高等数学微分方程试题
高等数学 微分方程
第十二章 微分方程§ 1 微分方程的基本概念1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（ ）的解。
A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y '=yx 21-写成以y 为自变量，x 为函数的形式为（ ）A.yx 21dxdy -=B.yx 21dydx -='=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）A.可分离变量的微分方程 一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成)y ,x (P )y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（ ）A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（ ）A. e y=e 2x+1 21e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =21e 2x +C4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+∆+=∆x x1yy 2，且当∆x →0时，α是∆x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( )A. 2πB. πC. 4e π 4eππ5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4π解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0=4π得：22C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2y x cos y x 21cos dxdy +=-+满足y(0)=π的特解。
高等数学题库常微分方程
高等数学题库常微分方程第6章常微分方程习题一一、填空题： 1、微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。
2、设某微分方程的通解为()xex c c y 221+=，且00==x y，10='=x y 则___________1=c ，_____________2=c 。
3、通解为xce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。
4、满足条件()()=+?dx x f x f x2的微分方程是__________。
5、 y y x 4='得通解为__________。
6、1+=y dxdy的满足初始条件()10=y 的特解为__________。
7、设()n c c c x y y =,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数__________=n 。
8、设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为___________。
二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e y x ==2π2、()0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，40π==x y3、yx ey -='2，00==x y4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，4π==x y三、求下列微分方程得通解：1、1222+='y y y x 2、2211y y x -='-3、0ln =-'y y y x4、by ax e dx dy+= 5、022=---'x y y y x 6、xy y dx dy x ln = 四、验证函数xe c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解，并求满足初始条件1,100='-===x x y y的特解。
《高等数学II》第6章常微分方程练习题
第六章 常微分方程与差分方程一、单项选择题1．微分方程0)'()''(3)'''(5423=++-x y y y 阶数是 （ ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是 （ ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是 （ ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是 （ ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为 （ ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y 6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y7．微分方程y xy xy -='是 （ ）A 可分离变量方程B 齐次方程C 一阶齐次线性方程 D.一阶非齐次线性方程8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是 （ ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程0)()(=++-++dy e e dx e e y y x x y x 为 （ ）A 齐次方程B 一阶线性齐次方程C 一阶线性非齐次方程D 可分离变量的微分方程10．下列方程中是可分离变量的微分方程的是（ ）A x x y x y cos )(tan '2-+=B 0ln '=--y y y xey x C dxdy xy dx dy x y =+22 D 0)cos 1(cos sin ln '=-+y x y y x xy 11．微分方程02=+'-''y y y 的一个特解是 （ ）A x e x y 2=B x e y =C x e x y 3=D x e y -=A 0'''=-y yB 0'''=+y yC 0''=-y yD 0''=+y y13．微分方程052=+'+''y y y 的通解y 等于 （ ）A.x c x c 2sin 2cos 21+B. )2sin 2cos (21x c x c e x +C.)2sin 2cos (21x c x c e x +-D.)2sin 2cos (21x c x c x +14．微分方程：0''=+y y 满足初始条件2|',1|00====x x y y 的特解为 （ ）A x x y sin cos +=B x x y sin 2cos +=C 122++=x x yD x C x C y sin cos 21+=15．设21,y y 是二阶常系数微分方程0=+'+''qy y p y 的两个解，则下列说法不正确的是( )A ．21y y +是此方程的一个解 B.21y y -是此方程的一个解C ．2211y c y c +是此方程的通解 (21,c c 为任意常数)D ．若21,y y 线性无关，则2211y c y c +是此方程的通解(21,c c 为任意常数)16．用待定系数法求微分方程x xe y y 2''=-的一个特解时，应设特解的形式为 （ ）A.x e Bx Ax y )(2*+=B.x e B Ax y )(*+=C.B Axe y x +=*D. x e Ax y 2*=17．用待定系数法求微分方程x e y y y 396=+'-''的一个特解时，应设特解的形式为（ ）A.x e Ax y 32*=B.x e x y 32*=C.x Axe y 3*=D.x Ae y 3*=18．二阶线性微分方程5y 3y 4y '''=-+对应的齐次方程的特征方程为 （ ）A ．5342=-+r r B.0342=-+r r C.534=-+r r D.0342=-+r r r19．已知722-=x y 是微分方程32"2-=+x y y 的一个特解，则其通解为 （ ）A 72sin cos 221-++=x x c x c xB 72221-++=-x ec e c x x x C 72221-++=-x ec c x x D ()72221-++=x e x c c x x 20．微分方程x xe y y y 2'"44=+-的特解形式为 （ ）A x eB Ax 2)(+ B x e B Ax x 2)(+C x e B Ax x 22)(+D xe Ax 23 21．下列函数中哪组是是线性无关的 （ ）Ａ.2x ln ,x ln Ｂ.x ,x ln Ｃ.x 2ln ,x Ｄ.2x ln ,x lnA.0'''=-y yB.0'''=+y yC.0''=-y yD.0''=+y y二、填空题1．微分方程()03"')4(3=++y y y y 的阶数为______； 2．微分方程0=+y dxdy 的通解是_______ ___； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是______________； 4．微分方程0e y y x =+'+的通解是_______ ___；5．微分方程x y sin ''=的通解是________________； 6．微分方程04'4''=+-y y y 的通解为_________；7．微分方程02'"=+y y 的通解为_____________； 8．微分方程x e y y 2'=+的通解为____________ 9．求微分方程x x e y y 2''y =+'+的特解的形式为_________________________________；10．若)(x f 是方程x y dx y d 2sin 422=+的一个特解，则方程的通解为__________________； 三．求解下列常微分方程1．0ln ln =+ydy x xdx y 2．dxdy xy y dx dy x=+3．x e y y =-' 4．0,cos 0sin ==+'=-x x y e x y y5．0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 6．()01=+-xdy dx y7．0'=-y xy 8．y2x y 2dx dy -=9．x ey y -=+' 10．0)6(22=-+dy x y ydx11．1='+''y y 12．x y y +'=''13．1)1(,12=-=y x dx dy xy14．02='+''y y15．1x y y +='+'' 16．02'''=--y y y17．0y 'y 4''y 4=++ 18．09'6"=++y y y ，1',000====x x y y19．x e y y y 232'''=-+ 20．233'2"+=--x y y y四．已知特征方程的两个根为：i r +-=21，i r --=22，求相应的二阶常系数的齐次线性微分方程及其通解。
《高等数学》第11章 微分方程习题详解
即 ．
再对 求导，得
，
即 ，
所以 是所给微分方程 的解．
3．确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件．
（1） ， ；（2） ， ．
解（1）将 ， 代入微分方程，得
所以，所求函数为 ．
（2） ，将 ， 分别代入
和 ，
得
， ，
所以，所求函数为 ．
4．能否适当地选取常数 ，使函数 成为方程 的解．
（*）
这是齐次方程．
设 ，则 ， ，于是（*）式可化为
，
即
，
变量分离，得
，
两端积分，得
，
即
，
将 代入上式，得原方程的通解为
．
（2）原方程可写成
，
该方程属于 类型，一般可令 ．
令 ，有 ，则原方程可化为
，
即
，
积分得
，
将 代入上式，得原方程的通解为
．
习 题 11-3
1．求下列微分方程的通解：
（1） ；（2） ；（3） ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ．
解（1）将 代入所给微分方程的左边，得左边 ，而右边＝2 左边，所以 是 的解．
（2）将 ， 代入所给微分方程的左边，得左边 右边，所以 是所给微分方程 的解．
（3）将 ， ， 代入所给微分方程的左边，得
左边 （右边），
所以 不是所给微分方程 的解．
（4）对 的两边关于 求导，得
（2）原方程分离变量，得
，
两端积分，得
，
即
，
故原方程的通解为．Biblioteka （3）原方程可化成，
分离变量，得
，
两端积分，得 ，
高等数学 第十二章 常微分方程 习题课
1 4x41 2x2y21 4y4
(0,0) (x,0)
1 4x41 2x2y21 4y4c 为原方程的隐式通解.
例 5. (x3x2y)dx(x2yy3)dy0
又.解dy dx
x3xy2 x2yy3
1
y x
y2
x2 y3 x3
齐次方程
设 u x y,则 y x u ,d d x y u x d d u x .
P y(xys(xiyyn ) syi(y x n )2 coy)s
Q x
例 6. dy3(x1)2(y1)2 dx 2(x1)(y1)
解 .令 u x 1 ,v y 1 ,
则dyd(v1) d v dx d(u1) d u
dv 3u2 v2 du 2uv
3
2
v u v u
x
du dx
1 cosu
,
cousdudxx, xcesinxy .
例 3.(cx o )d dx s yysixn 1 解 . d dx y(tax)n ysexc 一阶线性方程
ye ta xd nx se xe c ta xd nd x x c
e lc n x o ss x e e lc c n x d o c s x
uxd du x1 u u u2 3, xd d u x 1 2 u u 2 u 3 u 4 1 u u 2, 1uduu2 dxx, 1 2ln 1u (2) ln xln c,
ln 1 u (2 ) 2 ln x 2 lc n ,
x2(1u2)2c, x2y2c2.
