第六章 弯曲梁强度设计

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6.3 矩形截面梁的弯曲切应力
纯弯曲 横力弯曲 分 析 内力：弯矩 M M ; 剪力 FS 横截面上：正应力 s
s
： 切应力 t
y
?
h
截面上t与FS平行，指向相同。 h>b时，截面上y相同处t相同。
z
A1
FS t
b
取图示部分研究其在x方向的平衡：
My MS z F1 sdA dA A1 A1 I Iz z
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（3）确定所求应力点到中性轴的距离，计算各 点的应力。
A点： y 150 / 2 20 55mm
M z y (1300) 55 103 s Iz 2.81 105 2.54 106 Pa 2.54MPa
B点：
y (150 / 2 40) 35mm Mz y (1300) (35 103 ) s Iz 2.81 105 1.62 106 Pa 1.62MPa
静力平衡条件： A ydA=0 中性轴z过截面形心
1/r=M/EIz 梁的曲率
M
smax拉
Iz--截面对z轴的惯性矩。
EI--截面弯曲刚度。
结论： s=-My/Iz
中性轴上，s=0，截面上、下缘，
s s max 。
12
s max Mymax / I z M / wz
Wz 弯曲截面系数
讨论：悬臂梁和截面形状如图，外力Fp均加载y 方向。试分析计算1-1截面上任意点（到z轴的距 离为y）弯曲正应力能否直接应用
2-2截面： M Z
max
1200Nm
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（2）确定中性轴位置及惯性矩 查表，No.10普通热轧槽型钢
yo 15.2mm；I z 25.6 108 m4
（3）确定所求点到中性轴的距离，计算指定点 的应力
mm A点： y y0 15.2 5.3 9.9 3 M z y 1000 9.9 10 s Iz 25.6 108 38.7 MPa （压）
F2
F3 t dx
s
S z 是面积A 1 对中性轴z的静矩。
b F1
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研究x方向的平衡：
My MS z F1 s dA dA A1 I z A1 Iz
F2
F3 dx
s t b F1
( M dM ) y ( M dM ) S z F2 s dA dA A1 A1 Iz Iz
解：（1）计算挖空后的惯性矩与最大正应力 1-1截面上的弯矩： 惯性矩：
M z 7.6 103 Nm
160 2003 140 803 20 803 Iz 3.78 105 m4 12 12 12
最大正应力： s max
M z ymax Iz
20.1MPa
1.对称弯曲
梁的横截面
都有对称轴
纵向对称面
3
q
F 纵向对称面
1.对称弯曲
梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向 对称面内，变形后梁的轴线是位于这个 对称面内的一条平面曲线，称为对称弯 曲。
4
F
F
a FS=0 M=Fa
M0
2.纯弯曲
a FS F M
FS
M
FS=0 M =M 0
一般情况 横力弯曲: 若梁的横截面上既有弯矩，又有剪力。 简单特例
结论
横力弯曲梁中有剪应力。
=bh3
y
z 中性轴处， y =0 ， Iz /12， 截面上 tt 与 Q 平行，指向相同。 截面上 与 F 平行，指向相同。 S FS t 故有： FS FSh2 3 h>b时，截面上 y相同处 t相同。 b t± 1.5t m max y= h/2 处， =0 。 8 I zt 2 bh y= ± h/2 处， t =0 。 纵向面上的剪应力t由剪应力互等定理确定。 h
D4
64
636 109 m4
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（3）计算最大应力
B截面： (s ) M z ymax 52.8MPa max B
Iz
C截面： (s ) M z ymax 55.2MPa max C
Iz
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组合截面图形的惯性矩
组合图形对某一轴的惯性 矩应等于各个组成部分对 同一轴的惯性矩之和。
中性轴
x
smax拉
横截面上各点的正应力s 的大小与该点到中性 轴的距离y成正比。
中性轴以上，y>0， s为负，是压应力，纤维缩短。 中性轴以下，y<0， s为正，是拉应力，纤维伸长。 到中性轴距离相同各处，y=const. ，应力相等。 中性轴上，s=0，截面上、下缘， s s max 。
10
（3）
l
y
y
a z o
aa
r d
r
横截面上任一点处线应变e的大小与该点到 中心层的距离y成正比: e y /r
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（2） 材料的物理关系
基于： 问题：
y
• 纵向纤维受单向拉压； 中心轴位置 ？ • 材料拉压弹性常数相等。则
线弹性应力-应变关系： s=Ee=-Ey/r Hook 定理
M
z
r ?
