不等式基本性质求代数式的取值范围
不等式性质求代数式的取值范围
一. 知识要点：
1. 不等式概念 用不等号(,,,,><≥≤≠)表示不等关系的式子称为不等式。 其中用,><连接的不等式，如()()f x g x >称为严格不等式；而用,≥≤连接的不等式如()()f x g x ≤称为非严格不等式。
2. 比较两个实数大小的依据
主要根据实数的运算性质与大小顺序之间的关系，来比较两个实数a , b 的大小，即判断它们的差的符号。概括为，
0a b a b ->?>; 0a b a b -=?=; 0a b a b -
性质1(对称性) 若a b >,则b a <;若b a <,则a b >.即a b b a >?<. 性质2(传递性) 若a b >,b c >,则a c >. 即
a b a c b c >?
?>?>?
. 性质3(同加或减性) 若a b >,则a c b c +>+或a c b c ->-. 进一步可得(移项): ()()a b c a b b c b a c b +>?++->+-?>- 或a b c a b b c b a c b ->?-+>+?>+. 性质4 若,0a b c >>, 则ac bc >. 若,0a b c ><, 则ac bc <. 性质5若,a b c d >>,则a c b d +>+. 性质6若0,0a b c d >>>>, 则ac bd >. 性质7若0a b >>, 则n n a b >(,2n n ∈≥￥).
性质8若0a b >>, >,2n n ∈≥￥).
特别强调:1
1a b a b >?<不一定成立. 因为当0ab <时, 有11a b
>;当0ab =时, 11a b <无意义; 当0ab >时,有11a b
<.
二. 解题思路:
利用几个变量的范围来确定某个代数式的范围是一类常见的综合问题, 解此类问题时, 常利用不等式性质3的推论, 即“同向不等式的两边可对应相加; 异向不等式的两边可相减”.
但请注意, 此种转化并不是等价变形, 在一个解题过程中多次利用这种转化时, 就有可能扩大真实的取值范围, 从而求出错误答案. 正确的解法是: 先建立待求范围的整体与已知范围的等量关系,再通过“一次性不等关系的运算”, 求出待求的范围.
三．求解步骤
① 把将要计算的代数式c 用已知的两个代数式a 与b 表达出来, 即令12c k a k b =+ (其中12,k k 为常数), 并求出12,k k 的值. 此方法可以推广到多个代数式的情况.
② 分别求出12k a k b 与的取值范围.
③ 一次性利用不等式的性质, 求出12k a k b +的取值范围, 即得代数式c 的取值范围.
四. 高考题演练
1. (辽宁高考) 已知-14x y <+<且23x y <-<, 则23z x y =-的取值范围是 ．提示1
2. (江苏高考) 设实数,x y 满足22
38,49x xy y ≤≤≤≤, 则3
4x y
的最大值
是 ．提示2 3. 若,αβ满足11
123αβαβ-≤+≤??
≤+≤?
, 则3αβ+的最大值是 ．提示
3
4. 已知31lg 2,23x
y ≤≤≤≤, 则2
的取值范围是 ．提示4 5. 已知2()f x ax c =-且4(1)1,1(2)5f f -≤≤--≤≤, 则(3)f 的取值范围是 ．提示5
6. 已知:12a b ≤-≤且24a b ≤+≤, 求42a b -的取值范围． 提示6
7. 已知二次函数()y f x =的图像过原点,且1(1)2,3(1)4f f ≤-≤≤≤, 求
(2)f -的取值范围． 提示
7
参考答案:
提示1：设23()()(+)()z x y m x y n x y m n x m n y =-=++-=+-, 因为
23m n m n +=??
-=-?,得1252
m n ?=-????=??, 所以115152(),5()2222x y x y -<-+<<-<, 则153()()822
x y x y <-++-<, 即3238x y <-<.