例 5 .( x 3 x 2 ) d y ( x 2 y y 3 ) d 0 y 事 ,x ( x 实 2 y 2 ) d 上 y x ( x 2 y 2 ) d 0 y
考研数学一-高等数学常微分方程(一)
考研数学一-高等数学常微分方程(一)(总分：178.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：11.00)1.以下可以看作某个二阶微分方程的通解的函数是(A) y=C1x2+C2x+C3． (B) x2+y2=C．(C) y=ln(C1x)+ln(C1sinx)． (D) y=C1sin2x+C2cos2x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由二阶微分方程的通解需含两个任意的独立常数可知，仅(D)符合要求，故应选(D)．2.微分方程y"+2y'+y=3xe-x的特解形式为(A) axe-x． (B) (ax+b)e-x． (C) (ax+b)xe-x． (D) (ax+b)x2e-x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于方程对应的特征方程为λ2+2λ+1=0，故特征根为重根λ1=λ2=-1，方程的非齐次项为Q(x)e-x且Q(x)=3x为一次多项式，因此待定特解的形式为(ax+b)x2e-x．故应选(D)．3.微分方程y"-3y'+2y=3x-2e x的特解形式为(A) (ax+b)e x． (B) (ax+b)xe x．(C) (ax+b)+ce x． (D) (ax+b)+cxe x．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于特征方程为λ2-3λ+2=0，所以特征根为λ1=1，λ2=2．从而方程y"-3y'+2y=3x待定特解形式为；方程y"-3y'+2y=-2e x待定特解形式为，是原方程的一个特解，故选(D)．4.微分方程y"+2y'+y=(x+1)e-x+2x+1有一个特解y*形式为(A) y*=x(ax+b)e-x+(cx+d)． (B) y*=(ax+b)e-x+x2(cx+d)．(C) y*=x2(ax+b)e-x+(cx+d)． (D) y*=(ax+b)e-x+x(cx+d)．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 因为特征方程为λ2+2λ+1=0，特征根为重根λ1=λ2=-1，所以对应于非齐次项(x+1)e-x应设特解，对应非齐次项2x+1，再由迭加原理知应设特解y*=x2(ax+b)e-x+(cx+d)，故应选(C)．5.若A，B为非零常数，c1，c2为任意常数，则微分方程y"+k2y=cosx的通解应具有形式(A) c1coskx+c2sinkx+Asinx+Bcosx． (B) c1coskx+c2sinkx+Axsinx．(C) c1coskx+c2sinkx+Axcosx． (D) c1coskx+c2sinkx+Axsinx+Bxcosx．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由于对应的齐次方程的通解为c1coskx+c2sinkx．这样需验证的是哪一个是非齐次方程的特解．如果非齐次方程的特解有形式Asinx+Bcosx，说明此时k≠1，经验证可知特解为，即A=0，．而根据题设，A，B均为非零常数，说明它不符合题意，故选项(A)错误．如果k=1，则特解应具有形式Axsinx+Bxcosx，B=0，由此可见，应选(B)．6.设y1(x)，y2(x)，y3(x)是二阶线性非齐次微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个线性无关解，C1，C2是任意常数，则此微分方程的通解是(A) C1y1+C2y2+y3． (B) C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3．(C) C1y1+C2y2-(C1+C2)y3． (D) C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 因为y1(x)，y2(x)，y3(x)是线性微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的解，所以y1-y3和y2-y3都是相应的二阶齐次微分方程的解．由于y1(x)，y2(x)，y3(x)线性无关，若令k1(y1-y3)+k2(y2-y3)=0，即 k1y1+k2y2-(k1+k2)y3=0，则必有k1=k2=0，故y1-y3和y2-y3线性无关．所以原方程的通解为y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3=C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3，故正确选项为(B)．7.已知y1=xe x+e2x，y2=xe x+e-x是二阶非齐次线性微分方程的解，则此方程为(A) y"-y'-2y=e x-2xe x． (B) y"+y'+2y=e x-2xe x．(C) y"-y'-2y=-e x+2xe x． (D) y"+y'+2y=-e x+2xe x．（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 因y1-y2=e2x-e-x为对应齐次方程的解，故特征方程为(λ-2)(λ+1)=λ2-λ-2=0，从而对应齐次方程为y"-y'-2y=0．把特解y1代入方程得y"1-y'1-2y1=e x-2xe x，因此所求方程为y"-y'-2y=e x-2xe x．所以应选(A)．8.设y1(x)，y2(x)为二阶常系数齐次线性方程y"+py'+qy=0的两个特解，则c1y1(x)+c2y2(x)(c1，c2为任意常数)是该方程通解的充分必要条件是(A) y1(x)y'2(x)-y2(x)y'1(x)=0． (B) y1(x)y'2(x)-y2(x)y'1(x)≠0．(C) y1(x)y'2(x)+y2(x)y'1(x)=0． (D) y1(x)y'2(x)+y2(x)y'1(x)≠0．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据题设，y1(x)与y2(x)应线性无关，也就是说(常数)．反之若这个比值为常数，即y1(x)=λy2(x)，则y1(x)与y2(x)线性相关．由y1(x)=λy2(x)可得：y'1(x)=λy'2(x)，所以y1(x)y'2(x)-y2(x)，y'1(x)=0，因此应选(B)．9.下列结论不正确的是(A) 若已知y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y2的一个特解，则必定可将该方程化为伯努利方程．(B) 若微分方程P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0有积分因子μ(x，y)，则μ(x，y)必定满足(C) 是微分方程y'+y2=0的解，则y=Cy1也是该方程的解．(D) 方程y"-y'2+2y=0的任何积分曲线在下半平面内不能有拐点．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 对于(A)：设y*是微分方程y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y2的一个特解．令y=z+y*，代入方程化简得z'=[Q(x)+2R(x)y*]z+R(x)z2，这正是伯努利方程，故(A)正确．对于(B)：函数μ=μ(x，y)是微分方程Pdx+Qdy=0的积分因子的充分必要条件是即．故(B)正确．对于(C)不满足方程y'+y2=0，故(C)不正确．对于(D)：用反证法．假设下半平面(y＜0)的点(x0，y0)是积分曲线的拐点，则y"(x0)=0，于是与题设条件矛盾．故(D)正确．综上分析，应选(C)．10.在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是(A) y'"+y"-4y'-4y=0． (B) y'"+y"+4y'+4y=0．(C) y'"-y"-4y'+4y=0． (D) y'"-y"+4y'-4y=0．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是：1方程是(λ-1)(λ+2i)(λ-2i)=(λ-1)(λ2+4)=λ3-λ2+4λ-4=0，因此所求的微分方程是y'"-y"+4y'-4y=0．选(D)．11.具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是(A) y'"-y"-y'+y=0． (B) y'"+y"-y'-y=0．(C) y'"-6y"+11y'-6y=0． (D) y'"-2y"-y'+2y=0．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为r1=r2=-1，r3=1，从而特征方程为(r+1)2(r-1)=0，即r3+r2-r-1=0，由此，微分方程为y'"+y"-y'-y=0．应选(B)．二、填空题(总题数：22，分数：22.00)12.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：解析：[解析] 原方程可化为，这是一阶线性微分方程，所以其通解为13.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y(x-1)=Cx）解析：[解析]y(x-1)=Cx．14.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：解析：[解析] 此微分方程既不是齐次微分方程也不是可分离变量的微分方程．若以y为未知函数也不是一阶线性微分方程．但注意到其特点，把它改写成以x为未知函数的微分方程，即这是以x为未知函数的一阶线性微分方程，由通解公式得：15.微分方程2x3y'=y(2x2-y2)的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ 是不为零的任意常数)）解析：[解析] 原方程可改写为，从而是齐次微分方程，令得方程(*)是变量可分离的，其通解为(C是不为零的任意常数)．16.微分方程x3yy'=1-xyy'+y2的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 原方程经整理后化成可分离变量的方程两边积分得17.微分方程3e x tanydx+(1-e x)sec2ydy=0的通解是______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：tany=C(e x-1)3）解析：[解析] 在原方程两边同乘以，经分离变量可化为积分得 ln|tany|=3ln|e x-1|+ln|C|，所以方程有通解为tany=C(e x-1)3．18.微分方程(2y-x)dy=ydx的通解是 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y2-xy=C）解析：[解析] 题设方程可变形为2ydy-(xdy+ydx)=0即d(y2-xy)=0，故通解为y2-xy=C．19.y(0)=1的特解为 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 方程是齐次微分方程，令，则原方程变为，由此可得方程的通解为，由y(0)=1可得C=1．20.______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 因为，令，则原方程可化为这是一个一阶线性微分方程，解得所以原微分方稗的通解为21.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：siny=Ce-x+x-1．）解析：[解析] 因为y'cosy=(siny)'，令u=siny，则原微分方程化为u'+u=x．这是关于未知函数u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为所以原微分方程的通解为siny=Ce-x+x-1．22.设函数y1(x)，y2(x)，y3(x)是二阶线性微分方程y"+a(x)y'+b(x)y=f(x)该微分方程的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=y1(x)+C1[y2(x)-y1(x)]+C2[y3(x)-y1(x)]）解析：[解析] 根据线性微分方程解的叠加原理及题中条件知函数y2(x)-y1(x)和y3(x)-y1(x)都是原方程所，所以函数y2(x)-y1(x)和y3(x)-y1(x)线性无关．