smax压
F3 t bdx
有：SFx=F1-F2+F3=0 对于矩形截面，有：
S* z ydA
A1
h/ 2 y
Sz dM FSSz* * t Sz =? Iz b dx Iz b
A1 得到 y h z3FS 4 y2 t (1 2 ) 2bh b h
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b h2 by dy ( y 2 ) 2 4
24
惯性矩的平行轴定理
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y、z轴是截面图形的形心轴，所以Sy=Sz=0 惯性轴的平行轴定理：
I y1 I y b 2 A I z1 I z a A
2
26
例：T形截面铸铁外伸梁的载荷和尺寸如图，试 求梁内的最大拉应力和压应力。
解：（1）作弯矩图 截面B有最大负弯矩，MB=-5kNm 在x=0.87m处截面D剪力为零， 弯矩有极值，其值为MD=3.8kNm （2）确定中性轴位置 设截面形心到顶边的距离为 yc，取顶边轴z1为参考轴
第六章
弯曲梁的强度设计
6.1 对称弯曲正应力 6.2 惯性矩、平行轴定理 6.3 矩形截面梁的弯曲切应力 6.4 平面弯曲的最大正应力及强度条件
6.5 两互垂直平面内的对称弯曲
6.6 提高梁弯曲强度的措施
1
承受弯曲作用的杆，称为梁。
梁的分类
F q
简支梁
悬臂梁
M
外伸梁
集中力，集中力偶，分布载荷
2
6.1 对称弯曲正应力
截面D：正弯矩，可能发生比截面B还要大的拉应力
s t ,max
(3.8 103 ) [(140 52) 103 ] 43.8MPa 6 7.64 10
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例：管道托架如图，其1-1截 面尺寸如图所示，FP=10KN, 求:(1)1-1截面上的最大弯曲 正应力；（2）若托架中间部 分未挖去，试计算1-1截面上 的最大弯曲正应力。
yc Ay A
i i i
80 20 10 20 120 80 52mm 80 20 20 120
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（3）计算惯性矩 平行轴定理式
3 20 203 20 120 Iz 80 20 (52 10) 2 12 12 20 120 (80 52) 2 764 104 mm4 7.64 106 m4
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（2）计算未挖空时的惯性矩与最大正应力 惯性矩：
160 2003 140 803 Iz 3.86 105 m4 12 12
最大正应力： s max M z ymax 19.7MPa
Iz
在某些工程中为了减小梁的自重，可以再 量的轴线附近打一些孔，而对梁的强度影 响却很小。
B点： y y0 15.2mm
M z y 1000 15.2 103 s 59.4 MPa （压） 8 Iz 25.6 10
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（4）计算梁内最大正应力
最大正应力发生在2-2截面上
距中性轴最远的点。
ymax b yo 48 15.2 32.8mm Mz ymax 1200 32.8 103 154MPa(压) 8 25.6 10
纯弯曲: 梁横截面上的内力只有弯矩。
5
3.对称弯曲梁纯弯曲时的正应力
M y M
讨论平面纯弯曲梁。 横截面上只有弯矩。 z
s
x
弯矩分布在横截面上， 只能是正应力。
问题: 平面纯弯曲梁横截面上的正应力?
