非线性控制系统分析

第八章非线性控制系统分析

教学目的:

通过学习本章，使学生掌握秒素函数法与相平面法分析非线性系统的理论基础与应用。

教学要求：

(1)认识非线性系统区别于线性系统的运动过程特点.

(2)掌握描述函数法和相平面法的特点及应用范围.

(3)明确函数的定义及相关概念,熟悉典型非线性的妙描述和负倒描述函数

特性,掌握用描述函数法分析非线性系统的稳定性和分析自振,计算自振参数的方法.

教学课时：12学时

教学重点: (1) 非线性的相关概念.

(2) 典型系统的相平面表示.

(3) 典型非线性系统的描述函数形式.

教学难点:

非线性系统的描述函数求法;

利用负倒数法分析系统稳定性.

本章学时: 12学时

主要内容:

8.1 非线性系统的概述

8.2 描述函数法

8.3 相平面法分析线性控制系统

8.4 利用非线性特性改善系统的控制性能

8.1非线性系统的概述

8.1.1 非线性模型

㈠组成

---------x-------非线性环节---------线性环节------------

组成：非线性环节+线性环节

㈡. 分类

①从输入输出关系上分：单值非线性

非单值非线性

1，从形状特性上分：饱和

死区

回环

继电器

㈢特点

稳定性与结构，初始条件有关；响应

㈣分析方法

注意: 不能用叠加原理

1. 非线性常微分方程没有同意的求解方法，只有同意求近似解的方法:

a. 稳定性（时域，频域）：由李亚普洛夫第二法和波波夫法判断

b. 时域响应：相平面法（实际限于二阶非线性系统）较精确，因高阶作用太复杂

描述函数法：近似性，高阶系统也很方便

研究非线性系统并不需求得其时域响应的精确解，而重要关心其时域响应的性质，如：稳定性，自激震荡等问题，决定它的稳定性范围，自激震荡的条件，震荡幅度与频率等。

2

3

8.2 描述性函数

X0(S)

一 描述性函数的定义

非线形元件的输入为正弦波时，将起输出的非正弦波的一次谐波（基波）与输入正

弦波的复数比，定义为给非线形环节的描述性函数。 输入：

输出：) y=f(Asinwt)

=y0+∑x(t)=Asinwt (Bksinkwt +Ckcoskwt)

假设输出为对称奇函数，y0=0;只取基波分量（假设具有低通滤波特性，高次谐波忽略），则y(t)=B1sinwt+C1coswt=y(sinwt+¢)

二典型非线形特性的描述函数

1，计算方法设非线形特性为：y=f(x)

令X=Asinwt,则y(t)由富式级数展开为：Y(t)=Ao+∑(A n cosnwt+B nsinnwt)

=Ao+∑Ynsin(nwt+¢)

式中：An=

如果非线性特性是中心对称的，则y(t)具有奇次对称性,Ao=0,谐波线性略去高次谐波，只取基波，具有低通滤波特性。

Y1=A1coswt+B1sinwt=Y1sin(wt+¢1)

N(A)=Y1/A×exp(j¢1)=Y1/Acos¢1+jY1/Asin¢1

=B1/A+jA1/A=b(A)+ja(A)

与频率材料比较，方式形式类似，相当于用一个等效线性元件代替原来非线性元件，而等效线性元件幅相特性N(a)是输入信号A的函数。

2.举例求饱和限幅特性的描述函数（固有非线性）

X ωt

x(t)

y(t)具有奇次对称性，Ao=0

A1=1/π∫y(t)coswtd(wt)=0

B1=1/π∫y(t)sinwtd(wt)=2/π∫y(t)sinwtd(wt)

= 2/π(∫y(t)sinwtd(wt)+∫y(t)sinwtd(wt)+∫y(t)sinwtd(wt))

若A>0,y(t)=Kasinwt 0<=wt

kc=B a<=wt<=

Kasinwt

比较线性系统特征方程G(jω)=–1

线性系统，（–1，j0）点是判断稳定的关键点。

非线性系统，判断稳定性不是点（–1，j0）,而是一条线–1∕N。（A∕d）。

由线形部分与描述函数负侧特性之间相对位置可以判断非线性系统的稳定及自激振荡，即可利用奈奎斯稳定判据进行分析。

3.判据内容：

在开环幅相平面上，G(jω)条件，最小位相，无右极点。

1）若K。G(jω)轨迹不包围时线性负侧特性–1∕N。（A∕d）,则此非线性系统稳定。

2）若K。G(jω)轨迹包围–1∕N。（A∕d），则非线性系统不稳定。

3）若K。G(jω)与–1∕N。（A∕d）相交，则在交点处，系统处于临界稳定，可能产生周期持续震荡，这种持续震荡可以用正弦振荡来近似，其振荡的振幅和频率可以分别用交点处–1∕N。（A∕d）轨迹上的A 值K。G(jω)曲线上对应的ω值来表征。

工程设计中，通常在线性部分加入校正，改变K。G(jω)与–1∕N。（A∕d）的相对位置，以消除持续振荡，提高系统稳定性。

例2.判定自振点并求自振参数

。

解：理想继电器的描述函数

N(A)=4B∕лA (B=π∕2) N(A)=2∕A

–1∕N。（A∕d）=–A∕2 K。—非线性环节的传递函数（K。=1）

K。G(jω)与–1∕N。（A∕d）两曲线交于M点，稳定自振点。