根据线性微分方程解的结构知原方程的通解为y=y1(x)+C1[y2(x)-y1(x)]+C2[y3(x)-y1(x)]．23.已知(x-1)y"-xy'+y=0的一个解是y1=x，又知y=e x-(x2+x+1)，y*=-x2-1是(x-1)y"-xy'+y=(x-1)2的两个解，则此方程的通解是y=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1x+C2e x-x2-1）解析：[解析] 由非齐次方程(x-1)y"-xy'+y=(x-1)2①的两个特解与y*可得它的相应的齐次方程(x-1)y"-xy'+y=0②的另一特解．事实上 y2=(e x-x)+x=e x也是②的一个解，又e x与x线性无关，因此非齐次方程①的通解为y=C1x+C2e x-x2-1．24.已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+e x都是微分方程(x2-2x)y"-(x2-2)y'+(2x-2)y=6x-6的解，则此方程的通解为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1(y2-y1)+C2(y3-y2)+y1=C1x2+C2e x+3）解析：[解析] 根据解的结构定理，方程的通解为y=C1(y2-y1)+C2(y3-y2)+y1=C1x2+C2e x+3．25.设二阶线性微分方程y"+p(z)y'+q(x)y=f(x)有三个特解y1=e x，y3=e x+e-x，则该方程为______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 因为y2-y1，y3-y1是对应的齐次方程的解，代入齐次方程可求得，q(x)=，再将y1代入原方程可得f(x)=e x．．26.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y"-4y'+7y=0）解析：[解析] 由给定的两个线性无关的特解可知：该二阶常系数线性齐次方程对应的特征方程的特征根为．由根与系数的关系知：相应的特征方程为λ2-4λ+7=0．因此该二阶常系数线性齐次方程为：y"-4y'+7y=0．27.以y=(C1+C2x)e-x+x2e-x(其中C1，C2为任意常数)为通解的微分方程为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y"+2y'+y=2e-x）解析：[解析] 设所求微分方程为y"+py'+qy=f(x)，其对应的齐次微分方程的特征方程的根为r1=r2=-1，因而特征方程为(r+1)2=0，即r2+2r+1=0，其对应的齐次微分方程为y"+2y'+y=0．非齐次微分方程对应的特解为y*=x2e-x，代入微分方程即得=2e-x．故所求微分方程为y"+2y'+y=2e-x．28.以y=C1e-x+C2e2x+sinx为通解的二阶常系数非齐次微分方程为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y"-y'-2y=-3sinx-cosx）解析：[解析] 由所给通解知二阶常系数线性微分方程的二特征根分别为λ1=-1与λ2=2，从而特征方程为(λ+1)(λ+2)=0，即λ2-λ-2=0，又方程的非齐次项f(x)=(sinx)"-(sinx)'-2sinx=-sinx-cosx-2sinx=-3sinx-cosx．故以y=C1e-x+C2e2x+sinx为通解的二阶常系数非齐次微分方程为y"-y'-2y=-3sinx-cosx．29.微分方程y"+2y'=12x2-10的通解是______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=C1+C2e-2x+2x3-3x2-2x）解析：[解析] 方程对应的齐次方程的特征方程为λ2+2λ=0，所以特征根为λ=-2，λ=0．从而对应的齐次方程有二线性无关特解y*1=1与y*2=e-2x．设原方程的一个特解为y*=x(ax2+6x+c)，代入原方程得6ax+2b+2(3ax2+2bx+c)=12x2-10，不难求得：a=2，b=-3，c=-2．故非齐次方程有一个特解y*=2x3-3x2-2x．因此原方程的通解为：y=C1+C2e-2x+2x3-3x2-2x．30.微分方程y"+4y=cos2x的通解为y=______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 方程对应的齐次方程的特征方程为λ2+4=0，它的特征根为λ1，2=±2i．因此对应齐次方程二线性无关的特解为．设原非齐次方程的一个特解为y*=x(Acos2x+Bsin2x)，代入原方程得-4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．所以A=0，．因此原方程的通解为．31.微分方程y"-3y'+ay=e-x有一特解为Axe-x，则a=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：-4）解析：[解析] 将y=Axe-x代入方程y"-3y'+ay=e-x得A(a+4)xe-x-5Ae-x=e-x．所以a=-4．32.微分方程(2xsiny+3x2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0的通解是______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 令P(x，y)=2xsiny+3x2y，Q(x，y)=x3+x2cosy+y2，则它们在整个平面上都有一阶连续偏导数，且，故方程是全微分方程，它的通解为33.已知，及相应的齐次方程，分别有特解则方程满足y(0)=1的特解是y=______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 由一阶线性方程通解的结构得该一阶线性非齐次方程的通解为由y(0)=1C=-1．因此特解为三、解答题(总题数：29，分数：145.00)34.求微分方程xy'=y(1+lny-lnx)的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程可变形为，是一阶齐次微分方程．令，则原方程变为(*)(*)是变量可分离的微分方程，分离变量得．上式两端求不定积分得u=e Cx．从而原方程的通解为y=xe Cx．)解析：35.求微分方程(1+y2)dx+(x-arctany)dy=0的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(原微分方程可变形为，这是一阶线性微分方程，其通解为)解析：36.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(原微分方程两边同除以x，得当x＞0时，这是齐次微分方程．作变换，有，即．解之，得arcsinu=lnCx．再以代回，便得原方程的通解：，即y=xsin(lncx)．)解析：37.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方程变形为，是齐次微分方程．令，则，两边积分得所以有即代回即得原方程通解为)解析：38.设求微分方程y(0)=0的连续解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(当0≤x≤1时，微分方程为，这是一阶线性微分方程，通解为y=C1e-x+2；当x＞1时，微分方程为，这是变量可分离的微分方程，通解为y=C2e-x．根据y(x)的连续性知：，所以C2=C1+2e．故原方程的通解为由于y(0)=0，所以C=-2，故满足条件的特解为)解析：39.求微分方程y"-2y'-3y=3x+1+e-x+sin2x的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(将方程右端作变形，得(1)特征方程λ2-2λ-3=0，特征根λ1=-1，λ2=3，则相应齐次微分方程通解(2)求原方程一个特解y*．因为有特解=ax+b；y"-2y'-3y=e-x有特解有特解=dcos2x+esin2x，所以其中a，b，c，d，e为待定系数．将y*代入原方程得待定系数于是(3)原方程通解为)解析：40.求微分方程y"+4y'+4y=cos2x满足条件y(0)=y'(0)=0的特解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(先求方程对应的齐次方程的通解．特征方程为λ2+4λ+4=0，特征根为λ1=λ2=-2，所以对应的齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-2x．再求原方程的一个特解．设y*=acos2x+bsin2x是原方程的一个特解，代入原方程得：a=0，，因此是原方程的一个特解．从而原方程的通解为．又因为y(0)=y'(0)=0，代入通解可得C1=0，．所以满足初始条件的特解为)解析：41.求微分方程y"+4y=3|sinx|在[-π，π]（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(当-π≤x≤0时，方程为y"+4y=-3sinx，可求得该方程的通解为y=C1cos2x+C2sin2x-sinx．当0＜x≤1T时，方程为y"+4y=3sinx，可求得此方程的通解为y=C3cos2x+C4sin2x+sinx．由于方程的解y(x)及其导函数y'(x)都在分段点x=0处连续，所以从而C1=C3，C2=C4+1．故原方程通解为又因为因此所求特解为)解析：42.求常数a，b，c，d的值，使得微分方程y"+ay'+by=(cx+d)e2x有一个解是y=e x+x2e2x．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(将y=e x+x2e2x代入原方程得(1+a+b)e x+[2+(8+2a)x+(4+2a+b)x2]e2x≡(cx+d)e2x，从而)解析：43.求微分方程3y'-ysecx=y4tanx的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是伯努利方程．令z=y-3，于是原方程化为一阶线性方程上述方程的通解为因此原方程的通解为)解析：44.已知方程(6y+x2y2)dx+(8x+x3y)dy=0的两边乘以y3f(x)后便成为全微分方程，试求出可导函数f(x)，并解此微分方程．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(设P(x，y)=(6y4+x2y5)f(x)，Q(x，y)=(8xy3+x3y4)f(x)，由得(8y3+3x3y4)f(x)+(8xy3+x3y4)f'(x)=(24y2+5x2y4)f(x)．消去y3得 16f(x)-8xf'(x)+y[2x2f(x)-x3f'(x)]=0，有且全微分方程为(6y4+x2y5)C1x2dx+(8xy2+x3y4)C1x2dy=0，故微分方程的通解为 10x3y4+x5y5=C．)解析：45.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(这是欧拉方程，令x=±e t即t=ln|x|，方程变成(*)特征方程λ2+2λ+1=0，特征根λ1=λ2=-1．(*)的通解为y=e-t(C1t+C2)．因此，原方程的通解为，C1，C2常数．)解析：46.设f(x)在(-∞，+∞)上满足对任意x，y恒有f(x+y)=e2y f(x)+f(y)cosx，又f(x)在x=0处可导，且f'(0)=1，求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(由于对任意x∈(-∞，+∞)，由于f(x+y)=e2y f(x)+f(y)cosx，所以f(0)=0，因此=2f(x)+f'(0)cosx=2f(x)+cosx．从而得到f(x)满足的微分方程f'(x)-2f(x)=cosx．这是一阶线性微分方程，其通解为记所以从而．由f(0)=0，可得，所以)解析：47.设函数f(x)在[0，+∞)上可导，且f(1)=3，若f(x)的反函数g(x)满足求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是含变上限定积分的方程，两端对x求导得因为f(x)与g(x)互为反函数，所以gf(u)]=u，从而上式变为令x=e t-1，且f'(t)=e t-1，积分得f(t)=e t-1+C．