：B【点睛】本题中，涉及圆和双曲线、圆和椭圆、直线和双曲线等图象的“交点”，求交点的坐标，主要是通过联立方程组来进行求解，要注意运算的准确性，另外也要注意运算的速度.在双曲线和椭圆中，,,a b c 的关系是不相同的.【答案】D【分析】先求出以2F为圆心的圆的方程，求出()A ，()3,0B c ，求出直线1F A 的方程后结合距离公式可求M 的坐标，代入双曲线方程后可求离心率.【详解】设双曲线的半焦距为c ，因为以2F 为圆心的圆过1F，故该圆的半径为2c ，故其方程为：()2224x c y c -+=，令0x =，则y =，结合A 在y 轴正半轴上，故()A ，令0y =，则x c =-或3x c =，故()3,0B c .故100()FA k c -=--，故直线1:F A y =.设()()0M m m +<，因为A 在y 轴的正半轴上，1F 在x 轴的负半轴上，故0m <，而2BM c ==，故())22212439c m c -+=，整理得到：221649m c =，故23m c =-，故3M y =，所以222241931c ca b -=，故()22241931e e e -=-，解得242e =或42，又因为1e >，则21e >，则242e =，12e +=.故选：D.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在圆锥曲线上等合理构建.【答案】D【分析】对于①，利用导数的几何意求出过点()00,P x y 的切线方程，再与渐近线方程联立可求出,A B 的横坐标，然后与0x 比较可得答案，对于②，由“等线”的定义结合重心的定义分析判断，对于③④，由多边形重心的定义可知四边形1AF BF ，其重心H 必在12AF F △与12BF F △重心连线上，也必在1AF B △与2AF B 重心连线上，12PF F △重心设为G ，则l 即为直线GH ，然后由重心的性质可证得GH ∥AB ，从而可得结论.【详解】解：①：设()00,P x y ，当00y >时，设0y >，则由22221x ya b-=，得y =，所以y '=k =所以切线方程为00)y y x x -=-，因为点()00,P x y 在双曲线上，所以2200221x y a b-=0a y b =，22222200b x a y a b -=，所以20000020()()bx b x y y x x x x a a y a y b-=-=-⋅，所以2222220000a y y a y b x x b x -=-，所以222222220000b x x a y y b x a y a b -=-=，所以00221x x y ya b-=，同理可求出当00y <时的切线方程为00221x x y ya b-=，当00y =时，双曲线的切线方程为x a =±，满足00221x x y ya b-=，所以过P 点切线方程为00221x x y ya b-=，渐近线方程为by x a=±联立两直线方程得00A ax x y a b=-，00B ax x y a b=+故有22002222A B x x x x x y a b +==-，故PA PB =②：设多边形顶点坐标为(),i i x y ，其中1,2,3i n= 设“等线”方程为0y kx b --=，则(),i i x y到等线的距离为：i d =又因为等线将顶点分为上下两部分，则有d =∑上部分d=∑∑下部分dd =∑∑上部分下部分从而1ni ==整理得1111n ni i i i y k x bn n ===⋅+∑∑即等线l 必过该多边形重心．③④：考察12PF F △重心，设()00,P x y ，则重心00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭．对于四边形1AF BF ，其重心H 必在12AF F △与12BF F △重心连线上，也必在1AF B △与2AF B 重心连线上，则l 即为直线GH ．设12AF F △与12BF F △重心分别为,E F ，则12OE OF EA FB ==，所以EF ∥AB ，因为G 为12PF F △的重心，所以OE OGEA GP=，所以EG ∥AB ，所以,,E F G 三点共线，因为H 在EF 上，所以GH ∥AB ，过00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，因为直线AB 为00221x x y ya b -=，所以直线AB 的斜率为2020x b k a y =⋅，所以直线GH 的方程为20002033y x x b y x a y ⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，整理得0022331x x y ya b-=，所以直线l 方程0022331x x y ya b-=，由①的求解过程可知该方程为2222331x y a b-=切线方程，所以③正确，④错误，故①②③正确．故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的性质和导数的几何意义的应用，考查新定义，解题的关键是对“等线”定义的正确理解和重心的找法，考查计算能力，属于难题.【答案】C【分析】直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断（1），（2），分别求出点,A B 处的切线方程，联立切线方程求点P 的坐标，即可判断（3），设200,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，利用两点间距离，结合二次函数求最值，即可判断（4），【详解】对于（1），设1122(,),(,)A x y B x y ，由243y xx my ⎧=⎨=+⎩，得24120y my --=，由216480m +>，所以12124,12y y m y y +==-，所以12121212(3)(3)OA OB x x y y my my y y ⋅=+=+++21212(1)3()9m y y m y y =++++212(1)3493m m m =-++⋅+=-，所以（1）正确，对于（2），因为(9,6)M -，直线AM 与BM 倾斜角互补，所以12121212666609966AM BM y y y y k k x x my my +++++=+=+=----，所以1212212122(66)()7206()36my