流体主要计算公式

理想势流伯努利方程
（3-14）
或（3-15）
物理意义:在同一恒定不可压缩流体重力势流中，理想流体各点的总比能相等即在整个势流场中，伯努利常数C 均相等。

（应用条件：“”所示）
符号说明
二、沿流线的积分
1.只有重力作用的不可压缩恒定流，有
2.恒定流中流线与迹线重合：
沿流线（或元流）的能量方程：
（3-16）
注意：积分常数C，在非粘性、不可压缩恒定流流动中，沿同一流线保持不变。

一般不同流线各不相同（有旋流）。

（应用条件：“”所示，可以是有旋流）
流速势函数（势函数）观看录像>>
•存在条件：不可压缩无旋流，即或
必要条件存在全微分dϕ
直角坐标
（3-19）
式中：ϕ——无旋运动的流速势函数，简称势函数。

•势函数的拉普拉斯方程形式
对于不可压缩的平面流体流动中，将（3-19）式代入连续性微分方程（3-18），有：
或（3-20）
适用条件：不可压缩流体的有势流动。

点击这里练习一下
极坐标
（3-21）
流函数
1.流函数
存在条件：不可压缩流体平面流动。

直角坐标
连续性微分方程：
必要条件存在全微分d y
（3-22）
式中：y——不可压缩流体平面流动的流函数。

适用范围：无旋流、有旋流、实际流体、理想流体的不可压缩流体的平面流动。

流函数的拉普拉斯方程形式
对平面势流，有，则
或（3-23）
适用条件：不可压缩流体的平面有势流动。

极坐标
（3-24）
2.流函数的物理意义
（1）流函数等值线就是流线。

得平面流线方程（3-1）：，得证。

（2）不可压缩流体的平面流动中，任意两条流线的流函数之差d y等于这两条流线间所通过的单位宽度流量d q。

AB断面所通过流量：
粘性流体的运动微分方程
1.粘性流体的特点
（1）实际流体的面积力包括：压应力和粘性引起的切应力。

切应力由广义牛顿内摩擦定律确定：
（2）实际的流动流体任一点的动压强，由于粘性切应力的存在，各向大小不等，即p xx≠ p yy≠ p zz。

任一点动压强由式（2-5）为：
（3-11）
第三节流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程
在流场内取一微元六面体（如图3-23），边长为d x,d y,d z，中心点O流速为（u x,u y,u z）
以x轴方向为例：
左表面流速
右表面流速
所以单位时间内x方向流出流进的质量流量差：
x方向：
同理可得：
y方向：
z方向：
质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总和应等于六面体内因密度变化而减少的质量，即：
（3-6）
（1）流体的连续性微分方程的一般形式
由（3-6）式可得
（3-7）适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压缩流体或不可压缩流体。

（2）可压缩流体恒定流动的连续性微分方程
当为恒定流时，有，则（3-7）式为
(3-8)
适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。

（3）不可压缩流体的连续性微分方程
当为不可压缩流时，有，则（3-7）式为
（3-9）
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量），与流出的流体体积（质量）之差等于零。

适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。

二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强特性
相同：
从理想流体中任取一(x ,y ,z )为中心的微元六面体为控制体，边长为d x ,d y ,d z ，中心点压强为p (x ,y ,z ) ，如图3-24。

图3-24
受力分析(x 方向为例)： 1.表面力
因为理想流体，所以t =0
左表面
右表面
2.质量力
单位质量力在各坐标轴上分量为X ,Y ,Z ，所以x 方向的质量力为X d x d y d z
由牛顿第二运动定律，x 方向有：
理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）
（3-10）
适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可压缩流体。

若加速度等于0，则上式就可转化为欧拉平衡微分方程(2-6)式
三、粘性流体的运动微分方程
1.粘性流体的特点
（1）实际流体的面积力包括：压应力和粘性引起的切应力。

切应力由广义牛顿内摩擦定律确定：
（2）实际的流动流体任一点的动压强，由于粘性切应力的存在，各向大小不等，即p xx≠ p yy≠ p zz。

任一点动压强由式（2-5）为：
（3-11）
2.实际流体的运动微分方程式
图3-25
同样取一微元六面体作为控制体，如图3-25。

x 向受力
左右向压力、 上下向切力、 前后面切力、 质量力 x 方向（牛顿第二运动定律
）
考虑条件： 1）不可压缩流体的连续性微分方程（3-9）：
2）切应力与主应力的关系表达式（3-11）。

