第六章二次型与对称矩阵(第二讲)
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对称矩阵与二次型
对称矩阵与二次型对称矩阵和二次型是线性代数中非常重要的概念，它们在各种数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将介绍对称矩阵的定义和特性，以及与之相关的二次型的概念和性质。
一、对称矩阵的定义与特性在线性代数中，对称矩阵是指满足矩阵的转置等于其自身的矩阵。
具体定义如下：定义1：对称矩阵设A是一个n×n的矩阵，如果满足A^T=A，则称A为对称矩阵。
对称矩阵的一些特性如下：特性1：主对角线上的元素对称矩阵的主对角线上的元素都相等，即a_ij = a_ji。
特性2：特征值对称矩阵的特征值都是实数。
特性3：特征向量对称矩阵的特征向量对应不同特征值的特征向量是正交的。
特性4：对角化对称矩阵可以被对角化，即可以通过相似变换得到对角矩阵。
二、二次型的定义与性质二次型是对称矩阵与向量的乘积，它是一个函数，将向量映射为实数。
具体定义如下：定义2：二次型设f(x) = x^TAx是一个定义在R^n上的函数，其中A是一个n×n的对称矩阵，x是一个n维列向量。
称f(x)为二次型。
二次型有一些重要的性质：性质1：对称性二次型的矩阵A是对称矩阵，即A^T=A。
性质2：标准型对于任意二次型f(x)，都存在一个正交变换，将其化为标准型。
标准型的形式为f(x) = λ_1y_1^2 + λ_2y_2^2 + ... + λ_ny_n^2，其中λ_1, λ_2, ..., λ_n为实数，y_1, y_2, ..., y_n为变量。
性质3：正定、负定与半正定二次型可以根据其对应的矩阵A的特征值判定其正定、负定与半正定。
当A的所有特征值均为正时，二次型为正定；当A的所有特征值均为负时，二次型为负定；当A的特征值既有正又有负时，二次型为不定；当A的特征值既有非负又有非正时，二次型为半正定。
三、对称矩阵与二次型的关系对称矩阵与二次型之间有紧密的联系，通过对称矩阵可以定义出二次型，同时对于任意一个二次型，都可以找到对应的对称矩阵。
第六章二次型2013
P T AP = B , 则称矩阵A,B合同(或相合),
~ B . P称为合同因子或合同变换矩阵. 记做 A −
这样的变换称为对A所做的合同变换.
合同关系的不变量
P T AP = B
~ B ,则 R( A) = R( B ). 1)若A −
证明: 由于存在可逆矩阵P,使PTAP=B,
~ B, 则 若A −
~ B. 设A,B均为实对称矩阵,且A~B,则 A −
证明: 由于A,B均为实对称矩阵,且A~B,则
1.合同与相似是互相独立的两个概念, 即合同的矩阵未必相似,相似的矩阵未必合同. 2. 但对于实方阵A当合同因子是正交矩阵时, 合同变换与相似变换完全一致. (若Q为正交矩阵,有 Q T = Q −1 ,故 Q T AQ = Q −1 AQ ) .
2 2 2 f = x1 + 2 x2 − 3 x3 + 4 x1 x2 − 6 x2 x3
解
a11 = 1 , a 22 = 2 , a 33 = −3 , a12 = a 21 = 2 , a13 = a 31 = 0 , a 23 = a 32 = −3.
看例 1.1,1.2
则二次型可记作 f = x T Ax , 其中 A为对称矩阵 .
称为由X到Y的线性变换. P可逆时为可逆变换,否则为不可逆变换.
复习 对于n阶矩阵A,B,如果有n阶可逆矩阵P,使得
定义1.3 对于n阶矩阵A,B,如果有n阶可逆矩阵P,使得
P −1 AP = B , 则称A,B相似. 记做A~B. P为相似因子.
性质1 若A~B,则R(A)=R(B). 性质2 若A~B,则|A|=|B|. 性质6 若A~B,则A与B有完全相同的特征值. (若A与B的特征值不同,则A与B必不相似)
西北工业大学《线性代数》课件-第六章 二次型
4
4
x y
2 2
2 2
2 2
2 2
x y
Q
q1，q2
q1 q2
x y
cos sin
4
4
sin cos
4
4
x y
2 2
2 2
2 2
2 2
x y
Q
x y
(x, y) (x, y)QT 易验证 QTQ E,即 Q 是正交矩阵.
