中考数学专题9：相似三角形的存在性问题探究

专题九：相似三角形的存在性问题探究

导例：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，AC=8cm ．如果点P 由B 出发沿BA 方向终点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向终点C 匀速运动，它们的速度均为2cm/s ．当一个点到达终点时，两点都停止移动，连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）．当t= s 时，△APQ 与△ABC 相似？

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论. ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小.

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解.

导例答案：20

9或25

9.

典例精讲

方法点睛

专题导入

类型一：已知两定点来建构三角形与已知三角形相似

例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；

（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出B，C两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式；

（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；

（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．

类型二：动点产生的三角形相似问题

例2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝10厘米，OC＝6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为每秒1厘米．

(1)设点Q的运动速度为每秒1

厘米，运动时间为t秒，当△COP和△PAQ相似时，求点Q的

2

坐标；

(2)设点Q的运动速度为每秒a厘米，问是否存在a的值，使得△OCP与△PAQ和△CBQ这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】(1)依据三角形相似，可以得到比例线段，从而建构相应的方程，从而得到点Q的坐标；

（2）利用相似，得到比例线段，解关于a，t的二元一次方程即可，那么Q点的坐标就可以求得．

专题过关

点D的坐标为（0，1）．

（1）求直线AD的解析式；

（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．

x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，经过A，B的抛物线与x轴的2．如图，直线y＝﹣2

3

另一个交点为C（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求△PBC周长的最小值及此时点P坐标；

（3）在线段AB上是否存在点Q，使△ACQ与△AOB相似？若存在，求出点Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP 到E，使∠CAE=∠CDE，作∠DCG=∠ACE，其中G点在DE上．

4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（4，0），B（1，0）．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）点D是直线AC上方的抛物线上的一点，求△DCA面积的最大值；

（3）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M 为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E ，点M 是线段AD 上的动点，连结BM 并延长分别交DE ，AC 于点F ，G ．

（1）求CD 的长；

（2）若点M 是线段AD 的中点，求EF

DF 的值；

（3）请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好只有一点P ，使得∠CPG=60°？ 答案

例1．解答： 解：（1）由题意知x 1、x 2是方程mx 2﹣8mx +4m +2=0的两根，∴x 1+x 2=8． 由{x 1+x 2=8,

x 2−x 1=4.解得：{

x 1=2,x 2=6．

∴B （2，0）,C （6，0）．则4m ﹣16m +4m +2=0．

解得m =14．∴该抛物线解析式为：y =1

4x 2-2x+3；

（2）可求得A （0，3），设直线AC 的解析式为：y =kx +b ．

∵{6k +b =0，b =3.∴{k =−1

2，

b =3.

∴直线AC 的解析式为y =﹣12x +3，

要构成△APC ，显然t ≠6，分两种情况讨论：

①当0＜t ＜6时，设直线l 与AC 交点为F ，则F （t ，﹣1

2t +3）． ∵P （t ，1

4t 2-2t+3），∴PF = -1

4t 2+3

2t ．

∴S △APC =S △APF +S △CPF =12(-1

4t 2+3

2t) ·t+12(-1

4t 2+3

2t) ·(6-t)=12(-1

4t 2+3

2t) ·6=-3

4(t −3)2+27

4． 当t =3时，取最大值，最大值为27

4．

②当6≤t ≤8时，设直线l 与AC 交点为M ，则M （t ，﹣1

2t +3）． ∵P （t ，1

4t 2-2t+3），∴PM =1

4t 2-3

2t ．

∴S △APC =S △APF ﹣S △CPF =12(1

4t 2-3

2t)t -12(1

4t 2-3

2t) ·(t -6)=3

4t 2-9

2t=-3

4(t −3)2−274

当t =8时，取最大值，最大值为12．

综上可知，当0＜t ≤8时，△APC 面积的最大值为12；

（3）如图，连接AB ，则△AOB 中，∠AOB =90°，AO =3，BO =2，

设Q （t ，3），P （t ，1

4t 2-2t+3）．

①当2＜t ≤6时，AQ =t ，PQ =−1

4t 2+2t ，

若△AOB ∽△AQP ，则AO AQ =BO PQ ，即3t =2

−14

t 2+2t ．∴t =0（舍去），或t =16

3．

若△AOB ∽△PQA ，则AO PQ =BO

AQ ，即3

−14

t 2+2t =2

t ．∴t =0（舍去）或t =2（舍去）．