y m y y m y y m y y +-+-=-++，所以22244(66)720122436m m m m m -+--=--+，所以22448720m m --=，且221224360m m --+≠，所以2230m m --=，且21m ≠解得3m =，所以（2）正确，对于（3），设点A 在x 轴上方，B 在x 轴下方，设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x轴上方的抛物线方程为y =x轴下方的抛物线方程为y =-，此时在点A处的切线的斜率为112k y ==，在点B处的切线的斜率为222k y ==，所以在点A 处的切线方程为211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，在点B 处的切线方程为222224y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，方程化简为211122yy x y =+，222122yy x y =+，两式相除化简得1212344y y x -===-3）正确，对于（4），设200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于(3,0)Q，所以MQ =当204y =时，MQ取得最小值4）错误，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线切线方程的求法，解题的关键是直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，然后逐个分析，考查计算能力，属于较难题.二、填空题【答案】24y x=【分析】设||4(0)NF t t =>，表示出|,|AB RF t ===，利用抛物线定义、点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于,a p 的方程，即可求得p ，即得答案.【详解】由2:2(02)C y px p a =<<可知(,0)2pF ，设||4(0)NF t t =>，则|,|AB RF t ===，则||3NR t =，故222||()(||22p AB a NR -+=，即222())92pa t -+=①；又点((0)N a a >在抛物线2:2(02)C y px p a =<<上，故||42pNF a t =+=②，且122pa =，即6pa =③，②联立得22122030a ap p -+=，得23a p =或6a p =，由于02p a <<，故23a p =，结合6pa =③，解得2p =，故抛物线方程为24y x =，故答案为：24y x=【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要结合抛物线的定义以及圆的弦长的几何性质，找出参数,a p 间的等量关系，从而列出方程组，即可求解.为该椭圆上一点，且满足【答案】5/0.8【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得22143F P b P F =，再根据正弦定理可知外接圆半径R =，由等面积法可知内切圆半径)r a c =-，再根据面积比即可计算出离心率45e =.【详解】根据题意画出图象如下图所示：利用椭圆定义可知122PF PF a +=，且122F F c =；又1260F PF ∠=︒，利用余弦定理可知：()2222212121212121212122cos 22PF PF PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+-∠==221212424122a PF PF c PFPF --==，化简可得22143F P b P F =；所以12PF F △的面积为122124sin 6031122PF F b S PF PF =︒=⨯ ；设12PFF △的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ；由正弦定理可得12122s 2sin n 603i R c F F c F PF ==∠=︒，可得3R c =；易知12PF F △的周长为121222l PFPF F F a c=++=+，利用等面积法可知()122123PF F lr a c r S ===+ ，解得)r a c ==-；又12PF F △的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即22π64πRr=，所以8R r =，即可得28R c a r c ==-，所以108c a =；离心率45c e a ==.故答案为：45.【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式12S lr =可计算出内切圆半径，即可实现问题求解.【答案】3【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得MB PB BN k k k =-=-，再由正切的和角的公式得到2213b a =，结合双曲线离心率公式即可得解.【详解】由题意可知：()(),0,,0A a B a -如图，设00(,)P x y ，可得直线的斜率分别为0000,PA PB y y k k x a x a==+-，因为点P 在双曲线上，则2200221x y a b -=，整理得200200y y b x a x a a ⋅=-+，所以22PA PBb k k a⋅=，设点11(,)M x y ，可得直线,MA MB 的斜率1111,MA MB y y k k x a x a==+-，因为点11(,)M x y 在椭圆上，则2211221x y a b +=，整理得211211y y b x a x a a⋅=--+，所以22MA MBb k k a ⋅=-，即22PA MB b k k a⋅=-，可得MB PB BN k k k =-=-，所以直线MB 与NB 关于x 轴对称，又因为椭圆也关于x 轴对称，且,M N 过焦点F ，则MN x ⊥轴，令(c,0)F ，则2b MF NF a==，因为222tan a c a ac AMF b b a ++∠==，222tan a c a acBMF b b a--∠==，则()tan tan tan tan 1tan tan AMF BMFAMB AMF BMF AMF BMF∠+∠∠=∠+∠=-∠⋅∠22222222222231a ac a aca b b a ac a ac b a b b +-+===-+---⋅，解得2213b a =，所以双曲线的离心率3e a ==.