二次函数综合培优题

二次函数综合培优题

【聚焦济南中考】

1．（2014•济南28题）如图1，抛物线y=﹣x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，

对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．

（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；

（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：

①t为何值时△MAN为等腰三角形；

②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

2．（2015•济南28题）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；

（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E 重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．

压轴题必备知识：

① 中点坐标公式：

设点A 坐标为（1x ，1y ）、点B 坐标为（2x ，2y ）

则AB 的中点C 坐标为（

221x x +，221y y +）

② 两点间距离公式

（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

设点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2）则AB 间的距离，

即线段AB 的长度d =

()()221221y y x x -+-

③ 设两条直线分别为，1l ：11y k x b =+ 2l ：22y k x b =+

若12//l l ，则有1212//l l k k ⇔=且12b b ≠

若12121l l k k ⊥⇔⋅=-

④ 点到直线距离公式：

点P （x 0，y 0）到直线b kx y +=(即：0=+-b y kx ) 的距离:

1)1(2002200++-=-++-=

k b y kx k b y kx d

【求三角形的面积】

（1）直接用面积公式计算； （2）割补法； （3）铅垂高法；

如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2

1=

∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

【等腰、直角三角形存在性问题】

图一 两圆一线图解 图二 两线一圆图解

三角形的存在性问题解题思路：

（1）先分类，罗列线段的长度，如果是等腰三角形则分别令三边两两相等去求解；

如果是直角三角形则分别令每个内角等腰90°去分类讨论；

（2）再画图；

（3）后计算．

平行四边形模型探究：

平行四边形性质：两组对边分别平行且相等，对角相等，对角线互相平分.

常用求点方法总结：三角形的全等或平移性质.

1. 已知三个定点，一个动点的情况

在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标。

如图：分别以三角形ABC的边做平行线，三条平行线相交形成一个三角形，三角形的三个顶点即是满足题意的M点的坐标.

2. 已知两个定点，两个动点的情况

①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等；

②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线.

【特殊三角形存在性问题】

1．如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线()k x a y +-=22经过点A 、B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P ．

（1）求a ，k 的值；

（2）抛物线的对称轴上有一点Q ，使△ABQ 是等腰三角形，求Q 点的坐标．

2．（2014•内江）如图，抛物线c bx ax y ++=2

经过A （﹣3，0）、C （0，4），点B 在抛物线上，CB ∥x 轴，且AB 平分∠CAO ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）线段AB 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由．

3．（2013•泰安）如图，抛物线c bx x y ++=22

1与y 轴交于点C （0，-4），与x 轴交于点A ，B ，且B 点的坐标为（2，0）

（1）求该抛物线的解析式．

（2）若点P 是AB 上的一动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于E ，连接CP ，求△PCE 面积的最大值．

（3）若点D 为OA 的中点，点M 是线段AC 上一点，且△OMD 为等腰三角形，求M 点的坐标．

4．（2015•天桥二模）如图1，抛物线2

y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点()02C ，，连结AC ，若tan 2.OAC =∠

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线对称轴l 上有一动点P ，当90APC °=∠时，求出点P 的坐标；

（3）如图2所示，连结BC ，M 是线段BC 上（不与B 、C 重合）的一个动点.过点M

作直线l l '∥，交抛物线于点N ，连结CN 、BN ，设点M 的横坐标为t ．当t 为何值时，BCN △的面积最大？最大面积为多少？