由f(1)=3可得C=2，故f(x)=e x-1+2．)解析：48.设f(x)f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是含变上限积分的方程，且被积函数中含有参变量，所以应首先去掉被积函数中的参变量，化为被积函数中不含参变量的情况．令x-t=u，原方程变为，即．将以上方程求导两次可转化为微分方程为f"(x)=2+f(x)且f(1)=0，f'(1)=0．方程f"(x)=2+f(x)的通解为f(x)=C1e-x+C2e x-2．由f(1)=0，f'(1)=0可得：C1=e，C2=e-1．因此f(x)=e1-x+e x-1-2．) 解析：49.若y(x)是[0，1]上的连续可微函数，且满足条件求y(x)的表达式．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(原方程两边关于x求导两次，得到分离变量后再积分，得．因为函数y(x)在点x=0处右连续，则所以方程的通解为将初始条件y(1)=2代入，得C=2e，故所求函数为)解析：50.设函数f(x)在(-∞，+∞)内有连续导数，且满足求f(t)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令x=rcosθ，r=sinθ，由可得所以f'(t)=4πt3f(t)+4t3，且f(0)=0，即，且f(0)=0．因此，将，f(0)=0代入可得C=0)解析：51.设函数u的全微分du=[e x+f'(x)]ydx+f'(x)dy，其中f在(-∞，+∞)内具有二阶连续的导数，且f(0)=4，f'(0)=3，求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(，且由于f有二阶连续的导数，则u，即f"(x)-f'(x)=e x．方程的通解为 f(x)=C1+C2e x+xe x，由条件f(0)=4，f'(0)=3求得C1=2，C2=2．因而 f(x)=2+(2+x)e x．)解析：52.设f(x)在区间[0，+∞)上连续，且，求证：微分方程x→+∞时都趋于1．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(这是一阶非齐次线性微分方程，其通解为因为，所以存在X＞0，当x＞X时，．因此当x＞X时，．于是)解析：53.设f(x)二阶连续可导，且f(0)=0，f'(0)=1，求u(x，y)，使du=y[f(x)+3e2x]dx+f'(x)dy．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(，由Pdx+Qdy是u(x，y)的全微分知：，从而f"(x)-f(x)=3e2x，解此微分方程得f(x)=-e x+e2x．于是)解析：54.设当x＞0时，f(x)存在一阶连续导数，且f'+(0)存在，并设对于半空间x＞0内的任意光滑封闭曲面∑，恒有求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(根据高斯公式可得即 f(x)+xf'(x)-y+f(x)+2yz+y-2yz-x2=0，解得：．由于f'+(0)存在，所以C=0．)解析：55.作变换t=tanx y关于t的微分方程，并求原微分方程的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于，，解之得：y=(C1+C2t)e-t+t-2．故原方程的通解为y=(C1+C2tanx)e-tanx+tanx-2．)解析：56.若一曲线上任一点M(x，y)处的切线斜率为，且过点，求此曲线方程．又当x取何值时，．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(所求曲线方程为如下齐次微分方程定解问题的特解令，方程可化为，其通解为从而原方程的通解为，由得，故所求曲线方程为欲使即，解得y=x，代入曲线方程程得，即当时，切终斜率为1/4．)解析：57.在xOy平面的第一象限求一曲线，使由其上任一点P处的切线，x轴与线段OP所同成的三角形的面积为常数k，且曲线通过点(1，1)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设P点坐标为(x，y)，曲线方程为y=y(x)，该曲线在点P的切线方程为Y-y=y'(X-x)，它与x轴交点Q坐标为，从而所围成三角形的面积为这是以x为未知函数，并以y．由初始条件y(1)=1，可确定C=1-k，于是所求曲线为xy=(1-k)y2+k．)解析：58.对任意实数x＞0，设曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线在y[0，x2]上的平均值，求f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(25，曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线方程为Y-f(x)=f'(x)(X-x)，它在y轴上的截距等于f(x)-f'(x)x．由题设可得：，即．上式两端求导数可得-x3f"(x)一2x2J。
(完整版)高等数学-微分方程证明题
17、验证 是初值问题 的解。
18、验证 是方程 的通解，并确定积分常数 ，使积分曲线经过点 。
19、验证 是方程 的通解。
20、设 试证明 是初始值问题
的解。
21、验证：当 时，曲线族 为方程 在 上的解；而当 时，该曲线族是上述方程在 上的解。
22、证明：若 和 是全微分方程 的两个解，则它们只差一个常数。
（2）（6分）
由（1），（2）消去 得
故知已知函数是微分方程的解，且是通解。（10分）
1Байду номын сангаас、
（2分）
（6分）
将 代入原方程，得
故 为初始问题的解。（10分）
11、
对已知隐函数方程两边关于 求导得
即 （8分）
此外， 含有任意常数 ，故它是方程的通解。（10分）
12、
（4分）
（6分）
即 （8分）
此外， 含有一任意常数 ，所以它是方程的通解。
故 是方程的通解。（10分）
6、
对已知隐函数两边微分得
（5分）
即 （8分）
故已知隐函数为方程的通解。（10分）
7、
（3分）
（7分）
即
所以 是方程的通解。（10分）
8、
因
（4分）
（8分）
故 是初值问题的解。（10分）
9、
对已知隐函数方程两边关于 求导得：
（2分）
上式再对 求导得
（1）（4分）
（1）式关于x求导得
23、设 是方程 的两个互异的解，求证：对于该方程中的任何一个解 ，恒等式 永远成立，其中 为常数。
24、证明： 为方程 的解的充分必要条件是， 可微且满足方程 。
(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题
常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程 练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有 即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此 特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通 解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对 应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由 牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程 练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半， 求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或 时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对 求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得 代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。
专升本高等数学(一)-常微分方程(二)-1
专升本高等数学(一)-常微分方程(二)-1(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.微分方程y"=y"的通解是______（分数：2.00）A.y=c1x+c2exB.y=c1+c2ex √C.y=c1+c2xD.y=c1x+c2x2解析：2.对于微分方程y"+3y"+2y=e -x，利用待定系数法求其特解y *时，下面特解设法正确的是______ （分数：2.00）A.y*=Ae-xB.y*=(Ax+B)e-xC.y*=Axe-x √D.y*=Ax2e-x解析：3.对于微分方程y"+y=sinx，利用待定系数法求其特解y *时，下面特解设法正确的是______（分数：2.00）A.y*=asinxB.y*=acosxC.y*=x(asinx+bcosx) √D.y*=asinx+bcosx解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)4.设y 1 (x)，y 2 (x)是二阶常系数线性微分方程y"+py"+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为 1．（分数：2.00）解析：y=c 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)，其中c 1，c 2为任意常数．5.二阶常系数齐次线性微分方程y"+2y=0的通解为 1．（分数：2.00）6.二阶常系数齐次线性微分方程y"-4y"+4y=0的通解为 1．（分数：2.00）解析：y=(c 1 +c 2 x)e 2x．7.微分方程y"+y"=0的通解为 1．（分数：2.00）解析：y=c 1 +c 2 e -x．三、解答题(总题数：10，分数：86.00)解下列微分方程．（分数：27.00）(1).(Gompertz方程) y"=rye -kx，r和k是常数，k≠0，y| x=0 =y 0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：记e x =exp{x}，(2).xy"-ylny=0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y=e cx．(3).ydx+(y-x)dy=0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：本题x和y处于平等地位．(1)x看作自变量，是齐次方程，令则，对u≠0(即y≠0)，，方程的解为和y=0．(2)y看作自变量，y≠0，是x的一阶线性微分方程，可解出(4).(e y -1)e x dx+(e x +1)e y dy=0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(1+e x )(1-e y )＝c．(5).y"=(x+y) 2．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设x+y=u，方程的解y=-x+tan(x+c)．(6).y"=(x+y) -2．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：arctan(x+y)=y+c(提示：将y看作自变量)．(7).y"+y=e -x，y| x=0 =5．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y=e -x (x+5)．3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y=x(ln|lnx|+c)．(9).(x 2 -1)y"+2xy-cosx=0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()8.求（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y=x+c．9.已知f"(x)=1+x 2，且f(0)=1，求f(x)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()10.求y| x=1 =0的特解．