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；.【答案】2/0.5【分析】设直线l 的方程,代入椭圆方程,由韦达定理,弦长公式及中点坐标公式,求得中点坐标Q 坐标,求得AB 垂直平分线方程,当0y =时,即可求得P 点坐标,代入即可求得||PF ,即可求得||||PF AB ,即可求得a 和c 的关系,即可求得椭圆的离心率.【详解】因为倾斜角为π4的直线过点F ，设直线l 的方程为:y x c =-,()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点()00,Q x y ,联立22221y x c x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为()2222222220a b x a cx a c a b +-+-=，2222212122222 2,a c a c a b x x x x a b a b -∴+==++，2224ab AB a b ∴=+，212022. 2x x a cx a b+==+20022b cy x c a b∴=-=-+AB ∴的垂直平分线为:222222b c a c y x a b a b ⎛⎫+=-- ++⎝⎭,令0y =,解得322P c x a b =+,322,0c P a b ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭.2222||P b cPF c x a b ∴=-=+,||1||24c PF AB a ∴==,则12c a =,∴椭圆C 的离心率为12,故答案为:12.【点睛】关键点睛：运算能力是关键；本题考查简椭圆的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,直线的垂直平分线的求法,属于较难题.【答案】2⎣⎦【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形21PF QF 为矩形，故221PF Q PF F S S = ，求出212P P c F F⋅≥，再根据122PF PF a +=，利用勾股定理得到2122PF PF b ⋅=，得到222b c ≥，再根据C 上存在关于坐标原点对称的两点,P Q ，使得12PQ F F =，得到22b c ≤，得到2c a ≥，得到离心率.【详解】连接11,QF PF ，由题意得，12,OP OQ OF OF ==，又12PQ F F =，所以四边形21PF QF 为矩形，故221PF Q PF F S S = ，所以()22121112228PF c F c P =≥⋅，故212P P c F F ⋅≥，又122PF PF a +=，由勾股定理得2221212PF PF F F +=，即()22121224PF PF PF PF c +-⋅=，2122PF PF b ⋅=，故222b c ≥，即22222c a c -≥，故2223a c ≥，2223c a ≤解得c a ≤，又C 上存在关于坐标原点对称的两点,P Q ，使得12PQ F F =，故22b c ≤，所以b c ≤，即222a c c -≤，所以222a c ≤，2212c a ≥，解得2c a ≥，综上，C 的离心率的取值范围是23⎥⎣⎦.故答案为：23⎢⎣⎦(或离心率的取值范围)的常见方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).【答案】【分析】依题意可得椭圆方程表示为2222143x y c c+=，设直线l 为x my c =-()0m >，()11,A x y ，()22,B x y ，()10y <，根据面积公式及椭圆的定义得到()12334r r r +=，再由1322r r r +=，即可得到2175y y=-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到1y 、2y ，代入解得.【详解】因为椭圆的离心率为12c e a ===所以2a c =，224a c =，223b c =，则椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=，设直线l 为x my c =-()0m >，()11,A x y ，()22,B x y ，()10y <，由2222143x my c x y c c=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()22243690m y mcy c +--=，显然0∆>，所以122643mc y y m +=+，2122943c y y m-=+，则20y >，由()()2122121332211||(||||||)222ABF S F F y y c y y AB AF BF r r a =-==⋅=-++ ，由()12211111121211||(||||||)22AF F S F F y y AF AF c r a c F F r ⋅==-=+-=++⋅ ，由()12222212121211||(||||||)22BF F S F F y y BF BF F F r r c a c =⋅=+=⋅++= ，又21212ABF AF F BF F S S S =+ ，所以()()1232a c a c r r r a +++=，所以()12334r r r +=，又1322r r r +=，所以1275r r =，又11cy a r c -=+，22c a ycr =+，所以2175y y =-，所以121543mcy m -=+，222143mc y m =+，所以2222152********mc mc c m m m --⋅=+++，所以218m =，则m =或m =，所以直线l的斜率为1m=.故答案为：【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.三、解答题(1)求双曲线C 的标准方程．