基本不等式求最值---一种类型的两数和最值的求法课件(第二节课)
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江西省吉安县高中数学第3章不等式3.3.2基本不等式与最值课件北师大版必修5
变式(23)已知 x<3，则 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值是________．
评
规律方法
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是 各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使 积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变 形，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧)； 三是考虑等号成立的条件．
探究二：含两个变量的最值问题
小结：和定积最大，积定和最小.
思
3．运用以上结论求最值要注意下列三个问题： (1)要求各数均为正数； (2)要求“和”或“积”为定值； (3)要注意是否具备等号成立的条件．简称 “ 一正、二定、三相等 ”．
合作探究一：配凑法求最值
例例11：a,b是正数且a b 4，求ab的最值
2
2
解：ab ab y来自4 x19
x
的最小值
所以 y x 1 x 4 9 4 9 9x 41 x
x 1 x
1 x x
0 x 11 x 0
9x 41 x 2 9x 41 x 12
1 x x
1 x x
当且仅当 9x 41 x即x 2 时等号成立
1 x x
5
y 4 9 1312 25 x 1 x
此时 x__1_0_, y___1_0.
思
1．用基本不等式求最值的结论 (1)设 x，y 为正实数，若 x＋y＝s(和 s 为定值)，则当
s2
___x_＝__y__时，积 xy 有最__大___值，且这个值为_4____. (2)设 x，y 为正实数，若 xy＝p(积 p 为定值)，则当__x_＝__y___ 时，和 x＋y 有最__小___值，且这个值为_2__p__.
检
检
3.设 x>0，y>0，且 2x＋8y＝xy， 求 x＋y 的最小值．
评
规律方法
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是 各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使 积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变 形，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧)； 三是考虑等号成立的条件．
探究二：含两个变量的最值问题
小结：和定积最大，积定和最小.
思
3．运用以上结论求最值要注意下列三个问题： (1)要求各数均为正数； (2)要求“和”或“积”为定值； (3)要注意是否具备等号成立的条件．简称 “ 一正、二定、三相等 ”．
合作探究一：配凑法求最值
例例11：a,b是正数且a b 4，求ab的最值
2
2
解：ab ab y来自4 x19
x
的最小值
所以 y x 1 x 4 9 4 9 9x 41 x
x 1 x
1 x x
0 x 11 x 0
9x 41 x 2 9x 41 x 12
1 x x
1 x x
当且仅当 9x 41 x即x 2 时等号成立
1 x x
5
y 4 9 1312 25 x 1 x
此时 x__1_0_, y___1_0.