可得不可压缩粘性流体运动微分方程：
纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes ，N-S)方程
（3-12）
拉普拉斯算符，例：
想一想：N-S方程与欧拉运动微分方程有何联系？
N－S方程是不可压缩粘性流体的运动微分方程，而欧拉运动微分方程则是理想流体的运动微分方程。

当流动流体的运动粘度等于0，即为理想流体时，N－S方程即为欧拉运动微分方程。

第四节欧拉运动微分方程的积分
由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分，只能在一定条件下积分。

欧拉运动微分方程组(3-10)各式分别乘以d x，d y，d z（流场任意相邻两点间距d s的坐标分量），然而相加得：
（3-13）
<I> <II> <III>
一、在势流条件下的积分
考虑条件
1.恒定流：；
2.均匀不可压缩流体，即 =const，；
3.质量力只有重力，即X=Y=0，Z=-g；
4.有势流动,满足式（3-5）：；
因此，（3-13）式中各项为：
(考虑欧拉加速度的表达式（3-3））
（引入有势流动的条件4）
由以上得：
积分得：
第一节流态判别
一、两种流态的运动特征
1883年英国物理学家雷诺（Reynolds O.）通过试验观察到液体中存在层流和紊流两种流态。

1.层流观看录像>>
层流（laminar flow），亦称片流：是指流体质点不相互混杂，流体作有序的成层流动。

特点：
（1）有序性。

水流呈层状流动，各层的质点互不混掺，质点作有序的直线运动。

（2）粘性占主要作用，遵循牛顿内摩擦定律。

（3）能量损失与流速的一次方成正比。

（4）在流速较小且雷诺数Re较小时发生。

2.紊流观看录像>>
紊流（turbulent flow），亦称湍流：是指局部速度、压力等力学量在时间和空间中发生不规则脉动的流体运动。

特点：
（1）无序性、随机性、有旋性、混掺性。

流体质点不再成层流动，而是呈现不规则紊动，流层间质点相互混掺，为无序的随机运动。

（2）紊流受粘性和紊动的共同作用。

（3）水头损失与流速的1.75~2次方成正比。

（4）在流速较大且雷诺数较大时发生。

二、雷诺实验
如图6-1所示，实验曲线分为三部分：
（1）ab段：当υ<υc时，流动为稳定的层流。

（2）ef段：当υ>υ''时，流动只能是紊流。

（3）be段：当υc<υ<υ''时，流动可能是层流（bc段），也可能是紊流（bde段），取决于水流的原来状态。

图6-1图6-2
观看录像一>>观看录像二>>观看录像三>>实验结果（图6-2）的数学表达式
层流：m1=1.0, h f=k1v ,即沿程水头损失与流线的一次方成正比。

紊流：m2=1.75~2.0, h f =k2v1.75~2.0，即沿程水头损失h f与流速的1.75~2.0次方成正比。

层流：
紊流：
流态判别
一、两种流态的运动特征
1883年英国物理学家雷诺（Reynolds O.）通过试验观察到液体中存在层流和紊流两种流态。

1.层流
层流（laminar flow），亦称片流：是指流体质点不相互混杂，流体作有序的成层流动。

特点：
（1）有序性。

水流呈层状流动，各层的质点互不混掺，质点作有序的直线运动。

（2）粘性占主要作用，遵循牛顿内摩擦定律
牛顿内摩擦定律
a. 牛顿内摩擦定律：液体运动时，相邻液层间所产生的切应力与剪切变形的速率成正比。

即
（N/m2，Pa）（1-6）
τ—粘性切应力，是单位面积上的内摩擦力。

说明：1）流体的切应力与剪切变形速率，或角变形率成正比。

——区别于固体的重要特性:固体的切应力与角变形的大小成正比。

2）流体的切应力与动力粘度μ成正比。

3）对于平衡流体d u /d y =0，对于理想流体μ=0，所以均不产生切应力，即t =0。

b.牛顿平板实验与内摩擦定律
图1-1 流体的绝对粘度 设板间的y
向流速呈直线分布，即：
则：
实验表明，对于大多数流体满足：
引入动力粘度 ，则得牛顿内摩擦定律
（1-7）
式中：流速梯度 代表液体微团的剪切变形速率。