令 X x x0 ,Y y y0 , Z z z0（坐标系平移）
则可得
Z c d1X 2 d2Y 2
此类方程可表示椭圆抛物面、或双曲抛物面（马鞍面）
可利用可逆线性变换和平移变换，
将二次曲面的一般方程化为标准方程。 目标：求变换 x Cx, 化二次型 f 为“标准型”.
2. 二次型化简问题
a11
(
x,
y,
z)
a12 a13
a12 a22 a23
a13 x
x
a23 a33
y z
(b1,
b2
,
b3
)
y z
c
A
xT Ax bT x c 0
x
x
求变换x
Cx(
xT
xTC
T
), 其中x
y z
,
x
y z
使
xT
Ax
xTC
T
ACx
xT
d1
d2
x d3
Λ
d1x2 d2 y2 d3z2 无混合乘积项
an1,n1xn21 2an1,n xn1xn ann xn2
a11x1x1 a12x1x2 a13x1x3 a21x2x1 a22x2x2 a23x2x3 a31x3x1 a32x3x2 a33x3x3
二次型
为二次型的标准形.
二次型的表示方法
1．用和号表示
对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
a a 取
ji
,
ij
则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j ,
ax2 bxy cy2 1 (1)
(1)的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的 观点看，化标准型的过程就是通过变量的 线性变换化简一个二次齐次多项式，使它 只有平方项。 这样的问题，在许多理论问题或是实际问题
中常会遇到。 现在我们把这类问题一般化，
讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题。
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
an1 xn x1
an2 xn x2
ann
x
2 n
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
x2(a21 x1 a22 x2 a2n xn )
第六章 二次型与对称矩阵
第六章 二次型与对称矩阵
掌握二次型及其矩阵表示， 了解二次型秩的概念， 了解合同变换和合同矩阵的概念， 了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性
定理。 掌握用正交变换化二次型为标准的方法，会用
配方法化二次型为标准形。 了解正定二次型和所对应的正定矩阵的性质及
原二次型可表示为f xT Ax.其中x (x1, x2 , x3)T
二次型的表示方法
1．用和号表示
对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
a a 取
ji
,
ij
则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j ,
ax2 bxy cy2 1 (1)
(1)的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的 观点看，化标准型的过程就是通过变量的 线性变换化简一个二次齐次多项式，使它 只有平方项。 这样的问题，在许多理论问题或是实际问题
中常会遇到。 现在我们把这类问题一般化，
讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题。
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
an1 xn x1
an2 xn x2
ann
x
2 n
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
x2(a21 x1 a22 x2 a2n xn )
第六章 二次型与对称矩阵
第六章 二次型与对称矩阵
掌握二次型及其矩阵表示， 了解二次型秩的概念， 了解合同变换和合同矩阵的概念， 了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性
定理。 掌握用正交变换化二次型为标准的方法，会用
配方法化二次型为标准形。 了解正定二次型和所对应的正定矩阵的性质及
原二次型可表示为f xT Ax.其中x (x1, x2 , x3)T
第6章 二次型
X QY
2 1 y12 2 y2
2 n yn ,
其中1，2， ，n是 A的全部特征值 . 即任意实对称矩阵 A 都存在正交矩阵 Q， 使得Q T AQ diag (1 ， 2 ， ， n ).
正交变换的特点是保持向量的长度不变 . 这是因为Q为 正交矩阵，当X QY 时，必有 (X， X ) (QY ， QY ) (QY )T (QY ) Y T Q T QY Y T EY Y TY (Y ， Y )， 故 | X |2 | Y |2 ， | X || Y | .
定理 对于任一 n 元二次型 f ( x1 ， x2 ， ， xn ) X T AX ( A AT ) 都存在非退化的线性替换 X CY，使之成为
2 f ( x1 ， x2 ， ， xn ) d1 y12 d 2 y2 2 d n yn .
推论 任意 n 阶对称矩阵都与对角矩阵合同.
线性空间
定义 设 V 是一个非空集合， P是一个数域， 定义两种运算 1.加法 任意a， b V ， a b V ； 2.数乘 任意k P ， a V ， ka V . 则称V 是数域 P上的线性空间， V 中的元素称为向量. 若V 的一个非空子集W 也满足：任意 a， b W ， a b W； 任意k P ， a W ， ka W ， 则称W 是V 的子空间. 常见的线性空间: P n1 ， P 1n ， P s n .
X CY 2 2 y1 y2 2 y2 y p p 1
yr2 .
