非线性控制系统分析
非线性系统的分析与控制
非线性系统的分析与控制一、引言非线性系统是指系统的输入与输出之间存在着非线性关系的一类系统。
非线性系统由于其复杂性和多样性，已经成为了现代自动控制与系统工程中的一个热门研究领域。
非线性系统的分析与控制是目前自动控制领域研究的重点之一。
本文主要介绍非线性系统的分析和控制方法。
二、非线性系统的描述非线性系统是指系统输入和输出之间存在非线性关系的系统。
非线性系统可以用数学模型来描述。
常见的一些非线性数学模型有：常微分方程、偏微分方程、差分方程、递推方程等。
非线性系统的特性可以归纳为以下几个方面：1.非线性系统的输入和输出之间存在非线性关系，即输出不是输入的线性函数。
2.非线性系统的行为不稳定，其输出随时间而变化。
3.非线性系统的行为是确定的，但是通常不能被解析地表示。
4.一些非线性系统可能会表现出周期性或者混沌现象。
三、非线性系统的分析方法对非线性系统进行分析是了解和掌握其行为的前提。
主要的分析方法有线性化法和相平面法。
1.线性化法线性化法是将非线性系统在某一特定点附近展开成一系列的一阶或者二阶泰勒级数，然后用线性系统来代替非线性系统，进而对非线性系统进行分析。
线性化法的优点是简单易行，但是必须要求非线性系统在特定点附近的行为与线性系统相似，否则线性化法就失效了。
2.相平面法相平面法通过画出非线性系统的相图来表示系统的行为，较常用的是相轨线和极点分析法。
相轨线是用非线性系统的相图来描述其行为。
相图是将系统的状态表示为一个点，它的坐标轴与系统的每个状态变量相关。
极点分析法则是在相平面上找出使系统输出输出的状态点，然后找出与这些状态点相关的所有极点，以确定出系统的稳定性。
四、非线性系统的控制方法目前，非线性系统的控制方法主要包括反馈线性化控制、自适应控制、滑动模式控制和模糊控制等。
1.反馈线性化控制反馈线性化控制方法以线性控制理论为基础，将非线性系统通过反馈线性化方法转化为等效的线性控制系统，以便使用线性控制理论进行控制。
非线性控制系统分析课件
非线性系统的行为复杂，难以用线性 系统的理论和方法进行分析和设计。
分类与比较
分类
根据非线性的性质，非线性控制系统可以分为连续时间非线性控制系统和离散时间非线性控制系统。
比较
连续时间非线性控制系统和离散时间非线性控制系统在分析和设计上有较大的差异。
常见非线性控制系统示例
描述：以下是一些常见的非线性控制系 统示例，包括电气系统、机械系统、化 工系统等。
非线性控制系统设
04
计
控制器设计
线性化设计方法
将非线性系统在平衡点附近线性 化，然后利用线性系统的设计方 法进行控制器设计。
反馈线性化设计方
法
通过引入适当的非线性反馈，将 非线性系统转化为线性系统，然 后进行控制器设计。
滑模控制设计方法
利用滑模面的设计，使得系统状 态在滑模面上滑动，并利用滑模 面的性质进行控制器设计。
相平面法
总结词
一种通过绘制相平面图来分析非线性系统动态特性的方法。
详细描述
相平面法通过将系统的状态变量绘制在二维平面上，直观地展示系统的动态行为，如极限环、分岔等。这种方法 适用于具有两个状态变量的系统。
平均法
总结词
一种通过将非线性系统的动态特性平均 化来简化分析的方法。
VS
详细描述
平均法通过在一定时间范围内对非线性系 统的动态特性进行平均，将非线性系统简 化为一个平均化的线性系统。这种方法适 用于具有周期性激励的非线性系统。
线性系统稳定性分析方法
通过求解特征方程或使用劳斯-赫尔维茨判 据等方法，可以判定线性系统的稳定性。
非线性系统稳定性分析
要点一
非线性系统的特性
非线性系统不具有叠加性和时不变性，其响应会受到初始 状态和输入信号的影响。
自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
非线性控制系统的分析课件.ppt
法求解有困难时，可用图解法绘制。
▪ 对于式（9.2-1）xf(x,x)，令 x1x、 x2x ，
▪
有 x 2f(x1、 x2)，所以 可得 dx2 f (x1、x2)
d d x t2d dx x1 2d d x t1x2d dx x1 2f(x1、 x2)
（9.2-5）
▪
dx1
x2
式（9.2-5）是关于
y
-b 0
k
x
b
a.
b.
图9.1-4 齿轮传动及其间隙特性
y(x)k[xs g x)n b](|y/kx|b y (x)0、 y(x)C |y/kx|b
▪ 系统中若有间隙特性元件，不仅会使系统的输出产生相位滞后，导致 系统稳定裕量的减小，使动态性能恶化，容易产生自振；而且间隙区 会降低定位精度、增大非系线统性控静制差系统。的分析课件
▪ 由于相平面只能表示 x(t ) 和 x(t ) 两个独立变量，所以相 平面法只能用来研究一、二阶线性或非线性系统。
▪ 2）相轨迹的绘制方法
▪ （1）二阶线性系统的相轨迹 ▪ （2）相轨迹的绘制
非线性控制系统的分析课件
j
[s]
2 1
0
a.
j 1 [s]
0
2
d.
