第四节平面向量应用举例

第四节 平面向量应用举例 1．向量在几何中的应用

(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔ ⇔ (b ≠0)．

(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a ⊥b ⇔ ⇔ (3)平面几何中夹角与线段长度计算； ①cos 〈a ，b 〉＝ ＝ ②|AB |＝|AB →

|＝

AB →

2＝ .

2.平面向量在三角函数中的应用

与三角函数相结合考查向量的数量积及坐标运算是高考的热点，其独特的表现形式是命题的亮点，常以客观题或解答题的形式呈现．主要命题角度：(1)向量的模、夹角的计算；(2)以向量为载体，研究三角函数的性质；(3)借助向量运算，进行三角恒等变换或求值．

3.平面向量在解析几何中的应用

平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．

考向1 平面向量在几何中的应用

【典例1】 (1)如图1，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →

的值是________．

图1

(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DC →的最大值为________．

考向2 平面向量在三角函数中的应用(高频考点)

【典例2】已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.

(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；

(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．

考向3平面向量在解析几何中的应用

【典例3】 (2015·苏州模拟)已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且

⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PC →＋12PQ →·⎝ ⎛⎭

⎪⎪

⎫PC →－12PQ →＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；

(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最大值．

作业 设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，求P 点的轨迹方程．