思
1．用基本不等式求最值的结论 (1)设 x，y 为正实数，若 x＋y＝s(和 s 为定值)，则当
s2
___x_＝__y__时，积 xy 有最__大___值，且这个值为_4____. (2)设 x，y 为正实数，若 xy＝p(积 p 为定值)，则当__x_＝__y___ 时，和 x＋y 有最__小___值，且这个值为_2__p__.
检
检
3.设 x>0，y>0，且 2x＋8y＝xy， 求 x＋y 的最小值．
基本不等式与最值课件教学课件
排序不等式的证明
可以通过数学归纳法和排序性质证明 。
排序不等式的应用
在优化理论和线性规划中，排序不等 式常常被用来解决一些线性规划问题 。
04
基本不等式的实际应用
投资组合问题中的基本不等式应用
总结词
在投资组合问题中，基本不等式可以用于确定最优投资策略，即如何在给定风险水平下最大化预期收益，或在 给定预期收益水平下最小化风险。
物理定义
对于两个电阻$R_1$和$R_2$，并联电阻$\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \leq \frac{R_1 + R_2}{2}$，当且仅当$R_1 = R_2$时等号成立。
基本不等式的性质
非负性
基本不等式的左边是一个平方和，右边是一个平方根，所以左边总是大于或 等于右边。
利用基本不等式求最值
在极值的基础上，通过比较不同情况下的结果，找到最大或最小值。
掌握基本不等式的证明方法
利用导数证明基本不等式
通过求导数，找到函数的极值点，并证明在极值点处函数取得最小值。
利用定义证明基本不等式
通过比较两个数的差的符号，证明两个数之间的关系。
06
基本不等式的实际案例分析
案例一
总结词
案例三：资源分配问题中的基本不等式应用
总结词
在资源分配问题中，基本不等式被用来确定各部门的资源分 配比例，以实现资源利用效率的最大化。
详细描述
基本不等式在资源分配问题中的应用主要体现在对各部门资 源需求的权衡。通过使用基本不等式，我们可以找到一种最 优的资源分配方案，使得在满足各部门资源需求的前提下， 实现资源利用效率的最大化。
如果$a_1, a_2, \ldots, a_n$是实数
基本不等式与最值课件
基本不等式可以用于确定几何形状（如矩形、圆、椭圆等）的最 大或最小面积或体积。
几何图形的性质
基本不等式可以用于证明或推导几何图形的性质，例如三角形的不 等式定理。
几何优化问题
基本不等式可以用于解决几何优化问题，例如在给定周长的条件下 ，求矩形面积的最大值。
在代数中的应用
01
02
03
代数表达式的简化
举例
算术平均数-几何平均数不等式（
AM-GM不等式）是基本不等式
之一，它表明对于任意非负实数x
和y，有$frac{x+y}{2}
geq
sqrt{xy}$。
基本不等式的性质
传递性
01
如果a>b且b>c，则a>c。
加法性质
02
如果a>b，则对于任意正实数m，有a+m>b+m；对于任意负
实数m，有a+m<b+m。
总结词
利用基本不等式求最大利润
详细描述
在最大利润问题中，常常需要通过建立数学模型，利用基本不等式来求解最大 利润。例如，在生产成本和销售价格一定的情况下，可以通过不等式求出最大 利润。
பைடு நூலகம்小成本问题
总结词
利用基本不等式求最小成本
详细描述
在最小成本问题中，可以利用基本不等式来求解最小成本。例如，在运输问题中 ，可以通过建立数学模型和利用基本不等式来求出最小运输成本。
基本不等式与最值课件
汇报人： 2023-12-27
目录
• 基本不等式的概念与性质 • 基本不等式的证明方法 • 基本不等式的应用 • 最值的求解方法 • 最值在实际问题中的应用
01
基本不等式的概念与性质
几何图形的性质
基本不等式可以用于证明或推导几何图形的性质，例如三角形的不 等式定理。
几何优化问题
基本不等式可以用于解决几何优化问题，例如在给定周长的条件下 ，求矩形面积的最大值。
在代数中的应用
01
02
03
代数表达式的简化
举例
算术平均数-几何平均数不等式（
AM-GM不等式）是基本不等式
之一，它表明对于任意非负实数x
和y，有$frac{x+y}{2}
geq
sqrt{xy}$。
基本不等式的性质
传递性
01
如果a>b且b>c，则a>c。
加法性质
02
如果a>b，则对于任意正实数m，有a+m>b+m；对于任意负
实数m，有a+m<b+m。
总结词
利用基本不等式求最大利润
详细描述
在最大利润问题中，常常需要通过建立数学模型，利用基本不等式来求解最大 利润。例如，在生产成本和销售价格一定的情况下，可以通过不等式求出最大 利润。
பைடு நூலகம்小成本问题
总结词
利用基本不等式求最小成本
详细描述
在最小成本问题中，可以利用基本不等式来求解最小成本。例如，在运输问题中 ，可以通过建立数学模型和利用基本不等式来求出最小运输成本。
基本不等式与最值课件
汇报人： 2023-12-27
目录
• 基本不等式的概念与性质 • 基本不等式的证明方法 • 基本不等式的应用 • 最值的求解方法 • 最值在实际问题中的应用
01
基本不等式的概念与性质
高考数学基本不等式求最值课件 新人教
的范围.
注意:各项必须为正数
一 不 正 ,a 0 ,b 0 时 常 用 a b 2 a b
当 解且 : 仅 当 0 lo x g 21 x llo og g 5 2 2x x ,即 0x 2 f(x5 )时 ,2 lo fg (x2)x m axlog 5 22x22 525
2.应用基本不等式求最值的问题
例三.求函数 y x 2 5 的最小值.
