第7章-非线性方程组的求解

第7章
6
¾根据每级荷载增量求位移增量时所采 用的刚度矩阵的不同，增量法又可以 分为：
z 始点刚度法 z 平均刚度法 z 中点刚度法
第7章
8
2
二. 始点刚度法
¾始点刚度法是在计算第 i 级荷载增量引起的 位移增量时，采用第 i-1 级荷载增量末的刚 度值来求解，即：
{Δδ }i = [K ]i−−11{ΔP}i
第7章
39
• 原迭代过程中的有限元方程为：
⎡k11
⎢ ⎣
k21
式中：
k 12 k 22
⎤ ⎥ ⎦
⎧⎩⎨δδ12
⎫ ⎬ ⎭
=
Δλ
⎧ ⎨ ⎩
P1 P2
⎫ ⎬ ⎭
+
⎧ ⎨ ⎩
R1 R2
⎫ ⎬ ⎭
⎧⎨⎩δδ12
⎫⎬－位移增量列向量； ⎭
⎧ ⎨
P1
⎫⎬－参考荷载向量；
⎩P2 ⎭
⎧ ⎨ ⎩
R1 R2
⎫⎬－迭代过程中的不平衡力向量； ⎭
第7章 非线性方程组的求解
第7章
1
二. 非线性有限元方程组常用的求解方法
¾ 增量法
z 始点刚度法； z 中点刚度法； z 平均刚度法
¾ 迭代法
z 切线刚度法－Newton－Raphson法； z 割线刚度法－直接迭代法； z 等刚度法－ Modified Newton－Raphson法。
¾ 混合法
z 增量法＋迭代法
第7章
40
10
第7章
9
三. 中点刚度法
¾ 中点刚度法是在计算第i级荷载增量引起的位移增
量时，先求出引起 {ΔP}i
2
的位移增量{Δδ
} i
−
1 2
，将其累
加至位移总量后，计算此位移状态下的刚度矩
阵 [K ]i−1 2 ，再计算此级荷载增量下的位移增量，即
有：
{Δδ
} i
−
1 2
= [K ]i−−11{ΔP}i
/2
i =1
• 当取节点位移增量向量{Δδk}作为收敛标准，则宜取：
• 上述式中：
Δδ k
∞
= max n
Δδ k i
≤α
δk
P 为施加荷载向量的范数；α为收敛允许值，一般可取
α = 1 ~ 3%； δk 为在某级荷载作用下经K次迭代后的节 点总位移向量的范数； Δδk 为在同级荷载作用下第K次 迭代时节点附加位移增量向量的范数，Δδk = δk − δk－1 。
第7章
32
8
1. 逐步搜索法
¾ 对于只要求极值点时适用。
¾ 计算步骤： z 施加一荷载增量△P，计算发散时，退
回到上一级荷载并改用较小步长如： △P /2、 △P /4 、 △P /8 等再进行计 算，直至收敛。
第7章
33
q q
第7章
q 带弹簧梁反应 弹簧反应 实际梁反应 δ
35
2. 增加虚拟弹簧法
第1次近似值；
{δ0} = [K0 ]−1 {P} 2. {δ0} ⇒ 单元{ε} ⇒ 单元{σ} ⇒ 新的切线刚度矩阵[K1]和对应的
节点力{P1}； 3. 根据新的切线刚度矩阵[K1]和不平衡节点力{ΔP1} = {P} −{P1}
求相应位移增量 {Δδ1} 和位移总量的近似值 {δ1}； {Δδ1} = [K1]−1 {ΔP1}， {δ1} = {δ0}＋{Δδ1}
{δ
} i
−
1 2
= {δ }i−1
+
{Δδ
} i
−
1 2
由
{δ
} i−
1
2
求得
[K ]i−1 2 后，则：
{Δδ }i
=
[
K
]−1 i −1 /
2{ΔP}i
第7章
11
K i−1
Pi 精确解
Pi −1
o
δ i−1
δi
始点刚度法示意
第7章
10
Pi
P i
−
1
2
Pi −1
K i−1 K i− 1
2
K i = K i−1 2
第7章
7
将总荷载划分成 n 个增量：
n
{P} = ∑{ΔP}j j =1
第 i 级荷载增量下的位移增量： {Δδ }i = [K ]−m1{ΔP}i