称为 f 的规范型， 且规范型是唯一的.
定义 设 A 为 n 阶实对称矩阵， 如果二次型 f X T AX 正 定， 则称 A 为正定矩阵.
6-1二次型及其对称矩阵
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2
写出下列二次型的矩阵。 下列二次型 例 1 写出下列二次型的矩阵。
（2） f ( x1, x2 , x3 ) = 2x − 3x + 4x1 x2 ）
（3） f ( x1, x2 , x3, x4 ) = 2x1 x2 + 4x1 x4 + 6x2 x3 −8x3 x4 ）
信息系 刘康泽
（ 解： 1） f ( x1, x2, x3 ) = 4x − x +2x +3x1x2 +6x1x3 −5x2x3
2 1 2 2 2 3
二次型 f 的矩阵为
4 3 A= 2 3
2 2
3 2 −1 5 − 2
3 5 − 2 2
f = a x + a12 x1x2 +⋯+ a1n x1xn = x1 (a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn )
2 11 1 2 + a21x2 x1 + a22 x2 +⋯+ a2n x2 xn + x2 (a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2n xn ) +⋯ +⋯ 2 + an1xn x1 + an2 xn x2 +⋯+ ann xn + xn (an1 x1 + an2 x2 + ⋯ + ann xn )
2 2
（4） f ( x1 , x2 , x3 ) = x + x + x − 4 x1 + 5 x2 。 ）
2 1 2 2 2 3
二次型。 则（1） 2）是二次型；而（3） 4）不是二次型。 ） ） 二次型； （ ） ）不是二次型 （
写出下列二次型的矩阵。 下列二次型 例 1 写出下列二次型的矩阵。
（2） f ( x1, x2 , x3 ) = 2x − 3x + 4x1 x2 ）
（3） f ( x1, x2 , x3, x4 ) = 2x1 x2 + 4x1 x4 + 6x2 x3 −8x3 x4 ）
信息系 刘康泽
（ 解： 1） f ( x1, x2, x3 ) = 4x − x +2x +3x1x2 +6x1x3 −5x2x3
2 1 2 2 2 3
二次型 f 的矩阵为
4 3 A= 2 3
2 2
3 2 −1 5 − 2
3 5 − 2 2
f = a x + a12 x1x2 +⋯+ a1n x1xn = x1 (a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn )
2 11 1 2 + a21x2 x1 + a22 x2 +⋯+ a2n x2 xn + x2 (a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2n xn ) +⋯ +⋯ 2 + an1xn x1 + an2 xn x2 +⋯+ ann xn + xn (an1 x1 + an2 x2 + ⋯ + ann xn )
2 2
（4） f ( x1 , x2 , x3 ) = x + x + x − 4 x1 + 5 x2 。 ）
2 1 2 2 2 3
二次型。 则（1） 2）是二次型；而（3） 4）不是二次型。 ） ） 二次型； （ ） ）不是二次型 （
线性代数.pdf
当λ1 = −3时,解方程组(−3E − A) x = 0,
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛ 1 ⎟⎞
得基础解系
ξ1
=
⎜ ⎜
− −
1 1
⎟ ⎟
,
⎜⎜ ⎝
1
⎟⎟ ⎠
单位化即得 p1
=
1 2
⎜ ⎜
− −
1 1
⎟⎟.
⎜⎜⎝ 1 ⎟⎟⎠
当λ2 = λ3 = λ4 = 1时,解方程(E − A) x = 0,
可得正交的基础解系
nn
x
2 n
+ 2a12 x1 x 2 + 2a13 x1 x3 + ⋯ + 2an−1,n xn−1 xn
取 a ji = aij , 则2 aij xi x j = aij xi x j + a ji x j xi ,于是
f = a11 x12 + a12 x1 x2 + ⋯ + a1n x1 xn
⎪⎪ x2 = p21 y1 + p22 y2 + ⋯ + p2n yn
⎨ ⎪
⋯⋯
⎪⎩ xn = pn1 y1 + pn2 y2 + ⋯ + pnn yn
⎡ x1 ⎤
⎡ y1 ⎤
( ) 记
x
=
⎢ ⎢ ⎢
x2 ⋮
⎥ ⎥ ⎥
y
=
⎢ ⎢ ⎢
y2 ⋮
⎥ ⎥ ⎥
P = pij n×n
⎢ ⎣
x
n
⎥ ⎦
⎢ ⎣
yn
⎜⎝ x3 ⎟⎠
⎜ ⎝
2
3
−2 5 15
0
−2
45
⎟⎞⎜⎛
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛ 1 ⎟⎞
得基础解系
ξ1
=
⎜ ⎜
− −
1 1
⎟ ⎟
,
⎜⎜ ⎝
1
⎟⎟ ⎠
单位化即得 p1
=
1 2
⎜ ⎜
− −
1 1
⎟⎟.