x2
j
x2
1
[s]
x1
0
0
0
稳定 节点
x
(
t
)
和 x (t ) 的一阶微分方程，即二阶非线性
系统的相轨迹方程。
▪
由式（9.2-5），令
dx2 f (x1,x2)
dx1
x2
，即有
▪
f (x1, x2 )
（9.2-6）
非线性控制系统分析教学课件
详细描述
智能控制
要点一
总结词
智能控制是一种基于人工智能的控制方法，通过模拟人类 的决策和推理过程来实现对系统的优化和控制。
要点二
详细描述
智能控制采用人工智能技术，如专家系统、神经网络、模 糊逻辑等，实现对系统的优化和控制。智能控制具有自学 习、自适应和自组织能力，能够处理复杂的非线性系统和 不确定性问题。
03
状态观测是非线性控制 系统的重要技术，用于 估计系统状态变量的值。
04
通过观测系统的输出信 号，可以估计系统状态 变量的值，用于控制和 观测目的。
CHAPTER
非线性控制系统的分析与设 计
描述函数法
总结词
详细描述
相平面法
总结词 详细描述
反馈线性化方法
总结词 详细描述
滑模控制方法
总结词
一种用于处理非线性控制系统不确定性 的方法
VS
详细描述
滑模控制方法是一种通过设计滑模面和滑 模控制器，使得系统状态在滑模面上滑动 并达到期望目标的方法。它利用滑模面的 设计，使得系统对不确定性具有鲁棒性， 能够有效地处理非线性系统中的不确定性 和干扰。
CHAPTER
非线性控制系统的应用实例
无人机控制系 统
机器人控制系 统
机器人控制系统是另一个重要的非线 性控制系统应用，它涉及到机器人的 运动学、动力学和轨迹规划等方面。
汽车控制系统需要处理各种非线性特性和耦合效应，如发动机的燃烧过 程、底盘的悬挂系统和转向系统等，以确保汽车的安全性、稳定性和舒
适性。
汽车控制系统的设计需要运用非线性控制理论和方法，如状态反馈控制、 鲁棒控制等，以提高汽车的动态性能和燃油经济性。
航天器控制系 统
自动控制原理课件：非线性系统的分析
( ) 90 arctan arctan
4
求与负实轴的交点
90 arctan arctan
4
180
5
arctan arctan arctan 4 2 90
4
1
4
2
4
1 2
G ( j )
1
10
称 , 为相变量，它们构成二维平面称为相平面
相变量在相平面上运动的轨迹称为相轨迹, 即在一定
初始条件下满足上述微分方程的解.
相平面模型即 非线性二阶系统的状态空间模型.
x(t )
d x(t ) / dt d x(t ) f ( x(t ), x(t ))
dx(t )
x(t ) dx(t ) / dt
作用的基波分量，近似为“线性系统”。
01
描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线性化方法，忽略
非线性环节输出中的高次谐波，用基波分量表示其输出。
e(t ) X sin t
c1 (t )
N(X )
表示非线性环节的输出一次谐波分量对正弦输入信号的复数比。
N(X )
使用上常将描述函数表示为的函数.
的初始状态无关。
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的结构、参数，而且
与系统的初始状态有关。
2. 系统的自持振荡
线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。
非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，也可能会发生
自持振荡。
4
dx(t )
2
x
第八章 非线性控制系统分析
8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响
一、饱和特性 y 斜率k 斜率 -a 0 a x
x>a ka y = kx x ≤a − ka x < −a
对系统的影响： 对系统的影响： 1.使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利； 使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利； 使系统开环增益下降 2.使系统的快速性和稳态跟踪精度下降。 使系统的快速性和稳态跟踪精度下降。 使系统的快速性和稳态跟踪精度下降
3.逆系统法 逆系统法 运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并以 运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统， 此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具直 此为基础，设计外环控制网络。 接研究非线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方 接研究非线性控制问题， 程，是非线性系统控制研究的发展方向。 是非线性系统控制研究的发展方向。
二、死区特性 y 斜率k 斜率 -△ 0
△
x
0 x ≤∆ y= k[ x − ∆sign( x)] x > ∆
对系统的影响： 对系统的影响： 1.使系统产生稳态误差； 使系统产生稳态误差； 使系统产生稳态误差 2.当系统输入端存在小扰动信号时，在系统动态过程的 当系统输入端存在小扰动信号时， 当系统输入端存在小扰动信号时 稳态值附近，死区的作用可减小扰动信号的影响。 稳态值附近，死区的作用可减小扰动信号的影响。
三、间隙特性 y c 斜率k 斜率 -h 0 h -c 对系统的影响： 对系统的影响：
k ( x − h) y = k ( x + h) x c sign ( x)
ɺ y>0 ɺ y<0 ɺ y=0
增大系统的稳态误差，降低系统的稳态精度， 增大系统的稳态误差，降低系统的稳态精度，使过 渡过程振荡加剧，甚至造成系统的不稳定。 渡过程振荡加剧，甚至造成系统的不稳定。 一般来说，间隙特性对系统总是有害的， 一般来说，间隙特性对系统总是有害的，应该消除 或消弱它的影响。 或消弱它的影响。
非线性系统控制与应用分析
非线性系统控制与应用分析一、引言随着科技的不断发展与进步，各行各业都在关注着如何更好地控制系统，提高系统性能和效率。
而非线性系统的控制就是其中一个热门话题，非线性控制理论是控制系统领域的重要研究方向之一，非线性系统应用广泛，研究非线性控制具有重大理论和实际意义。
二、非线性系统控制概述1.非线性系统的定义非线性系统是指在系统的动力学行为中，系统输出与输入之间的关系不是线性关系。
非线性关系包括但不限于指数、幂、对数等非线性关系。
2.非线性控制的特征非线性控制具有很多特征：（1）非线性系统不可以利用简单的超定线性控制策略进行设计；（2）非线性系统表现出非预期的动态特征，例如较大的转移误差和误差积累。
（3）非线性系统解决起来的方法更依赖于经验而非理论；（4）非线性控制器可比线性控制器更加灵活。
3.非线性控制应用非线性控制在处理机器人动力学、混沌系统、各种交互和控制过程以及非线性领域中具有广泛应用和研究，如非线性振动、非线性滤波、非线性规划、非线性估计、非线性预测等。
三、非线性系统控制方法非线性系统控制方法主要包括以下几类：1.反馈控制非线性反馈控制是目前应用最广的一种方法，反馈控制常用于解决控制系统中由于非线性特性所带来的各种问题。
主要是通过观测到系统输出的响应，来调整输入信号和控制策略，使系统稳定并满足控制要求。
2.基于模型的控制方法非线性系统的控制还可以采用基于模型的控制方法，这种方法就是通过建立非线性系统的数学模型，然后在模型的基础上选择一种控制策略并对其进行仿真和调试。
基于模型的控制方法需要快速、精准地预测系统的响应，因此要求对系统建立的数学模型越准确越好。
3.智能算法控制方法随着人工智能技术的不断发展和进步，智能算法控制方法也得到了广泛的研究和应用。
例如，神经网络、模糊控制、遗传算法等都可以用来解决非线性系统控制问题。
这些技术可以自动学习和优化控制器，以适应控制系统的复杂非线性特性，提高控制系统的性能和鲁棒性。
非线性控制系统分析(《自动控制原理》课件)
出发的相轨迹曲线互不相交. 如果在相平面上某些点的
d x/ dx 0/ 0, 即曲线在这一点上的斜率不定, 可有无穷多
条相轨迹通过这一点, 称这一点为系统的平衡点, 或叫奇
点.
