电子测量 第2章 测量误差分析及数据处理

最大值
xm m xm
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0
Am
A
2.3 一次直接测量时最大误差估算
电工仪表就是按引用误差 之值进行分级的。 m 我国电工仪表共分七级：0.1，0.2，0.5，1.0， 1.5，2.5及5.0。如果仪表为S级，则说明该仪表 的最大引用误差不超过S% xm 测量点的最大相对误差
x
x
S%
在使用这类仪表测量时，应选择适当的量程，使 示值尽可能接近于满度值，指针最好能偏转在不 小于满度值2/3以上的区域。
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2.3 一次直接测量时最大误差估算
[例1-3] 某待测电流约为100mA，现有0.5级量程 为 0 ～ 400mA 和 1.5 级量程为 0 ～ 100mA 的两个电 流表，问用哪一个电流表测量较好？ 解：用0.5级量程为0～400mA电流表测100mA时， 最大相对误差为
随机误差（又称为偶然误差）
随机误差反映了测量结果的精密度。
随机误差的大小表明测量结果的分散性。随机误 差大，测量结果分散，精密度低。反之，测量结 果的重复性好，精密度高。
准确度用来反映系统误差和随机误差的综 合影响，准确度越高，表示正确度和精密 度都高，意味着系统误差和随机误差都小。
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2.2测量误差的表示方法
（2）修正值 与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称为 修正值
C x A x
测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定给出，修正 值可以是数值表格、曲线或函数表达式等形式。
被测量的实际值
A x C
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2.2测量误差的表示方法
vb xb x 3
则认为xb是含有粗大误差的坏值，应予剔除。 x


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2.5 随机误差的处理方法
2.5.4.2粗大误差的判别与坏值的舍弃
② 肖维勒准则 测量值 Xd 的剩余误差的绝对值 | Pd|> n --- 坏值 --- 剔除 n --- 肖维勒系数（查表确定） ③ 格拉布斯准则 测量值 Xd 的剩余误差的绝对值| Pd|> (,n) --- 坏值 --- 剔除 (,n) --- 查表确定
2.3 一次直接测量时最大误差估算
满度相对误差（引用相对误差）
用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误 差与该量程值（上限值－下限值）之比来表示的 相对误差，称为满度相对误差（或称引用相对误 差）
m
xm 100% xm
x
xm
| xm |
| xm | xA
仪表各量程内绝对误差的
1
是方均根误差，或称标准误差。标准误差 可由下式求得 式中
lim
n
1 n (x iBiblioteka Baidu- x 0 ) 2 n i 1 1 n 2 i n i 1
lim
n
计算
时，必需已知真值x0，可以利用算术平均值代替真值x0:
x x2 xn 1 n x xi 1 i n i 1 n
Ⅳ.单峰性
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2.5.2 随机误差的特点
用长300mm的钢板尺，测量已知长度为：836mm的导线，共测量 了150次，即n=150。现将测量结果，对应的误差，各误差出现的次 数ni等列于表1-1中
表1-1 测量误差分布表
误差区间中心值 δi(mm) -5 -4 -3 -2 -1 +0 +1 +2 +3 +4 +5 出现次数 ni 1 3 8 18 28 34 29 17 9 2 1


（3）方法误差和理论误差
（4）人身误差
2 测量误差的分类
按误差来源：装置误差、环境误差、方法误差、人员误差 按掌握程度：已知误差、未知误差 按变化速度：静态误差、动态误差 按特性规律：系统误差、随机误差、粗大误差
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2.4.1系统误差（System error）
系统误差分为恒值系统误差和变值系统误差。 如图1.1变值系统误差常见的有： ① 线性系统误差 ② 周期性系统误差 ③ 复杂规律变化的系统误差
2.相对误差
一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小，而且与这个量 本身的大小有关。 例：测量足球场的长度和成都市到绵阳市的距离，若绝对误差都为1 米，测量的准确程度是否相同？ （1）相对真误差、实际相对误差、示值相对误差 相对误差：绝对误差与被测量的真值之比

x 100% A0
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2.5.1 概率、概率密度与正态分布
2.5 随机误差的处理方法
客观上可能出现，也可能不出现，而且不能预测的现象 称为随机事件或随机现象。 随机误差在某个范围内取值的可能性，就是一个随机事 件的统计概率问题。
2.5.2 随机误差的特点
随机误差正态分布的特性： I.对称性 II. 有界性 III.抵偿性。
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2.4.1系统误差（System error）
判别是否存在系统误差的方法:
实验对比法
使用高一级的仪器重复测量，适用于恒值误差。 将剩余误差画成曲线，适用于变值系统误差。 用于发现是否存在线性系统误差。 用于发现是否存在周期性系统误差。
剩余误差观察法
马利科夫判据
阿卑-赫梅特判据
3.有效数字
在数字修约过程中要注意以下几点。 (1)“0”的意义： (2)有单位的数字更需注意记录的方法。 (3)带有绝对误差的数字应和绝对误差取齐。 (4)带有单位的测量值，有效数字应和绝对误差取齐。
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2.5 随机误差的处理方法 x
_
x
_
2.5.4测量结果的置信度和测量结果的正确表示 2.5.4.1置信区间:
当随机误差出现在某一指定区间内概率足够大时，该测量误差 的估计值就具有较大的可信度。此时，测量值落在[x0-a, x0+a]区 间内的可信度也较大。上述[-a, +a]区间就叫置信区间。相应的概 率值叫做置信概率。置信区间和置信概率结合起来表明测量的置 信度。 为正确表示测量结果，通常使置信区间取标准误差的整数倍，此 倍数称为 置信系数 。适当确定置信系数，测量结果就可以有较高 的置信概率。
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--- 系统误差和随机误差的综合反映
2.4.3疏失误差（Abnormal error）
疏失误差（又称粗大误差或粗差） 在一定的测量条件下，测量值明显偏离实 际值所造成的测量误差。
检测系统各组成环节发生异常和故障等引 起
人为因素造成的。例如，测量人员工作时疏忽大意，出 现了读数错误、记录错误、计算错误或操作不当等。另 外，测量方法不恰当，测量条件意外的突然变化，也可 能造成粗大误差。
xm 400 x1 s% 0.5% 2% x 100
用1.5级量程为0～100mA电流表测量100mA时的最 大相对误差为 x 100
x2
m
x
S%
100
1.5% 1.5%
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2.4 测量误差的分类
1 测量误差的来源
测量误差的主要来源: （1）仪器误差 （2）影响误差
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2.4.1系统误差（System error）
减少系统误差的方法:
从产生系统误差的根源上采取措施
方法正确，原理正确，工作环境安排合理，测量人员技术水平 修正值
修正法

