导数知识点

导数知识点归纳

一、导数的概念

函数()y f x =,如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量

y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值

x

y

∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即

x y ∆∆=x

x f x x f ∆-∆+)()(00. 如果当0→∆x 时，

x

y

∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数（或变化率），

记作()0f x '或y’|0x x =。即： ()0f x '= 0

lim →∆x x y

∆∆=0lim →∆x 00()()f x x f x x

+D -D . 说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，

x y ∆∆有极限。如果x

y

∆∆不存在 极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量， 可以是零。

由导数的定义可知，求函数()y f x =在点x 0处的导数的步骤： ① 求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； ② 求平均变化率

x y ∆∆=x

x f x x f ∆-∆+)

()(00； ③ 取极限，得导数()00lim

x y

f x x

∆→∆'=∆.

二、导数的几何意义和物理意义 1．导数的几何意义

函数()y f x =在点x 0处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点

p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线()y f x =在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。 2.导数的物理意义

如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s '（t ）.

如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度()a v t '=. 三、导数的运算

1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;

⑦()1

ln x x '=;

⑧()1

l g log a a o x e x

'=.

2．导数的运算法则

①两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±

②两个函数的积的导数,前导后不导加上后导前不导，即：

''

'().uv uv uv =+

若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.

也就是说：常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =

三个函数积的导数：(uvw)

u vw uv w uvw ⅱⅱ=++.

③两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：

='

⎪⎭⎫ ⎝⎛v u 2

'

'v uv v u -（v ≠0）。 3.复合函数的导数

设函数(x)u j =在点x 处有导数(x)u j ⅱ=，

函数y=f(u)在点x 的对应点u 处有导数(u)y f ⅱ=，则复合函数((x))y f j =在点x 处也有导数x u x y f u ⅱ =，

也就是说：y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 求导步骤：

分解——>求导——>回代。

法则：|||x u x y y u '''=⋅或者[()]()()f x f x ϕϕϕ'''=. 注：复合函数()y f ax b =+的导数为：()y af ax b ''=+. 4、导数运算原则

对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则！ 5、二阶导数

四、导数的几何意义的应用1——切线方程 1、经过一定点求切线方程

经过一定点求切线方程首先切记要分析这一定点是否为切点，根据定点是不是切点可分两种情况：

①定点P （x 0，y 0）为切点（此定点一定在曲线上；已知切点）：

求出曲线对应函数的导数，代入切点求出切线的斜率，再利用点斜式，即可求出切线方程.即：000(x )(x x )y y f ¢-

=-

②定点P （x 0，y 0）不为切点（此定点可在可不在曲线上）： 第一步：设出切点坐标（x 1，y 1）； 第二步：写出过（x 1，y 1）的切线方程：111(x )(x x )y y f ¢-

=-. 第三步：将定点P （x 0，y 0）代入切线方程01101(x )(x x )y y f ¢-=-

再与方程11(x )y f =联立，解出x 1，y 1.（可能不唯一）

第四步：点斜式写出切线方程. 2、已知切线的斜率，求切线方程（找切点）

求出曲线对应函数的导数，使其等于斜率，求出切点横坐标，进而求出切点，再利用点斜式，即可求出切线方程.

五、导数的应用2——函数的单调性 1、函数单调性的判定方法：

设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，如果(x)0f ¢

>，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果(x)0f '<，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减；如果在这个区间内恒有()0f x '=，则()y f x =为常数函数.

注：①(x)0f >是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，同样(x)0f <是f （x ）递减的充分非必要条件.

②一般地，如果(x)f ¢

在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 2、函数图象与其导函数图象的关系.

观察导函数图象：(x)f ¢的图象在x 轴的上方（或下方），则函数在该区间

内满足(x)0f ¢>（或(x)0f ¢<），也就是说在相应的区间内是增函数（或减

函数）.

3、导数法求函数单调区间的一般步骤： ①求定义域：求函数()y f x =的定义域；

②求根：求导数方程(x)0f ¢

=在定义域内的根； ③划分区间：用求得的根划分定义域所在区间；

④定号：确定(x)f ¢

在各子区间内的符号； ⑤得出结论.

注：求可导函数的单调区间，实质上是解导数不等式：若求减区间，则解