第 i 级荷载施加后的荷载总量： {P}i = {P}i−1 + {ΔP}i
第 i 级荷载施加后的位移总量： {δ }i = {δ }i−1 +{Δδ }i
第7章
29
P
正刚度段
负刚度段
δ
第7章
31
7.4 考虑结构负刚度的一些算法
一. 结构负刚度的表现
¾ 结构的荷载－位移曲线进入下降段 ； ¾ 荷载减小的同时位移增加 ； ¾ 结构刚度矩阵非正定 ； ¾ 结构软化 。
第7章
30
二. 考虑结构负刚度的算法
¾ 逐步搜索法 ； ¾ 增加虚拟弹簧法 ； ¾ 位移控制法 ； ¾ 强制迭代法； ¾ 硬化刚度法； ¾ 弧长法。
第7章
36
9
P
第7章
δ
37
• 若 Δδ2 给定，则方程可改写为：
⎡k11
⎢ ⎣
k21
－P1 －P2
⎤ ⎥ ⎦
⎧⎨⎩ΔΔλδ1
⎫ ⎬ ⎭
=
⎧ ⎨ ⎩
R1 R2
⎫⎬－ ⎭
⎧⎩⎨kk1222
⎫⎬iΔδ
⎭
2
求解时，可根据给定的Δδ 2，求出相应的位移Δδ1
和荷载因子Δλ，可采用迭代计算使{R1 R2}T 趋于0。
{Δδ '}i = [K ]i−−11{ΔP}i
{δ '}i = {δ }i−1 + {Δδ '}i
由 {δ '}i 求得 [K ]i 后，则：
[K ]i = ([K ]i−1 + [K ]i ) 2
{Δδ }i = [K ]i{ΔP}i
第7章
13
7.3 迭代法
一. 迭代法求解的基本思路
¾ 根据作用于结构上的荷载，作一系列迭代计算 ； ¾ 在每次迭代中，结构刚度取为某一数值 ； ¾ 迭代后计算总荷载的不平衡力，并把它作为下一
{δ1} = [K1]−1 {P}
4. 重复上述步骤直至满足收敛要求。
第7章
19
P P
K0
K1
K2
精确解
δ0 δ1 δ2 δ3 δ4
δ
割线刚度迭代法示意
第7章
18
2. 切线刚度法-Newton-Raphson 法
¾切线刚度法是在迭代过程中采用变化的切 线刚度求出总荷载引起的总位移，再根据 总位移调整切线刚度的一种迭代法。
第7章
20
5
P
P P3 P2
P1
精确解
δ0
δ1 δ2 δ3
切线刚度迭代法示意
第7章
21
3. 切线刚度法-Modified Newton-Raphson
法 –等刚度迭代法
¾等刚度迭代法是在迭代过程中采用不变的切 线刚度进行迭代的一种迭代法。
第7章
23
• 求解步骤： 1. 在某级荷载P作用下，用初始线弹性切线刚度[K0 ]求得位移的
1. 各元素绝对值之和
n
∑ V = 1
Vi
i =1
2. 各元素平方和的根
n
∑ V = ( 2
Vi 2 )1 2
i =1
3. 元素中绝对值最大者
V
∞
=
max n
Vi
第7章
28
7
¾收敛标准
• 当取节点不平衡力向量{Pres}作为收敛标准，则宜取：
n
∑ Pres 2 = (
P2 res ,i
)1
2
≤α
P
¾数的大小可以用其绝对值来衡量，而对于一 个结构，无论其节点力还是节点位移都是向 量，其大小一般用该向量的范数来表示。
第7章
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P P3
P2
P1
精确解
δ1 δ2
δ3
δ
增量迭代法示意
第7章
26
¾向量范数的定义
• 设有列向量 {V } = (V1 V2 V3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Vn )T，
该向量的范数可定义为：
值； ¾求每级荷载增量引起的位移增量； ¾累加各级荷载的位移增量，就可以求出任
一荷载作用下的总位移。
第7章
4
1
增量解 Pn
Pi
精确解
P1
o δ1
δi
δn
增量法示意
第7章