提示2：显然32
2124()()x x xy y y
-=, 为转化为上面用到的基本解法,因此可两边同时取对数, 化为322
4lg lg 2lg x x xy y y =-+的形式. 易得
22
lg82lg 4lg 2lg lg 32lg 9x xy y -+≤-+≤-+, 即3
4lg 2lg lg 27x y
≤≤,则
3
4227x y
≤≤, 最大值是27. 提示3: 设+3()(+2)(+)(+2)m n m n m n αβαβαβαβ=++=+, 因为1
23
m n m n +=??
+=?,
得1
2m n =-??
=?
, 所以易求137αβ≤+≤. 提示4: 已知条件可化为1lg lg 21
23lg lg 32
x y x y ≤-≤??
?≤-≤??,
设311
3lg lg (lg lg )(3lg lg )32x y m x y n x y =-=-+-, 易求116,515m n =-=.最
终226[,3]15
.
提示5: 已知条件可知(1)(2)4f a c f a c =-??=-?, 则1[(2)(1)]3
41(1)(2),33a f f c f f ?
=-????=-+??
则5
8(3)9(1)(2).33
f a c f f =-=-+易求(3)f 的取值范围是[1,20]-.
提示6: 类似以上解法可求54210a b ≤-≤. 提示7:
法1(待定系数法)：
可求1(1)2,3(1)4f a b f a b ≤-=-≤??≤=+≤?
设(2)42()()f a b m a b n a b -=-=-++,
求出m , n 进而求(2)f -的取值范围是[6, 10].
法2(方程法)：由(1)(1)f a b f a b -=-??=+?得1[(1)(1)]
2
1[(1)(1)]2
a f f
b f f ?
=+-????=--??.
所以同样可求(2)f -的取值范围是[6, 10].
含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法(教师版)
恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m ax a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m in a f x ≤，转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 解：根据题意得：21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立， 设()23f x x x =-+，则()2 3924f x x ??=--+ ??? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。 解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：22 1t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ? ???? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例3、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设()2 3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。 （1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤又4a >所以a 不存在；
七年级下册不等式及其基本性质讲义
环球雅思教育学科教师讲义 年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 课型□预习课□同步课复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容? 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念: 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来,表示不等关系的式子,叫做不等式。 注意：常见的不等号有五种：“≠”、“＞”、“<”、“≥”、“≤”． 例1.请指出下列各式哪些是不等式:①x＋y=y+ｘ②4+x＞5③-3＜０④a＋b≤ｃ+ｂ⑤ａ≠0⑥２ｘ-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1)a是正数；(2）y与２的差是非负数;(３）ａ与6的和大于7；（4)y的一半不小于3;(5)8与x的３倍的和不大于1。 提示:注意一个数的＂和"，"差"，＂倍","分＂的表示法以及＂大于＂，＂不小于","不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0,负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数＂可表示为"＜0"，"非负数＂可表示为"≥０"。?参考答案: （1）a＞0 (2)y-２≥0 （3)a+6>７ (４）≥３（５)8+3ｘ≤1
