算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系

Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
[ Aˆ , Bˆ Cˆ ] [ Aˆ , Bˆ ] [ Aˆ , Cˆ ]
[ Aˆ Bˆ , Cˆ ] [ Aˆ , Cˆ ] [Bˆ , Cˆ ]
双线性
[ Aˆ, BˆCˆ ] [ Aˆ, Bˆ ]Cˆ Bˆ[ Aˆ, Cˆ ]
若Ô Û ≠ ÛÔ ，则称Ô 与 Û 不对易。
例如：算符 证：
x
pˆ
x
i
x
不对易。
显然二者结果不相等，所以:
(1)
xpˆ x
来自百度文库
x(i
x
)
ix
x
(2)
pˆ x
x
(i
x
)x
i
ix
x
xpˆ x pˆ x x
而
（xpˆ x pˆ x x） i
因为 是任意波函数，
所 以 xpˆ x pˆ x x i
[Lˆ , Lˆ2 ] 0
x, y, z
5
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续５）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
Prove: [Lˆx , Lˆy ] [ ypˆ z zpˆ y , Lˆy ]
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续１）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
1．算符对易关系
一般来说算符之积不满足 交换律，即 Ô Û ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。
（1）坐标算符与动量算 符的对易关系
x
ihU
f x
ihf
U x
ihU
f x
ihf
U x
ih
U x
f
U
x
,
Pˆx
ih
U x
特别地，当U x x 代入上对易式，即证得 x, Pˆx ih
同理可证： y, Pˆy ih z, Pˆz ih
3
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续３）
（2）对易恒等式 [Aˆ, Aˆ] 0 [Aˆ, Bˆ] [Bˆ, Aˆ]
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
Ex
Prove
证明对易关系式
U
(
x),
pˆ
x
i
U (x) x
设 f x, y, z 为任一可微函数
U x, Pˆx f UPˆx PˆxU f UPˆx f PˆxUf
ihU
f x
ih Uf
FˆGˆ GˆFˆ n nn nn n 0
设 是任一状态波函数， ann n1 FˆGˆ GˆFˆ an FˆGˆ GˆFˆ n 0 n
2．力学量同时有确定值的条件
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
定理
若算符Fˆ 和 Gˆ 具有共同的本征函数完全 系，则 Fˆ 和 Gˆ 必对易。
prove: 设 n 是 Fˆ 和 Gˆ 的共同本征函数完全系，则
Fˆn nn , Gˆn nn
[ pˆ y , Lˆy ] 0
y[ pˆz , Lˆy ] [ y, Lˆy ]pˆz z[ pˆ y, Lˆy ] [zˆ, Lˆy ]pˆ y
[ y, Lˆy ] 0 y[ pˆ z , zpˆ x xpˆ z ] [zˆ, zpˆ x xpˆ z ] pˆ y 等于零
y[ pˆ z , zpˆ x ] y[ pˆ z , xpˆ z ] [z, zpˆ x ] pˆ y [z, xpˆ z ] pˆ y
x, pˆx ih
y, pˆ y ih
z, pˆz ih
x, pˆ y x, pˆz 0 y, pˆx y, pˆz 0
z, pˆx z, pˆ y 0
x , pˆ ih (, 1, 2, 3)
2
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续２）
[x , x ] 0 , 1, 2, 3
x1 x, x2 y, x3 z
[ pˆ x , pˆ y ] 0
[ pˆ y ,
pˆ z ] 0
[ pˆ z ,
pˆ x ] 0
pˆ , pˆ 0 , 1, 2, 3 ( pˆ1 pˆ x, pˆ 2 pˆ y, pˆ3 pˆ z )
y[ pˆ z , z] pˆ x yz[ pˆ z , pˆ x ] [z, x] pˆ z pˆ y x[z, pˆ z ] pˆ y
ihypˆ x ihxpˆ y
ih(xpˆ y ypˆ x )
iLˆz
等于零
6
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续6）
[ Aˆ Bˆ , Cˆ ] [ Aˆ , Cˆ ]Bˆ Aˆ[Bˆ , Cˆ ]
[Aˆ, [Bˆ,Cˆ]][Bˆ, [Cˆ, Aˆ]][Cˆ, [Aˆ, Bˆ]] 0 雅可比恒等式
prove: [Aˆ, BˆCˆ] Aˆ BˆCˆ BˆCˆAˆ Aˆ BˆCˆ BˆAˆ Cˆ BˆAˆCˆ BˆCˆAˆ [ Aˆ, Bˆ]Cˆ Bˆ[ Aˆ,Cˆ ]
[Lˆ , Lˆ ] ih Lˆ
Lvˆ Lvˆ ihLvˆ
1 is an even permutation of xyz
1 is an odd permutation of xyz
0 otherwise
[Lˆx , Lˆ2 ] 0 [Lˆy , Lˆ2 ] 0
[Lˆz , Lˆ2 ] 0
对易 关系
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续２）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
xˆ, yˆ 0
yˆ, zˆ 0
zˆ, xˆ 0
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
4
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续４）
（3）角动量算符的对易关系
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
[Lˆx , [Lˆy ,
Lˆy Lˆz
] ]
ihLˆz ihLˆx
[Lˆz ,
Lˆx
]
ihLˆy