不等式基本性质求代数式的取值范围

不等式性质求代数式的取值范围

一. 知识要点：

1. 不等式概念 用不等号(,,,,><≥≤≠)表示不等关系的式子称为不等式。 其中用,><连接的不等式，如()()f x g x >称为严格不等式；而用,≥≤连接的不等式如()()f x g x ≤称为非严格不等式。

2. 比较两个实数大小的依据

主要根据实数的运算性质与大小顺序之间的关系，来比较两个实数a , b 的大小，即判断它们的差的符号。概括为，

0a b a b ->⇔>; 0a b a b -=⇔=; 0a b a b -<⇔<.其中⇔表示“等价于”，意味着两边可以相互推出。 3. 不等式的基本性质

性质1(对称性) 若a b >,则b a <;若b a <,则a b >.即a b b a >⇔<. 性质2(传递性) 若a b >,b c >,则a c >. 即

a b a c b c >⎫

⇒>⎬>⎭

. 性质3(同加或减性) 若a b >,则a c b c +>+或a c b c ->-. 进一步可得(移项): ()()a b c a b b c b a c b +>⇒++->+-⇒>- 或a b c a b b c b a c b ->⇒-+>+⇒>+. 性质4 若,0a b c >>, 则ac bc >. 若,0a b c ><, 则ac bc <. 性质5若,a b c d >>,则a c b d +>+. 性质6若0,0a b c d >>>>, 则ac bd >. 性质7若0a b >>, 则n n a b >(,2n n ∈≥¥).

性质8若0a b >>, >,2n n ∈≥¥).

特别强调:1

1a b a b >⇔<不一定成立. 因为当0ab <时, 有11a b

>;当0ab =时, 11a b <无意义; 当0ab >时,有11a b

<.

二. 解题思路:

利用几个变量的范围来确定某个代数式的范围是一类常见的综合问题, 解此类问题时, 常利用不等式性质3的推论, 即“同向不等式的两边可对应相加; 异向不等式的两边可相减”.

但请注意, 此种转化并不是等价变形, 在一个解题过程中多次利用这种转化时, 就有可能扩大真实的取值范围, 从而求出错误答案. 正确的解法是: 先建立待求范围的整体与已知范围的等量关系,再通过“一次性不等关系的运算”, 求出待求的范围.

三．求解步骤

① 把将要计算的代数式c 用已知的两个代数式a 与b 表达出来, 即令12c k a k b =+ (其中12,k k 为常数), 并求出12,k k 的值. 此方法可以推广到多个代数式的情况.

② 分别求出12k a k b 与的取值范围.

③ 一次性利用不等式的性质, 求出12k a k b +的取值范围, 即得代数式c 的取值范围.

四. 高考题演练

1. (辽宁高考) 已知-14x y <+<且23x y <-<, 则23z x y =-的取值范围是 ．提示1

2. (江苏高考) 设实数,x y 满足22

38,49x xy y ≤≤≤≤, 则3

4x y

的最大值

是 ．提示2 3. 若,αβ满足11

123αβαβ-≤+≤⎧⎨

≤+≤⎩

, 则3αβ+的最大值是 ．提示

3

4. 已知31lg 2,23x

y ≤≤≤≤, 则2

的取值范围是 ．提示4 5. 已知2()f x ax c =-且4(1)1,1(2)5f f -≤≤--≤≤, 则(3)f 的取值范围是 ．提示5

6. 已知:12a b ≤-≤且24a b ≤+≤, 求42a b -的取值范围． 提示6

7. 已知二次函数()y f x =的图像过原点,且1(1)2,3(1)4f f ≤-≤≤≤, 求

(2)f -的取值范围． 提示

7

参考答案:

提示1：设23()()(+)()z x y m x y n x y m n x m n y =-=++-=+-, 因为

23m n m n +=⎧⎨

-=-⎩,得1252

m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以115152(),5()2222x y x y -<-+<<-<, 则153()()822

x y x y <-++-<, 即3238x y <-<.

提示2：显然32

2124()()x x xy y y

-=, 为转化为上面用到的基本解法,因此可两边同时取对数, 化为322

4lg lg 2lg x x xy y y =-+的形式. 易得

22

lg82lg 4lg 2lg lg 32lg 9x xy y -+≤-+≤-+, 即3

4lg 2lg lg 27x y

≤≤,则

3

4227x y

≤≤, 最大值是27. 提示3: 设+3()(+2)(+)(+2)m n m n m n αβαβαβαβ=++=+, 因为1

23

m n m n +=⎧⎨

+=⎩,

得1

2m n =-⎧⎨

=⎩

, 所以易求137αβ≤+≤. 提示4: 已知条件可化为1lg lg 21

23lg lg 32

x y x y ≤-≤⎧⎪

⎨≤-≤⎪⎩,

设311

3lg lg (lg lg )(3lg lg )32x y m x y n x y =-=-+-, 易求116,515m n =-=.最

终226[,3]15

.

提示5: 已知条件可知(1)(2)4f a c f a c =-⎧⎨=-⎩, 则1[(2)(1)]3

41(1)(2),33a f f c f f ⎧

=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩

则5

8(3)9(1)(2).33

f a c f f =-=-+易求(3)f 的取值范围是[1,20]-.