,+ 4,－４，４.5?提示:把下列各值分别代入不等式的左边计算２ｘ+1 2.5 ,- - 1,0,3 立?? 的值,若小于５则不等式成立;若不小于５则不等式不成立。 参考答案：当x=-1,０,-2.5,－4时,不等式2x+1＜5成立。 说明:因为当x=１，0,-2．５，-4时，不等式2x+１<5成立，当x=2,＋４,４.5时，不等式2x+1＜5不成立，所以同方程类似，我们可以说-1,0，-2．5-4是不等式２x+1＜5的解，而2,+4，４.5不是不等式2x+１＜5的解。 例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。? (１)由２a＞5，得a＞(2）由ａ-7>，得a>7 (3)由- a>０，得a＜0 （4)由3a>2a-１,得a>-1。 例５.设a>b；用＂>"或＂<＂号填空: (１） (2)a-5 b-5 (3）- ａ- b (4)６ａ６b (５)－（6）－ a -ｂ 参考答案：(1）＞（２)> （3）< （４)> (５)＜（6)< 例５．试比较下列两个代数式值的大小: (1）5ａ+２与4a+2 （2)x3+3x2-7与x3+２x2-7 提示:我们知道,若ａ-b＞0,则a＞b;若a-b=0,则a=b；若a－ｂ<0，则a＜ｂ,所以要比较a与ｂ的大小,可以先求出a与ｂ的差,再看这个差是正数、负数还是零。 参考答案：(１)（5a+２）－（4ａ＋２)=5a+２-4a－2=ａ ∵a可取正数,负数或零,∴５a+２和4a+2间的大小关系有三种可能:?①当a>0时，5a＋2＞4a+2 ②当a=0时,５ａ+2=4a＋2?③当ａ＜0时,５a＋ 2<4a+2。?（2)（x３+3x２-７）－(x3＋２x２－7)=x３+3x2-2ｘ2+７＝ｘ2∵ｘ2≥０(对任意x) ∴ｘ3+3x2-７≥x3＋2x2－7 例6.已知二数a>2,b>2,试比较a+b与ab的大小。
1.2 不等式的基本性质-
§1.2 不等式的基本性质 ●教学目标 （一）教学知识点 1.探索并掌握不等式的基本性质； 2.理解不等式与等式性质的联系与区别. （二）能力训练要求 通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力. （三）情感与价值观要求 通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与 交流. ●教学重点 探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. ●教学难点 能根据不等式的基本性质进行化简. ●教学方法 类推探究法 即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质. ●教具准备 投影片两张 第一张：（记作§1.2 A） 第二张：（记作§1.2 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ ［生］记得. 等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. ［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证. Ⅱ.新课讲授 1.不等式基本性质的推导 ［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法. ［生］∵3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a＜5+a 3－a＜5－a 所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. ［师］很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究.
［生］∵3＜5 ∴3×2＜5×2 3× 21＜5×2 1. 所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变. ［生］不对. 如3＜5 3×（－2）＞5×（－2） 所以上面的总结是错的. ［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明. ［生］如3＜4 3×3＜4×3 3× 31＜4×3 1 3×（－3）＞4×（－3） 3×（－31）＞4×（－3 1 ） 3×（－5）＞4×（－5） 由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变. ［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导. ［生］当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变. ［师］因此，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用. 2.用不等式的基本性质解释π42l ＞16 2 l 的正确性 ［师］在上节课中，我们知道周长为l 的圆和正方形，它们的面积分别为π 42 l 和 162l ，且有π42l ＞16 2 l 存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？ ［生］∵4π＜16 ∴ π41＞16 1 根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2 得 π42l ＞16 2 l 3.例题讲解 将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式： （1）x －5＞－1; （2）－2x ＞3; （3）3x ＜－9. ［生］（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得