依据: 利用函数
y
t
x2 4 1 (t>0)的单调性.
t
t (0,1] 单调递减 t[1,) 单调递增
正解: x25 x241 x2 4 1
x24
x24
x2 4
令t x2 4 则yt1 (t 2)
当 t2,即 :x0时 ,ytm in5 2
(1)利用基本不等式求函数最值的步骤:
(2)先变形再利用基本不等式求函数最值: 二 不 定 ,需 变 形
例二. 函数y=x 1 (x ≥ 0)的最小值为___1___,此时x=__0____. x 1
解: x0, 1 0
x1
y x 1 x1
x
1
x
1 1
1≥2-1=1
当且仅当
x1 1 即x0 x1
1
例四.已知正数x、y满足2x+y=1，求
x
1 y
的最小值
解：12xy2 2xy
错因：
xy 1 即 1 2 2 2 2 xy
112 122 24 2 x y xy
即1 x
1 y
的最小值为 4
2
过程中两次运用了 基本不等式中取“=” 号过渡，而这两次取 “=”号的条件是不同的，
故结果错。
1
【课件】基本不等式(第二课时)2023-2024学年高一数学(人教A版2019必修第一册)
出发使用基本不等式，求得最值.
练一练
2+1
已知a>1,b>0,则
+2a的最小值为
(−1)
提示：
目标式局部：b2+1≥2b,
所以
2+1
2
+2a≥
(−1)
−1
+2(a-1)+2≥…
.
用基本不等式求最值
( )
例3. 已知 x>0, y>0 ，x+y+2=xy,则xy的
条
件
最
值
之
最小值为
.
2
+2
+
2 (−2)2 (−1)2
=
+
+1
4 1
=(m+n)+( + )-6(以下逆代）
用基本不等式求最值
( )
七
条
件
最
值
之
等
价
变
形
1
例6.已知x>0,y>0,且
+2
+
1 1
= ，求xy的最小值.
+2 3
1
解：由等式
+2
1
3
变形得xy=x+y+8
+
1
+2
=
所以xy≥2 +8 解得xy最小值为16
( )
一
直
接
求
最
值
例1. 已知 x>0,
则y= 2
的最大值
+2+4
1
基本不等式求最值PPT课件
2.求函数
的最小值.
解:
当且仅当
即当 时,函数的最小值为
时取“=”号
课前练习：
典型例题：
例1：求证： （1）在所有周长相同的矩形中， 正方形的面积最大； （2）在所有面积相同的矩形中， 正方形的周长最短。
分析：设矩形的长为 ，宽为 ，那么该矩形的周长 为 ，面积为 ，这样问题就转化为： （1）如果 （从而 ）为定值，那么 正数 有什么关系时， 最大。 （2）如果 为定值，那么正数 有什么关系时， （从而 ）最小。
-12 的最大值为_______;
2. 函数y=
1 0 (x ≥ 0)的最小值为______, 此时x=_-1=1
时取“=”号
3.求函数
的最小值.
错解:
当且仅当
时取等号
小结：利用均值不等式求函数最值应注意:
①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值; ③必须有自变量值能使函数取到 = 号.
一正,二定,三相等
3.求函数
的最小值.
依据: 利用函数
(t>0)的单调性.
单调递减 单调递增
正解:
例2：
阅读下题的各种解法，指出有错误的地方
正确解法一 正确解法二
“1”代换法 三角代换法
还有其它方法 吗？
例3：已知
小值?