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()设曲线y=f(x)上任一点(x，y)处的切线斜率是，且该曲线经过点 4.00）(1).求曲线y=f(x)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(2).求由曲线y=f(x)，y＝0，x＝1所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V x．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()11.设f(x)是连续函数，由f(x)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：因f(x)是连续函数，故可导，由此得到可导．对，两端关于x求导，得xf(x)=2x+f"(x)．记y＝f(x)，则该式化为y"-xy=-2x是一阶线性微分方程的标准形式，积分可得当x=0时，有，从而f(0)=0，即y| x=0=0，代入，得0=y| x=0=ce 0+2，知c=-2，故为所求． [解析] 对于含有积分上(下)限的关系式，一般可利用求导法，将其化为微分方程形式．另外，此类题目要注意微分方程的初始条件隐含在所给出的关系式中，即隐含y| x=0 =0．12.设f(x)连续且满足f(x)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：先证f(x)已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，写出相应的微分方程．（分数：4.00）(1).y 1 =e x，y 2 =e -4x；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y"+3y"-4y=0；(2).y 1 =e 2x，y 2 =xe 2x；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y"-4y"+4y=0；(3).y 1 =sin2x，y 2 =cos2x；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y"+4y=0；(4).y 1 =e x sinx，y 2 =e x cosx．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y"-2y"+2y=0．解下列微分方程（分数：33.00）(1).y"-5y"+6y=0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y=c 1 e 2x +c 2 e 3x．(2).y"+6y"+13y=0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：y=e -3x (c 1 cos2x+c 2 sin2x)．3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(4).s"+4s"+29s=0，s| t=0 =0，s"| t=0 =15．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：s=3e -2t sin5t．(5).4y"+43y"+y=0，y| x=0 =2，y"| x=0 =0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(6).y"+6y"+5y=e 2x．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(7).x"+x"-2x=8sin2t．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(8).y"+y=sinx-cos2x．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(9).x"+9x=tsin3t．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：x=c 1 cos3t+c 2 sin3t-36t(3tcos3t+sin3t)．(10).s"-a 2 s=t+1．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(11).x"+9x=6e 3t，x(0)=x"(0)=0．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()13.设f(x)为连续函数，求f(x)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()。
专升本高等数学一(常微分方程)模拟试卷2
专升本高等数学一（常微分方程）模拟试卷2(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.下列方程是一阶微分方程的是 ( )（分数：2.00）A.2y '' +x 2 y ' +y=0B.(7x一6y)dx+(x+y)dy=0 √C.(y ' ) 2 +xy (4)一y 2 =0D.(y '' ) 2 +5(y ' ) 2一y 5 +x 7 =0解析：解析：A、D项是二阶微分方程，C项是四阶微分方程，只有B项是一阶的，故选B．2.下列哪组函数是线性相关的 ( )（分数：2.00）A.e 2x，e －2xB.e 2＋x，e x－2√C.e x2，e －x2解析：解析：=e 4，是常数，故B项的函数是线性相关的；而A、C、D 项函数都是线性无关的，故选B．3.y ' ( )（分数：2.00）A.arctany—arctanx=CB.arctany+arctanx=CC.arcsiny—arcsinx=C √D.arcsiny+arcsinx=Carcsiny=arcsinx+C，C为任意常数，故选C．4.设函数y(x)满足微分方程cos 2 x．y ' +y=tanx，且当y=0，则当x=0时，y= ( )（分数：2.00）C.一1 √D.1解析：解析：方程两边同时除以cos 2 x，得y ' +sec 2 x．y=tanxsec 2 x．此为一阶线性非齐次方程，由其通解公式可得y=e －∫P(x)dx[∫Q(x)e ∫P(x)dx dx+C]=e －∫sec2xdx[∫tanxsec 2xe sec2xdx dx+C] =e －tanx[∫tanxsec 2 xe tanx dx+C]=e －tanx [tanxe tanx一∫sec 2 xe tanx dx+C] =e －tanx [tanxe tanx一e tanzx +C]=tanx一1+Ce －tanx，又当时，y=0，则C=0，即y=tanx一1．所以x=0时，y=0—1=一1，故选C．5.微分方程y ''一2y ' =x的特解应设为 ( )（分数：2.00）A.AxB.Ax+BC.Ax 2 +Bx √D.Ax 2 +Bx+C解析：解析：因f(x)=x为一次函数，且特征方程为r 2一2r=0，得特征根为r 1 =0，r 2 =2．于是特解应设为y * =(Ax＋B)x=Ax 2 +Bx．6.设方程y ''一2y '一3y=f(x)有特解y*，则它的通解为 ( )（分数：2.00）A.y=C 1 e －x +C 2 e 3x +y* √B.y=C 1 e －x +C 2 e 3xC.y=C 1 xe －x +C 2 e 3x +y*D.y=C 1 e x +C 2 e －3x +y*解析：解析：考虑对应的齐次方程y ''一2y '一3y=0的通解．特征方程为r 2一2r一3=0，所以r 1 =一1，r 2 =3，所以y ''一2y '一3y=0的通解为=C 1 e －x＋C 2 e 3x，所以原方程的通解为y=C 1e －x＋C 2 e 3x +y*，其中C 1，C 2为任意常数．7.已知曲线y=y(x)经过原点，且在原点处的切线平行于直线2x—y+5=0，而y(x)满足微分方程y ''一6y ' +9y=e 3x，则此曲线方程为y= ( )（分数：2.00）A.sin2x2 e 3x +sin2xx(x+4)e 3x√D.(x 2 cosx+sin2x)e 3x解析：解析：原方程对应的二阶齐次微分方程的特征方程r 2一6r+9=(r－3) 2=0，所以其特征根为r 1=r3x，λ=3是方程的二重特征根，原方程特解形式为y *=Ax 2 =3，二阶齐次方程对应通解为y=(C 1 +C 2 x)e2 e 3x，(y * ) ' =(3Ax 2 +2Ax)e 3x，(y * ) '' =(9Ax 2 +12Ax＋2A)e 3x．代入到方程中可得A= ．则原方程通解为y=(C 1 +C 2 x)e 3x + x 2 e 3x．由题意可得y ' (0)=2，y(0)=0，代入可得C 1 =0，C 2 =2，故所求曲线方程为y=( x 2 +2x)e 3x x(x+4)e 3x．8.微分方程y ' = 的通解为（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：设=μ，y=xμ，y '=μ＋=tanμ．所以，ln｜sinμ｜=ln｜x｜+ln｜C｜，sinμ=Cx，原方程的通解为=Cx(C为任意常数)．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.微分方程的解中含有独立的任意常数的个数若与微分方程的 1相同，则该解叫作微分方程的通解．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：阶数）解析：解析：由微分方程通解定义可知，通解中任意常数的个数与微分方程中的未知数的最高阶导数的阶数即方程的阶数一致．10.微分方程3e x tanydx+(1一e x )sec 2 ydy=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：tany=C(e x一1) 3）解析：解析：两边同乘以，方程分离变量为积分得ln｜tany｜=3ln｜e x一1｜+1n｜C｜．所以方程有通解为 tany=C(e x一1) 3，其中C为任意常数．11.微分方程(1+x)ydx+(1一y)xdy=0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=ln｜xy｜+x+C）解析：解析：分离变量，(1+x)ydx+(1一｜x｜+C=y—ln｜y｜，即通解为y=x+ln｜xy｜＋C，C为任意常数．12.方程y ''一2y ' +5y=e x sin2x的特解可设为y*= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：xe x (Asin2x+Bcos2x)）解析：解析：由特征方程为r 2—2r+5=0，得特征根为1±2i，而非齐次项为e x sin2x，因此其特解应设为y*=xe x (Asin2x+Bcos2x)．13.满足y '' =x，且经过点(0，1)，在该点与直线相切的积分曲线为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：对等式积分得y ' = x 2 +C 1，再积分得y= x 3 +C 1 x+C，且直线过点(0，1)，则C=1，又直线在该点与y= +1相切，所以y ' (0)= ，故所求积分曲线为＋1．三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.求方程y ' =e 3x－2y满足初始条件y｜x=0 =0的特解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：原题可改写为，即e 2y dy=e 3x dx，两边积分得 e 2y= e 3x+C，代入初始条件y｜x=0 =0，得＋C，所以．)解析：15.求微分方程(1+y 2 )arctanydx+(1+x 2 )arctanxdy=0的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方程分离变量得，，即ln｜arctany｜=一ln｜arctanx｜+ln｜C｜，则方程的通解为arctany．arctanx=C，其中C为任意常数．)解析：16.求方程(1+x 2 )ydy＋(1+y 4 )dx=0，满足y｜x=0 =1的特解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方程分离变量得，丙边积分有arctany 2 =一arctanx+C，将初始条件y｜x=0 =1代入得C= ，则方程的特解为arctany 2．)解析：17.