在相平面的上方(如下图) ,
由于
x
0所以
x总是朝大的
x
A(x0 ,
x0 )
方向变化, 故相轨迹上的点总是按图 中箭头所指从左向右移动. 在相平面
u0
0
u(t) u(t) G(s) c(t)
u0
上图中, 大方框表示一具有理想继电特性的非线性环节, G(s) 表示非线性系统中线性部分的传递函数.
非线性的特性是各种各样的, 教材图及 表给出了一些工程上常见的典型非线性特性.
7-2非线性控制系统的特征
非线性控制系统有如下两个基本特征: (1)非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程 (2)非线性控制系统的性能不仅与系统本身的结构和参
0
x
的下方,
由于
x
0
所以
x
总是朝小的
方向变化, 故相轨迹上的点总是按图中箭
箭头所指从右向左移动. 在 x 轴上, 由于
x 0, 即 x不变化, 达到最大值或最小值, 故相轨迹曲线
与 x 轴的交点处的切线总垂直于x 轴.
2. 相轨迹作图法
先以线性系统为例, 说明相轨迹曲线的画法.
(1)解析法
数有关, 还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小 有关.
由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分 方程, 而从数学上讲, 非线性微分方程没有一个统一的 解法, 再由于第二个特征, 对非线性控制系统也没有一 个统一的分析和设计的方法, 只能具体问题具体对待.
非线性系统的分析与控制方法
非线性系统的分析与控制方法现今，非线性现象随处可见，涉及到的领域包括工程学、物理学、化学、生物学、经济学等。
与此同时，为了满足人类日益增长的需求，我们需要分析与控制这些非线性系统，使其达到我们所希望的状态。
本文将探讨分析与控制非线性系统的常见方法，涵盖了数学模型、稳定性分析、反馈控制等方面的内容。
1. 数学模型一个非线性系统通常可以利用微分方程表达。
微分方程可以是常微分方程或者偏微分方程，这取决于物理系统的特性。
使用数学模型可以对非线性系统进行分析与控制，比如进行数值计算，对系统进行仿真或者进行数值优化。
数学建模可以使用不同的方法，比如解析法、数值法和近似法等。
在实际应用中，通常使用形式化方法来描述系统的行为。
形式化方法涉及到一些形式的逻辑体系来描述现实问题。
它们通常适用于非线性系统的分析、验证和控制，其中一些常见的方法有：模型检验、定理证明和模型检查等。
2. 稳定性分析稳定性分析是对非线性系统的一个重要分析方法，它涉及到系统是否能够维持其稳定性。
稳定性分析包括局部稳定性分析和全局稳定性分析。
局部稳定性分析关注系统是否能够询问某种程度的扰动，而全局稳定性分析关注系统在无论多大的扰动下是否能保持稳定。
通常情况下，对于一个非线性系统，可以通过对其相应线性化系统的特征值进行分析来评估系统是否稳定。
如果相应线性化系统的特征值的实部都为负，则该非线性系统是局部稳定的。
如果相应线性化系统的特征值的实部都为负，并且没有虚部，则非线性系统是全局稳定的。
相反，如果相应线性化系统的特征值具有正实部，那么原始的非线性系统是不稳定的。
3. 反馈控制反馈控制是对非线性系统的适当信息反馈的一种方法，用于实现所需的稳态或动态目标。
在这种方法中，系统的输出信号与输入信号之间存在一定的误差。
通过将该误差反馈到控制器中，可以对系统进行优化，使其达到所需要的目标。
反馈控制方法最常见的类型是Proportional-Integral-Derivative （PID）控制器，它涉及到根据系统的误差信号进行比例反馈（P 项）、积分反馈（I项）和微分反馈（D项）。
131209第8章非线性控制系统分析
非线性系统的数学模型是非线性微分方程；但至今为止 非线性微分方程没有成熟的解法；
8.2 几种典型的非线性特性
饱和特性 死区特性 间隙特性 继电器特性 变增益特性
(1)饱和特性(如运算放大器，学习效率等)
1. 对系统而言，饱和特性往往促使系统稳 定，但会减小放大系数，从而导致稳定 精度降低。 2. 饱和特性的例子是放大器，许多执行元 件也具有饱和特性。例如伺服电机。 3. 实际上，执行元件一般兼有死区和饱和 特性。
y1 ( t )
4M
sin t
理想继电特性的描述函数：
4M N ( A) 0 A
一般继电特性的描述函数：
2M mh 2 h 2 2M h N ( A) 1 ( ) 1 ( ) j ( m 1) 2 A A A A ( A h)
可能不稳定—发散、衰减等
3. 自振运动— 非线性系统特有的运动形式，产生自持振荡 4. 发生频率畸变—频率响应的复杂性 — 跳频响应，倍/分频 响应，组合振荡
非线性控制系统的分析方法
小扰动线性化
非线性系统研究方法 仿真方法
全数字仿真 半实物仿真 相平面法 描述函数法 波波夫法 反馈线性化法 微分几何方法
h 0 理想继电特性： m 1 死区继电特性： m 1 纯滞环继电特性：
4M N ( A) A
4M h N ( A) 1 A A
2
2
4M 4 Mh h N ( A) 1 j A A2 A
一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率无关 非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0
在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。 同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。
