高中数学学业分层测评8含解析北师大版选修2_1

学业分层测评(八)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．给出下列命题：

①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；

②已知向量a ∥b ，则a 、b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；

③A 、B 、M 、N 是空间四点，若BA →、BM →、BN →

不能构成空间的一个基底，那么A 、B 、M 、N 共面；

④已知向量组{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底．

其中正确命题的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解析】 空间中只要三个向量不共面就可以作为一个基底，故①正确；②中，a ∥b ，

则a ，b 与其他任一向量共面，不能作为基底；③中，向量BA →，BM →，BN →

共面，则A 、B 、M 、N 共面；④中，a 与m ，b 不共面，可作为空间一个基底．故①②③④均正确．

【答案】 D

2．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α、β、γ分别为( )

A.52，－1，－12

B ．52，1，12

C ．－52，1，－12

D ．52，1，－12

【解析】d ＝αa ＋βb ＋γc

＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)

＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3

＝e 1＋2e 2＋3e 3.

由向量基底表示唯一性得

⎩⎪⎨⎪⎧ α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，

α－β＋γ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ α＝52，β＝－1，γ＝－12.

【答案】 A

3．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为

( )

A ．1

B ．－1 C.14 D ．－14

【解析】a·i ＝|a ||i |cos 〈a ，i 〉，

∴|a |cos 〈a ，i 〉＝a·i |i|

＝(i ＋2j ＋3k )·i ＝1. 【答案】 A

4．如图2­3­9，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D 是面BB 1C 1C 的中心，且AA1→＝a ，AB →＝b ，AC →

＝c ，则A1D →

＝(

)

图2­3­9

A.12a ＋12b ＋12

c B.12a －12b ＋12

c C.12a ＋12b －12

c D ．－12a ＋12b ＋12

c 【解析】A1D →＝A1C1→＋C1D →＝AC →＋12

(C1C →＋C1B1→

) ＝c ＋12(－AA1→＋CA →＋AB →)