⎜⎜⎝ 1 ⎟⎟⎠
当λ2 = λ3 = λ4 = 1时,解方程(E − A) x = 0,
可得正交的基础解系
nn
x
2 n
+ 2a12 x1 x 2 + 2a13 x1 x3 + ⋯ + 2an−1,n xn−1 xn
取 a ji = aij , 则2 aij xi x j = aij xi x j + a ji x j xi ,于是
f = a11 x12 + a12 x1 x2 + ⋯ + a1n x1 xn
⎪⎪ x2 = p21 y1 + p22 y2 + ⋯ + p2n yn
⎨ ⎪
⋯⋯
⎪⎩ xn = pn1 y1 + pn2 y2 + ⋯ + pnn yn
⎡ x1 ⎤
⎡ y1 ⎤
( ) 记
x
=
⎢ ⎢ ⎢
x2 ⋮
⎥ ⎥ ⎥
y
=
⎢ ⎢ ⎢
y2 ⋮
⎥ ⎥ ⎥
P = pij n×n
⎢ ⎣
x
n
⎥ ⎦
⎢ ⎣
yn
⎜⎝ x3 ⎟⎠
⎜ ⎝
2
3
−2 5 15
0
−2
45
⎟⎞⎜⎛
第6章 二次型(syz)
1 0 e1 0, e2 1 0 0
是下面向量空间V的一个规范正交基.
V {x R 3 | x ( x1 , x2 ,0)T } span(e1 , e2 )
China University of Mining and Technology
空间V中建立(规范)正交基(坐标系)?
这个问题就是…
找与 1 , 2 ,, r 等价的正交向量组 1 , 2 ,, r
China University of Mining and Technology
以三个向量 1 , 2 , 3 为例, 从几何直观上去求.
2
1 1
x y x y cos( x , y )
建立标准的直角坐标系后, 可用向量的坐标来计算内积
设 x ( x1 , x2 , x3 )T , y ( y1 , y2 , y3 )T 则
x y x1 y1 x2 y2 x3 y3
China University of Mining and Technology
我们求得 1 , 2 已正交, 再来求 3
3 3 11 2 2 (1)
(1)式两边与 1 内积, 注意
3
3
[1 , 2 ] [1 , 3 ] 0
得
[ 1 , 3 ] 1 [ 1 , 1 ]
2 2
11
2
(1)式两边再与 2 内积, 类似可得
即
n
这由
x t y
i i i 1
n 2 n 2 xi yi xi yi i 1 i 1 i 1
n
2
6.3二次型与对称矩阵的正定性(《线性代数》闫厉 著)
解法二 特征值法。二次型 f x1 , x2 , x3 对应的矩阵为
6 2 2
A
2 2
5 0
0 7
6 2 2
E A 2 5 0 3 6 9
2 0 7
因此A的特征值分别为3、6、9都是正数，故该二次型正定。
ห้องสมุดไป่ตู้
例6.3.4 判别二次型是否正定。
f x1 , x2 , x3 6x12 4x1 x2 4x1 x3 5x22 7 x32
定理6.3.3 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵 C，使得A=CTC，即A合同于单位矩阵。
推论6.3.2 如果A为正定矩阵，则|A|>0。
定理6.3.4 对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有特 征值都是正数。
定义6.3.2 设n阶矩阵
A
a11
a21
a12
a22
a1n
是正定的，并讨论λ≤2的情况。
解 二次型的矩阵为
1 1 0
A
1 1
1
1
0
0
0 0 0 1
由f正定的充要条件是A正定，而A正定的充要条件是A的各阶顺
序主子式全大于零。A的各阶顺序主子式为
A1 0 ,
A2 1
1
2 1 0,
1 1
A3 A4 1 1 12 2 0
1 1
解法三 顺序主子式法。
A1 6 0 ,
A2
6 2
2 26 0 , 5
6 2 2 A3 2 5 0 162 0
2 07
故该二次型正定。
例6.3.5 判别二次型 f (x, y, z)为负定
f x, y, z 5x2 6 y2 4z2 4xy 4xz
线性代数(李建平)讲义__复旦大学出版社__第六章
由此可知二次型能否化简为只含平方项的标准形问题归结为二次型的矩阵能否合同于对角矩阵的问题将二次型化为标准型第二节化二次型为标准形一配方法原二次型的矩阵为线性变换的矩阵为可见要把二次型化为标准形关键在于求出一个非奇异矩阵c使得cac是对角矩阵
第六章 二次型
第一节
定义1
二次型的基本概念
系数在数域 R中的含有 n 个变量的二次齐次多项式
2
d1 y1 d 2 y2 d n yn
2 2
2
例如 已知 f ( x1 , x2 ) x1 2 x1 x2 x2 ,
2
x1 1 1 y1 y1 y2 令 x 0 1 y y , 2 2 2 则原二次型化为f ( y1 , y2 ) y1 .
