曲面积分精解

第一节 第一类曲面积分

内容要点

一、 第一类曲面积分的概念与性质

定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ∆(i S ∆同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ∆上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积

),,2,1(),,(n i S f i i i i =∆⋅ζηξ

并作和

,),,(1

∑=∆⋅n

i i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在, 则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为

∑⎰⎰=→∑

∆=n

i i i i i S f dS z y x f 10

),,(lim ),,(ζηξλ (4.2) 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法

.),(),(1)],(,,[),,(22

⎰⎰⎰⎰++=∑xy

D

y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f (4.3) 例题选讲

例 1 计算曲面积分,⎰⎰∑z

dS

其中∑是球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部.

解 ∑的方程为.222y x a z --=

∑在xOy 面上的投影区域:xy D {}

.),(2222h a y x y x -≤+

又,12

2

2

22

y

x a a z z y x --=

++利用极坐标

故有

⎰⎰

⎰⎰

-=∑

xy

D r a adxdy z dS 22 220

202

22

2r a rdr d a r a ardrd h

a D

xy

-=-=⎰

⎰

⎰⎰

-θ

θ

π

2

20

22)(212h a r a In a -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=π

.2h

a

aIn π=

例2（E01）计算,)(⎰⎰∑

++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面252

2=+y x 所截得的部分.

解 积分曲面

∑-=,5:y z 其投影域},25),({22≤+=y x y x D

xy

,2)1(01122

2dxdy dxdy dxdy z z dS y x =-++=++=

故

⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=-++=++∑

xy

xy

D D dxdy x dxdy y y x dS z y x )5(2)5(2)(

.2125)cos 5(25

20

πθθπ=+=⎰⎰rdr r d

例3（E02）计算

,⎰⎰∑

xyzdS 其中∑是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围四面

体的整个边界曲面.

解 如图(见系统演示)，

.234

1xyzdS xyzdS ⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

∑∑∑

∑∑

注意到在321,,∑∑∑上，被积函数,0),,(==xyz z y x f 故上式右端前三项积分等于零. 在4∑上，,1y x z --=所以

,3)1()1(112222=-+-+=++y x z z

从而

⎰⎰⎰⎰∑∑

=4

xyzdS xyzdS ⎰⎰

--=xy

D dxdy y x xy ,)1(3其中xy D 是4∑在xOy 面上的投影区域.

=⎰⎰

∑

xyzdS ⎰

⎰---=x

dy y x y xdx 10

10

)1(3

dx y y x x x

-⎰

⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡--=101

03232)1(3

dx x x ⎰

-⋅=1

036)1(3

.120

3)33(6343102=-+-=⎰

dx x x x x 例4计算

,dS xyz ⎰⎰

∑

其中

∑

为抛物面).10(22

≤≤+=z y x

z

解 根据抛物面22

y x

z +=对称性,及函数||xyz 关于yOz xOz 、坐标面对称,有

dxdy y x y x xy xyzdS dS xyz xy D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+++=∑=∑2222)2()2(1)(441

⎰⎰⎰⎰+=+⋅=20

1

2510

2

2

2

20

412sin 241sin cos 4π

π

dr r r tdt rdr r r

t t r dt

.420151254141512

-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎰du u u 例 5 计算

,⎰⎰

∑

xdS 其中

∑

是圆柱面,122=+y x 平面2+=x z 及0=z 所围成的空间

立体的表面.

解

，

＝⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰∑+

∑+

∑∑

3

2

1

∑∑

1

2

，在xOy 面上得投影域.1:22≤+y x D xy

于是

⎰⎰⎰⎰∑==1

,0xy

D xdxdy xdS ⎰⎰⎰⎰∑=+=2

,011xy

D dxdy x

xdS

将

)1:,(31

32

23

∑∑

∑-±=x y 投影到zOx 面上，得投影域

.10,11:+≤≤≤≤-x y x D xy

dxdz y y x

xdS xdS xdS zx

D z x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=∑+∑=∑2

21232

31

3

,121122011222π=-=-+=⎰⎰⎰⎰+-x D dz x x

dxdz x x x xz

所以

.00ππ=++=∑

⎰⎰xdS

例6（E03）计算

,)(222

⎰⎰∑

++dS z y x

∑为内接于球面2222a z y x =++的八面体

a z y x =++||||||表面.

解 被积函数222),,(z y x z y x f ++=关于三个坐标面和原点均对称.积分曲面∑也具有对称性,故原积分

⎰⎰⎰⎰∑

∑=1

,8

其中),0,,(:1>=++∑z y x a z y x 1∑在xOy 面上的投影为,0:a x D xy ≤≤,0x a y -≤≤而

,y x a z --=所以

.3122dxdy

dxdy z z dS y x =++= dS z y x dS z y x

⎰⎰

⎰⎰∑∑

++=++1

)(8)(222222