线性变化时，即；
非线性变化时，即是u
对y 求导。

证明：在两平板间取一方形质点，高度为d y ，d t 时间后，质点微团从abcd 运动到a ′b ′c ′d ′。

由图1-2得：
图1-2
则：
说明：流体的切应力与剪切变形速率，或角变形率成正比。

（3）能量损失与流速的一次方成正比。

（4）在流速较小且雷诺数Re 较小时发生。

2.紊流
紊流（turbulent flow），亦称湍流：是指局部速度、压力等力学量在时间和空间中发生不规则脉动的流体运动。

特点：
（1）无序性、随机性、有旋性、混掺性。

流体质点不再成层流动，而是呈现不规则紊动，流层间质点相互混掺，为无序的随机运动。

（2）紊流受粘性和紊动的共同作用。

（3）水头损失与流速的1.75~2次方成正比。

（4）在流速较大且雷诺数较大时发生。

三、层流、紊流的判别标准——临界雷诺数
临界雷诺数
上临界雷诺数：层流→紊流时的临界雷诺数，它易受外界干扰，数值不稳定。

下临界雷诺数：紊流→层流时的临界雷诺数，是流态的判别标准，它只取决于水流边界的形状，即水流的过水断面形状。

变直径管流中，细断面直径d1，粗断面直径d2=2d1，则粗细断面雷诺数关系是。

圆管流
（5-1）
层流
紊流
明渠流
（5-2）
式中：R——水力半径，R=A/P；
A——过水断面面积；
P——湿周，即断面中固体边界与流体相接触部分的周长。

问题：雷诺数与哪些因数有关？其物理意义是什么？当管道流量一定时，随管径的加大，雷诺数是增大还是减小？ 答案：
雷诺数与流体的粘度、流速及水流的边界形状有关。

Re =惯性力/粘滞力
, 随d 增大，Re
减小。

.为什么用下临界雷诺数，而不用上临界雷诺数作为层流与紊流的判别准则？
答：上临界雷诺数不稳定，而下临界雷诺数较稳定，只与水流的过水断面形状有关。

3.当管流的直径由小变大时，其下临界雷诺数如何变化？
答：不变，临界雷诺数只取决于水流边界形状，即水流的过水断面形状。

三、紊流的基本方程
对N-S 方程（3-12）和连续性方程（3-9）进行时间平均即可得出紊流的时均流动方程。

连续性方程
（6-20）
N-S 方程（x 方向）
（6-21）
式中：
——由于脉动产生的附加法应力
统称为雷诺应力
——由于脉动产生的附加切应力
它们是紊流传输项，也是造成紊流动量交换及质点混掺的主要原因。

在紊流边界层外侧或紊流扩散中，雷诺应力远远超过粘性切应力。

边界层概念
一、边界层的提出
1.边界层（boundary layer）：
亦称附面层，雷诺数很大时，粘性小的流体（如空气或水）
沿固体壁面流动（或固体在流体中运动）时壁面附近受粘性影
响显著的薄流层，如图6-17。

判断：边界层内流体流动与粘性底层流体流动都属于层流。

你的回答：对错
2.流场的求解可分为两个区进行
根据边界层的概念，可将流场的求解可分为两个区进行：
图6-17边界层内流动必须计入流体的粘性影响可利用动量方程求
得近似解。

边界层外流动视为理想流体流动，可按势流求解。

二、层流边界层和紊流边界层
1.边界层的描述
普兰特把贴近于平板边界存在较大切应力，粘性影响不能忽略的薄层称为边界层，图6-18。

边界中的水流同样存在两种流态：层流和紊流。

图6-18
2.边界层的厚度
边界层厚度δ（boundary layer thickness）：自固体边界表面沿其外法线到纵向流速u x达到主流速U0的99%处，这段距离称为边界层厚度。

边界层的厚度顺流增大，即δ是x的函数。

3.转捩点，临界雷诺数
转捩点：在x=x cr处边界层由层流转变为紊流的过渡点。

临界雷诺数：
(6-45)
特点：临界雷诺数的大小与来流的脉动程度有关，脉动强，小。

层流边界层与紊流边界层（图6-19）
层流边界层（laminar boundary layer）：当边界层厚度d较小时，边界层内的流速梯度很大，粘滞应力的作用也很大，这时边界层内的流动属于层流，这种边界层称为层流边界层。