自动控制原理第八章非线性控制系统分析
第八章非线性控制系统分析l、基本内容和要求（l）非线性系统的基本概念非线性系统的定义。
本质非线性和非本质非线性。
典型非线性特性。
非线性系统的特点。
两种分析非线性系统的方法——描述函数法和相平面法。
（2）谐波线性化与描述函数描述函数法是在一定条件下用频率特性分析非线性系统的一种近似方法。
谐波线性化的概念。
描述函数定义和求取方法。
描述函数法的适用条件。
（3）典型非线性特性的描述函数（4）用描述函数分析非线性系统非线性系统的一般结构。
借用奈氏判据的概念建立在奈氏图上判别非线性反馈系统稳定性的方法，非线性稳定的概念，稳定判据。
（5）相平面法的基本概念非线性系统的数学模型。
相平面法的概念和内容。
相轨迹的定义。
（6）绘制相轨迹的方法解析法求取相轨迹；作图法求取相轨迹。
（7）从相轨迹求取系统暂态响应相轨迹与暂态响应的关系，相轨迹上各点相应的时间求取方法。
（8）非线性系统的相平面分析以二阶系统为例说明相轨迹与系统性能间的关系，奇点和极限环的定义，它们与系统稳定性及响应的关系。
用相平面法分析非线性系统，非线性系统相轨迹的组成。
改变非线性特性的参量及线性部分的参量对系统稳定性的影响。
2、重点（l）非线性系统的特点（2）用描述函数和相轨迹分析非线性的性能，特别注重于非线性特性或线性部分对系统性能的影响。
8-1非线性控制系统分析1研究非线性控制理论的意义实际系统都具有程度不同的非线性特性，绝大多数系统在工作点附近，小范围工作时，都能作线性化处理。
应用线性系统控制理论，能够方便地分析和设计线性控制系统。
如果工作范围较大，或在工作点处不能线性化，系统为非线性系统。
线性系统控制理论不能很好地分析非线性系统。
因非线性特性千差万别，无统一普遍使用的处理方法。
非线性元件(环节)：元件的输入输出不满足(比例+叠加)线性关系，而且在工作范围内不能作线性化处理(本质非线性)。
非线性系统：含有非线性环节的系统。
非线性系统的组成：本章讨论的非线性系统是，在控制回路中能够分为线性部分和非线性部分两部分串联的系统。
非线性控制系统设计与性能分析
非线性控制系统设计与性能分析第一章：引言非线性系统是现实世界中的普遍现象，其特点不仅有非线性的关系，而且有时存在不可预测性、不稳定性和多解性等问题。
因此，非线性控制系统设计和分析已成为控制工程领域的热点和难点问题。
非线性控制的理论和方法已逐渐成熟起来，本文将重点讨论非线性控制系统的设计和性能分析方法。
第二章：非线性系统的建模非线性系统建模是非线性控制系统设计和分析的基础。
在本章中，我们将简要介绍非线性系统建模的基本思想和方法，并重点介绍了几种常用的非线性模型：黑箱模型、白箱模型和灰箱模型。
其中，黑箱模型是通过数据分析来建立非线性系统模型，白箱模型是通过物理方程来建立模型，而灰箱模型是将黑箱模型和白箱模型相结合，并采用常微分方程对模型进行优化。
第三章：非线性控制本章将重点介绍非线性控制的几种常见方法：反馈线性化控制、自适应控制、模糊控制和神经网络控制。
其中，反馈线性化控制采用反馈线性化技术，通过将非线性系统转化为线性系统进行控制，实现非线性系统的控制；自适应控制是一种自适应调节器，通过引入基于自适应算法的控制器来实现非线性系统的控制；模糊控制是通过建立模糊控制器，将非线性系统的控制问题转化为模糊推理问题，实现非线性控制；神经网络控制则是通过模拟大脑神经元的方式来建立神经网络模型，实现非线性控制。
第四章：非线性控制系统性能分析非线性控制系统的性能分析是非常重要和必要的。
本章将介绍三种常见的非线性控制系统性能分析方法：Lyapunov函数法、Small Gain定理和Passivity定理。
特别是Lyapunov函数法，它是一种非常重要和强大的方法，可以用于证明控制系统的稳定性和渐进稳定性，并且被广泛应用于非线性控制领域的理论和实践中。
第五章：实例分析本章将通过一个实例来说明非线性控制系统的设计和性能分析方法。
我们将采用反馈线性化控制方法，并通过Lyapunov函数法进行性能分析。
通过实例，我们将深入了解非线性控制系统设计和性能分析的具体步骤和注意事项，以及非线性控制系统的实际应用场景。
非线性控制系统的分析
第8章 非线性控制系统的分析重点与难点一、基本概念1. 线性与非线性系统的联系与区别控制系统在不同程度上都存在着非线性。
有些系统可以在工作点附近把它线性化，然后按线性系统来处理（如三级管放大器电路），但当系统含有本征非线性特性（如死区特性、继电器特性等）时，就不能用线性化的方法处理。
死区特性将使系统出现较大的稳态误差。
饱和特性将降低系统的超调量，有时还会引起稳定振荡。
间隙特性可使系统的振荡加剧，静差也会增大，有时会使系统不稳定。
继电器特性会出现低速爬行、蠕动及响应不平滑等现象。
与线性系统相比，非线性系统与线性系统的本质差别可以概括为以下三点： （1）线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统不能使用叠加原理；（2）线性系统的稳定性与初值、输入无关，而非线性系统的稳定性与初值、输入有关； （3）线性系统可以写出通解形式，而非线性系统无法写出通解形式。
2. 相平面分析法以x ，x为坐标的平面就叫相平面，系统的某一状态对应于相平面上的一点。
相平面上的点随时间变化的轨迹叫相轨迹。
对应于二阶线性定常系统的相轨迹，可以对非线性系统进行分析，这种分析方法称为相平面分析法。
二阶线性定常系统的相轨迹如表8-1所示。
3. 极限环非线性系统存在着稳定的振荡状态，在相平面图上可表示为一个孤立的封闭相轨迹。
所有附近的相轨迹都渐近地趋向这个封闭的相轨迹，或离开该封闭的相轨迹，该相轨迹称为极限环。