且
, 求：x+y的最
还有其他方法 吗？
巩固练习：
1:求函数 并求出相应x的值. 的最大值,
小结：
对于两个正实数 ， 如果它们的和S是定值，则当且仅当 它们的积P取得最大值。
时，
（定和求大积）
如果它们的积P是定值，则当且仅当 它们的和S取得最小值。
时，
基本不等式求最值课件
证明方法一
证明方法二
证明方法三
利用代数方法，通过移项、合并同类项、化简等步骤，证明基本不等式。
利用几何方法，通过图形和面积等直观方式，证明基本不等式。
03
02
01
基本不等式的应用
利用基本不等式，我们可以求解一些函数的最值问题，从而在实际问题中得到应用。
总结词
基本不等式是数学中一种重要的工具，它可以用来求解一些函数的最值问题。例如，对于形如 f(x)=x+4/x 的函数，我们可以利用AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）来求解其在某个区间的最值。
答案解析6
利用AM-GM不等式和平方差公式，得到 y = (x - 1)^2 + (1/x - 1)^2 ≥ 2√((x - 1)^2 * (1/x - 1)^2) = 4，当且仅当 x = √2 时取等号。
谢谢
THANKS
详细描述
总结词
均值不等式是数学中一个基本的不等式，它表示对于任意非负实数，其算术平均值总是大于或等于其几何平均值。
详细描述
均值不等式表述为：对于所有非负实数a和b，有(a+b)/2 >= sqrt(ab)。这个不等式在求最值问题中非常有用，因为它提供了两个正数的和与它们的积之间的关系。
总结词
切比雪夫不等式是数学中一个关于概率和期望的不等式，它给出了一个随机变量的概率分布与其期望值之间的关系。
基本不等式求最值ppt课件
目录
CONTENTS
基本不等式的概念和性质基本不等式的应用基本不等式的扩展和深化基本不等式的实际应用案例基本不等式的解题技巧和策略练习题和答案解析
基本不等式的概念和性质
基本不等式是数学中常用的一个不等式，它表示两个正数的平均数总是大于或等于它们的几何平均数。
证明方法二
证明方法三
利用代数方法，通过移项、合并同类项、化简等步骤，证明基本不等式。
利用几何方法，通过图形和面积等直观方式，证明基本不等式。
03
02
01
基本不等式的应用
利用基本不等式，我们可以求解一些函数的最值问题，从而在实际问题中得到应用。
总结词
基本不等式是数学中一种重要的工具，它可以用来求解一些函数的最值问题。例如，对于形如 f(x)=x+4/x 的函数，我们可以利用AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式）来求解其在某个区间的最值。
答案解析6
利用AM-GM不等式和平方差公式，得到 y = (x - 1)^2 + (1/x - 1)^2 ≥ 2√((x - 1)^2 * (1/x - 1)^2) = 4，当且仅当 x = √2 时取等号。
谢谢
THANKS
详细描述
总结词
均值不等式是数学中一个基本的不等式，它表示对于任意非负实数，其算术平均值总是大于或等于其几何平均值。
详细描述
均值不等式表述为：对于所有非负实数a和b，有(a+b)/2 >= sqrt(ab)。这个不等式在求最值问题中非常有用，因为它提供了两个正数的和与它们的积之间的关系。
总结词
切比雪夫不等式是数学中一个关于概率和期望的不等式，它给出了一个随机变量的概率分布与其期望值之间的关系。
基本不等式求最值ppt课件
目录
CONTENTS
基本不等式的概念和性质基本不等式的应用基本不等式的扩展和深化基本不等式的实际应用案例基本不等式的解题技巧和策略练习题和答案解析
基本不等式的概念和性质
基本不等式是数学中常用的一个不等式，它表示两个正数的平均数总是大于或等于它们的几何平均数。
北师大版高中数学必修五第三章不等式3.3.2.1利用基本不等式求最值课件
=
1 12
,
当且仅当 3x=1-3x,即 x= 时,等号成立.
∴当 x= 6 时,函数取得最大值 12.
1
1
-10-
第1课时 利用基本不等式求最值
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
【做一做1】 设x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值是 ( ). A.400 B.100 C.40 D.20
解析:xy≤
������ +������ 2 2
= 400, 当且仅当x=y=20 时,等号成立.
答案:A
-4-
第1课时 利用基本不等式求最值
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
-8-
第1课时 利用基本不等式求最值
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
(2)由已知得 xy=100,且 x>0,y>0, 5x+2y≥2 10������������ = 2 103 = 20 10. 当且仅当 5x=2y=10 10, 即当 x=2 10, ������ = 5 10时,等号成立. 所以 5x+2y 的最小值为 20 10.
