高考文科数学圆锥曲线专题复习试题

高三文科数学专题复习之圆锥曲线
知识归纳：
渐近线
焦点在x轴上时：0
x y
a b
±=
焦点在y轴上时：0
y x
a b
±=
抛物线：
图
形x
y
O F
l
x
y
O
F
l
方
程
)0
(
2
2>
=p
px
y)0
(
2
2>
-
=p
px
y)0
(
2
2>
=p
py
x)0
(
2
2>
-
=p
py
x
焦
点
)0,
2
(
p
)0,
2
(
p
-)
2
,0(
p
)
2
,0(
p
-
准
线2
p
x-
=
2
p
x=
2
p
y-
=
2
p
y=
（一）椭圆
1.椭圆的性质：由椭圆方程)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
（1）范围：a
x
b
-
a，
x
a≤
≤
≤
≤
-，椭圆落在b
y±
=
±
=a，
x组成的矩形中。

（2）对称性:图象关于y 轴对称。

图象关于x 轴对称。

图象关于原点对称。

原点叫椭圆的对称中心，简称中心。

x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。

从椭圆的方程中直接可以
看出它的范围，对称的截距。

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -。

加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六
2.)1,0(内常数e e 就
对于12222=+b x a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 2
2:=
焦点到准线的距离c
b c c a c c a p 2
222=-=-=（焦参数）
（二）双曲线的几何性质：
1.（1）范围、对称性
由标准方程122
22=-b
y a x ，从横的方向来看，直线x ＝－a,x ＝a 之间没有图象，从纵的
方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。

双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。

（2）顶点
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率
2=e 。

3.共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为x a
b
y ±=)0(>±=k x ka
kb ，那么此双曲线方程就一定
是：)
0(1)()(22
22>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2
2
22
b y a x 。

4.共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。

区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同。

共用一对渐近线。

双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。

确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。

5.
)0>的
（三）抛物线的几何性质
（1）范围
因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标（x ，y ）满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛
物线向右上方和右下方无限延伸。

（2）对称性
以－y 代y ，方程()022
>=p px y 不变，所以这条抛物线关于
x 轴对称，我们把抛物线的
对称轴叫做抛物线的轴。

（3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022
>=p px y 中，当
y ＝0时，x ＝0，
022
e
（3＝b2
解：（1）焦点位置可在x 轴上，也可在y 轴上
因此有两解：112
x 16y 112y 16x 2
222=+=+或
（2）焦点位置确定，且为（0，5±），设原方程为22
221y x a b
+=,（a>b>0），由已知条
件有⎪⎩⎪⎨⎧=+=-1
4
95
2222b a
b a 10,152
2==⇒b a ，故方程为110x 15y 22=+。

（3）设椭圆方程为122
22=+b
y a x ,（a>b>0）
由题设条件有⎩⎨
⎧-=-=5
10c a c
b 及a2＝b2＋c2，解得b ＝10,5=a
2
2例2.由时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点
故当-A 、B
例3.已知抛物线方程为)1x (p 2y 2+=（p>0），直线m y x l =+:过抛物线的焦点F 且被抛
物线截得的弦长为3，求p 的值。