2 3
(原二次型的标准型)
x1 y1 y2 y2 y3 x2 x y3 3
原二次型化成标准型
1 1 | C | 0 0
2 1 2 2
0 1 1 0 1
1 0
2 3
y y y
其矩阵
1 0 0 B 0 1 0 0 0 1
确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在
一一对应的关系．因此，我们把实对称矩阵A叫做 二次型的矩阵，也把二次型叫做实对称矩阵A的二次型， 矩阵A的秩称为二次型的秩.
例1 求二次型 f 的秩.
2 2 f ( x , y , z ) x1 2 x2 2 x1 x2 3 x2 x3
2 1 2 2
2 n
化为矩阵形式.
解
(1)因为
a11 1, a22 2 , a33 3 ,
第六章 二次型
第一节
定义1
二次型的基本概念
系数在数域 R中的含有 n 个变量的二次齐次多项式
2
d1 y1 d 2 y2 d n yn
2 2
2
例如 已知 f ( x1 , x2 ) x1 2 x1 x2 x2 ,
2
x1 1 1 y1 y1 y2 令 x 0 1 y y , 2 2 2 则原二次型化为f ( y1 , y2 ) y1 .
2 3
(原二次型的标准型)
x1 y1 y2 y2 y3 x2 x y3 3
原二次型化成标准型
1 1 | C | 0 0
2 1 2 2
0 1 1 0 1
1 0
2 3
y y y
其矩阵
1 0 0 B 0 1 0 0 0 1
确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在
一一对应的关系．因此，我们把实对称矩阵A叫做 二次型的矩阵，也把二次型叫做实对称矩阵A的二次型， 矩阵A的秩称为二次型的秩.
例1 求二次型 f 的秩.
2 2 f ( x , y , z ) x1 2 x2 2 x1 x2 3 x2 x3
2 1 2 2
2 n
化为矩阵形式.
解
(1)因为
a11 1, a22 2 , a33 3 ,
第六章-第六章二次型与对称矩阵第二讲
化成标准形.
解 由于
0 1 1 1 1 0 0 0
(
A
|
E
)
1
0
1 1
0 1 0 0
1 1 0 1 0 0 1 0
1 1
1
0
00
0
1
1 1 0 0 1 1 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0
~
1
0 1 1 0 1 0 0 ~ 1 0 1 1 0 1 0 0
1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
0 0 2 1 1 1 1 0 0 0 1 2 1 1 0 1
2 0 0 0 1 1 0 0 ~ 0 2 0 0 1 1 0 0
0 0 2 2 1 1 1 0 0 0 2 8 2 2 0 2
2 0 0 0 1 1 0 0
~ 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 1 1 1 0
于是，求得 0 0 0 6 1 1 1 2
对于n元实二次型f(x)=xTAx, 有实可逆矩阵P , 使得PTAP成为(﹡)所示的矩阵. 于是二次型f可以用 实数域上的可逆线性变换x=Py化为
f=y12 L y2p y2p1 L y2p+q.
上式称为二次型f 的规范形. p称为二次型f 的正惯 性指数, q 称为二次型f 的负惯性指数, p-q称为二次 型f 的符号差. p+q就是二次型 f 的秩 .
§3 合同变换与二次型的规范形
3.1 合同变换法
定义3.1 以初等矩阵作合同因子所进行的合同 变换称为初等合同变换.
