高三解析几何专题复习

高三解析几何专题复习

瑞安中学吴直爽

平面解析几何的基本思想是用坐标方法研究几何图形性质。通过合理地建立坐标系，把点和坐标、曲线和方程等联系起来，达到了形和数的结合；同时平面向量具有代数与几何形式的双重身份，它融数、形于一体，已成为中学数学知识的一个重要交汇点，平面向量与解几交汇自然贴身，一脉相承，是新课程高考命题的必然趋势。

一、明确考试要求，把握试题特点。

1、高考要求（略）

2、试题特点：

综观近几年的新课程卷，试卷中解几分值占20%，选择题、填空题2~3题，主要考查圆锥曲线的标准方程及简单几何性质等三基内容，解答题则综合考查学生的“四大能力”，题型围绕解几的两大基本问题——求轨迹方程和研究曲线性质进行命制，或两者综合考查只是常把求轨迹隐藏于性质研究中，如全国97年、2002年、2003年等。近几年还融入向量刻画的背景，其实质是对直线与圆锥曲线的性质作进一步的深入探究，是代数、向量、三角、几何知识的综合应用。试题对解几内容的考查主要体现了函数与方程，等价转化、数形结合等重要数学思想。分析试题总特点“重基础、重素养、重能力”。

二、复习的想法

1、从思想方法高度重新认识基本概念、公式。

数学概念是数学知识的主体，是揭示数学规律的基本单元，在解几教学与复习中，必须透彻理解概念，把握概念、公式所反映的数学本质，这是掌握基本知识、技能、思想方法的前提。例如解几中两点间距离、点线距离、三点共钱、四点共圆、直线平行、垂直、直线的斜率、直线的夹角、线段的比、图形的轴对称性，中心对称性等等问题都会是解几中要研究的对象，对此我们首先必须深刻体会教材中是如何用代数形式来实现这些重要几何概念、几何位置关系的。在今后综合问题中遇见这些几何表述时是否能熟练转化为代数形式来处理。再如解几中还常会遇见两点A、B关于直线L对称和直线与圆锥曲线位置的判定等几何问题。这些几何问题放在坐标系中是如何通过曲线与方程概念得到转化的。用解几的基本思想高度认识问题，可以大大提高分析转化问题的能力。如：

判别式位置

直线（几何）转化直线方程消y px2求根公式交点

圆锥曲线曲线方程韦达定理弦长、弦中点等

点A、B关于直线L对称（几何）转化（代数）AB中点坐标满足直线L的方程

K AB·K L=-1

另外坐标系中的几何对象、点的坐标、线段的长、直线的斜率、三点共线、直线的平行与垂直、直线的夹角、线段的比等，转化为向量形式又各是如何刻划，也需熟悉并进行一一总结。因向量方法可以其独特的解题方式给解题提供一种新的思维视角，使相应的数学工具和教学语言更加丰富、应用形式更加灵活、多样,与解几融合将能考查学生多方面的能力与水平。

2、重视曲线与方程的复习

围绕解几两大基本问题，通过一些典型问题的剖析、逐渐形成一些方法系统，同时，能熟悉这些方法的应用情境，使学生对常见的基础问题始终“有规可循、有法可依”这是学生突破解几问题的关键，不管问题背景如何综合新颖、设问如何巧妙，用解几基本思想方法，进行联想总是，可以实现有效转化的。

（一）求曲线的方程：

分为两类问题：一类是知曲线的形状求标准方程，通常用待定系数法，体现方程思想，此法学生较为熟悉，另一类是不知曲线形状位置求动点的轨迹方程，常见的求法有：直译法、定义法、几何法、转移法、点差法（05年上海春）、交轨法（03年）、参数法（99年）、对称曲线求法等。我想第二轮复习可重点放在定义法、点差法、参数法的强化训练上。如有些轨迹题借条件可用定义判断形状，但学生总是掌握不好，特别是双曲线定义（比如一模解几题）。而对参数法求轨迹方程更是难点，这里是否选择参数法去解、选择什么参数，如何消参及变量范围等等都需要较强分析问题能力，建议举些可多角度选择不同参数形式的典型问题去熟悉参数，总结常见的参数选择：如选择①点参数（普通点、参数点），②直线的斜率k ，截距b ，倾斜角、直线参数方程中t ，③角（旋转角），④线段的比入等等参数来沟通动点p （x 、y ）的坐标。以下我总结的这些问题及解法，学生应该有一定熟悉程度。老师可以总结归纳得更多。

1、已知⊙A ：(x-2)2+y 2=1 ⊙B ：(x-2)2+y 2=4，分别求满足下列条件的点P （x 、y ）的轨迹方程。

①△APB 周长为10，②△PAB 中SinA-SinB=12

sinP ③⊙P 与OA 相外切且过定点B （2，0） ④⊙P 与⊙A 外切且与直线L ：x=L 相切 ⑤⊙P 与⊙A 、⊙B 都相切

2、已知A(1,0 ) B(1,0)，分别求动点P 满足下列条件的轨迹方程并指出轨迹形状：

①K PA k PB =m ②|PA||PB|

=m （m ＞0） ③∠PBA=2∠PAB ④∠APB=45° ⑤|PA|2±|PB|2=m ⑥|PA|±|PB|=2m ⑦||PA|-1|=||PB|-3|| ⑧△PAB 中PA 边上的中线长为m 。

3、在圆O ：x 2+y 2=r 2中过轴上点M 作MN//X 轴，交圆O 于N ，⊙O 与X 轴正半轴交于A 点，求线段AM 与ON 交点P 的轨迹方程

解一：考虑到点P 位置随着点M 在轴上位置的变化而变化，故可选点M 的纵坐标t 为参数，动点P （x,y ）

解二：N 点在圆x 2+y 2=r 2上可设圆心角∠AON=θ为参数则N

（rcos θ,rsin θ）

解三：可设直线ON 的斜率k 为参数

解四：注意到点P 位置随平行线MN 的变化，即随|NP||PO| =|MP||PB|

=λ的变而变，可选λ为参数，设P （x ，y ），N （x 0，y 0）

（二）研究曲线性质的常见问题和方法

根据曲线的方程研究曲线的性质是解几的另一个基本问题，也是各类考题中的热点问题之

一。研究曲线性质问题常见有：直线与圆锥曲线的位置关系，有关点的范围、线段长（弦长、点线距等）、直线的斜率K 、倾斜角、截距，角、线段的比，图形面积及与圆锥曲线有关的重要基本量e 、a 、b 、c 等对象的范围，最大小值，定值等。求解的策略：（1）定义法与几何法（2）函数、方程、不等式法。前者常运用曲线的定义和几何性质，再进行代数运算，而且对题目条件和结论能明显体现几何特征的意义，则考虑用图形性质、定义等来简捷求解，例如椭圆、双曲线、抛物线的定义有着明显的几何意义，它们与“线段的长”（焦半径、长轴、焦距等）及“线段的比值”（定点、定直线、比值）等有着十分紧密的关系，应善于运用定义法或几何方法求解，它侧重从形的角度去研究曲线性质。第二轮仍要总结归纳熟悉一些常见问题求解。后者常直接转化为代数形式，并尽量运用减少计算量的运算技巧（如韦达定理、点差法等）来求解，此法从“数”的角度去研究曲线的性质，这恰恰是解几的最基本的，也是最重要的思想方法。

例1：关于一些常见最值问题求解及策略

1、已知两点A （-2，2），B （-3，-1），试在直线L:2x-y-1=0上分别求出符合下列条件的点P ：