求微分方程(x 2 +3)y ' +2xy—e 2x =0的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：将原方程改写成y ' + ，则．其中C为任意常数．)解析：18.设f(x)+2∫ 0x f(t)dt=x 2，求f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由f(x)+2∫ 0x f(t)dt=x 2，两边对x求导得 f ' (x)+2f(x)=2x，这是一个一阶线性常微分方程，由通解公式得 f(x)=e －∫2dx(∫2xe ∫2dx dx+C)=e －2x(∫2xe 2x dx+C) =x一+Ce －2x．又由题意可得f(0)=0，则 e －2x．)解析：19.已知连续函数f(x)满足f(x)=∫ 03x＋e 2x ,求f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：等式两端对x求导得f ' (x)一3f(x)=2e 2x，利用通解公式得 y=e ∫3dx[∫2e 2x e －∫3dx dx+C]=e 3x[∫2e －x dx+C] =e 3x (一2e －x +C)=Ce 3x一2e 2x，又f(0)=0+1=1，所以C一2=1，C=3，故f(x)=3e 3x一2e 2x．)解析：20.求一个不恒等于零的可导函数f(x)，使它满足f 2(x)=∫ 0x（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：据题意，f 2(x)=∫ 0x f(t)．两边同时对x求导，可得 2f(x)．f '(x)=f(x)．，即f ' (x)= ，解微分方程两端积分得又因f(0)=0，可得C=ln3，所以所求函数ln3．)解析：21.假设： (1)函数y=f(x)(0≤x＜+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤e x一1； (2)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=e x一1分别相交于点P 1和P 2； (3)曲线y=f(x)、直线MN与x轴所封闭图形的面积S恒等于线段P 1 P 2的长度，求函数y=f(x)的表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由题设可得示意图如图6—1所示．由图可知∫ 0x f(t)dt=e x一1一f(x)，两端求导，得 f(x)=e x一f ' (x)，即 f ' (x)+f(x)=e x．由一阶线性微分方程求解公式，得 f(x)=e －∫P(x)dx[∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C] =e －x (∫e x ．e x dx+C)=Ce －x+e x． 由f(0)=0，得C=． 因此，所求函数为f(x)= (e x一e －x)．)解析：22.求9y ''＋6y '+y=0的通解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：对应的特征方程为9r 2+6r ＋1=0，解得r= ，为二重根，故原方程的通解为(C 1 +C 2 x)． 其中C 1 ，C 2 为任意常数．)解析：23.求微分方程y ''一2y '一3y=3x+1的一个特解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：这是二阶线性常系数非齐次线性微分方程，其中f(x)=3x+1， 方程的特征方程为r2一2r 一3=0． 其特征根为r 1 =一1，r 2 =3． 由于λ=0不是特征根，所以设特解为y *=Ax+B ． 把y *=Ax+B 代入所给方程，得 一3Ax 一2A 一3B=3x+1， 比较系数，得A=一1，B=． 于是求得所给方程的一个特解为 y *=一x ＋．)解析：24.求y ''－4y '+5y=e 2x(sinx+cosx)的通解． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为，r 2—4r+5=0，解得r=2±i，所以对应的齐次方程的解为=(C 1 sinx+C 2 cosx)e 2x，λ±ωi=2±i，是特征方程的根，故设原方程的特解为y=xe 2x(Asinx+Bcosx)，则 Y '=e 2x(Asinx+Bcosx)+xe 2x[(2A —B)sinx+(A+2B)cosx]， Y ''=e 2x[(4A 一2B)sinx+(2A+4B)cosx]+xe 2x[(3A 一4B)sinx+(4A+3B)cosx]， 代入原方程得 e 2x[(4A 一2B)sinx+(2A+4B)cosx]+xe 2x[(3A 一4B)sinx+(4A+3B)cosx]一4e 2x(Asinx+Bcosx)一4xe 2x[(2A —B)sinx+(A+2B)cosx]+5xe 2x(Asinx+Bcosx)=e 2x(sinx+cosx)， 解得 ，故原方程的通解为 y=(C1sinx+C 2 cosx)e 2x(sinx 一cosx)． 其中C 1 ，C 2 为任意常数．)解析：25.已知函数f(x)满足方程f ''(x)+f '(x)一2f(x)=0，且f '(x)+f(x)=2e x，求表达式f(x)． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：解微分方程f ''(x)+f '(x)一2f(x)=0， 特征方程r 2+r 一2=0，解得r 1 =一2，r 2 =1， 所以微分方程的通解为f(x)=C 1 e －2x +C 2 e x ，其中C 1 ，C 2 为任意常数． 则f '(x)=一2C 1 e －2x+C 2 e x，又f '(x)+f(x)=2e x， 所以一C 1 e －2x+2C 2 e x=2e x，得C 1 =0，C 2 =1，所以f(x)=e x．) 解析：26.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：方程化为为齐次方程，令=μ，dy=μdx+xdμ，代入上式再分离变量cosμdμ=dx．两边积分得sinμ=一ln｜x｜+C，将μ=代入得通解为=一ln｜x｜+C，C为任意常数．)解析：27.的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令y '=p，y ''= －p=0，分离变量得，两边积分得ln｜p｜=ln｜y｜+ln｜C 1｜即p=C 1 y，即y ' =C 1 y，再分离变量得dy=C 1 dx，两边积分得ln｜y｜=C 1 x+C，即通解y=C 2 e C1x，其中C 1，C 2为任意常数．)解析：。
高数测试题十（微分方程）答案
高数测试题十（微分方程）答案高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分）1、若 12,y y 是方程 ()()(()y P x y Q x Q x '+=≡0) 的两个特解，要使12y y αβ+ 也是解，则α 与β 应满足的关系是（ D ）A 12αβ+=B 1αβ+=C 0αβ=D 12αβ== 2、下列方程中为全微分方程的是（ C ）A 22(22)(1)0xy y dx x y dy ---+-=B 2222()()0x xy dx y x y dy ---=C 22(1)20e d e d θθρρθ--+-=D 22()(2)0x y dx xy x dy +++=3、设λ 为实常数，方程220y y y λλ'''++= 的通解是（ D ）A 12x C e C λ-+B 12cos sinC x C x λλ+ C 12(cos sin )x e C x C x λλλ-+D 12()x C C x e λ-+4、方程 22cos x y y y e x '''-+= 的特解 *y 形式为（ B ）A B cos sin x x axe x bxe x +C 22cos sin x x ax e x bx e x +D 2cos x ax e x5、已知 0()x x y e y t dt =+，则函数 ()y x 的表达式为（ D ） A x y xe C =+ B x y xe = C x x y xe Ce =+ D (1)xy x e =+二、填空题（每cos x axe x 小题4分，共20分）1、方程 212y dy dx x e=+ 的通解是 2()y x e y C =+ 2、方程 (1)x y y '-= 的通解是 (ln )y x x C =+3、以 2212,x x y e y xe == 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为440y y y '''-+=4、已知方程 0y y ''-= 的积分曲线在点 (0,0)O 处与直线 y x = 相切，则该积分曲线的方程为 1()2x x y e e shx -=-= 5、方程 0xdy ydx -= 的一个只含有 x 的积分因子为21x μ=三、（共60分）1、（8分）求方程 (1)(223)0y x dx y x dy -+--+= 的通解解：令 1y x u -+=，则 dy du dx =+，代入原方程得(1)(21)u dx u du -+=+ 即 1(2)1du dx u -=-+，两边积分得 12ln(1)u u x C -+=-+，代回原方程，得通解2ln(2)y x y x C ---+=2、（6分）求方程 22(1)(233)x dy xy x dx +=++的通解解：方程改写为 2231x y y x '-=+，则通解为 22ln(1)ln(1)2[3](1)(3arctan )x x y e e dx C x C x +-+=+=++?3、（8分）求微分方程 21(1)()02y yxe dx x e y dy +++= 的通解解：设 21(,)1,(,)2y y P x y xe Q x y x e y =+=+ 有 y P Q xe y x==?? ，则原方程为全微分方程，于是 2222001111(,)(1)()2222x y y y u x y x dx x e y dy x x x e y =+++=+++?? 故原方程的通解为 2222y x x x e y C +++=4、（10分）求解 2312,(0)1,(0)2yy y y y y ''''+===解：此方程不含x ，令 y P '=，则 dP y P dy''=，原方程化为 232212,2dP dP yP P y P P y dy dy y+=+= 此方程为贝努力方程，令 2P z =，上述方程化为21dz z y dy y += 则 ln 2ln 1[]y y z e y e dy C -=+?，即 24311111()44C y y C y y y'=+=+，由初始条件 1(0)1,(0)2y y '== 得 10C =，于是，方程化为 2314y y '=，或 3212dy y dx =± 由初始条件应取 3212dy y dx =，即 3212y dy dx -=，积分得 2114x C y=-+，再由初始条件(0)1y =得21C =，所以原方程的特解为1114x y =- 或 21(1)4y x =-5、（6分）求方程 (4)30y y ''+= 的通解解：特征方程为 4230r r +=，特征根为123,40,3r r r i ===± 方程的通解为 1234cos 3sin 3y C C x C x C x =+++6、（10分）求方程 223y y x '''+=- 的通解解：对应的齐次方程为 0y y '''+=，其特征方程为 20r r += 特征根为 120,1r r ==-，齐次方程的通解为 12x Y C C e -=+ 因0λ= 是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为*2012()y x b x b x b =++代入原方程，比较系数得 0122,2,13b b b ==-=，于是得到一个特解 *22(21)3y x x x =-+，所求方程的通解为 *2122(21)3x y Y y C C e x x x -=+=++-+ 7、（12分）求满足条件 (0)1,(0)1f f '=-= 且具有二阶连续导数的函数()f x ，使方程 3()[sin 2()]02f x ydx x f x dy '+-=是全微分方程。
(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案
解：特征根为
i ，齐次方程的通解为： y c1 cos x c2 sin x
y' ' y x ， y ? c1 c2 x c1 0, c2 1 y ? x
?