求一元一次不等式(组)中字母参数取值范围专题(作业)
求字母参数取值范围专题（作业） 易错点：字母的取值能不能取到临界点，可以用检验法 一、 逆用不等式组的解集求字母的值 1、若不等式组3>??>?x x m 的解集为5>x 则m=_______ 2、若不等式组1253 -??-?? ?? ≤?x x a 无解，则a 的取值范围_______ 7、若不等式组3≥?? ≤?x x a 无解，则a 的取值范围是_______ 8、若不等式组无解，则a 的取值范围是 _________ ． 9、若不等式 无解，化简|3﹣a|+|a ﹣2|= _________ ． 10、若不等式组 无解，则a _________ b （用“＞”、“=”、“＜”填空）． 11、如果不等式组 无解，则不等式2x+2＜mx+m 的解集是 _________ ． 12、如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a ， b 的有序数对（a ，b ）共有 _____ 个． 常考例题：13、已知不等式组?????>>-a x x 1513的解集为x ＞2，则a 的取值范围_______ 变式训练：14、已知不等式组?????≥>-a x x 1513的解集为x ＞2，则a 的取值范围_______ 15、若不等式组3>?? >?x x a 的解集为3>x 则a 的取值范围是_______ 16、若不等式组3>?? >?x x a 的解集为>x a 则a 的取值范围是_______ 17、若不等式组3>??≥?x x a 的解集为3>x ，则a 的取值范围是_______ 18、已知a ，b 是实数，若不等式（2a ﹣b ）x+3a ﹣4b ＜0的解是 ，则不等式（a ﹣4b ）x+2a ﹣3b ＞0的解是 _________ ．
不等式的基本性质知识点
不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点 1．不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 如证明y=x3为单增函数， 设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2， f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2．不等式的性质： ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1) a>bb<a (对称性)
(2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac<bc。 运算性质有： (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。
不等式的意义、性质及其应用
不等式的意义、性质及其应用 教学重点：不等式的性质 教学难点：不等式的实际应用 一、问题引入 某班同学去植树，原计划每位同学植树4棵，但由于某组的10名同学另有任务，未能参加植树，其余同学每位植树6棵，结果仍未能完成计划任务，若以该班同学的人数为x,此时的x应满足怎样的关系式？ 依题意得4x>6(x-10) 二、概念回顾 1.不等式：用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫不等式. 解析:(1)用≠表示不等关系的式子也叫不等式 (2)不等式中含有未知数,也可以不含有未知数; (3)注意不大于和不小于的说法 例1 用不等式表示 (1)a与1的和是正数; (2)y的2倍与1的和大于3; (3)x的一半与x的2倍的和是非正数; (4)c与4的和的30%不大于-2; (5)x除以2的商加上2,至多为5; (6)a与b两数的和的平方不可能大于3. 三.不等式的解 不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解. 解析:不等式的解可能不止一个. 例2 下列各数中,哪些是不等是x+1<3的解?哪些不是? -3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5 练习: 1.判断数:-3,-2,-1,0,1,2,3,是不是不等式2x+3<5 的解?再找出另外的小于0的解两个. 2.下列各数:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 四.不等式的解集 1.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集. 例3 下列说法中正确的是( )
A.x=3是不是不等式2x>1的解 B.x=3是不是不等式2x>1的唯一解; C.x=3不是不等式2x>1的解; D.x=3是不等式2x>1的解集 2.不等式解集的表示方法 例4 在数轴上表示下列不等式的解集 (1)x>-1;(2)x ≥-1;(3)x<-1;(4)x ≤-1 分析:按画数轴,定界点,走方向的步骤答 五、不等式的性质 不等式性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 不等式性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 例1 利用不等式的性质，填”>”,:<” (1)若a>b,则2a+1 2b+1; (2)若-1.25y<10,则y -8; (3)若a
求参数取值范围一般方法