对应于三种初等矩阵, 就有三种初等合同变换： i) 倍法初等合同变换 P(i[k])TAP(i[k]); ii) 消法初等合同变换 P(i,j[k])TAP(i,j[k]);
解 由于
0 1 1 1 1 0 0 0
(
A
|
E
)
1
0
1 1
0 1 0 0
1 1 0 1 0 0 1 0
1 1
1
0
00
0
1
1 1 0 0 1 1 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0
~
1
0 1 1 0 1 0 0 ~ 1 0 1 1 0 1 0 0
1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
0 0 2 1 1 1 1 0 0 0 1 2 1 1 0 1
2 0 0 0 1 1 0 0 ~ 0 2 0 0 1 1 0 0
0 0 2 2 1 1 1 0 0 0 2 8 2 2 0 2
2 0 0 0 1 1 0 0
~ 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 1 1 1 0
于是，求得 0 0 0 6 1 1 1 2
对于n元实二次型f(x)=xTAx, 有实可逆矩阵P , 使得PTAP成为(﹡)所示的矩阵. 于是二次型f可以用 实数域上的可逆线性变换x=Py化为
f=y12 L y2p y2p1 L y2p+q.
上式称为二次型f 的规范形. p称为二次型f 的正惯 性指数, q 称为二次型f 的负惯性指数, p-q称为二次 型f 的符号差. p+q就是二次型 f 的秩 .
§3 合同变换与二次型的规范形
3.1 合同变换法
定义3.1 以初等矩阵作合同因子所进行的合同 变换称为初等合同变换.
对应于三种初等矩阵, 就有三种初等合同变换： i) 倍法初等合同变换 P(i[k])TAP(i[k]); ii) 消法初等合同变换 P(i,j[k])TAP(i,j[k]);
第六章二次型
第六章二次型6.1二次型的概念及其标准型 6.1.1二次型的概念n n(1)含有n个变量X1,X2,…，X n的二次齐次多项式：f(X1,X2,…，X n )=2送a j X j X j，7 y其中a j =aji，则称为n元二次型.⑵二次型的矩阵形式为f(X1,X2,…，X n )=X T A X，其中X =(X1,X2,…,X n J , A是n阶实对称矩阵.⑶ 矩阵A的秩r(A称为二次型f的秩，记作r(f ).6.1.2二次型的标准形(1)标准形的概念如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项 XjXjU H j)的系数全为零，即:T 2 2 2f(X1,X2,…，X n )=x Ax^dx + d2X2 屮…+d n X n，其中 dj(i=O,1,…，n)为实数,则称这样的二次型为标准形.(2)标准形的惯性指数在标准形中，正平方项的个数P称为正惯性指数；负平方项的个数q称为负惯性指数.(3)二次型的标准形转化任意的n元二次型x T Ax都可以通过坐标变换X = Cy ( C 是可逆矩阵)化为标准形，即：X T Ax^=Cy(Cy T A(Cy )= y T(C T AC k = y T A y =4』1+d2y2 中…^皿.注：特别地，存在正交矩阵C，二次型x T Ax可以通过正交变换x=Cy化为标准形，即：X T A X —(Cy T A(Cy )= yTQ’AC k = y T A y =人％+入2y2 屮"+几Pn，其中2,…入为矩阵A的特征值.6.1.3惯性定理实二次型的标准形中，非零平方项的个数是唯一确定的，它等于这个二次型矩阵 的秩；正平方项的个数（正惯性指数）或负平方项的个数（正惯性指数）也是唯一确 定的，即：实二次型的标准形的正负惯性指数与所选取的坐标变换无关 . 【例6.1】寻找适合的旋转变换，将椭圆5洛2-4x 4X 2 +5X 22 =48化为标准形式■解：根据题意有二次型矩阵为A =[: ：2 由于"E -A 卜y ；5 、2J=（几-3皿—7）=0，所以特征值为几1=3，心=7,2 A — 5 I所以得到特征向量为 旳=（1,1T ,单位化为必得到标准形为3y^ + 7y^ =48.2 2【例 6.2 】化二次型 f (x 1,x 2,X 3 )=2x 1 +x 2 -472 -4X 2X 3 为标准形. 解：方法1:正交变换法A 的特征值入 1 =4，S =1，為=-2，相应的单位特征向量为口1二丄心-?」『,3“知如宀中2,2）】对于几=3，由 |3E _Ax=0，|3E -A =|r-2 I 22 1~「-2 I = I -2」〔0 21 0」，对于入=7，由7E — A X = 0，7E - A J 2 口 [2 2 2」[0口 2 21，■ 0」，所以得到特征向量为。