解：设l 与抛物线交于1122(,),(,),
|| 3.A x y B x y AB =则
由距离公式|AB|＝|y y |2|y y |k
1
1)y y ()x -(x 21212221221-=-+
=-+ 则有2129().2
y y -=
由02y x ，)1(221222=-+⎪⎩⎪⎨
⎧
+=+-=+p py ，x p y p y x 得消去 .,2.
04)2(2212122p y y p y y p p -=-=+∴>+=∆
从而212212214)()(y y y y y y -+=-
即2
94)2(22=+-p p
由于p>0，解得
3=p 例4.C 相交
于A 、B 设又⎩⎨⎧-='='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++'-='=-''
b y x b x y b
x y 11 122
1解得则 由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=8
9
,1692=a . ∴所求椭圆C
的方程为2
29
1698y x +=1,l
的方程为y=－x+1.
解法二：由
e=21
,22222=-=a
b a a
c 得,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆C 的方程为x2+2y2=2b2,l 的方程为y=k(x －1), 将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0, 则x1+x2=
2
2214k k +,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－2
212k k +.
直线
l ：y=2
1
x 过AB
的中点(2
,22
121y y x x ++),则22
22122121k k k
k
+⋅=+-,
若圆C 以下
222b a =此时，02243)3(22=-+-b x x 化为方程，0)13(8)1(241622>-=--=∆b b
3
3
>
∴b ，)4(22222b y x C =+的方程可写成：椭圆，2222b b a c =-=又，
)0(，右焦点b F ∴，)(00y x l F ，的对称点关于直线设点，
则b y x b x y b x y -=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+-==-11212
100000
，，
得：
在椭圆上，代入，又点)4()11(b -22)1(21b b =-+，3
3
43>=∴b ，
169
2=
∴b ，8
92=a 所以所求的椭圆方程为：
116
9892
2=+y x
例5.如图，已知△P1OP2的面积为4
27，P 为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、
. 设点即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2①
,4
271312
41321sin ||||2113
124
91232tan 1tan 2sin 2
13
4
9
||,21349||212121121212222212121121=
⋅⋅=⋅⋅=∴=+⨯
=
+==+==+
=∆x x OP P OP OP S Ox P Ox P OP P x x x OP x x x OP OP P 又
即x1x2=2
9 ② 由①、②得a2=4,b2=9 故双曲线方程为942
2y x -=1.
例6.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅
（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；
（2
⊥AE ，
（3AE 的
),1,(21212,2,0)2(242122112222≠=--⋅--∴=⋅=+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+=x x x y x y k k b x kb x k x
y b kx y AE AD 得由
)2,1(,
,),2,1(,2)1(22).
2,1(,2)1(22).
2().
2(,)2(,)
2(2,
02)2())(22()2(,2222
212212212122211--∴+-=-+=+=-=---+=-+=+=-=-±=∴-±=∴-==--=+=--+++-+-∴+=+=定点为舍去不合过定点得代入将过定点得代入将代入化简得将且x k k kx y b kx y k b x k k kx y b kx y k b k b k b k b k b x x k kb x x b x x k kb x x k b
kx y b kx y
A.)0,(-∞
B.（－12，0）
C.（－3，0）
D.（－60，－12）
4.以112
422=-y x 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ） A.1121622=+y x B.116
1222=+y x
C.141622=+y x
D.116
422=+y x 5.抛物线28mx y =的焦点坐标为（） A.)0,81(m B.)321,0(m C.)321,0(m ± D.)0,321(m
± 6.已知点A （－2，1），x y 42-=的焦点为F ，P 是x y 42-=的点，为使PF PA +取得最
小值，P 点的坐标是（）
7.9.
1012575D. 17525C.125
2752B. 1752252A.22222
222=+=+=+=+y x y x y x y x
二、填空题
11.到定点（2，0）的距离与到定直线8=x 的距离之比为
22的动点的轨迹方程为______________。

12.双曲线2222=-my mx 的一条准线是1=y ，则=m ___________。

13.已知点（－2，3）与抛物线)0(22>=p px y 的焦点距离是5，=p ____________。

14．直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2=3的
15. 17.已知椭圆的一个焦点为F 1022()，-，对应的准线方程为y =-924
，且离心率e 满足2
3，e 、43
成等比数列。

（1）求椭圆的方程。

（2）试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线x =-
12
平分？若存在，求出l 的倾角的取值范围，若不存在，请说明理由。

的直线l 18.如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为
4
与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN
【试题答案】
1.C
2.C
3.B
4.A
5.B
6.A
7.A
8.B
9.B10.C 11.136
72)4(2
2=++y x 12.－34 13.414.452
2y x +=1
15.
c ＝2，故所求双曲线方程为：1322
=-y x 16.解：直线l ：ααα⎩
⎨⎧+=+-=sin 0cos 1．．t y t x 为参数 P 、Q 为l 与椭圆的交点
∴13
)sin (4)tan 1(2
2=++-αα．t
∴α
αα221221cos 49cos 4cos 6--=-=+t t t t ． 1
1111122)(416)4)(4(QF PF QF PF QF PF QF PF z ．．++-=--== α
αα2222121cos 43916cos 49cos 412416416--=-+--=---=．．t t t t ∴1cos 2=α时0cos ;3z 2min ==α时4
25max =z
由y kx m x y =++=⎧⎨⎩99
22 消去y 得，9922x k x m ++=() ∴+++-=()()k x kmx m 2229290有两个不等实根
∆=-+->∴--<44990
90222222k m k m m k ()()
设两交点M 、N 的坐标分别为()()x y x y 1122
，，， ∴+=-+x x k m k 12229
线段MN 恰被直线x =-12
平分 ∴-=+122
12x x 即-+=-29
12k m k k ≠0
∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m2=16(1－m)＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) 设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m ，x1·x2=m2,
∴|MN|=4)1(2m -.
点A 到直线l 的距离为d=25m +.
∴S△=2(5+m)m
-
1,从而S△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2(
35
5
2
2m
m
m+
+
+
+
-)3=128. ∴S△≤82,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号. 故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为82.。