紊流边界层（turbulence boundary layer）：当雷诺数达到一定数值时，边界层中的层流经过一个过渡区后转变为紊流，就成为紊流边界层。

在紊流边界层内，最紧靠平板的地方，d u x/d y仍很大，粘滞力仍起主要作用，其流态仍为层流，所以紊流边界层内有一粘性底层。

图6-19
光滑平板边界层
临界雷诺数的范围：
临界雷诺数并非常量，而是与来流的扰动程度有关，如果来流受到扰动，脉动强，流态的改变在较低的雷诺数就会发生。

边界层厚度
层流边界层紊流边界层
(6-46) (6-47)
5.边界层特点
（1）边界层厚度为一有限值（当u x→0.99u时）（2）边界层厚度沿程增加（δ=δ(x)）
（3
）边界层内：；边界层外：按理想流体或有势流动计算。

（4）边界层分层流边界层和紊流边界层。

边界层分离
1.边界层分离（separation of boundary layer）：因压强沿流动方向增高，边界层内流体从壁面离开的现象称边界层分离。

观看录像>>
平板绕流的边界层分离，如图6-20。

压强梯度保持为零，即d p/d x=0
无论板有多长，都不会发生分离，这时边界层只会沿流向连续增厚。

压强沿程增大，即p2>p1或梯度d p/d x>0
边界层迅速地增厚，压强的增大（流速减小）和阻力增大使边界层内动量减小，如两者共同作用在一足够长的距离，致使边界层内流体流动停滞下来，分离便由此而生，自分离点B起，边界流线必脱离边界，其下游近壁处形成回流（或涡旋），在分离点：
（6-48）
（6-49）
图6-20
点击这里练习一下！
2.尾流
尾流：分离流线与物体边界所围的下游区域，如图6-21。

减小尾流的主要途径：使绕流体型尽可能流线型化。

观看录像>>
图6-21
1.流体流动的两种形态（层流和紊流）的特点。

（质点是否掺混，运动是否有序，水头损失与流速间关系）
2.层流、紊流的判别标准——下临界雷诺数Re c Re c只取决于边界形状（过水断面形状）。

对圆管流Re c＜2300时为层流。

3.均匀流基本方程：τ0=ρgRJτ=ρgR'J
4.不可压缩恒定均匀圆管层流
圆管层流流速呈旋转抛物面分布：。

圆管层流的最大流速：
圆管层流的断面平均流速：断面平均流速是最大流速为的2倍。

圆管层流的水头损失：，即水头损失与流速的一次方成正比，沿程阻力系数λ=64/Re。

5.紊流特点：无序性、耗能性、扩散性。

时均化处理紊流。

瞬时流速=时均流速+脉动流速
6.紊流切应力：
7.紊流流速分布
a.近壁处：，线性分布
b.紊流核心区：，对数分布
粘性底层厚度：，随Re的增大而减小
8.能量损失，
恒定紊流能量方程
一、水流阻力与水头损失
产生流动阻力和能量损失的根源：流体的粘性和紊动。

1.水头损失的两种形式
（1）沿程阻力和沿程水头损失
沿程阻力（frictional drag）：当限制流动的固体边界使流体作均匀流动时，流动阻力只有沿程不变的切应力，该阻力称为沿程阻力。

沿程水头损失（frictional head loss）：由沿程阻力作功而引起的水头损失称为沿程水头损失。

（2）局部阻力和局部水头损失观看录像>>
局部阻力（local resistance）：液流因固体边界急剧改变而引起速度分布的变化，从而产生的阻力称为局部阻力。

局部水头损失（local head loss）：由局部阻力作功而引起的水头损失称为局部水头损失。

（3）特点
沿程水头损失h f：主要由于“摩擦阻力”所引起的，随流程的增加而增加。

在较长的直管道和明渠中是以h f为主的流动。

局部阻力水头损失h j：主要是因为固体边界形状突然改变，从而引起水流内部结构遭受破坏，产生漩涡，以及在局部阻
力之后，水流还要重新调整结构以适应新的均匀流条件所造成的。