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例1 用初等合同变换把对称矩阵 1 2 2 2 4 1 A= 2 1 0 化成对角矩阵. 化成对角矩阵. 解 对A进行初等合同变换如下: 1 0 2 1 0 2 2 c1 + c2 2 0 1 0 0 3 2 r1 + r2 A → → 2 3 0 2 3 0
1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1 1 0 0 ~ 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 2 2 0 0 2 ~ 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1
(1) (2)
结合(1)和(2) , 得出将 A化成对角形矩阵,同时求出可逆矩 阵C: (A | E) A合同变换 (∧ | CT)
E作行变换 求出CT, 作可逆线性变换 x=Cy, 则该变换将f 化为标准 形. f = k1y12+k2y22+…+kryr2. 这种将二次型化为标准形的方法称为合同变换法. 这种将二次型化为标准形的方法称为合同变换法 例2 在实数域上,利用合同变换将二次型
定理3.4 任何复对称矩阵必可经过(复数域上的)的 定理 合同变换化为规范形.复规范形是唯一的. 把定理3.4的结论应用到二次型上,可以得到关于复二 次型的相应结论. 定理3.5 任何复二次型f (x1, x2,…,,xn)必可经过(复数域 定理 上的)可逆线性变换化为规范形
z + z +L+ z ,
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2
2 0 0 2 ~ 0 0 0 0
0 0 2 0
0 1 0 1 0 1 6 1
1 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 2
于是,求得: 1 1 1 1 CT = 1 1 1 1 0 0 0 0 , 1 0 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 . C= 0 0 1 1 0 0 0 2
定理3.6(惯性定理)一个给定的实二次型经过可逆的 定理 线性变换化成的实规范形是惟一的. 证明 首先注意可逆线性变换不改变二次型的秩,若设 实二次型f(x)=xTAx的秩为r,正惯性指数为p,负惯性指数 q,则必有p+q=r.因此证明实规范形的惟一性,只须证明正 惯性指数p惟一. 设f 经过实数域上的两个可逆的线性变换x=p1y及x=p2z 分别化成规范形 y12+…+yp2-y2p+1-…-yr2, (1) z12+…+zp2-zp2+1-…-zr2, (2) 现在证p=s. 用反证法.假定p≠s,不妨设p>s.对于任何n维实向量 x及相应的y=p1-1x,z=p2-1p1 y,必有
作可逆变换x=Cy,即 x1 1 1 1 1 y1 x 1 1 1 1 y 2 = 2, x3 0 0 1 1 y3 x4 0 0 0 2 y4
把f 化成标准形
2 2 2 f = 2 y12 2 y2 + 2 y3 + 6 y4 .
3.2 实二次型的规范形 实对称矩阵经过实数域上的合同变换化为对角矩阵后, 还可以进一步用实数域上的合同变换把主对角元素的正数 都化为1,负数都化为-1.并且可以用换法合同变换适当调 整主对角元素的相互位置顺序,使主对角线上的元素从左 上角到右下角依次为若干个1,若干个-1,若干个0.从而 有: ※任何实对称矩阵A必可经过实数域上的合同变换化为 如下形式的矩阵 1
y12+…+yp2-y2p+1-…-yr2= z12+…+zs2-zs2+1-…-zr2 记p2-1p1=B=(bij)n×n,则z=p2-1p1y,即 ì z1=b y1+b y2+L +b n yn , 11 12 1 z2=b21 y1+b22 y2+L +b2n yn , í LLLLLLLLLL z =b y +b y +L +b y . n n1 1 n2 2 nn n 考虑齐次线性方程组 ì b11 y1 +b12 y2 +L + b1n yn = 0, L L L L L L b y +b y +L + b y = 0, s1 1 s2 2 sn n í y p+ 1 = 0, L L L yn = 0.
