第四节,全微分及其应用解析
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定理2(充分条件) 如果函数z=f(x,y)的偏导数在点 (x,y)连续，则函数在该点处可微.
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数
函数可微 偏导数连续
三、全微分的计算
例2 求函数z 2xy3－x2 y6 的全微分.
解 z 2y 3 2x y 6, z 6x y 2 12x 2y 5,
（1） f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续；
（2）
f
x
(
x
,
y
)
、
f
y
(
x
,
y
)在点(
x0
,
y0
)
的
某邻域存在；
（3）z
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x,
y)y
，
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量；
z
（4）
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x,
(x)2 (y)2
y)y
,
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量.
z dz fx ( x, y)x fy ( x, y)y. 也可写成
f ( x x, y y) f ( x, y) fx ( x, y)x fy ( x, y)y.
例 5 计算(1.04)2.02的近似值.
解 设函数 f ( x, y) x y. 取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02.
x
y
故 dz 2y3(1－xy3)dx 6xy2 (1－xy3)dy.
例3 计算函数z exy 在点(1，2)处的全微分.
解
z x
y ex y ,
z y
x ex y
z x
x1 y2
2e2
,
z y
x 1 y 2
e2
故 dz 2e2dx e2dy.
目录 上一页 下一页 退 出
例 4 计算函数u x sin y e yz 的全微分. 2
微，则
(1) (2)
ff((xx,,yy))在 在点 点((xx,,yy))处的连偏续导；数xz
z
, y
必存在，且f(x,y)
在点(x,y)处的全微分为
dz z dx z dy .
x y
注：偏导数
z x
，yz
存在是可微分的必要条件，但不是
充分条件(见本节例1).这要与一元函数区分开来，一
元函数可微与可导是等价的.
定义2 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义， 全增量Δz可以表示为
z Ax By o(), 其中A,B不依赖于Δx,Δy而仅与x，y有关，
ρ (Δx )2 (Δy)2 , 则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微，
AΔx+BΔy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分， 记为dz,即
例1 考察函数
f
(x
,
y
)
x
xy 2y
2
,
(x , y ) (0,0)
0,
(x , y ) (0,0)
在点(0,0)的偏导数、连续性和可微性.
解 在§7.3的例7中已经知道： (1) 函数f(x,y)在点(0,0)的偏导数存在，且为：
fx 0, 0 0, f y (0, 0) 0.
(2) 因函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在，所以f(x,y) 在点(0,0)处不连续. 由定理1可知连续是可微的必要条件，故由f(x,y)在点 (0,0)处不连续，即知f(x,y)在点(0,0)处不可微.
dz Ax By.
若函数z=f(x,y)在区域D内各点处可微，则称z=f(x,y) 在D内可微.
将Δx与Δy写成dx与dy，并分别称为自变量x与y的 微分.于是，函数z=f(x,y)的全微分可写成
dz Adx Bdy.
二、可微与连续、偏导数存在之间 的关系
定理1(必要条件) 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可
函数的全增量z _______;全微分dz ________.
4、若 函 数 z xy x , 则 z对x 的 偏 增 量 y
x z ___________;lim x z ______________. x0 x
二、求函数z ln(1 x 2 y 2 ) 当x 1, y 2时的全微分.
七、求函数
f
( x,
一、填空题:
练习题
1、设z
eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y x
,则
z
_____________；
x
z ____________；dz ____________. y
2、若u ln( x 2 y 2 z 2 ),则
du _____________________________.
3、若函数z y ,当x 2, y 1 ,x 0.1, y 0.2 时, x
解 u 1, x
u 1 cos y ze yz , y 2 2
u ye yz , z
所求全微分
du dx (1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
四、全微分在近似计算中的应用
当二元函数z f (x, y) 在点 P(x, y)的两 个偏导数 fx ( x, y), fy ( x, y) 连续，且 x , y 都较小时，有近似等式
三、计算 (1.02)3 (1.97)3 的近似值. 四、设有一无盖园柱形容器,容器的壁与底的厚度均为
0.1cm，内高为20cm ,内半径为4cm ,求容器外壳体 积的近似值. 五、测得一块三角形土地的两边边长分别为63 0.1m 和 78 0.1m,这两边的夹角为60 10 .试求三角形面积 的近似值,并求其绝对误差和相对误差. 六、利用全微分证明:乘积的相对误差等于各因子的相 对误差之和;商的相对误差等于被除数及除数的相 对误差之和.
f (1,2) 1, fx ( x, y) yx y1, fy ( x, y) x y ln x,
fx (1,2) 2, fy (1,2) 0, 由公式得 (1.04)2.02 1 2 0.04 0 0.02 1.08.
思考题
函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处可微的充分条件是:
一、全微分的定义
定义1 全增量的概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y) 的某邻域内 有定义，并设P( x x, y y)为这邻域内的
任意一点，则称这两点的函数值之差
f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y 的全增 量，记为z ， 即 z = f ( x x, y y) f ( x, y)
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
偏导数
函数可微 偏导数连续
三、全微分的计算
例2 求函数z 2xy3－x2 y6 的全微分.