例“弯头”，“闸门”，“突然扩大”等。

（4）水头损失的叠加原理
水头损失叠加原理：流段两截面间的水头损失为两截面间的所有沿程损失和所有局部损失的总和。

即：
（6-26）
式中：n——等截面的段数；
m——局部阻力个数。

不同固体边界下的水头损失如图6-11：
图6-11
2.沿程水头损失公式
（1）魏斯巴赫（Weisbach）公式
实验表明：
（6-27）
式中：λ——沿程阻力系数。

R——水力半径，R=A/P。

适用范围：适用于任意形状等截面流道的恒定均匀流。

（2）圆管流的达西-魏斯巴赫公式（简称为D-W公式）
圆管的R=d/4，则
（6-28）
适用范围：适用于圆管紊流或层流，为恒定均匀管流的通用公式。

判断：有两根管道，一根输油管，一根输水管，当直径、长度、边界粗糙度均相等时，则沿程水头损失必然
相等。

你的回答：
对错
（3）谢才公式
（6-29）
式中：C
——谢才系数，。

通常按经验公式确定。

适用范围：适用于各种流态或流区。

但是当C按经验公式曼宁公式和巴甫洛夫斯基公式确定时，只适用于处于紊流粗糙管区（阻力平方区）时的明渠、管道均匀流，如明渠流、有压混凝土管流、有压隧洞流等。

选择：半圆形明渠，半径r0=4m，水力半径为：你的回答：
4m 3m 2m 1m
判断：谢才系数C是一个无量纲的纯数。

你的回答：
对
错
（4）谢才系数的计算
a.计算常用公式：
由式（6-27）可得
（6-30）
适用范围：适用于任何流区。

b.曼宁公式
（6-31）
适用范围：适用于水流处于阻力平方区的均匀流。

c.巴甫洛夫斯基公式
（6-32）
适用范围：适用于水流处于阻力平方区的均匀流，且0.1m≤R≤3.0m，0.011≤n≤0.04。

式中：R——水力半径（m）；n——糙率。

第一节流动相似
原型：天然水流和实际建筑物称为原型。

模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。

水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。

水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。

关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。

流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。

模型和原型保证流动相似，应满足：
几何相似
运动相似
动力相似
初始条件和边界条件相似
1.几何相似
几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。

（5-1）
长度比尺：
（5-2）
面积比尺：
体积比尺：
2. 运动相似
运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。

（5-4）
速度比尺：
（5-5）
加速度比尺：
3.动力相似
动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相等。

力的比尺：
（5-6）
4.初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。

边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。

如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等。

流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；
动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素；
运动相似是几何相似和动力相似的表现；
凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动
马赫数
弹性力为主导作用力时的相似准则（例水击现象）：
柯西数
（5-18）
令
式中：——流体声速
——弹性模量
当弹性力起主要作用时，如水击，空气动力学中的亚音速或超音速运动等，动力相似有：
斯特哈罗数（时间准则）
斯特哈罗数：非恒定流体流动中，当地加速度，这个加速度所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。

判断：对于恒定流也应考虑斯特哈罗数准则。

你的回答：对错
（5-21）
f——振动频率
对非恒定流，表明有变力作用，动力相似有：
本章小结
1.两液流流动相似必须满足：
（1）几何相似——原形和模型两个流场的几何形状相似；
（2）运动相似——原形和模型两个流场的速度场相似；
（3）动力相似——原形和模型两个流场中各相应质点所受的同名方向相同，大小成一固定比例；
（4）初始条件和边界条件相似；
2.相似准则：Re相似准则、Fr相似准则、Eu相似准则
原型和模型中采用同一种流体时，不能同时满足重力相似和粘滞力相似；所以只要相应点的粘滞力或重力相似，压强会自行相似。

3. 基本量纲——具有独立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲。

一般取[L-M-T]。

诱导量纲——由基本量纲导出的量纲。

[X]=[Lα，Tβ，Mγ]。

4.量纲和谐原理——凡是正确反映客观物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只是方程两边量纲相同，方程才能成立。

5.量纲分析两种方法
雷利法——直接应用量纲和谐原理来求解，适用于较简单问题。

π定理——具有普遍性的方法。

关键在于正确选择基本量。