减少恒值误差的技术措施
零示法 替代法

微差法
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2.4.2随机误差（Random Error）
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2.6 测量结果的数据处理
2.近似运算法则
1）近似值相加减 【例1.5】13.435 +20.382 + 5.63 + 4.6 =13.44 + 20.38 + 5.63 + 4.6 = 44.05≈44.0 2）近近似值相乘除 3）近似值乘方或开方 4）对数的位数与其真数有效数字的位数相同。
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2.5.2 随机误差的特点

在直角坐标图上，以频率(ni/n)为纵坐标，以随机误差 i为横坐 标，画出它们的关系曲线，得到频率直方图，或称统计直方图。如 图所示。
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2.5 随机误差的处理方法
2.5.3 算术平均值和标准偏差
正态概率密度分布函数(高斯误差方程):
2 f( ) exp(- 2 ) 2 2
_
i
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2.5 随机误差的处理方法
由此，可得标准误差的估计值计算公式(贝塞尔公式):
_ 1 n 1 n 2 ˆ (x i - x ) vi n - 1 i 1 n - 1 i 1 标准误差的大小可以表示测量结果的分散程度。图l.3.6 给出不同 值的三条正态分布曲线。由此可见， 值愈小，则分布曲线愈尖锐。 也就是说，测量结果的分散性较小。因此，小说明测量的精密度 高。对值大的分布曲线可以得到相反的结论。 2
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2.4.3疏失误差（Abnormal error）
系统误差、随机误差和疏失误差三者对测量 结果的影响，如图2.2所示。
①仅存在随机误差时 如图1.2（a）所示。 ②仅存在系统误差时 如图1.2（b）、（c） 所示。 ③同时存在三种误差 时 如图1.2（d)）、 (e) 所示。 在剔除坏值之后，测 量值一般可以表示为: x=A±|ε |±|δ | 图2.2
分贝误差是用对数形式（分贝数）表示的一种相对误差，单 位为分贝（dB）。 电压增益的测得值为
Vo Ax 误差为 Vi
A Ax A
用对数表示为增益测得值的分贝值
Gx 20 lg Ax ( dB)
分贝误差
dB
A 20lg(1 ) A
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2.2测量误差的表示方法
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2.4.2随机误差（Random Error）
a)
b)
正确度 精密度和精确度示意图
c)
、
图a的系统误差较小，正确度较高。但随机误差较大，精密度低。
图b的系统误差大，正确度较差。但随机误差小，精密度较高。
图c的系统误差和随机误差都较小，即正确度和精密度都较高。因 此精确度高。显然，一切测量都应当力求精密而又正确。
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2.5 随机误差的处理方法
2.5.4.2粗大误差的判别与坏值的舍弃
①拉依达准则(3σ准则):
设对被测量进行等精度测量，独立得到 x1，x2，…，xn，算出其 算术平均值 及剩余误差vi=xi(i=1, x 2, …, n)，并按贝塞尔公 式算出标准误差 σ ，若某个测量值 xb 的剩余误差 vb(1≤b≤n)满足 下式
相对误差是两个有相同量纲的量的比值，只有大小和符号，没有单位。
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2.2测量误差的表示方法
x 用实际值A代替真值A 100% 0 A 示值相对误差： x 用测量值X 代替实际值A x 100% x
实际相对误差： A
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2.2测量误差的表示方法
（2）分贝误差——相对误差的对数表示
测量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。 1.绝对误差 （1）定义：由测量所得到的被测量值与其真值之差，称为绝对
误差
x x A0
x 有大小，又有符号和量纲
实际应用中常用实际值A（高一级以上的测量仪 器或计量器具测量所得之值）来代替真值。
x x A 绝对误差：
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测量区间中心值 区间号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 xi(mm) 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841
频率 ni/n (%) 0.66 2.00 5.33 12.00 18.66 22.66 19.33 11.33 6.00 1.32 0.66
第2章 测量误差分析及数据处理
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2.1 测量误差的基本原理
2.1.1测量误差的基本概念
测量误差的定义 测量的目的: 获得被测量的真值。 真值: 在一定的时间和空间环境条件下， 被测量本身所具有的真实数值。 测量误差 : 所有测量结果都带有误差 。
x x A
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2.2测量误差的表示方法
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2.6 测量结果的数据处理
2.6.1 数字的舍入规则
1.数字的舍入规则
“小于5舍，大于5入，等于5时看奇偶”。 【例1.3】对以下数据进行舍入处理，要求小数点后 只保留2位。 16.372 0——16.37 32.455 0——32.46 4.545 2——4.55 3.854 6——3.85 1.995 —— 2.00 1.985——1.98 【例1.4】将15.4546进行舍入处理，要求保留整数。 不对的做法：15.4546——15.455——15.46—— 15.5——16 正确的做法：15.4546——15