(2)如图所示，点P 是曲线C 上任意一动点曲线E 于点Q （第一象限），过点【答案】(1)224x y -=(2)2【分析】（1）由题意设C ：22x y m -=，将()代入解方程即可得出答案.（2）设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，设AQ QB λ=，表示出Q 点坐标，代入E ：221x y -=方程，即可求得,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，进一步求出,K J 的坐标，而KQA BQJ BKJ S S S += ，而12BKJ S KB JB =⋅ ，代入化简结合基本不等式即可得出答案.【详解】（1）由题意设C ：22x y m -=，将()代入得到4m =，∴曲线C ：224x y -=．（2）设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，(),Q x y ，则224m n -=（*）设AQ QB λ=，则()(),,AQ x m y QB x n y λλ=-==-- ，解得：,,1111m n m n x y Q λλλλλλ⎛⎫== ⎪++++⎝⎭，代入E ：221x y -=方程，得()()2221m n λλ-=+，结合（*）式可知()()21130n λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦由于0λ>，则()2130n λλ+++>，所以1λ=．所以Q 是A 、B 的中点，,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭．因为四边形OAPB 是矩形，(),0A m ，,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以Q 为四边形OAPB 的中心，所以AQ BQ =，在AQK 与BQK △中，AQ BQ =，分别以,AQ BQ 为底时，高相同，所以KQA KQB S S = ，则KQA BQJ KQB BQJ BKJ S S S S S +=+=△△△△△，因为过双曲线221x y -=上一点,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为122m n x y -=，所以直线KJ 的方程为：122m nx y -=即2mx ny -=，因为K B y y n ==，所以22,n K n m ⎛⎫+⎪⎝⎭，令0x =，所以20,J n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()222211221222BKJn n S KB JB n m n mn++=⋅=⋅+===，，令222t n =+>，BKJS =△，令240s t =->，2BKJS ==△．当且仅当16s s=，即4s =，28t =，22n =时，取得最小值．【点睛】关键点睛：建立BJK 的面积S 与n 的表达式至关重要，可利用KQA KQB S S = ，,K J 的坐标和三角形面积公式，以224m n -=为桥梁得出S 与n 的表达式，最后根据基本不等式可求得面积的取值范围.在双曲线【答案】(1)188x y -=(2)证明见解析【分析】（1）由已知条件，列方程组求22,a b ，可得双曲线标准方程；（2）设直线l 的方程与双曲线联立方程组，设,A B 两点坐标，表示出直线AP ，得点Q 坐标，表示出12,k k ，结合韦达定理，证明12k k -为定值.【详解】（1）由题意，双曲线2222:1x y C a b-=()3,1M -在双曲线C 上，可得22222911a b c e a c a b ⎧-=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得28a =，28b =，所以双曲线的方程为22188x y -=.（2）双曲线C 的左焦点为()4,0F -，当直线l 的斜率为0时，此时直线为0y =，与双曲线C 左支只有一个交点，舍去；当直线l 的斜率不为0时，设:4l x my =-，联立方程组2248x my x y =-⎧⎨-=⎩，消x 得()221880m y my --+=，易得0∆>，由于过点F 作直线l 交C 的左支于,A B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以12281m y y m +=-，12281y y m =-，由直线()1:24AP y k x -=+，得()12,22Q k -+，所以2121222222222y k y k k x my ----==+-，又11111224PA y y k k x my --===+，所以()()()()12121121121212222222222y my my y k y y k k k my my my my ---------=-=--()2111112224222my y my mk y my my --+++=-，因为1112y k my -=，所以1112k my y =-，且1212y y my y +=，所以()()()1212121212122222m y y y y k k my my y y y ---===--+-，即12k k -为定值.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【答案】(1)214y +=(2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据题意可得2PF d=，即可求解；（2）利用韦达定理结合14OM ON k k ⋅=-，可得22241m k =+，再利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形的面积，进而可求解.【详解】（1）设P 点坐标为(),,PFx y d =化解可得：2214x y +=.