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做2】 已知正数a,b满足ab=10,则a+b的最小值是(
A.10 B.25 C.5 D.2 10
).
解析:a+b≥2 ������������ = 2 10, 当且仅当a=b= 10时,等号成立.
基本不等式与最大(小)值_PPT课件
2．二元均值不等式具有将“_和__式__”转化为“_积__式_” 和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比 较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键 是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值 不等式的切入点．
问题探究
1．两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值 吗？
提示：不一定．应用基本不等式求最值时还要求 等号能取到 .基本不等式中说，“当且仅当 a＝b 时取等号”是说 a＝b 时“≥”中的“等号”成立， 但有时“a”和“b”不一定能相等．如 sinx 与si4nx，x ∈(0，π)，两个都是正数，乘积为定值．但是由 0<sinx≤1 ， 知 sinx≠2 所 以 sinx ＋
∴当 x＝1 时，ymax＝1.
求代数式的最值或取值范围
利用基本不等式解决此类问题的基本方法有： (1)有为1的等式时，将“1”整体代入，展开，运用 基本不等式； (2)利用条件的等式统一变形，然后配凑出利用基 本不等式的条件； (3)直接将条件变形配凑出积(和)为定值的形式．
例2 已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最 小值．
例1 (1)(2010 年高考山东卷)若对任意 x>0，
x x2＋3x＋1
≤a
恒成立，则
a
的取值范围是
________．
(2)(2010 年高考浙江卷)若正实数 x，y 满足 2x＋y
＋6＝xy，则 xy 的最小值是________．
【思路点拨】 (1)、(2)小题直接利用基本不等式 或创设条件利用基本不等式求解．
所以 x＋x－4 2的最小值为 6. (2)y＝x－x2 1＝x2－x－1＋1 1＝x＋1＋x－1 1 ＝x－1＋x－1 1＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x－1 1＝x－1， 即(x－1)2＝1 时，等式成立，∵x＞1，
高中数学第三章不等式3.3基本不等式3.3.2.2利用基本不等式求最值及实际应用题课件北师大版必修5
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 某厂家拟在2017年举行促销活动,经调查测算,该 产品的年销售量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(单 ������ 位:万元)(m≥0)满足 x=3-������+1 (k为常数).如果不搞促销活动,那么该 产品的年销售量只能是1万件.已知2017年生产该产品的固定投入 为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每年产品 的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定 投入和再投入两部分资金,不包括促销费用). (1)将2017年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m(单 位:万元)的函数. (2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 求出最大利润.
第2课时 利用基本不等式求最值及实际应用题
1.能利用基本不等式求最大(小)值. 2.通过运用基本不等式解决实际问题,提高运用数学手段解决实 际问题的意识与能力.
应用基本不等式 ������������ ≤
������ +������ 2
求最值时需要的条件
第一,a,b 都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是 正数,否则就会得出错误答案. 第二,ab 与 a+b 有一个是定值.即当 ab 是定值时,可以求 a+b 的最小值;当 a+b 是定值时,可以求 ab 的最大值. 第三,等号能够成立,即存在正数 a,b 使基本不等式两边相等,也 就是存在正数 a,b 使得 ������������ =
4 ������
解:∵x>0,∴x+ ≥4.
4 ������
∴y=2− ������ + ������ ≤2-4=-2. ∴当且仅当 x= ������ (������ > 0), 即x=2 时,等号成立,
江西省吉安县第三中学高中数学必修五课件：332基本不等式与最值(共13张PPT)
ab
a
b
2
2
思
(1)若
a
0,
则当
a
3
___2_,
时，4a
9 a
有最小值为
12
；
（2）若 x 0, y 0, x y 20, 则 lxgyx lg y 的最大值为 100，
此时 x__1_0_, y___1_0.
思
1．用基本不等式求最值的结论 (1)设 x，y 为正实数，若 x＋y＝s(和 s 为定值)，则当
检
x－2 ·x－4 2＋2＝6，
当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，等号成立．
所以 x＋x－4 2的最小值为 6.