0x
y' ' y 3sin 2 x ， y x e c1 cos x c2 sin x c1 sin 2x c2 cos 2x
待入原式得出： c1 1, c2 0 ，所以 y ? sin 2 x
Байду номын сангаас
解：变形得： dx x y 4 即 dx 1 x y3 ，是一阶线性方程
dy
y
dy y
P( y)
1
3
,Q ( y) y
y
1 dy
x ey
1 dy
y3e y dy C
1 y 4 Cy 3
三、伯努力方程 xy ' y x 3y 6
解： xy 6 y' y 5 x 3 ，
dy y 6 y 5 x 2 ，
dx
dx
du
du
u y , 所以 u y
dy
dy
dy
yu .( 将 y 看成自变量 )
eu (u 1)
u
1e
du ueu eu
y
u
u
dy 1 e
u eu
u
1e
1 eu u eu du
dy
d (u eu )
,
y
u eu
dy
u eu
, ln
y
c
1 ln y ln
y
1 u eu
,
yc
c y u eu
二、一阶线形微分方程
2
高等数学课外作业微分方程部分参考解答
⾼等数学课外作业微分⽅程部分参考解答⾼等数学课外作业微分⽅程部分参考解答4.1-4.2 微分⽅程的基本概念可分离变量的微分⽅程⼀．1.（1）⼆阶微分⽅程；（2）⼀阶微分⽅程；（3）⼀阶微分⽅程；(4) 不是微分⽅程；(5) ⼀阶微分⽅程。
2.（1）是；（2）不是3.（1）arcsin arcsin .s t C =+ （2）(1)(1).y x e e C +-=4.（1）2y x '=；（2）2.yy x '=- ⼆．1.分离变量得：ln sin dy dxy y x=，两边积分得：ln ln ln csc cot ln y x x C =-+，即ln (csc cot ).y C x x =-将,3x y e π==代⼊可得：C =故所求特解为：ln cot ).y x x =-2. 分离变量得：2.4dy dx y x =-两边积分得：12ln ln ln .42xy c x +=+-即y =将4,2x y ==代⼊，解得：c =故y = 3. 两边关于x 求导得：2.xy yy '=故或者0y ≡；或者1,2y x '=即21.4y x c =+ 注意到在原⽅程中令0x =，可得(0)0.y =因此0.c =于是所求微分⽅程的特解为：或者0y ≡；或者21.4三．设t 时刻物体运动速度为()v t ，则由已知条件结合⽜顿运动定律可得：t dvk m v dtv k m v ?====10(10)50,4, 1.(10)这是可分离变量微分⽅程，分离变量并积分可得：v =故所求速度为：v ==(60)/秒。
四．设曲线⽅程为().y y x =则曲线上点(,)x y 处的切线⽅程为：().Y y y X x '-=-由于它在两坐标轴之间的部分被切点平分，因此有：0(2)y y x x '-=-，也即有.y y x '-=分离变量得：dy dxy x=-，两边积分得：ln ln ln .y x c =-+因此 .xy c =由曲线过点(2,3)，可知 6.c =因此所求曲线⽅程为 6.xy =五．设()R t 表⽰时刻t 时镭的现有量。
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第七章微分方程与差分方程习题7－1（A ）1．说出下列微分方程的阶数：;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2．下列函数是否为该微分方程的解：x e x y y y y 2;02)1(==+'-'')(2;0)()2(2、、、、、C xx C y xdy dx y x -==++),(cos sin ;0)3(2121222、、、、、C C ax C ax C y y a dx y d +==+)(ln ;02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+3．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数：;5,)1(022==-=x yC y x ;1,0,)()2(0221='=+===x x x y ye x C C y .0,1,)(sin )3(21='=-===ππx x y yC x C y 4．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、),()1(y x 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、y PQ Q x y x P ),()2(习题7－1（B ）1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程：;1)()1(22=+-y C x .)2(21x x e C e C xy -+=2．用微分方程表示下列物理问题：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、P T P )1(、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)))2(11k k t m 习题7－2（A ）1．求下列微分方程的通解：;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ;)()3(2y y a y x y '+='-';10)4(y x dxdy+=;11)5(22x y y --=';1)6(2xy x dx dy -=;63)7(3222yx y y x x dx dy --=;0tan sec tan sec )8(22=+xdy y ydx x ;0sec )1(tan 3)9(2=-'+y e y ydx e x x .0)()()10(=++-++dy e e dx e e y y x x y x 2．求解下列初值问题：;0,)1(02=='=-x y x ye y ;4,cos cos sin cos )2(0π===x y dydxxy y x ;0,ln sin )3(2=='=πx yy y x y .1,)1()4(1=='+=x x x ye y y e 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)3,2(.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)31,1(.4习题7－2（B ）、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、2)(5.0,60)(10.1m c cm o 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(/4/50)(10)(1.22s cm g s cm s t g ⋅=、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、t R R R 01600.3、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5)/(6.40s m v =、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)(.50k kv v m 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、)1(1],[),2(.6>m my x a b a .)(,)()1()()(.70x y dx x y x x dx x y xx y x x 、、、、、、、、、、、、、、、⎰⎰+=习题7－3（A ）1．求下列齐次方程的通解：;)ln (ln )1(x y y y x -=';0)2(22=---'x y y y x ;0)()3(22=-+xydy dx y x ;0)2()4(=+-xdy dx y xy ;)ln ln 1()5(dx x y y dy x -+=.0332()6(=-+dy xych x dx x y ch y x y shx 2．求解下列初值问题：;0)1(,0cos cos()1(==-+y dy xyx dx x y y x .2)1(,)2(=+='y xy y xy 3．求一曲线方程，使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。
《高等数学》第七章 微分方程
曲线积分
1.两类曲线积分的基本计算法 2.格林公式及其应用 3.平面曲线积分与路径无关的条件,二元函数的全微 分求积
曲面积分
1.两类曲面积分的基本计算方法 2.高斯 ( Gauss )公式(p229定理1,p231例1,2 P236.1.作业题.p247.4(2)(3))
2.应用 (几何应用:空间曲线的切线与法平面(p94例4), 曲面的切平面与法线(p99例6).
多元函数的极值:无条件极值(p110定理1.2例4), 条件极值(p115.拉格朗日乘数法,p116例8))
第十,十一章.多元函数积分学(40)%
重积分
1.计算二重积分( 直角坐标, 极坐标),交换积分次序
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规 则写出微分方程的通解
特征方程的两个根r1 ，r2
微分方程的通解
两个不相等的实根 r1，r2
y C1er1x C2er2x
两个相等的实根 r1 r2
y (C1 C2 x)er1x
一对共轭复根 r1,2 i y ex (C1 cos x C2 sin x)
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
小结 y py qy f ( x)
通解 y Y y* c1 y1 c2 y2 y*
(完整版)高等数学微分方程试题
第十二章 微分方程§12-1 微分方程的基本概念、判断题 1.y=ce 2x(c 的任意常数 )是 y =2x 的特解。
2. y=( y ) 3是二阶微分方程。
3. 微分方程的通解包含了所有特解。
4. 若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。
5. 微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。
二、填空题 微分方程 .(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。
A)( y )+x 2 y+x 2=0 (B) ( y ) 2+3x 2y=x 3 (C) y +3 y +y=0 (D) y -y 2=sinx2 2 2x 3x 1．y Cx 2 C 2(其中 C 为任意常数) 2.y C 1e 2x C 2e 3x (其中 C 1 ,C 2为任意常数)五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻 力与运动的速度成正比。
用微分方程表示物体， 在液体中运动速度与时间的关系并写出初始 条件。
12-2 可分离变量的微分方程 一、求下列微分方程的通解1. 2. 3. 积分曲线 y=(c 1 +c 2 x)e 2x中满足y x=0=0, y x=0=1 的曲线是三、选择题 1．下列方程是常微分方程A )、x 2+y 2=a 2 (B) 、 y+ d(earctanx) 0 (C)dx2 a2+ 2a2 22=0 (D)、 y =x 2+y 2y2.下列方程中是二阶微分方程3.微分方程 ddx 2y+w 2y=0 的通解是其中 c.c 1.c 2 均为任意常数A ) y=ccoswx(B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx2 则微分方程 y =3y3 的一个特解是 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c) 34. C 是任意常数，(A )y-=(x+2) 3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。
《高等数学》例题解析-第二十讲 二阶线性微分方程
一、单项选择题
1．以 y c1e2x c2e3x 为通解的二阶线性常
系数齐次微分方程为
()
A． y y 6 y 0
B． y y 6 y 0
C． y y 6 y 0
D． y y 6 y 0
解： r1 2, r2 3
r 2r 3 0, r2 r 6 0.
y0 1, 1 9 2c2 , c2 4 特解: y e3x 3cos 2x 4 sin 2x
16．已知二阶线性常系数齐次方程的特征方程
的根为 r1,2 1 2i ,求此微分方程.