极限环分为稳定和不稳定等四种形式，如表8-2所示。
非线性系统可能没有极限环，也可能存在多个极限环。
在相平面图形上，一个稳定的极限环就对应于一个自振状态。
4. 相平面做图法I —等倾线法令dx xd a / =，即),(x x f a =。
对于a 的不同取值，由),(x x f a =可得到x 与x 的不同关系式，而且在曲线),(xx f a =上，均具有相同的斜率a 。
给出一组a ，就可近似描绘出相平面图形。
表8-1 二阶线性系统022的相轨迹表8-2 极限环基本形式5. 相平面做图法II —δ方法给),(x x f x=两边同加x 2ω，得令 x x x f x x22),(ωω+=+ 22),(),(ωωδx x xf xx +=得 22),(ωδωx x x x=+ 因此 21212)(d x x=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛δω式中 21122121111)( ),(δωδδ-+==x x d xx 利用上式就可得点],[11xx 邻域内的相平面图形。
自动控制原理第七章非线性系统分析
02
非线性系统的分析方法
相平面法
相平面法是一种通过绘制系统的 相图来分析非线性系统的动态行
为的方法。
它通过将系统的状态变量绘制在 二维平面上，显示系统的平衡状 态、周期运动和混沌运动等不同
状态。
相平面法可以用于分析非线性系 统的稳定性、分岔和混沌等现象。
描述函数法
描述函数法是一种通过引入描 述函数来分析非线性系统的频 率特性的方法。
滑模控制是一种变结构控制方法，通过设计滑模面和滑模控制器，使 得系统状态在滑模面上滑动，以达到控制系统的目的。
非线性系统的设计方法
相平面法
通过分析非线性系统的相轨迹，了解系统的动态行为，并 设计适当的控制器来控制系统状态。
描述函数法
通过分析非线性系统的频率特性，了解系统的动态行为， 并设计适当的控制器来控制系统状态。
它通过将非线性系统近似为线 性系统，并利用频率响应函数 来描述系统的频率特性。
描述函数法可以用于分析非线 性系统的谐振、倍周期分岔等 现象。
逆系统法
逆系统法是一种通过构建逆系统来补偿非线性系 统的非线性特性的方法。
它通过设计一个逆系统来抵消原系统的非线性， 从而将非线性系统转化为线性系统进行处理。
根轨迹法
根轨迹法是通过绘制系统的根轨迹图来分析系统的稳定性，根轨迹是指系统的极点随参数变化而变化 的轨迹。
劳斯稳定判据
劳斯稳定判据是判断线性系统稳定性的重要方法之一，其基本思想是通过 计算系统的极点，判断极点是否位于复平面的左半部分。
劳斯稳定判据的优点是简单易行，适用于多变量系统，可以同时考虑系统 的所有极点。
03
非线性系统的稳定性分析
定义与特点
定义
非线性系统的稳定性是指系统在受到 扰动后，能否恢复到原来的平衡状态 。
第八章非线性控制系统的分析
会有意引入或增大死区。
3.间隙特性(滞环特性)
间隙特性的静特性曲线如图8.4所示，其数学表达式为
（8.3）
式中，a为间隙宽度，K为比例系数(线性段斜率)，(t)=dx(t)/dt。
ሶ
8.1
非线性控制系统概述
间隙特性是一种非单值特性，表现为正向特性与反向特性不是重叠在一起，而是在输入—输出曲线上出现
性具有明显的饱和非线性。
上述伺服电动机的非线性是因为使用的磁性材料具有非线性，
因此当输入电压超过一定数值时，伺服电动机的输出转矩就出现饱和现
象。实际上，由于伺服电动机还存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当
输入电压达到一定数值时，伺服电动机才会转动，即存在不灵敏区。所
以，伺服电动机的实际静特性是同时具有不灵敏区与饱和的非线性特性。
2.死区(不灵敏区)特性
死区特性的静特性曲线如图8.3所示，其数学表达式为
（8.2）
式中，a为死区宽度，K为线性输出斜率。
死区特性的特点是，当系统或环节有输入信号，但尚未超过数值a时，
无相应的信号输出。
死区特性在控制系统中也较为常见，一般的测量元件和执行机构都具
图8.3
死区特性
图8.4
间隙特性
有死区特性。当死区很小或对系统性能不会产生不利影响时，可以忽略不计。
现的这种周期运动即为自激振荡。自激振荡是非线性控制系统特有的，是非线性控制理论研究的重要问题。
8.1
非线性控制系统概述
8.1.4
非线性控制系统的分析与设计方法
描述非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程，对非线性控制系统进行分析的重点是系统稳定性
非线性控制系统设计和分析
非线性控制系统设计和分析一、引言非线性控制系统是一类关于非线性系统的控制理论，具有一定的广泛性和复杂性。
在现代控制理论中，非线性控制系统一直是研究的热点，得到了广泛的应用。
本文旨在探讨非线性控制系统的设计和分析方法，对其进行深入剖析和研究。
二、非线性系统的基本概念1.非线性系统的概念非线性系统指的是一个不满足线性叠加原理的动态系统，即其输入和输出之间的关系不是简单的比例关系。
在现实中的很多系统，如电机、飞行器、化学反应、金融市场等，都是非线性系统。
2.非线性系统的分类按照系统的状态和输入可以将非线性系统分为时变和时不变两类。
按照系统的动态特性可以分为不稳定、稳定和渐进稳定三类。
按照系统的性质可以分为连续和离散两类。
三、非线性系统的数学模型非线性系统的数学模型可以用微分方程、差分方程、偏微分方程等方式表示，采用状态方程、输入-输出方程、状态-输出方程等方式描述。
若系统的动态方程可以表示为：$$\frac{dx}{dt}=f(x,u)$$其中$f(x,u)$是非线性函数，则上式就是非线性系统的微分方程。