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线和椭圆方程可得：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得：()222148440k x kmx m +++-=，所以222222644(14)(44)16440k m k m k m ∆=-+-=-+>，即2241k m +>，则2121222844,1414km m x x x x k k --+=⋅=++，14OM ON k k ⋅=- ，()()121212121144kx m kx m y y x x x x +⋅+∴=-⇒=-()2212121214k x x km x x m x x +++⇒=-，把韦达定理代入可得：22222228(14)144444k m k m k m m -+++=---，整理得()22241*m k =+，满足224k m +>，又MN =，而O 点到直线MN 的距离d =，所以12OMNS d MN =△把()*代入，则1OMN S =△，可得OMN S △是定值1.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.16．如图，()(),00M a a >是抛物线24y x =对称轴上一点，过点M 作抛物线的弦AB ，交抛物线于A ，B .(1)若2a =，求弦AB 中点的轨迹方程；(2)过点M 作抛物线的另一条弦CD ，若AD 与y 轴交于点E ，连接ME ，BC ，求证：ME BC ∥.【答案】(1)224y x =-(2)见解析【分析】（1）由2a =,设其方程为(2)y k x =-,联立方程后,结合韦达定理及中点公式,可得弦AB 中点的轨迹方程;（2）用两点式求得AB 的方程为:()211222y t t t t x -+=，CD 的方程为:()433422y t t t t x -+=,由AB ,CD 都经过点M ,故1234t t t t a ==,进而求得ME BC k k =,根据直线平行的充要条件得到ME BC ∥.【详解】（1）设AB 方程为2x ky =+,联立22, 4x ky y x=+⎧⎨=⎩得2480y ky --=，则212124,44y y k x x k +=+=+,设AB 中点(x,y)P ,则22,22y k x k ==+,因此弦AB 中点P 的轨迹方程为224y x =-.（2）证明:设()()221122,2,,2A t t B t t ，()()223344,2,,2C t t D t t --，其中1234,,,t t t t 均为正数，用两点式求得AB 的方程为:()211222y t t t t x -+=,CD 的方程为:()433422y t t t t x -+=,因为AB ,CD 都经过点M ,故1234t t t t a ==,AD 的方程为:()411422y t t t t x -+=,AD 与y 轴交点为141420,t t E t t ⎛⎫⎪-⎝⎭，()14412ME t t k a t t =-，而()2314222323411422222BC t t t t k a a t t t t a t t t t +====----，,.ME BC k k ME BC ∴=∴ 【点睛】本题考查的知识点是直线与圆雉曲线的综合应用,抛物线的简单性质,联立方程,设而不求,韦达定理,是解答此类问题的关键.【答案】(1)142x y +=(3)存在，()0,2Q .【分析】（1）由离心率及过点)M列方程组求解,a b .（2）设直线l 为1y kx =+与椭圆方程联立，将1212AOB S x x =⋅- 表达为k 的函数，由基本不等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出()0,2Q ，设点B 关于y 轴的对称点B '，证得,,Q A B '三点共线得到QA PAQB PB=成立.【详解】（1）根据题意，得222222211c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的斜率显然存在，故设直线l 为1y kx =+，联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2212420k x kx ++-=，因为直线l 恒过椭圆内定点()0,1P ，故0∆>恒成立，12122242,1212k x x x x k k +=-=-++，故12111222AOBS x x =⋅===-，令1t t≥，所以22211AOB t S t t t=�祝++1t =，即0k =时取得等号，综上可知：AOB （3）当l 平行于x 轴时，设直线与椭圆相交于,C D 两点，如果存在点Q 满足条件，则有||||1||||QC PC QD PD ==，即QC QD =，所以Q 点在y 轴上，可设Q 的坐标为()00,y ；当l 垂直于x ,M N 两点，如果存在点Q 满足条件，则有||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =，所以若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则点Q 的坐标为()0,2；当l 不平行于x 轴且不垂直于x 轴时，设直线l 方程为1y kx =+，由（2）知12122242,1212k x x x x k k --+==++，又因为点B 关于y 轴的对称点B '的坐标为()22,x y -，又11111211QA y kx k k x x x --===-，22222211QB y kx k k x x x '--===-+--，则121220QA QB x x k k k x x '+-=-=，所以QA QB k k '=，则,,Q A B '三点共线，所以12QA QA x PAQBQB x PB==='；综上：存在与点P 不同的定点Q ，使QA PAQB PB=恒成立，且()0,2Q ..【点睛】方法点睛：直线0Ax By C ++=与椭圆22221x y a b+=交于,M N ，当且仅当2222220a A b B C +-=时，MON S 取得最大值2ab .【答案】(1)证明见解析(2)存在，3124m =【分析】（1）将点(2,-代入抛物线方程求出p ，直线与抛物线联立方程组，由0OA OB ⋅=，利用向量数量积和韦达定理，求出12m k =-，可得直线所过定点.（2）设两条直线1l 与2l 的方程，分别与抛物线方程联立，求出弦长，由d =和||||10MN AB -=，求m 的值.【详解】（1）证明：将点(2,-代入22y px =，得244p =，即6p =．联立212,,y x y kx m ⎧=⎨=+⎩得212120ky y m -+=，由0km ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212m y y k =，()222212121221212144y y y y m x x k=⋅==．