5
¾增量法的实质是用分段线性的折线去代 替非线性曲线。
¾增量法的特点是：不存在迭代收敛问题、 计算误差在计算过程中会累积、不能确 定所得解与精确解的误差大小。
第7章
3
7.1 概述
一. 非线性有限元方程组的特点
¾ 用有限元法进行结构非线性分析，最终的控 制方程是一组非线性代数方程：
[K (δ )]{δ } = {P}
¾ 在线弹性结构分析中，为常量。但在非线性 结构分析中，它随着节点位移的变化而变化。
第7章
2
7.2 增量法
一. 增量法求解的基本思路
¾将荷载分成多个增量后逐级施加； ¾在每级荷载增量内，结构的刚度 [K ]取为常
次迭代的荷载，以计算出附加的位移增量 ； ¾ 如此重复进行，直到计算结果达到预定精度即终
止迭代过程 。
第7章
15
K i−1
K
' i
Ki
=
( K i−1
+
K
' i
)
/
2
Pi
精确解
Pi −1
o
δ i−1
δ
' i
δi
平均刚度法示意
第7章
14
二. 迭代法的种类
¾割线刚度法（直接迭代法） ； ¾切线刚度法－Newton－Raphson 法； ¾等刚度迭代法－Modified Newton－
Raphson 法。
第7章
16
4
1. 割线刚度法
¾割线刚度法（直接迭代法）是在迭代过程 中采用割线刚度求出总荷载引起的总位 移，再根据总位移调整割线刚度的一种迭 代法。
第7章
17
• 求解步骤： 1. 在某级荷载P作用下，用初始刚度[K0 ]求得位移的
第1次近似值；
{δ0} = [K0 ]−1 {P} 2. {δ0} ⇒ 单元{ε} ⇒ 单元{σ} ⇒ 新的割线刚度矩阵[K1]； 3. 根据新的割线刚度矩阵[K1]求位移的第2次近似值{δ1}；
Δλ－控制荷载的步长系数。
第7章
38
4. 其他方法
¾ 强制迭代法－用三角分解法分解刚度矩阵 并判断结构刚度矩阵对角元中是否已出现 负元素，若是，则施加负的荷载增量继续 迭代计算。
¾ 弧长法－在荷载增量法中，是控制荷载因 子的步长 Δλ ；在位移增量法中，是控制位 移增量的步长；而在弧长法中则同时控制 荷载因子和位移增量的步长。
精确解
o
δ δ i −1
i− 1
δi
2
中点刚度法示意
第7章
12
3
四. 平均刚度法
¾ 平均刚度法在计算第i级荷载增量引起的位移增量 时，先利用 {Δδ}i = [K ]i−−11{ΔP}i 求得初步位移量 {Δδ '}i ，
将其累加至位移总量后，计算此位移状态下的刚度矩 阵 [K ]i ，再利用平均刚度 [K ]i = ([K ]i−1 + [K ]i ) 2求此级荷 载增量下的位移增量，即有：
¾ 在适当地方增加虚拟的、有较大刚 度的线弹性弹簧，使施加弹簧后的 结构反应不出现下降段，则结构的 实际反应等于带弹簧虚拟结构的反 应减去线弹性弹簧的相应反应。
第7章
34
3. 位移控制法
¾ 分析过程中控制位移增量而不是荷载增 量，即由给定的位移求相应的荷载，从 而避免控制荷载时的一值多解。
¾ 将刚度矩阵重新排列，使得要作为控制 加载的位移排到最后一项，同时将原刚 度矩阵分块，将有限元方程重新改写而 获得新的迭代方程。
4. 重复上述步骤直至满足收敛要求。
第7章
22
P P
精确解
δ0 δ1
δn
δ
等刚度迭代法示意
第7章
24
6
4. 增量迭代混合法
¾增量迭代混合法是将增量法和迭代法联合起 来，将wenku.baidu.com加的荷载分成多级，同时在每级荷 载的加载过程中又进行迭代计算 。
第7章
25
六. 收敛标准
¾在迭代计算中，为终止迭代过程，必须确定 一个收敛标准。在实际应用中，可以从结构 的不平衡力向量和位移增量向量两方面来判 断迭代计算的敛散性。