思路： 仍延研究变形体力学问题的主线。
变形的几何协调 (几何分析) 力与变形之关系 (物理关系) 力的平衡 (已熟悉)
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2）弯曲的基本假设—平面假设 梁的横截面在弯曲变形后仍保持 为平面，且仍与梁的轴线垂直。
M
A
B
M
a
a
b B
b A
3） 推论： 有中性层存在
若梁由纵向纤维组成，则其变形 是伸长或缩短。 凹部纤维aa 缩短，凸部bb纤维伸 长，总有一层纤维既不伸长又不 缩短，此层称为中性层。 中性层与横截面的交线称为中性 轴。
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例：一水平放置的No.10普通热 轧槽钢制悬臂梁，受力如图。 外力都作用在铅垂对称面内。 已知Fp=1.2KN,M=2.2KN.m,求： （1）1-1截面上A、B两点的正 应力；（2）梁内最大正应力。 解：（1）画弯矩图确定1-1截面上的弯矩与梁内 最大弯矩。
1-1截面： M Z 1000 Nm
6
（1） 弯曲变形几何分析
讨论矩形截面纯弯曲梁。 1） 弯曲变形实验现象 AA、BB仍保持直线，但相对 地转过一角度d。
M
A
B
M
a
a
b B
b A
M
d
A a b A B a b B
M
aa 缩短，bb伸长，变为弧形， 但仍与AA、BB线正交。
2）弯曲的基本假设—平面假设
变形后
梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍与梁 的轴线垂直。
M
d
A a b A B a b B
M
变形后
中性轴
中性层(面)
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4） 变形几何关系
考虑梁AA-BB间的微段，oo 在中性层上，r为中性层的 曲率半径。截面坐标如图。
M
y
d
A a o A B a o B
r
M
距中性层为y的纵向纤维aa: 变形前： aa oo
变形后： aa r y d Dl aa aa r y d r d 应变： e
s max
max
Iz
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例：如图所示圆轴在A、B两 处的轴承可近似地视为简支， 轴的外伸部分是空心的，求 轴内的最大正应力。
解：（1）做轴的弯矩图，
判断可能的危险截面
（2）计算实心与空心截面的惯性矩 B截面： I (D4 d 4 ) 511109 m4 z
64
C截面：
百度文库
Iz
(3)求最大正应力 截面B：上边缘有最大拉应力，下边缘有最大压应力
(5 103 ) (52 103 ) s t ,max 34 MPa 6 7.64 10 (5 103 ) [(140 52) 103 ] s c ,max 57.6 MPa 6 7.64 10
s
Fp ay Iz
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6.2 惯性矩
平面图形的惯性矩：
单位为m4或 mm4
惯性半径：
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求矩形截面对其对称轴z和y的惯性矩和惯性半径。
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直径为D的圆截面对过其圆心的正交坐标轴z和y的惯性矩 和惯性半径
64 iy iz D / 4
I y Iz

d4
外径为D，内径为d的圆环形截面对过其圆心的正 交坐标轴z和y的惯性矩和惯性半径 4 4 I y Iz D (1 ) 64 D 2 i y iz (1 ), d / D 4
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例：悬臂梁受力及截 面尺寸如图，求梁的 1-1截面上A、B两点的 正应力。
解：（1）计算1-1截面上的弯矩
M
o
0, Fp 1 q 1 1 / 2 M z 0
M Z 1300N.m
（2）确定中性轴位置，并计算惯性矩
bh3 Iz 2.81 105 m4 12
静力平衡条件
y
微段平衡：截面弯矩 M =M， M 分布在截面上，截面内力 与M构成xy 面内的平衡力系。
dA y
中性轴 x
Fx＝0，即 : As dA＝ r ydA 0；M
A
E
z
E、r均不为零，后一积分是截面对z轴的静矩S z， S z =0， 表示中性轴z过截面形心(垂直于y)。
E y 2dA s y dA M 0 即： ； M M Z＝0， r A
A
令： I z y 2 dA 则有：1/r=M/EIz Iz 为截面对z 轴的惯性矩，取决于截面几何。
A
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分析结果汇总：
变形几何关系： e=-y/r 物理关系：
y
smax压
x
s=Ee=-Ey/r