求参数取值范围一般方法 一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。 1.若不等式x 2+ax+1≥0,对于一切x ∈［0, 2 1］都成立，则a 的最小值是＿＿ 2.设124()lg ,3 x x a f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。 3.已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例1、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。 例2：若不等式02)1()1(2 >+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 例3.关于x 的不等式0622<+++m m mx x 在[]20,上恒成立，求实数m 的取值范围． 变式：若函数m m mx x y 622+++=在[]20,上有最小值16，求实数m 的值． 1.已知752+->x x x a a 0(>a 且)1≠a ，求x 的取值范围． 2.求函数)(log 2x x y a -=的单调区间． 环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 课型□预习课□同步课□复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念： 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。 注意：常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。 提示：注意一个数的"和"，"差"，"倍"，"分"的表示法以及"大于"，"不小于"，"不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0，负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数"可表示为"＜0"，"非负数"可表示为"≥0"。 参考答案： （1）a ＞0 (2)y-2≥0 (3)a+6＞7 (4) ≥3 (5)8+3x ≤1 注意：列不等式时应注意两点： ①"是正数"表示为＞0"，"是负数"表示为＜0"；"非正数"表示为"≥0"。 ②"不大于"用"≤"表示，"不小于"用"≥"表示。 2．不等式的基本性质 （1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，那a+c>b+c （或a –c>b –c ） （2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ， c b c a >。 （3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 用式子表示：如果a>b ，且c<0，那么ac 1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 （一）核心素养 在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空： a b >? a b =? a b >?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 （1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1] （2）若c ∈R ，则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. （3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出 11a b ，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时， 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例，认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实： 如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-= 不等式（组）中参数范围的求法 一. 利用不等式的性质求解 例1 已知关于x 的不等式5)1(>-x a 的解集为a x -<15，则a 的取值范围为（ ） （A ）0>a （B ） 1>a （C ） 0a 故选（B ） 例2 如果关于x 的不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x< 107，求关于x 的不等式ax>b 的解集。 解析：由不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x<107 ，可知： 2a －b<0，且 51027b a a b -=-，得b=35 a 。 结合2a －b<0，b=35 a ，可知b<0，a<0。 则ax> b 的解集为x<35。 评注：这道题的内涵极为丰富，它牵涉到不等式的基本性质，不等式的解的意义，不等式的求解，它将式的的恒等变形、不等式、方程融合在一起，以不等式为背景，形成了一道精巧的小综合题。 例3若满足不等式513)2(3≤---≤a x a 的x 必满足53≤≤x ，则a 的取值范围是 （ ） （A ）2>a （B ） 2a 时， 2 63243-+≤≤-+a a x a a 由题意，得52 632433≤-+≤≤-+≤a a x a a 解之，得8≥a 当2=a 时，不等式无解 当2 【课堂例题】 例1.