四、非线性控制系统的设计方法1.线性化设计法线性化是将非线性动态系统在一个操作点附近，通过Taylor级数展开为线性动态系统。
因此，线性化设计法可以将非线性动态系统的设计问题转化为线性动态系统的设计问题。
线性化方法主要有两种：一是状态反馈线性化法；二是输出反馈线性化法，两种方法可以互相转化。
线性化方法的优点是简单易行，缺点是受到线性化误差的影响。
2.非线性控制设计法非线性控制设计法是基于非线性系统控制理论进行的，包括经典的反馈线性化控制法、滑模控制法、自适应控制法、模糊控制法和神经网络控制法等。
反馈线性化控制法：反馈线性化法是一种将非线性系统转化为线性系统的控制方法，它通过反馈来改变系统的输入来实现控制。
反馈线性化控制法有很好的稳定性和鲁棒性。
滑模控制法：滑模控制法是一种常用的非线性控制方法，具有较好的容错能力和鲁棒性。
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第八章非线性控制系统分析教学目的:通过学习本章，使学生掌握秒素函数法与相平面法分析非线性系统的理论基础与应用。
教学要求：(1)认识非线性系统区别于线性系统的运动过程特点.(2)掌握描述函数法和相平面法的特点及应用范围.(3)明确函数的定义及相关概念,熟悉典型非线性的妙描述和负倒描述函数特性,掌握用描述函数法分析非线性系统的稳定性和分析自振,计算自振参数的方法.教学课时：12学时教学重点: (1) 非线性的相关概念.(2) 典型系统的相平面表示.(3) 典型非线性系统的描述函数形式.教学难点:非线性系统的描述函数求法;利用负倒数法分析系统稳定性.本章学时: 12学时主要内容:8.1 非线性系统的概述8.2 描述函数法8.3 相平面法分析线性控制系统8.4 利用非线性特性改善系统的控制性能8.1非线性系统的概述8.1.1 非线性模型㈠组成---------x-------非线性环节---------线性环节------------组成：非线性环节+线性环节㈡. 分类①从输入输出关系上分：单值非线性非单值非线性1，从形状特性上分：饱和死区回环继电器㈢特点稳定性与结构，初始条件有关；响应㈣分析方法注意: 不能用叠加原理1. 非线性常微分方程没有同意的求解方法，只有同意求近似解的方法:a. 稳定性（时域，频域）：由李亚普洛夫第二法和波波夫法判断b. 时域响应：相平面法（实际限于二阶非线性系统）较精确，因高阶作用太复杂描述函数法：近似性，高阶系统也很方便研究非线性系统并不需求得其时域响应的精确解，而重要关心其时域响应的性质，如：稳定性，自激震荡等问题，决定它的稳定性范围，自激震荡的条件，震荡幅度与频率等。
238.2 描述性函数X0(S)一 描述性函数的定义非线形元件的输入为正弦波时，将起输出的非正弦波的一次谐波（基波）与输入正弦波的复数比，定义为给非线形环节的描述性函数。
输入：输出：) y=f(Asinwt)=y0+∑x(t)=Asinwt (Bksinkwt +Ckcoskwt)假设输出为对称奇函数，y0=0;只取基波分量（假设具有低通滤波特性，高次谐波忽略），则y(t)=B1sinwt+C1coswt=y(sinwt+¢)二典型非线形特性的描述函数1，计算方法设非线形特性为：y=f(x)令X=Asinwt,则y(t)由富式级数展开为：Y(t)=Ao+∑(A n cosnwt+B nsinnwt)=Ao+∑Ynsin(nwt+¢)式中：An=如果非线性特性是中心对称的，则y(t)具有奇次对称性,Ao=0,谐波线性略去高次谐波，只取基波，具有低通滤波特性。
Y1=A1coswt+B1sinwt=Y1sin(wt+¢1)N(A)=Y1/A×exp(j¢1)=Y1/Acos¢1+jY1/Asin¢1=B1/A+jA1/A=b(A)+ja(A)与频率材料比较，方式形式类似，相当于用一个等效线性元件代替原来非线性元件，而等效线性元件幅相特性N(a)是输入信号A的函数。
2.举例求饱和限幅特性的描述函数（固有非线性）X ωtx(t)y(t)具有奇次对称性，Ao=0A1=1/π∫y(t)coswtd(wt)=0B1=1/π∫y(t)sinwtd(wt)=2/π∫y(t)sinwtd(wt)= 2/π(∫y(t)sinwtd(wt)+∫y(t)sinwtd(wt)+∫y(t)sinwtd(wt))若A>0,y(t)=Kasinwt 0<=wt<akc=B a<=wt<=Kasinwt比较线性系统特征方程G(jω)=–1线性系统，（–1，j0）点是判断稳定的关键点。
非线性系统，判断稳定性不是点（–1，j0）,而是一条线–1∕N。
（A∕d）。
由线形部分与描述函数负侧特性之间相对位置可以判断非线性系统的稳定及自激振荡，即可利用奈奎斯稳定判据进行分析。
3.判据内容：在开环幅相平面上，G(jω)条件，最小位相，无右极点。
1）若K。
G(jω)轨迹不包围时线性负侧特性–1∕N。
（A∕d）,则此非线性系统稳定。
2）若K。
G(jω)轨迹包围–1∕N。
（A∕d），则非线性系统不稳定。
3）若K。
G(jω)与–1∕N。
（A∕d）相交，则在交点处，系统处于临界稳定，可能产生周期持续震荡，这种持续震荡可以用正弦振荡来近似，其振荡的振幅和频率可以分别用交点处–1∕N。
（A∕d）轨迹上的A 值K。
G(jω)曲线上对应的ω值来表征。
工程设计中，通常在线性部分加入校正，改变K。
G(jω)与–1∕N。
（A∕d）的相对位置，以消除持续振荡，提高系统稳定性。
例2.判定自振点并求自振参数。
解：理想继电器的描述函数N(A)=4B∕лA (B=π∕2) N(A)=2∕A–1∕N。