因为0OA OB ⋅= ，所以212122120m mx x y y k k+=+=恒成立，则12m k =-，所以1l 的方程为(12)y k x =-，故直线1l 过定点(12,0)．（2）联立212,2,y x y x m ⎧=⎨=+⎩得224(412)0x m x m +-+=，则122123,,4x x m m x x +=-+⎧⎪⎨=⎪⎩且22(412)1648(32)0m m m ∆=--=->，即32m <，12||AB x =-==，设2:2l y x n =+，同理可得||MN =因为直线2l 在1l 的右侧，所以n m<，则d ==，即5n m =-．所以||||10MN AB -===3124m =，因为313242<，所以满足条件的m 存在，3124m =.【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【答案】(1)22184x y +=(2)证明见解析，定点坐标为()0,1【分析】（1）根据左焦点可知c 的值，根据点)在椭圆上，可以得到另一组关系式，从而求出a ，b .（2）先设直线ST 的斜截式方程，再联立直线和椭圆方程，结合韦达定理将P 点纵坐标为4的信息转化为直线方程系数的值或关系，从而找出直线所过定点.【详解】（1）因为椭圆E 的左焦点()12,0F -，可得2c =，由定义知点)到椭圆的两焦点的距离之和为2a ，2a =((=++=，故a =则2224b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为22184x y +=.（2）由椭圆的方程22184x y +=，可得()()0,2,0,2M N -，且直线ST 斜率存在，设()()1122,,,S x y T x y ，设直线ST 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程22184x y +=联立得：()222214280kx kmx m +++-=，则2121222428,2121km m x x x x k k --+==++直线SM 的方程为1122y y x x -=+ ，直线TN 的方程为2222y y x x +=- ，由直线SM 和直线TN 交点的纵坐标为4得，12122622x x y y =-+即1212322x x y y =-+又因点()11,S x y 在椭圆22184x y +=上，故2211184x y +=，得()1111222y x y x -+=-，同理，点()22,T x y 在椭圆22184x y +=上，得()12212232y x y x -+=+，即()()121232220x x y y +++=即()()121232220x x kx m kx m +++++=即()()()()2212122322220k x x k m x x m ++++++=即()()()()()()22222232824428821021k m km m km m m k k +-++-++++=+化简可得288160m m +-=，即220m m +-=，解得2m =-或1m =，当2m =-时，直线ST 的方程为2y kx =-，直线ST 过点N ，与题意不符.故1m =，直线ST 的方程为1y kx =+，直线ST 恒过点()0,1【点睛】本题主要考查直线与椭圆关系中的直线恒过定点问题，遵循“求谁设谁”的思路，将目标直线设为y kx m =+的形式，将条件转化为m 的值或k 与m 的关系式，从而得出定点，侧重数学运算能力，属于偏难题.【答案】(1)抛物线的方程为24y x =，准线方程为=1x -(2)证明见解析，定点坐标为()2,0或()6,0-【分析】（1）根据已知得出直线l的方程，与抛物线联立，根据过焦点的弦长公式，列出关系式，即可得出p ；（2）设:1l x my =+，联立方程根据韦达定理得出12,y y 的关系.进而表示出,OA OB 的方程，求出M ，N 的坐标，得出圆的方程.取0m =，即可得出定点坐标.【详解】（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x ⎫=-⎪⎝⎭.联立抛物线与直线的方程2322p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎨⎝⎭⎪=⎩可得，22704p x mx -+=.设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理可得127x x p +=，则12816AB x x p p =++==，所以2p =.所以，抛物线的方程为24y x =，准线方程为=1x -.（2）设直线:1l x my =+，联立直线与抛物线的方程214x my y x=+⎧⎨=⎩可得，2440y my --=.所以，124y y m +=，124y y =-.又1114OA y k x y ==，14:OA l y x y =，所以182,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.同理可得282,N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设圆上任意一点为(),Q x y ，则由0QM QN ⋅= 可得，圆的方程为()2128820x y y y y ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得，()()222221128864228160x y y x y my y y y y ⎛⎫+++++=++--= ⎪⎝⎭.令0m =，可得2x =或6x =-，所以，以MN 为直径的圆过定点，定点坐标为()2,0或()6,0-.【点睛】思路点睛：直线或圆过定点问题，先根据已知表示出直线或圆的方程，令变参数为0，得出方程，求解即可得出求出定点的坐标.。
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.过双曲线的右焦点有一条弦，,是左焦点，那么△的周长为（）A．28B．22C．14D．12【答案】A【解析】如图：由双曲线的定义得：∴△的周长为：。
【考点】双曲线的定义。
点评：此类问题用数形结合的思想来作，先直观观察，的解题思路，再利用双曲线的定义来做。