利用性质1和性质2证明： (1)如果a b c +>，那么a c b >-； (2)如果,a b c d >>，那么a c b d +>+ 例2.利用性质3证明： 如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >. (选用)例3.利用不等式的性质证明： 如果0a b >>，那么110a b < <. 【知识再现】 1.不等式性质的基础： a b >? ；a b =? ；a b >，则 ; 性质2.(加法性质) 若a b >，则 ; 性质3.(乘法性质) 若,0a b c >>，则 ; 若,0a b c ><，则 . 3.几条比较有用的推论： 性质4.(同向可加性) 若,a b c d >>，则 ； 性质5.(正数同向可乘性) 若0,0a b c d >>>>，则 ； 性质6.(正数的倒数性质) 若0a b >>，则 ； 性质7.(正数的乘方性质) 若0a b >>，则 *()n N ∈； 性质8.(正数的开方性质) 若0a b >>，则 *(,1)n N n ∈>. 【基础训练】 1.请用不等号表示下列关系： (1)a 是非负实数， ; (2)实数a 小于3，但不小于2-， ； (3)a 和b 的差的绝对值大于2，且小于等于9， . 2.判断下列语句是否正确，并在相应的括号内填入“√”或“×”. (1)若a b >，则a b c c >；( ) (2)若ac bc <，则a b <；( ) (3)若a b <，则1 1 a b <； ( ) (4)若22ac bc >，则a b >；( ) (5)若a b >，则n n a b >；( ) (6)若0,0a b c d >>>>，则a b c d >；( ) 3.用“>”或“<”号填空： (1)若a b >，则a - b -; (2)若0,0a b >>，则b a 1b a +； (3)若,0a b c >>，则d ac + d bc +; (4)若,0a b c ><，则()c d a - ()c d b -; (5)若,,0a b d e c >><，则d ac - e b c -. 4.(1)如果a b >，那么下列不等式中必定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 22a b >; (C)22ac bc >; (D)2211 a b c c >++. (2)如果0a b >>，那么下列不等式不一定成立的是( ) (A) 1 1 a b <; (B) 2ab b >; (C)22ac bc >; (D) 22a b >. 5.已知,x y R ∈，使1 1 ,x y x y >>同时成立的一组,x y 的值可以是 . 不等式及其基本性质测试题 7.1不等式及其基本性质测试卷 一、填空 1．在式子① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 中属于不等式的有.（只填序号）2．如果，那么. 3.若，用＜＞填空. ⑴ ⑴ ⑴ ⑴ ⑴ 二、选择 4．的倍减的差不大于，那么列出不等式正确的是（）A．B. C．D. 5.已知，则下列不等式正确的是（） A．B. C. D. 6.下列说法正确的是（） A.若，则 B.若，则 C.若，则D．若，则 7.已知，a为任意有理数，下列式子正确的是( ) A. B. C. D. 8.已知4 3,则下列结论正确的（） ① ② ③ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9.某种品牌奶粉合上标明蛋白质，它所表达的意思是（） A．蛋白质的含量是20%. B．蛋白质的含量不能是20%. C．蛋白质大含量高于20%. D.蛋白质的含量不低于20%. 10．如图7-1-1天平右边托盘里的每个砝码的质量都是1千克，那么图中显示物体的质量范围是（） A．大于2千克B.小于3千克 C．大于2千克小于3千克 D．大于2千克或小于3千克 11.如果ａ＜ｂ＜0,下列不等式中错误的是（） A. B. C. D. 12. 下列判断正确的是（） A．＜＜2 B．2＜＋＜3 C．1＜－＜2 D．4＜＜5 13. 用a,b,c 表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（） A．B． C．D. 三、解答题 14.用不等式表示下列句子的含义. ⑴ 是非负数. ⑴ 老师的年龄比赵刚的年龄的倍还大. ⑴ 的相反数是正数. ⑴ 的倍与的差不小于. 15.用不等式表示下列关系. ⑴ 与3的和的2倍不大于-5. ⑴ 除以2的商加上4至多为6. ⑴ 与两数的平方和为非负数. 16.（1）用两根长度均为㎝的绳子，分别围成正方形和圆，如图7-1-2 第二章一元一次不等式与一元一次不等式组 2．不等式的基本性质 一、学生知识状况分析 本章是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上，开始研究简单的不等关系。学生已经掌握等式的基本性质，同时经历了解一元一次方程、二元一次方程组的研究过程及方法，为进一步学习不等式的基本性质奠定了基础。学习时可以类比七年级上册学习的等式的基本性质。 二、教学任务分析 不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同，掌握不等式的基本性质。 本节课教学目标： （1）知识与技能目标： ①经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。 ②掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式。 （2）过程与方法目标： ①能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力，养成步步有据、准确表达的良好学习习惯。 ②通过研究等式的基本性质过程类比研究不等式的基本性质过程，体会类比的数学方法。 ③进一步发展学生的符号表达能力，以及提出问题、分析问题、解决问题的能力。 （3）情感与态度目标： ①通过学生自我探索，发现不等式的基本性质，提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心。 ②尊重学生的个体差异，关注学生对问题的实质性认识与理解。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：情景引入，提出问题；第二环节：活动探究，验证明确结论；第三环节：例题讲解及运用巩固；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业。 第一环节：情景引入，提出问题 活动内容：利用班上同学站在不同的位置上比高矮。请最高的同学和最矮的同学“同时站在地面上”，“矮的同学站在桌子上”，“高的同学站到楼下一楼”三种不同的情况下比较高矮。问题1：怎样比才公平？ 活动目的：让学生体会当两位同学同时增高相同的高度或同时减少相同的高度时，比较才是公平的，高的同学仍然高，矮的同学仍然矮，这是不可能改变的事实。 活动实际效果：学生对能自己参与的活动很感兴趣，体会到不相等的两个量的比较要在“公平”的情况下进行，即要加同时加，要减同时减。 第二环节：活动探究，验证明确结论 活动内容：参照教材与多媒体课件提出问题： （1）还记得等式的基本性质吗？请用字母表示它。不等式有类似的性质吗？先猜一猜。 （2）用等号或不等号完成下面的填空。 如果2 < 3；那么 2 × 5 3 × 5； 2 × 3 ×； 2 × (-1) 3 × (- 1)； 2 × (- 5) 3 × (- 5)； 2 × (-) 3 × (-). （3）验证你的结论，用字母表示你所发现的结论。 （4）与同伴交流你的结论，并展示。 教学过程 一、新课导入 初中,我们学习了一元一次不等式(组);已经掌握了不等式(组)的基本性质及解法.从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法. 二、复习预习 1.不等式的定义. 2.不等式的基本性质. 3.不等式的基本定理及推论. 4.一元二次不等式解法. 5.分式不等式解法. 6.高次不等式解法. 7.无理不等式解法. 8.指对数不等式解法. 三、知识讲解 考点1 不等式的定义及比较大小 1. 不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≦）、≤（≧）、≠． （2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：a >b b a ? > - b a =b a ? = - a b 考点2 不等式的基本性质 定理1如果a>b ，那么bb ．(对称性) 即：a>b ?bb 定理2如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性) 即a>b ，b>c ?a>c 定理3如果a>b ，那么a+c>b+c ． 即a>b ?a+c>b+c 推论如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则) 即a>b ， c>d ?a+c>b+d ． 定理4如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ； 如果a>b ，且c<0，那么ac 2．2 《不等式的基本性质》练习题 一、选择题（每题4分，共32分） 1、如果m ＜n ＜0,那么下列结论中错误的是（ ） A 、m －9＜n －9 B 、－m ＞－n C 、1 1 n m > D 、1m n > 2、若a －b ＜0，则下列各式中一定正确的是（ ） A 、a ＞b B 、ab ＞0 C 、0a b < D 、－a ＞－b 3、由不等式ax ＞b 可以推出x ＜b a ，那么a 的取值范围是（ ） A 、a≤0 B 、a ＜0 C 、a≥0 D 、a ＞0 4、如果t ＞0,那么a ＋t 与a 的大小关系是（ ） A 、a ＋t ＞a B 、a ＋t ＜a C 、a ＋t≥a D 、不能确定 5、如果34a a <--，则a 必须满足（ ） A 、a≠0 B 、a ＜0 C 、a ＞0 D 、a 为任意数 6、已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ） a 0b c A 、cb ＞ab B 、ac ＞ab C 、cb ＜ab D 、c ＋b ＞a ＋b 7、有下列说法： （1）若a ＜b ，则－a ＞－b ； （2）若xy ＜0，则x ＜0，y ＜0； （3）若x ＜0，y ＜0，则xy ＜0； （4）若a ＜b ，则2a ＜a ＋b ； （5）若a ＜b ，则11a b >； （6）若1122x y --<， 则x ＞y 。 其中正确的说法有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 8、2a 与3a 的大小关系（ ） A 、2a ＜3a B 、2a ＞3a C 、2a ＝3a D 、不能确定 二、填空题（每题4分，共32分） 9、若m ＜n ，比较下列各式的大小： （1）m －3______n －3 （2）－5m______－5n 5.2不等式的基本性质 教学目的: 1．