（A∕d）=–A∕2 K。
—非线性环节的传递函数（K。
=1）K。
G(jω)与–1∕N。
（A∕d）两曲线交于M点，稳定自振点。
交点坐标由K 。
G(j ω)=–1∕N 。
（A ∕d ）亦可求出。
10 ∕j ω（j ω+1）（j ω+3）=10∕–ωω+ j ω（3-ωω）= -A ∕2 虚部=0 j ω（3-ωω）=0 所以ω=0 （舍去） ω=1.732 实部≠0 ω=1.732 代入原式 -10∕4ωω=-A ∕2 A=1.7 故自振点ω=1.732∕s A=5∕3 稳定运行区为初始值大于5∕3 →∞ 大初始值能稳定 小初始值不能稳定例：试分析系统K 的运动情况，并求K=10时的自振参数 解：1. 化为典型结构 两个非线性串联，逐点分析求等效 Xc饱和与理想三位继电器═>理想三位继电器 2. 作负侧描述函数，查表7-1R3. 线性部分：穿越负实轴幅值为4. 运动状态讨论8.3 相平面法分析线性控制系统一、相平面法基本概念指导思想，要完全地描述二阶的系统时域行为，至少要用两个变量（状态变量）。
可选x(t) 和x •(t)作为状态变量。
1． 相平面：以横坐标表示X ，以纵坐标x •构成一个直角坐标系，则该坐标平面成为相平面系统某一时刻的状态可以用相平面上的一个点来描述。
2．相轨迹：相平面上的点随时间变化描绘出来的曲线称为相轨迹。
如果把系统在各种出始条件下的相轨迹都画出来，则可在相平面上的到一个想轨迹曲线簇，（描述系统各种可能的运动）。
3．相平面图：相平面和想轨迹曲线簇构成相平面图。
清楚的表示系统在各种初始条件下的运动过程。
4．想平面法：用相图表示非线性二阶系统过程的方法成相平面法，可分析系统的动态过程。
5．与描述函数法不同指数函数法实质是令系统线性部分不动，而将其非线性部分线性化。
想平面法是令系统非线性部分原封不动，而将高阶系统线性部分简化为二阶。
所以上述两种方法各有侧重，互补长短，若同时用两种方法分析一个系统，则分析结果更加全面。
6．相平面发局限性在于只适用在定常系统，系统输入只适限于阶跃和斜坡。
7．相平面法归结为两个问题（1）绘制相平面。
（2）由相轨迹线来理解系统过程。
二.相轨迹绘制(一) 基本方法：解析法图解法实验法应用相平面法分析非线性系统的前提就是要绘制相轨迹。
Ⅰ.解析法:1．解析法就是用求解微分方程的方法找出x•(t)和x(t)的关系，从而在相平面撒谎能够绘制相轨迹。
2．应用场合：当描述系统运动的微分方程比较简单，或者可以分段线性化时，应用分析法比较方便。
3．具体方法：消去变量 t法直接积分法消去参变量，即直接解方程x∙∙=f(x,x∙) 求出x(t) ，通求导得到x∙(t) ，在x(t) 和 x•(t) 的表达式中消去参变量t ,就得到直接积分法。
因为x∙∙=dx∙/dt= dx∙/dx* dx/dt=x∙dx∙/dx则二阶系统微分方程的一般式x∙∙=f(x,x∙)可以写成 x∙dx∙/dx=f(x,x∙)若该式可以分解为g(x∙)*dx∙=h(x)dx则由∫g(x∙)dx∙=∫h(x)dx可直接找出x∙--x的关系。
Xo•,Xo为出始条件。
举例：8.1某弹簧——质量运动系统。
m—质量，k—弹性系数初始条件：x(0)=Xox•0)=0试绘制系统自由运动的相轨迹。
解：描述系统运动的微分方程为：∑ma=0mx∙∙+kx=0(m=1 ,k=1)x∙∙+x=0法一：第一种消去变量法求，根据初始条件可求的微分方程的解为 x(t)=Xocost则x∙(t)=--Xosint从以上两个方程中消去t可得到相轨迹方程x2(t)+x∙2(t)=xo2总以原点为圆心，以xo为半径的一簇同心圆。
法二：直接微分法。
方程x∙∙+x=0 可写成x∙dx∙/dx=--x分离变量x∙dx=--xdx 代入初始条件∫x∙dx∙=--∫xdx即 x+x=Xo 与上法结果相同。
分析：等幅振荡特性可以用相轨迹表征，相轨迹为闭合曲线。
Ⅱ.图解法1．图解法是一种不必求出微分方程的解，而是通过各种逐步作图的方法，直接在相平面上画出相轨迹的方法。
2．适用场合3．当微分方程用解析法求解比较复杂，困难甚至不可能时，对于非线性系统，图解法尤为重要。
注: 工程上图解法: 等倾线法和写函数法在此只介绍等倾线法。
基本思想:光绘出相轨迹的切线方向场,然后从初始条件出发,沿方向场绘制相轨迹.二阶时不变系统一般可用常微分方程描述x``+f(x,x`)=0f(x,x`)是x`,x的解析式函数,可以是线形也可以是非线形的.可写为x`=dx`/dx*dx/dt=x`dx`/dx dx`/dx=-f(x,x`)/x` 该方程的解:x`=g(x)此方程中包含着初始条件.对于不同初始条件,它确定了不同的相轨迹.由相轨迹方程dy/dx=-f(x,y)/y给出在相轨迹在点(x,y)即(x,x`)上的切线的斜率dy/dx=α(相轨迹上某一点斜率)把相轨迹上具备有等斜率点的连线称为等倾线.-f(x,y)/y=α等倾线方程.若在相平面里作出足够多的等倾线,并在每跟等倾线上用短线标明和相轨迹通过该线的方向(切线方向)称方向场.按方向场从起点到终点,则可绘出相轨迹.令α为不同常数在相平面上根据等倾线方可绘出若干等倾4.举例用等倾线法绘出质量与动系统相轨迹解:以知系统微分方程x``+x=0相轨迹方程dx`/dx=-x/x` dx`/dx=α等倾线方程-x/x`=αx`=-x/α=β等倾线是通过相平面坐标原点的直线,其斜率β=-1/αα—等倾线上相轨迹的斜率β—等倾线的斜率α是斜率值,而不是角度值令α为不同值,可求出不同的β值根据不同β值,绘出不同斜率的一簇等倾线在每条等倾线上写出相应的α短线所有的短线的总体就形成了相轨迹的切线方向场假设初始条件x(0)=X0x`(0)=0 则可以起点(x,0)出发沿方向场绘出系统相轨迹,仍是一个圆与解析法相同5.