解 z 2y 3 2x y 6, z 6x y 2 12x 2y 5,
（1） f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续；
（2）
f
x
(
x
,
y
)
、
f
y
(
x
,
y
)在点(
x0
,
y0
)
的
某邻域存在；
（3）z
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x,
y)y
，
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量；
z
（4）
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x,
(x)2 (y)2
y)y
,
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量.
z dz fx ( x, y)x fy ( x, y)y. 也可写成
f ( x x, y y) f ( x, y) fx ( x, y)x fy ( x, y)y.
例 5 计算(1.04)2.02的近似值.
解 设函数 f ( x, y) x y. 取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02.
x
y
故 dz 2y3(1－xy3)dx 6xy2 (1－xy3)dy.
例3 计算函数z exy 在点(1，2)处的全微分.
解
z x
y ex y ,
z y
x ex y
z x
x1 y2
2e2
,
z y
x 1 y 2
e2
故 dz 2e2dx e2dy.
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例 4 计算函数u x sin y e yz 的全微分. 2
微，则
(1) (2)
ff((xx,,yy))在 在点 点((xx,,yy))处的连偏续导；数xz
z
, y
必存在，且f(x,y)
在点(x,y)处的全微分为
dz z dx z dy .
x y
注：偏导数
z x
，yz
存在是可微分的必要条件，但不是
充分条件(见本节例1).这要与一元函数区分开来，一
元函数可微与可导是等价的.
定义2 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义， 全增量Δz可以表示为
z Ax By o(), 其中A,B不依赖于Δx,Δy而仅与x，y有关，
ρ (Δx )2 (Δy)2 , 则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微，
AΔx+BΔy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分， 记为dz,即
例1 考察函数
f
(x
,
y
)
x
xy 2y
2
,
(x , y ) (0,0)
0,
(x , y ) (0,0)
在点(0,0)的偏导数、连续性和可微性.
解 在§7.3的例7中已经知道： (1) 函数f(x,y)在点(0,0)的偏导数存在，且为：
fx 0, 0 0, f y (0, 0) 0.
(2) 因函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在，所以f(x,y) 在点(0,0)处不连续. 由定理1可知连续是可微的必要条件，故由f(x,y)在点 (0,0)处不连续，即知f(x,y)在点(0,0)处不可微.
dz Ax By.
若函数z=f(x,y)在区域D内各点处可微，则称z=f(x,y) 在D内可微.
将Δx与Δy写成dx与dy，并分别称为自变量x与y的 微分.于是，函数z=f(x,y)的全微分可写成
dz Adx Bdy.
二、可微与连续、偏导数存在之间 的关系
定理1(必要条件) 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可
函数的全增量z _______;全微分dz ________.
4、若 函 数 z xy x , 则 z对x 的 偏 增 量 y
x z ___________;lim x z ______________. x0 x
二、求函数z ln(1 x 2 y 2 ) 当x 1, y 2时的全微分.
七、求函数
f
( x,
一、填空题:
练习题
1、设z
eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y x
,则
z
_____________；
x
z ____________；dz ____________. y
2、若u ln( x 2 y 2 z 2 ),则
du _____________________________.
3、若函数z y ,当x 2, y 1 ,x 0.1, y 0.2 时, x
解 u 1, x
u 1 cos y ze yz , y 2 2
u ye yz , z
所求全微分
du dx (1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
四、全微分在近似计算中的应用
当二元函数z f (x, y) 在点 P(x, y)的两 个偏导数 fx ( x, y), fy ( x, y) 连续，且 x , y 都较小时，有近似等式
三、计算 (1.02)3 (1.97)3 的近似值. 四、设有一无盖园柱形容器,容器的壁与底的厚度均为
0.1cm，内高为20cm ,内半径为4cm ,求容器外壳体 积的近似值. 五、测得一块三角形土地的两边边长分别为63 0.1m 和 78 0.1m,这两边的夹角为60 10 .试求三角形面积 的近似值,并求其绝对误差和相对误差. 六、利用全微分证明:乘积的相对误差等于各因子的相 对误差之和;商的相对误差等于被除数及除数的相 对误差之和.
f (1,2) 1, fx ( x, y) yx y1, fy ( x, y) x y ln x,
fx (1,2) 2, fy (1,2) 0, 由公式得 (1.04)2.02 1 2 0.04 0 0.02 1.08.
思考题
函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处可微的充分条件是:
一、全微分的定义
定义1 全增量的概念
如果函数z f ( x, y)在点( x, y) 的某邻域内 有定义，并设P( x x, y y)为这邻域内的
任意一点，则称这两点的函数值之差
f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y 的全增 量，记为z ， 即 z = f ( x x, y y) f ( x, y)