解：(1)特征方程:
r 1 2ir 1 2i 0 r 12 2i2 0 , r 12 4i2 0
11． y 2 y 2 y ex 2x 的待定特解 y 解：(1) r2 2r 2 0
r1,2
2
48 2
1 i
r1,2 10
100 4 34 2
5 6 i 5 3i 2
通解 y e5x Acos 3x B sin 3x
9． y 6 y 9 y xe3x 的待定特解 y 解：(1) r2 6r 9 0 .
Ax3 Bx2 Cx y 3Ax2 2Bx c1 y 6Ax 2B 代入原方程:
i2 1 , r2 2r 1 4 0
r2 2r 5 0 (2)微分方程: y 2 y 5y 0
17．求 y 3y 9x2 的通解. 解：(1) r2 3r 0 ， r1 3, r2 0
y x c1 c2e3x
(2) 0 是特征单根.
y x Ax2 Bx C
A． Ax2 Bx c B． x Ax2 Bx c
C． Ax2 B
D． x Ax2 B
高等数学-微分方程证明题
高等数学一、证明题（共 52 小题，）1、验证322131t t C C x ++=是方程tx x t ¢¢-¢=2的通解。
的通解。
2、证明：由参数方程x t t y t t C =+=+++ìíïïîïï31321413332()所确定的函数y y x C =(,)是方程是方程x y xy 3330+¢-¢=的通解。
的通解。
3、证明：()x C y C ++=2221（C C12,为任意常数）是方程102+¢¢+¢=yy y 的通解。
的通解。
4、证明：y e x x =-2333212sin 是初值问题ïîïïíì===++==1d d ,00d d d d 0022x x xy y y x y x y 的解。
的解。
5、证明：方程¢+=y ky kq x ()的通解是y e C kq u e u kxkux=+æèçöø÷-ò()d 0，其中，其中 C 为任意常数。
为任意常数。
6、验证：x x y y C 42242++=（C 为任意常数）是方程()d x xy x 32+++=()d x y y y 230的通解。
的通解。
7、验证：y x e x x C x =+æèçöø÷òd 是微分方程xy y xe x¢-=的通解。
的通解。
8、验证x t t =-223(sin sin )是初值问题是初值问题d d sin d d 2200410302x t x t x xt t t +===-ìíïïîïï==的解。
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第十二章 微分方程§12-1 微分方程的基本概念一、判断题1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。
( )2.y=(y '')3是二阶微分方程。
( )3.微分方程的通解包含了所有特解。
( )4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。
（ ）5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。
（ ）二、填空题1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。
2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。
3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足yx=0=0, y 'x=0=1的曲线是 。
三、选择题1．下列方程中 是常微分方程（A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ∂∂+22ya ∂∂=0 （D ）、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程（A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx3.微分方程22dxy d +w 2y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx4. C 是任意常数，则微分方程y '=323y 的一个特解是（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1．22C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数）五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。
用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
12-2可分离变量的微分方程一、求下列微分方程的通解1．sec2.tacydx+sec2ytanxdy=02．(x+xy2)dx-(x2y+y)dy=03．(e x+y-e x)dx+(e x+y-e y)dy=04．y'=cos(x-y).(提示令.x-y=z)二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解π1．cosydx+(1+e-x)sinydy=0. y x=0=42.1.1sec 232-==+=πx y xdx dy y x三 、设f(x)=x+⎰x0f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。
五、船从初速v 0=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。
已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。
12-3 齐次方程一、求下列齐次方程的通解1 y x '-xsin 0=x y2 (x+ycos )x y dx-xcos xy dy=0二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解1．xy ax dy =x 2+y 2 y x=e =2e 2.x 2dy+(xy-y 2)dx=0y x=1=1三、求方程：（x+y+1）dx=(x-y+1)dy 的通解四、设有连结点O(0，0)和A （1，1）一段向上凸的曲线孤A O ⋂对于A O ⋂上任一点 P （x ，y ）,曲线孤与P O ⋂直线段OP -所围图形的面积为x 2，求曲线孤A O ⋂的方程。
12.4 一阶线性微分方程一、求下列微分方程的通解1.x y '+y=xe x2.y '+ytanx=sin2x3.y '+x x y x sin 1= 4.y e y x y dx dy 3+=二、求下列微分方程满足初始条件的特解1．y 'cosy+siny =x y40π==x 2.(2x+1)e y y '2e y =4 y 00==x三、已知f(π),曲线积分b a ⎰[]dy x f dx xy x f x )()(sin +-与路径无关，求函数f(x).四、质量为M 0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m 克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。
五、 求下列伯努利方程的通解1．y ′+x y x=12y 5 2. xy ′+y-y 2lnx=012-4全微分方程一、求下列方程通解1．[cos(x+y2)+3y]dx+[2ycos(x+y2)+3x]dy=02.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=03.e y dx+(xe y-2y)dy=0二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解1 ydx-xdy+y2xdx=02 y(2xy+e x)dx-e x dy=0三、[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0为全微分方程，其中函数f(x)连续可微，f(0)=0,试求函数f(x)，并求该方程的通解。
一、求下列各微分方程的通解1．y ''=xsinx 2. y ''-y '=x3.y y ''+(y ')2=y '4. y ''(1+e x )+y '=0二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解1．2y ''=sin2y y20π==x y '10==x2. x y ''-y 'ln y '+y 'lnx=0 y21==x y '21e x ==三、函数f(x)在x>0内二阶导函数连续且f(1)=2，以及f '(x)-0)()(21=-⎰dt t t f x x f x ,求f(x).四、一物体质量为m,以初速度V o 从一斜面上滑下，若斜面的倾角为α，摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。
一、选择题1．下列方程中 为线性微分方程（A ）（y '）+x y '=x (B)y x y y =-'2(C) x e y xy x y =+'-''222 (D)y xy y y cos 3=-'-'' 2.已知函数y 1=221x x e +，y 1=221x x e -，y 3=e (x-2)1x 则（A ）仅y 1与y 2线性相关 （B ）仅y 2与y 3线性相关（C ）仅y 1与y 3线性相关 （D ）它们两两线性相关3．若y 1和y 2是二阶齐次线性方程，y ''+p(x)y '+4(x)y=0两个特解，c 1c 2为任意常数，则y=c 1y 1+c 2y 2(A)一定是该方程的通解 （B ）是该方程的特解（C ）是该方程的解 （D ）不一定是方程的解4．下列函数中哪组是线性无关的（A ）lnx, lnx 2 (B)1， lnx (C)x, ln2x (D)ln x , lnx 2二、证明：下列函数是微分方程的通解1y=c 1x 2+c 2x 2lnx(c 1 c 2是任意常数)是方程x 2y ''-3x y '+4y=0的通解2y=c 1e -x +c 2e x e x +2(c 1c 2是任意常数)是方程2x e y y 2='+'''的通解三、设y 1(x)y 2(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且y 1(x)y 2(x).y 3(x).线性无关， 证明：微分方程的通解为：)()1()()(3212211x y c c x y c x y c y --++=四、试求以y=1(1c x e x +c 2e -x )+2x e (c 1,c 2是任意常数)为通解的二阶线性微分方程。
12-9 二阶常系数齐次线性微分方程一、选择题1以y 1=cosx,y 2=sinx 为特解的方程是（A ）0=-''y y (B)0=+''y y (C)0='+''y y (D)0='-''y y2．微分方程20=-'+''y y y 的通解是（A ）x x e c e c y 221--=（B ）221xx e c e c y -=-（C ）221xx e c e c y --= (D)x x e c e c y 221+=-3．常微分方程0)(2121=+'++''y y y λλλλ，（其中21,λλ是不等的系数），在初始条件y 1x=0=00='=x y 特解是（A ）y=0 (B)y=x x e c ec 2121λλ+ (C)221x y λλ= （D ）221)(x y λλ+= 4．x e y 2=是微分方程06=+'+''y y p y 的一个特解，则此方程的通解是（A ）x x e c ec y 3221-+= （B ）x e xc c y 221)(+= （C ）x x e c ec y 3221+= （D ）)3cos 3sin (212x c x c e y x += 5．x x e c e c y -+=21是微分方程 的通解（A ）0=+''y y （B ）0=-''y y （C ）0='+''y y （D ）0='-''y y 二、求下列微分方程的通解1．05='-''y y 2．044=+'-''y y y3．04=+'+''y y y 4．065=+'-''y y y5．01036=+'+''-'''y y y y 5. 02)4(=''+'''-y y y三、求下列微分方程满足初始条件的特解1．0102=+'+''y y y 10==x y201==x y2．032=-+x dt dx dt x d 00==t x 10='=t x四、一质量为m 的质点由静止（t=0,v=0）开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大小成正比（比例系数为k ），求此质点的运动规律。