高中数学的化归思想

高中数学的化归思想
摘要：化归的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法。

关键词：高中数学化归思想
化归的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法。

化归思想就是将复杂或陌生、新颖的数学问题、数学信息和数学情景转化为简单或已知的数学知识和成熟的经验方法，从而解决问题的策略。

笔者结合自己多年的教学经验浅谈以下几点看法，供大家参考：
一、对化归思想的认识
化归思想是数学中常用的一种重要数学思想，其本质就是转化，曾被笛卡儿誉为“万能方法”。

他在《指导思维的法则》一书中指出：第一，将任何种类的问题转化为数学问题；其次，将任何种类的数学问题转化为代数问题；第三，将任何代数问题转化为方程式的求解。

那么，到底什么是化归思想呢？它怎么有如此大的“本事”呢？
所谓化归思想，一般是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。

应用化归思想时要遵循三个基本原则：熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题；简单化原则，即将复杂的问题转化为简单的问题；直观化原则，即将抽象问题转化为具体问题。

数学的化归思想包涵化归的对象、目标和方法三要素。

其中化归方法是实现化归的关键。

化归思想方法的实质是转化矛盾的思想方法，其遵循“运动——转化——解决”的基本思想。

这种思想方法可分为①多维化归方法，如：换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法；②二维化归法，如解析法、三角代换法、向量法；③单维化归法，如：复数法、代入法、加减法、判别式法、曲线系数法、坐标变换法。

化归思想的实质是通过事物内部的联系将将待处理问题规范化、模式化，从而得到解决。

转化有等价转化与非等价转化。

等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

化归思想在中学数学解题中的应用十分广泛，几乎遍及每一道数学题。

而问题是数学的心脏，学数学必须学会解题。

可见学生了解化归思想并能加以应用对于他们学好数学起着非常重要的作用。

二、化归的基本方法
“化归”方法很多，有分割法，映射法，恒等变形法，换元变形法，参数法，数形结合法等等，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。

因此“化归”的方向应是由未知到已知，由难到易，由繁到简，由一般到特殊。

而“化归”的思想实质就在于不应以静止的眼光，而
应以运动、变化、发展以及事物间的相互联系和制约的观点去看待问题。

即应当善于对所要解决的问题进行变形和转化，这实际上也是在数学教学中辨证唯物主义观点的生动体现。

现举例如下：
1、分割法。

什么是分割法？法国著名数学家笛卡尔说：“把你所考虑的每一个问题按照可能的需要分成若干部分，使它们更易于求解。

”这种把要解决的问题分成若干个小问题，然后逐一求解的方法，叫做分割法
2、映射法。

映射法是用以实现化归的一种重要方法，所谓映射，是指在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立某种“对应关系”。

利用映射法解决问题的过程为：首先通过映射将原来的问题转化为问题*，然后，在求得问题*的解答*以后，再通过逆映射求得原问题的解。

映射法是实现化归的一种重要方法，如由于建立了直角坐标系，使平面上的点与有序实数对，曲线与方程建立了对应关系，使几何问题转化为代数问题。

此外复数与复平面上的点、向量也建立起一一对应关系，把向量引进了代数，使复数的代表运算可用向量的几何运算来进行。

3、恒等变形法。

在数学解题中，恒等变形占有十分重要的位置，特别是在求解方程或证明一些整除性问题时，利用恒等变形以实现由未知向已知的化归，使我们比较容易地求得问题的解。

4、换元变形法。

换元变形法用处很多，化简代数式如使用换元法可以简化计算过程，分解因式时使用换元法可以减少项数，便于
发现关系，解方程时有些分式方程，指数方程和对数方程通过换元可以变成整式方程。

有些高次方程通过换元可以达到降次的目的，有些无理方程通过换元可以去掉或减少根号。

证明条件等式时，使用换元容易发现已知条件和待证等式之间的联系。

总之换元变形法用处十分广泛，学生应该熟练掌握在解题实践中灵活地、创造性地去运用
当然以上几法远不能概括出化归方法的全貌。

化归思想方法是数学中最基本的思想方法。

数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，数形结合思想方法体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化等等。

化归是数学思想方法的灵魂。

目标简单化、和谐统一性、目标具体化、标准形式化和低层次化都是化归的原则；各映射法、分割法和变形法都是化归的策略；一般化与特殊化的转化、正与反的转化、实际问题数学化、常量与变量的转化等都是化归的基本策略。

正如前面所给出的，实现化归的方法是多种多样的。

因此，与前面所举的具体方法相比，更重要的就是应掌握化归的中心思想。

从所举例子可以看出，化归的中心思想是善于对所要解决的问题进行变形，而所说的变形并不是一种无目的的活动。

因此，我们应始终“盯住目标”。

即应始终考虑怎样才能达到解决原来问题的目的。