2.求标准方程：（1）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是, 求椭圆的标准方程；（2）若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，求双曲线的标准方程。
【答案】（１）椭圆方程：；（２）双曲线的方程：【解析】（1）根据椭圆焦点是可判断焦点在x轴上，由长轴长与短轴长之比为2得，由得。
∴椭圆的标准方程为。
（2）根据双曲线一个焦点是可判断焦点在x轴上，由渐近线方程为得，又因为所以，∴双曲线的标准方程为：。
【考点】椭圆、双曲线的标准方程点评：求圆锥曲线方程时，要先判断焦点所在坐标轴，然后利用题中条件求出、的值。
3.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的焦点为：设，则，设直线PQ为：，由得：∴∴∴。
【考点】抛物线的焦点弦。
点评：在解决焦点弦问题时，一般先利用定义转化成点到准线的距离，然后联立直线方程与抛物线方程，得一元二次方程，再利用韦达定理求解。
4.抛物线上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _________．【答案】【解析】抛物线的准线为；顶点为（0,0），抛物线上准线和顶点距离相等的点的坐标为则有解之得∴.【考点】抛物线的准线方程及顶点坐标。
点评：本题比较简单，直接设出，代入距离公式求解即可。
5.已知为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是（）【答案】Ｃ【解析】方程mx-y+n=0表示直线，与坐标轴的交点分别为（0，n），（-，0），若方程nx2+my2=mn表示椭圆，则m，n同为正，∴-＜0，故A，B不满足题意；若方程nx2+my2=mn表示双曲线，则m，n异号，∴-＞0，故C符合题意，D不满足题意故选C。
双曲线的定义及其标准方程 同步练习-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
双曲线的定义及其标准方程同步练习一．选择题1．已知动点P（x，y）满足﹣＝2，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．双曲线的左支D．双曲线的右支2．已知F1，F2为平面内两个定点，P为动点，若|PF1|﹣|PF2|＝a（a为大于零的常数），则动点P的轨迹为（）A．双曲线B．射线C．线段D．双曲线的一支或射线3．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（）A．若1＜t＜5，则C为椭圆B．若t＜1．则C为双曲线C．若C为双曲线，则焦距为4D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜54．已知双曲线C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，则C的方程为（）A．B．C．D．5．已知定点F1（﹣4，0），F2（4，0），N是圆O：x2+y2＝4上的任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆6．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则||•||＝（）A．2B．4C．6D．87．设双曲线的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|：|PF2|＝3：4，则△PF1F2的面积等于（）A．18B．24C．36D．48二．填空题8．已知方程﹣＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是.9．已知双曲线的方程是﹣＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，另一个焦点为F2，点N是PF1的中点，则ON的大小（O为坐标原点）为．10．设点P在双曲线上．若F1、F2为双曲线的两个焦点，且PF1：PF2＝1：3，则△F1PF2的周长为．11．已知F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝3|PF2|，则cos∠F1PF2＝．12．已知双曲线x2﹣y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．13．已知A是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△F1PF2的重心，若＝λ，||＝，||+||＝8，则双曲线的标准方程为．14．已知双曲线方程为﹣x2＝1，点A的坐标为是圆（x﹣2）2+y2＝1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值是．三．解答题15．已知﹣＝﹣1，当k为何值时：（1）方程表示双曲线；（2）表示焦点在x轴上的双曲线；（3）表示焦点在y轴上的双曲线．16．根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）a＝4且经过点A；（2）与双曲线＝1有公共焦点，且过点（3，2）；（3）双曲线过两点P，Q，且焦点在坐标轴上．17．已知动圆P与圆C1：（x+5）2+y2＝49和圆C2：（x﹣5）2+y2＝1，分别求满足下列条件的动圆圆心P的轨迹方程．（1）圆P与圆C1，圆C2都外切；（2）圆P与圆C1，圆C2都内切；（3）圆P与圆C1外切，圆C2内切．18．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C左支上一点，A（0，），当△APF周长最小时，则点P的纵坐标为多少？。
高二数学课时作业2.1《双曲线及其标准方程》