使学生理解不等式的概念，初步掌握不等式的三条基本性质； 2．培养学生对比以及观察、分析问题的能力，并初步领会对比的思想方法． 教学重点： 不等式的三条基本性质． 教学难点： 不等式的基本性质3． 教学过程: 引言：运用对比的方法，引导学生猜想出不等式的三条基本性质，并通过实例加以验证 首先，让学生用“＞”或“＜”号填空： (1)7+3______4+3； (2)7+(-3)______ 4+(-3)； (3)7×3 ______ 4×3； (4)7×(-3)______ 4×(-3)． 然后，启发学生由上面第(1)、(2)小题猜想出与等式的基本性质类似的不等式的性质．并请学生叙述不等式的基本性质1．此时，教师应抓住学生叙述中的问题予以纠正．即不能笼统地说“仍是不等式”，要改为书中所说的“不等号的方向不变”．对比等式中关于两边都乘以或除以同一个数的性质，让学生思考不等式类似的性质．引导学生观察上述第(3)、(4)小题，并将题中的3换成5，-3换成-5，按题中的要求再做一遍，并猜想出结论．然后让学生试着叙述所得到的不等式的基本性质2，3．(在观察上述练习题时，引导学生注意不等号的方向，并用彩色粉笔标出来，并问原因是什么？当学生在叙述不等式的基本性质感到困难时，教师应作适当的引导，启发．并依次板书这几条基本性质) 不等式基本性质： 1．不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 2．不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 3．不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 此时，教师要特别强调不等式基本性质3，并举例：若a ＜b ，c ＜0，则ac ＞bc(或c a ＞c b ) 然后，让学生用不等式-2＜4两边都分别加上5，-6，两边都分别乘以3， -3来验证上述不等式的三条基本性质． 问题：(1)在不等式 -2＜6两边都乘以m 后，结论将会怎样？(当字母m 的取值不明确时，需对m 分情况讨论) (2)比较等式性质与不等式的基本性质的异同． (问这两个问题的目的在于，强化学生对不等式基本性质的理解，特别是对不等式基本性质3的理解) 五、应用举例，变式练习 例1 根据不等式基本性质，把下列等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式： (1)x-2＜3； (2)6x ＜5x-1； 解：(1)由不等式的基本性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以 x-2+2＜3+2， x ＜5． (2)、(3)、(4)题略． (解题时，要求学生要联想解一元一次方程的思想方法，并将原题与x ＞a 或x ＜a 对照着用哪条基本性质能达到题目要求．同时强调推理的根据，尤其要注意不等式基本性质3和基本性质2的区别，解题书写要规范) 例2 设a ＞b ，用“＜”或“＞”号填空： (3)-4a ______ -4b ； (4)ma ______mb ．(m ≠0) 解：(1)因为a ＞b ，两边都减去3，所以由不等式基本性质1，得 不等式中字母的取值范围 习题 一，根据不等式的解集确定字母取值范围 例l 、如果关于x 的不等式(a+1)x>a+1．的解集为x<1，则a 的取值范围是 ( ) A ．a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l 解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B ． 练习一：根据性质： 1、已知a ，b 是常数，不等式ax+b ＞0, 当 时，不等式的解集是x ＞a b - ； 当 时，不等式的解集是x ＜a b -。 2、若ax ＜a-1的解集是x ＜a a 1-，则a 3、若（a+1）x ＞a+1的解集是x ＜1，则a 4、若（m-1）x ＞m-1的解集是x ＜1，则m 5、若关于x 的不等式x-m ≥-1的解集如图所示，则m 。 练习二：综合拓展： 1、已知三角形的三边长分别为6，x-2，4，则x 的取值范围是 分析： 2、若()04232 =--+-a x y y ，且x 为负数，则a 分析： 练：若()0332=++++m y x x ，且y 为负数，则m 3、如果x x +=+11，2323--=+x x ，则x 的取值范围是 分析： 练：如果1212-=-x x ，x x 3553-=-，则x 的取值范围是 练习三：与方程（组）的解有关： 1、已知y=2x-3，要是y ≥x ，求x 的取值范围 2、若关于x 的方程3x+3k=2的解是正数，则k 练：①当k 取何值时，关于x 的方程1)(3k 2-2 1+-=k x x 的解是负数 ②关于x 的方程3x+2n=2的解是非负数，则n ③当k 为何值时，关于x 的方程3x=5-4k 的解小于-3 二，根据不等式组的解集确定字母取值范围 例2、不等式组???>≤七年级下册不等式及其基本性质讲义
人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案(1)-新版
不等式(组)中参数范围的求法
2.1.1 不等式的基本性质(含答案)
不等式及其基本性质测试题
不等式的基本性质(1)
不等式的基本性质及解法
(完整word版)《不等式的基本性质》练习题
5.2不等式的基本性质
不等式中字母的取值范围