变式(23)已知 x<3，则 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值是________．
变式 3：
已知 x≥52，则 f(x)＝x2－ 2x4－x＋ 4 5有( D )
A．最大值52
s2
___x_＝__y__时，积 xy 有最__大___值，且这个值为_4____. (2)设 x，y 为正实数，若 xy＝p(积 p 为定值)，则当__x_＝__y___ 时，和 x＋y 有最__小___值，且这个值为_2__p__.
小结：和定积最大，积定和最小.
思
3．运用以上结论求最值要注意下列三个问题： (1)要求各数均为正数； (2)要求“和”或“积”为定值； (3)要注意是否具备等号成立的条件．简称 “ 一正、二定、三相等 ”．
合作探究一：配凑法求最值
例例11：a,b是正数且a b 4，求ab的最值
2
2
展
变式1：
0 x 1, 3
y x1 3x
议
展 例例22 已知 x>2，求 x＋x－4 2的最小值.
相关主题
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16
当且仅当
9x
y 1
9
y x 时取“” 1
x y
即
x4 y 12
若x, y R且 1 9 1,求x y的最小值。 xy
一般化： 1.条件是两正数和的形式，结论也是两正 数和的形式； 2.总是求最小值；
3.变量在形式上具有“倒数关系”；
4.都可以利用x x 1,其中，1 2 3 L（1的替换） 23
求解；
例1、已知a 0,b 0, a b 2,则y 1 4的最小值为（ ）
ab
解： Q y 1 4 (1 4) a b
ab ab 2
利用x 1 x,1 2 a b
1 (1 4 b 4a )
22
2
ab
1 (1 4 2 b 4a )
展开
2
ab
9
积为定值
2
解： Q y 1 4 1 (a b) ( 1 4)
基本不等式求最值
---------一种类型的两数和最值的求法
若x, y R且 1 9 1,求x y的最小值。 xy
一、题目的特点 1、条件是两正数的和的形式，结论也是两正数的 形式； 2、变量在形式上具有“倒数关系”； 3、求和的最小值。
和的
二、思路探求 积为定值，和有最小值。所以要求和的最小值，
mn
变形二：已知等式条件中，隐含“倒数关系”
例4：若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为
例5：已知x>0,y>0,3x+2y=6xy,求x+y的最小值
例4：已知正数x,y满足x+2y=2,则 x+8y 的最小值为 xy
变形三：给定函数形式中，隐含“倒数关系”
（和为定值）
例7：已知0<x<1,则y= 1 + 4 的最小值为 x 1-x
23 5.等号成立条件。“三相等”
课堂练习
1.已知x>0，y>0满足, x y 1, 求 1 1 的最小值。 xy
2.已知x>0，y>0满足, x y 3,求 1 3 的最小值。 xy
3.已知x>0，y>0满足, x 2 3,求 1 2y的最小值。
y
x
4.已知x>0，y>0满足, 1 2 3,求3x 2y的最小值。 xy
ab 2
ab
1 (1 4 b 4a )
2
ab
1 (1 4 2 b 4a )
2
ab
92当且仅当 Nhomakorabeaa bb=2 2a
,即
a=
b
2 3 4
等号成立的条件
时，“=”成立，
3
ymin
9. 2
动手试试
1、若x, y R且x y 1,求 1 9 的最小值。 xy
2、若x, y R且x y 2,求 1 9 的最小值。 xy
变形一：已知条件中，隐含两正数的等式关系
例2：若直线ax+2by-2=0,(a>0,b>0)始终平分 圆x2 +y2 -4x-2y-8=0的周长,则 1 + 1 的最小值为
2a b
例3：若直线kx-y+1=0恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0 (m>0,n>0)上则 1 + 1 的最小值为
例8：若不等式m< 1 + 2 在x (0,1)时恒成立, 2x 1-x
则实数m的最大值为
链接高考
8
就要有积为定值。本题中已知条件是和为定值，不 符合要求，所以要想办法构造积为定值。联想题目 中的“倒数关系”，因此就有了本题的解法
若x, y R且 1 9 1,求x y的最小值。 xy
解： x y=(x y) 1=(x y) (1 9 ) xy
10 9x y yx
10 2 9x . y yx
3、已知正数x，y满足, x 2 y 2,则 8 1 的最小值为
.