说明用等倾线法绘制相轨迹时,应该注意以下几点:1):x轴与x`轴比例尺应当一致,这样α值才与相轨迹切线的几何斜率相同2):相平面上半平面x`>0故向轨迹走向应沿着x增加的方向从左向右,顺时针. 相同的特征Ⅲ特殊点一.奇点1.定义:相轨迹方程dx`/dx为不定值的点2. 含义x`=0即状态变化率=0,表明系统不再运动,处于平衡状态线形系统奇点唯一非线形系统多个奇点3.计算dy/dx=0/0 4.奇点类型1) 稳定焦点XX2)(-1<ζ<0) 相轨迹从原点向外发散,自由运动不收敛平衡点,是周期性增幅振荡3)稳定节点4)5)鞍点6)中心点ζ⨯⨯t二. 极限环分类.极限环表示对应于时域中有确定振幅和频率的振荡 极限环包括 稳定极限环 不稳定极限环 半稳定极限环1) 稳定极限环都渐进趋向于这个极限环,任何 较小的扰动使系统离开极限环 后,最后人回到环上 2) 不稳定极限环x 3) 半稳定极限环 不能产生自振荡,环内 相轨迹发散原理极限 环外相轨迹收拢极限环例: 已知 非线形系统微分方程式 x``+0.5x`+2x+x2=0求 系统的奇点,并绘出系统的相平面图 解: 由已知方程得相轨迹微分方程dx`/dx+-0.5x`-2x-x2/x`令dx`/dx=0/0 0.5x`+2x+x2=0x`=0求出系统两个奇点x1=0 x2=-2x1`=0 x2`=0在奇点附近描述系统的方程为x``+δf(x,x`)/δx*x+δf(x,x`)/δx*x`=0δf(x,x`)/δx=2 f(x,x`)=0.5x`+2x+x2δf(x,x`)/δx=0.5δf(x,x`)/δx=-2f(x,x`)/δx`=0.5即在奇点(0,0)领域内,可将原方程线形化为x``+0.5x`+2x=0x``+δf(x,x`)/δx*x`+δf(x,x`)/δx*x=0此线形化方程的特征根S1,2=-0.25+-j1.39故该奇点是稳定的焦点对于奇点(-2,0)的领域内,方程线形化为x``+0.5x`-2x=0线性化方程的特征根S1,2=1.19和S2=-1.69该棋点是鞍点进入鞍点(-2,0)的两条相轨迹起分隔线的作用,将相平面划分为两个不同运动类型的区域.在稳定区凡初始条件在此区域内的相轨迹收敛于原点，系统放能达到平衡稳定状态. 在发散区初始条件在此内均不稳定.讨论:只要确定了奇点的位置和类型,以及相平面上的分隔线,就可以根据相平面图确定所有可能的运动性质,并不需要做所有的相轨迹,进一步证明,稳定性与初始条件有关.(三) 由相平面图求时间响应相平面图虽然清楚地描述了系统的全部运动状态,但没有给出时间信息,为了分析系统的时域性能,往往还需要再由相轨迹求出系统的过渡过程,并绘出过渡过程曲线X(t),由相平面图绘出系统的过渡过程曲线可用增量法圆弧法和积分法1.增量法相平面上,状态由A点转移到B点的平均速度为Xab`=△Xab/△tab当△Xab=Xb-Xa很小,Xab`可认为上(-)在A,B两带内处的平均值.XXab`=Xa`+Xb`/2又系统状态沿相轨迹由A转移到B所需要的时间△tab可求得△tab=△Xab/Xab`同理可得从A—B—C……需时间的近似值△tbc=△Xab/Xbc △ted=△Xcd/Xcd`即可求得系统的时间响应曲线x(t)2. 圆弧法基本思想:用圆心位于X轴上的一系列小圆弧来近似表示所研究的相轨迹段,则运动所需时间等于沿这些小圆弧运动所需时间之和AD段相轨迹,是用X轴上P,Q,R点为圆心,以|PA|,|QB|,|RC|为半径的小圆弧AB,BC,CD来近似的.则相轨迹从A点转移到D点所需要的时间Tad=Tab+Tbc+Tcd而经过每段小圆弧所需要的时间,可以方便地计算出来以Tab为例,在A点有x`=|PA|sinΦax=|PA|cosΦa+|OP|又因为x`=dx/dt,相点在相轨迹上从坐标为()的点移动到坐标为X0的点所需的时间T1-T0=∫-|PA|sinΦadΦ/|PA|sinΦa=Φa-Φb=Φab表明能够，Tab在数值上等于ab所对应的中心角Φab,用圆弧度来度量的数值.二.相品面法分析非线形系统㈠分析步骤:1)首先根据非线性特性的分段情况,用几条分界线将相划分为几个现行区域2)然后按照系统的结构图分别列写各区域的线性微分方程式3)并应用线性系统相平面分析的方法和结论,绘出各区域的相轨迹4)根据系统状态变化的连续性,在各区域的交界线上,将响轨迹彼此衔接成连续曲线,即构成完整的线性系统相图(二) 关键术语1.开关线或转换线将各线性区域的分界线称为开关线2.转换点开关线撒谎能够相轨迹发生改变的点3. 室奇点每个区域内有一个奇点,如果这个奇点在本区域之内,这种奇点称实奇点4. 虚奇点如果奇点落在本区域之外,称虚奇点表明该区域相轨迹不可能汇集于虚奇点. 二阶非线性系统中,只可能有一个实奇点,而与这个实奇点所在区域邻接的所有其它区域都可能有虚奇点㈢控制系统分析例: 饱和特性的非线性控制系统(如下图)试用相平面法分析系统的阶跃响应和斜坡响应解：系统线性部分c(s)/x(s)=0.25/s(0.55+1) 0.5c``+c`\0.25x e=r-c非线性部分10e |e|<1x= 10 e>1-10 e<-1阶跃响应r=Rx1(t)当t>0+时r``(t)=r`(t), r=Re`=-c`, e``=-c``描述系统误差的方程为0.5e``+e`+0.25x=0x=10e |e|<=1x=10 e>1x=-10 e>1即为方程线性方程，在相平面上，e=+-1的两条直线把相平面划分为三个区域，1) 对于1区，系统线性微分方程为0.5e``+e`+2.5e=0de`/de=-e`-0.5e/0.5e 相轨迹方程。