*3.3复二次型的规范形 复二次型的规范形
实二次型是最实用的二次型,而复二次型也有一定的 应用,关于复二次型亦有平行的结论. 对于复数域上的对称矩阵A,由定理2.4知,经过适当 的(复数域上)合同变换可将A化成对角矩阵B.不妨设
b1 b2 O B= br
, bi ≠ 0, 0 O 0
1 0 1 1
2 0
0 0 1 1 0 2 2 0 2 0
2 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0
2 2 0 0 2 2 ~ 0 2 0 0 2 1
2 0 0 0 2 2 ~ 0 2 0 0 2 1 2 0 0 0 1 0 2 2 2 1 ~ 0 0 2 1 1 0 2 1 0 0
f = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 + 2 x2 x4 + 2 x3 x 4
化成标准形. 解 由于
0 1 1 0 ( A| E) = 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 ~ 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 2 0 2 2 0 ~ 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0
O 1 1 , O 1 0 O 0
(＊)
其中p≥0,q≥0,0≤p+q≤n.称这个矩阵为A的规范标准形. 1的个数p称为A的正惯性指数 正惯性指数,-1个数q 称为A的负惯性指 正惯性指数 负惯性指 符号差. 数, p-q称为A的符号差 符号差 因为合同变换不改变矩阵的秩,所以实对称矩阵A的正 负惯性指数之和恰是A的秩数,即p+q=R(A). 定理3.2 任何n阶实对称矩阵A必可经过(实数域上的) 定理 合同变换化为规范形式惟一的. 推论3.1 在实数域上,如果对称矩阵A与某对角矩阵B 推论 合同,则B的主对角元中,正数的个数即是A的正惯性指数, 负的个数即是A的正惯性指数, 对于n元实二次型f(x)=xTAx,因为A为实对称矩阵,由 定理3.2便知,有实可逆矩阵P,使得PTAP成为(＊)所示的 矩阵.于是二次型f可以用实数域上的可逆线性变换x=Py化为
0 1 2 1 1 0 0 0
1 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 1 0 0 2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 2 0 1 0 0 ~ 1 1 0 0 0 2 0 2 1 0 0 1
0 2 1 0
1 1 1 0
1 1 1 0
1 0 0 1 0 0 2 c1 + c3 2 r1 + r3 0 0 3 0 0 3 → → 2 3 4 0 3 4
1 3 c3 + c2 4 0 → 0
0 9 4 0
0 1 0 3 r3 + r2 4 0 9 3 → 4 0 0 4
0 0 = B. 4
f=y + L + y y
2 1 2 p
2 p +1
L y
2 p+q
.
上式称为二次型f 的规范形. p称为二次型f 的正惯性指数 正惯性指数, 正惯性指数 q 称为二次型f 的负惯性指数 p-q称为二次型f 的符号差 负惯性指数, 符号差. 负惯性指数 符号差 p+q就是二次型f 的秩. 显然,二次型f 的规范形是唯一的. 定理3.3 任何实二次型f 必可经过(实数域上的)可逆 线性变换化为规范形,实规范形是惟一的. 对于给定的二次型f ,由于p+q是个定数,规范形的惟 一性其实质是二次型本身固有的规律,即二次型的惯性律.
§3. 合同变换与 二次型的规范形
3.1 合同变换法 定义3.1 定义3.1 以初等矩阵作合同因子所进行的合同变换成 为初等合同变换. 初等合同变换. 对应于三种初等矩阵,就有三种初等合同变换: AP( i) 倍法初等合同变换P(i[k])TAP(i[k]); 倍法初等合同变换P ii) 消法初等合同变换P(i,j[k])TAP(i,j[k]); 消法初等合同变换P AP( iii) 换法初等合同变换P(i,j)TAP(i,j). 换法初等合同变换P AP( 注意到P 注意到P(i[k])T=P(i[k]), P(i,j[k])T=P(j,i[k]),P(i,j)T=P(i,j).则 ]), ]), ).则 易知上面三种初等合同变换的实际作用为: i)将方阵A的第i行(列)k倍,再将所得的矩阵的第i列 i)将方阵A的第i行(列)k倍,再将所得的矩阵的第i (行)k (行)k倍; ii)将方阵A的第i行(列)之k倍加于第j行(列),再 ii)将方阵A的第i行(列)之k倍加于第j 将所得的矩阵的第i列(行)之k倍加于第j列(行);. 将所得的矩阵的第i列(行)之k倍加于第j列(行);.
0 0 1 0
0 0 0 1
2 0 ~ 0 0 2 0 ~ 0 0 2 0 ~ 0 0
0 2 0 0 2 2
0 2 1 2 0 0 1 2 0 0 2 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
B就是与A合同的一个对角矩阵. 通过以上例题,我们总结出把对称矩阵化为对角矩阵 的一般方法: 设CTAC= ∧ C ∧,由于 C= P1P2 … Ps , ,其中P 1,P2,…,P s 均 P 为初等方阵.所以 ( P1P2 … Ps )TA P1P2 … Ps = ∧ 即 PsT …P2T P1TA P1P 2 … P s = ∧ 而 PST …P2T P1T= PST … P2T P1TE=CT