高二数学课时作业§ 2.1《双曲线及其标准方程》一．单选题1.“”是“方程22113x y m m -=-+表示的曲线是双曲线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知双曲线22119x y m -=-的一个焦点坐标为()4,0，则m 的值为（）A ．24B ．25C ．7D ．83.已知双曲线的两个焦点为()1F，)2F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅=，122MF MF ⋅= ，则该双曲线的方程是（）A ．2219x y -=B ．2219y x -=C ．22137x y -=D ．22173x y -=4.相距1600m 的两个哨所,A B ，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是320m /s ，在A 哨所听到的爆炸声的时间比在B 哨所听到时迟4s ．若以AB 所在直线为x轴，以线段AB 的中垂线为y 轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（）A ．221(0)435600564400x y x -=>B ．22221(0)640480x y x -=>C ．221435600564400x y +=D ．22221640480x y +=5.已知曲线22:1C mx ny +=.下列正确的是（）A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n =>，则CC ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若0m =，则C 是两条直线6.若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2:1，且存在12PF F ，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是（）A ．2211615x y +=B ．2212524x y +=C ．22115y x -=D ．221x y -=二.多选题7.关于曲线22151x y m m +=--，下列叙述正确的是（）1>mA ．当2m =-时，曲线表示的图形是一个圆B ．当2m =时，曲线表示的图形是一个焦点在x 轴上的椭圆C ．当3m =时，曲线表示的图形是一个圆D ．当4m =时，曲线表示的图形是一个焦点在y 轴上的椭圆8.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线．现有方程31x y =-+表示的曲线是双曲线，则实数m 的取值可能为（）A ．B ．3C ．D ．4三.填空题9.过点()3,0-，且与圆()2234x y -+=外切．．的动圆圆心P 的轨迹方程为．10.已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点，过1F 的直线与双曲线C的左支交于,A B 两点，若11224,AF F B AB BF ===，则双曲线C 的焦距为．四．解答题11.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a =，经过点()2,5A -，焦点在y 轴上；(2)与椭圆2212736x y +=有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.12.在平面内，动点()M x y ，与定点()30F ，的距离和它到定直线1:3l x =的距离比是常数3．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若直线m 与动点M 的轨迹交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥(O 为坐标原点)，求224OP OQ +的最小值．。
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高二(2)部数学《曲线与方程 》同步训练
班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿
1. 若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线C 的方程是(,)0f x y =
B. 方程(,)0f x y =的曲线是C
C. 坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上
D. 坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上
2. 方程|2|||y x =表示的图形是 （ ）
A. 两条平行直线
B. 两条相交直线
C. 有公共端点的两条射线
D. 一个点 3. “点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程x y 2-=”的（ ） A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 4. 若直线022=--k y x 与k x y +=的交点在曲线2522=+y x 上，则k 的值是（ ） A. 1
B. －1
C. 1或－1
D. 以上都不对
5. 求方程c bx ax y ++=2的曲线经过原点的充要条件是 。
6. 已知：[0,2)απ∈，点(cos ,sin )P αα在曲线22(2)3x y -+=上，则α的值是 ；
7. 方程2222
(4)(4)0x y -+-=表示的图形是 。
8. 曲线2244x y +=关于直线y x =对称的曲线方程为____________________。
9. 已知线段AB ，B 点的坐标为（6，0），A 点在曲线y=x 2+3上运动，求AB 的中点M 的轨迹方程。
10. 已知点A （－1，0）、B （2，0），求使∠MBA=2∠MAB 的动点M 的轨迹方程
11. 设A 、B 两点的坐标是 （－1，－1）、（3，7），求线段AB 的垂直平分线的方程.
12. 已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F （0，4）的距离相等，求点M 的轨迹方程。
13. 经过原点的直线l 与圆226490x y x y +--+=相交于两个不同点A 、B ，求线段AB
的中点M 的轨迹方程。
14. 已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2。
一条曲线也在直线l 的上方，
它上面的每一点到F 的距离减去到直线l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。