-条件概率示范教案

2.2.1 条件概率(1)

教材分析

本节内容是数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布第二节 二项分布及其应用的起始课，是对概率知识的拓展，为了导出二项分布需要条件概率和事件的独立性的概念，条件概率是比较难理解的概念，教材利用“抽奖”这一典型案例，以无放回抽取奖券的方式，通过两个思考比较抽奖前和在第一名同学没有中奖的条件下，最后一名同学的中奖概率，引出条件概率的概念，给出了两种计算条件概率的方法，给出了条件概率的两个性质.本课题的重点是条件概率的概念，难点是件概率计算公式的应用．通过探究条件概率的概念的由来过程，可以很好地培养归纳、推理，学生分析问题、解决问题的能力，要求学生有意识地运用特殊与一般思想，在解决新问题的过程中，又要自觉的运用化归与转化思想，体现解决数学问题的一般思路与方法.

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解条件概率概念、性质及计算公式，并利用公式解决简单的概率问题.

教学目标

重点: 条件概率的概念.

难点：条件概率计算公式的应用．

知识点：条件概率.

能力点：探寻条件概率的概念、公式的思路，归纳、推理、有特殊到一般的数学思想的运用. 教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何理解条件概率的内涵.

考试点：求解决具体问题中的条件概率.

易错易混点：利用公式时()n A 易计算错.

拓展点：有放回.抽球时(|)P B A 与()P B 的关系

教具准备 多媒体课件和三角板

课堂模式 学案导学

一、引入新课

在生活中我们有些问题不好解决时经常采用抽签的办法，抽签有先后，对每个人公平吗？

探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.

【师生活动】师：如果三张奖卷分别用12,,X X Y 表示，其中Y 表示那张中奖奖券，那么三名同学的抽奖结果共有几种可能？能列举出来吗？

生：有六种可能：121221211221,,,,,X X Y X YX X X Y X YX YX X YX X ．

师：用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券” , 则 B 包含几个基本事件？

生：包含两个基本事件：1221,X X Y X X Y ．

师：如何计算事件B 的概率？ 生：由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1()3P B =

师：每个同学抽到的概率一样吗？ 生：每个同学抽到的概率一样，都是13

请同学们思考下面问题

思考：如果已经知道第一名同学没抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？

【师生活动】

师：因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件是什么？

生：可能出现的基本事件有12122121,,,,X X Y X YX X X Y X YX

师：“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件是什么？

生：“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件是1221,X X Y X X Y ， 师：由古典概率计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率是24，即12

. 若用A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”则将“已知第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，最后一名同学抽到中奖奖券” 的概率记为(|)P B A .

请同学们考虑：已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？

在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得(|)()P B A P B ≠

我们这节课就来研究在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率：(|)P B A

【设计意图】 通过学生身边的抽签问题引入两个事件的概率的求法，学生感到亲切，激发了学生主动探究的学习兴趣．通过学生自己的计算发现不同，进而引出本节课的课题．

二、探究新知

对于刚才的问题请同学们回顾并思考：

（1）求概率时均用了什么概率公式？

（2）事件A 的发生使得样本空间前后有何变化？

（3）事件A 的发生使得事件B 有何变化

（4）对于上面的事件A 和事件B ，(|)P B A 与它们的概率有什关系呢？

用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由六个基本事件组成，

即121221211221{,,,,,}X X Y X YX X X Y X YX YX X YX X Ω=

既然已知事件A 必然发生，那么只需在12122121{,,,}A X X Y X YX X X Y X YX =的范围内考虑问题，即只有四个基本事件12122121,,,X X Y X YX X X Y X YX ，在事件A 发生的情况下,事件B 发生等价于事件A

和事件B 同时发生.而事件AB 中含有1221,X X Y X X Y 两个基本事件，

因此 2()(|)4()

n AB P B A n A ==， 其中()n A 和()n AB 分别表示事件A 和事件AB 所包含的基本事件个数.另一方面，根据古典概型的计算概率的公式可知，

()()(),(),()()

n AB n A P AB P A n n ==ΩΩ 其中()n Ω表示Ω中包含的基本事件个数，所以

()

()()()(|)()()()

()

n AB n AB P AB n P B A n A n A P A n Ω===Ω 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示(|)P B A .

条件概率定义

一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称

()(|)()

P AB P B A P A = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率， (|)P B A 读作A 发生的条件下B 发生的概率. 条件概率性质：

1、0(|)1P B A ≤≤.

2、如果B 和C 是两个互斥事件，则

(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+.

[设计意图] 给学生充分的思考,展示公式的发现过程, 通过学生计算发现共性,进而归纳出概念、公式， 培养学生归纳、概括、提出数学问题的能力（一般性探究）．激发学生主动学习兴趣，体现学生的主体地位.

三、理解新知

(1) ()(|)()

P AB P B A P A = (2)．()(|)()n AB P B A n A =

(3) 条件概率的性质

[设计意图]梳理、回顾条件概率的定义、公式、性质，为下面例题的教学，作必要的准备.