xy
4、已知正数x，y满足, x 2 2,则 8 y的最小值为
.
y
x
总结
1.条件是两正数和的形式，结论也是两正 数和的形式；“一正”+形式 2.总是求最小值； 方向 3.变量具有“倒数关系”；“二定” 4.利用x 1 x,其中，1 2 3 L ； 运算技巧
当且仅当
9x
y 1
9
y x 时取“” 1
x y
即
x4 y 12
若x, y R且 1 9 1,求x y的最小值。 xy
一般化： 1.条件是两正数和的形式，结论也是两正 数和的形式； 2.总是求最小值；
3.变量在形式上具有“倒数关系”；
4.都可以利用x x 1,其中，1 2 3 L（1的替换） 23
求解；
例1、已知a 0,b 0, a b 2,则y 1 4的最小值为（ ）
ab
解： Q y 1 4 (1 4) a b
ab ab 2
利用x 1 x,1 2 a b
1 (1 4 b 4a )
22
2
ab
1 (1 4 2 b 4a )
展开
2
ab
9
积为定值
2
解： Q y 1 4 1 (a b) ( 1 4)
基本不等式求最值
---------一种类型的两数和最值的求法
若x, y R且 1 9 1,求x y的最小值。 xy
一、题目的特点 1、条件是两正数的和的形式，结论也是两正数的 形式； 2、变量在形式上具有“倒数关系”； 3、求和的最小值。
和的
二、思路探求 积为定值，和有最小值。所以要求和的最小值，
mn
变形二：已知等式条件中，隐含“倒数关系”
例4：若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为
例5：已知x>0,y>0,3x+2y=6xy,求x+y的最小值
例4：已知正数x,y满足x+2y=2,则 x+8y 的最小值为 xy
变形三：给定函数形式中，隐含“倒数关系”
（和为定值）
例7：已知0<x<1,则y= 1 + 4 的最小值为 x 1-x
23 5.等号成立条件。“三相等”
课堂练习
1.已知x>0，y>0满足, x y 1, 求 1 1 的最小值。 xy
2.已知x>0，y>0满足, x y 3,求 1 3 的最小值。 xy
3.已知x>0，y>0满足, x 2 3,求 1 2y的最小值。
y
x
4.已知x>0，y>0满足, 1 2 3,求3x 2y的最小值。 xy
ab 2
ab
1 (1 4 b 4a )
2
ab
1 (1 4 2 b 4a )
2
ab
92当且仅当 Nhomakorabeaa bb=2 2a
,即
a=
b
2 3 4
等号成立的条件
时，“=”成立，
3
ymin
9. 2
动手试试
1、若x, y R且x y 1,求 1 9 的最小值。 xy
2、若x, y R且x y 2,求 1 9 的最小值。 xy
变形一：已知条件中，隐含两正数的等式关系
例2：若直线ax+2by-2=0,(a>0,b>0)始终平分 圆x2 +y2 -4x-2y-8=0的周长,则 1 + 1 的最小值为
2a b
例3：若直线kx-y+1=0恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0 (m>0,n>0)上则 1 + 1 的最小值为
例8：若不等式m< 1 + 2 在x (0,1)时恒成立, 2x 1-x
则实数m的最大值为
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8
就要有积为定值。本题中已知条件是和为定值，不 符合要求，所以要想办法构造积为定值。联想题目 中的“倒数关系”，因此就有了本题的解法
若x, y R且 1 9 1,求x y的最小值。 xy
解： x y=(x y) 1=(x y) (1 9 ) xy
10 9x y yx
10 2 9x . y yx
3、已知正数x，y满足, x 2 y 2,则 8 1 的最小值为
.
xy
4、已知正数x，y满足, x 2 2,则 8 y的最小值为
.
y
x
总结
1.条件是两正数和的形式，结论也是两正 数和的形式；“一正”+形式 2.总是求最小值； 方向 3.变量具有“倒数关系”；“二定” 4.利用x 1 x,其中，1 2 3 L ； 运算技巧