拉氏变换与逆变换
Laplace变换和逆变换
1 d2 r ar−2 = 2 [F(s)(s + p1) ] 2 ds ! s=−p M
1
ar−i
1 di r = i [F(s)(s + p1) ] i!ds s=−p
1
1 d r−1 r a1 = r−1 [F(s)(s + p1) ] (r −1 ds )! s=−p
0
at −st
∞
−(s−a)t
1 dt = s −a
3. 脉冲函数δ(t)
L δ(t)] =1 [
4. 正弦和余弦函数
ω L ωt] = 2 [sin 2 s +ω
s L ωt] = 2 [cos 2 s &# L[At]At = ∫ At ⋅e dt = 2 0 s
−1 −1
2) 含有共轭复数极点的情况
a3 an a1s +a2 M(s) = F(s) = + +L + N(s) (s +σ + jβ)(s +σ − jβ) s + p3 s + pn
将上式两端同乘(s+σ+jβ)(s+σ−jβ)，同时令s=－σ－jβ (或 s＝－σ＋jβ)得
(a1s + a2 )
s +3 a1 = ×(s +1 ) =2 )( (s +1 s + 2) s=−1
s +3 a2 = ×(s + 2) = −1 )( (s +1 s + 2) s=−2
2 −1 ∴ F(s) = + s +1 s + 2
拉氏变化及反变换
t 0
1
2 单位阶跃函数
f (t )
1
0, t 0 1(t ) 1, t 0
0
t
L[1(t )]
0
1 st 1 1(t )e dt e 0 s s
st
3 单位斜坡函数
f (t )
f (t )
0, t 0 f (t ) t, t 0
1 1 1(t ) 1(t T ) T T
L[ f (t )]
1 1 sT 1 e (1 e sT ) Ts Ts Ts
T T f (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t ) f1 (t T ) 2 2 4 4 T 4 T 4 2 t 2 (t ) 2 (t ) 2 (t T ) T T 2 T 2 T
1 jt sin t (e e jt ) 2j
st
Hale Waihona Puke e j cos j sin e j cos j sin
L[sin t ] sin t e dt
0
0
1 jt jt st e e e dt 2j
10.像函数的微分性质
设L[ f (t )] F (s)
dF ( s) Ltf (t ) ds
11.像函数的积分性质
设L[ f (t )] F (s)
1 L f (t ) F ( s)ds t s
例 求图示方波和三角波的拉氏变换
方波： f (t ) f1 (t ) f1 (t T )
1 1 1 s 2 2 s j s j s 2
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N 。
这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。
一、拉氏变换的基本概念定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义，若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作()F P ，即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()( （12.1）称（12.1）式为函数()f t 的拉氏变换式，用记号[()]()L f t F P =表示。
函数()F P 称为()f t 的拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。
函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换（或称为()F P 象原函数），记作)()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=。
关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：（1）在定义中，只要求()f t 在0t ≥时有定义。
为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t <时，()0f t =。
（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。
为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。
（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。
一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。
例12.1 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。
拉氏变换及拉氏反变换
t dt 1 ，且δ(t)有如下
t f t dt f 0
式中f(0)——t=0时刻的f(t)的函数值。
由拉氏变换的定义得
L t t e st dt e st
0
t 0
1
2.2.2 几种典型函数的拉氏变换
L f at
1 s F a a
2.2.3 拉氏变换主要定理
微分定理
设f(n)(t)表示f(t)的n阶导数，n=1，2，3，……正整数， f(t)的拉氏变换为F(s)，则
L f t s F s sf 0 f 0
F s
s 1 s 1 k k 1 2 s 2 5s 6 s 2s 3 s 2 s 3
s 1 s 2 s 1 1 k1 s 2s 3 s 2 s 3 s 2 s 1 s 3 s 1 2 k2 s 2s 3 s 3 s 2 s 3 2 1 1 1 2 f t L1 F s L1 L1 L 2e 3t e 2t s 2 s 3 s 2 s 3
拉氏变换亦与此相似，即把微分方程变换为代数方程 求解。
2.2.1 拉氏变换的定义
定义
对于时间函数f（t），如果满足
当t<0时，f（t）=0； 当t≥0时，实函数f（t）的积分
f t e
0
st
dt 在s的某一域内收敛，则定义f（t）的拉氏变换
为
F s f t e st dt
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换就是分析与求解常系数线性微分方程得一种简便得方法,而且在自动控制系统得分析与综合中也起着重要得作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路得复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)得基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中得应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中,直接计算328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯就是很复杂得,而引用对数后,可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N然后通过查常用对数表与反对数表,就可算得原来要求得数N 。
这就是一种把复杂运算转化为简单运算得做法,而拉氏变换则就是另一种化繁为简得做法。
一、拉氏变换得基本概念定义12、1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 得某一区域内收敛,则此积分就确定了一个参量为P 得函数,记作()F P ,即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()( (12、1)称(12、1)式为函数()f t 得拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。
函数()F P 称为()f t 得拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 得象函数)。
函数()f t 称为()F P 得拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数),记作)()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。
关于拉氏变换得定义,在这里做两点说明:(1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。
为了研究拉氏变换性质得方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。
(2)在较为深入得讨论中,拉氏变换式中得参数P 就是在复数范围内取值。
为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质得研究与应用。
拉氏变换与反变换
2.5 拉氏变换与反变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
2.5.1 拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间 为自变量的实变函数 ，它的定义域是 ，那么 的拉普拉斯变换定义为(2.10)式中， 是复变数， （σ、ω均为实数）， 称为拉普拉斯积分；是函数的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 为 的象函数，而称为 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域与之等价的复变函数。
2.5.2 几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为t ()t f 0≥t ()t f ()()()0e d stF s L f t f t t ∞-=∆⎡⎤⎣⎦⎰s ωσj +=s ⎰∞-0e st )(s F )(t f )(s F )(t f )(t f )(s F )(s F )(1t ⎩⎨⎧≥<∆)0(1)0(0)(1t t t 0=t当 ，则 。
所以（2.11）图2.7 单位阶跃函数2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中 是常数。
令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（2.12）3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换设，，则0e 1d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-⎰stst st t t L s F 0)Re(>s 0e lim →-∞→st t []s s s t L st 1)1(00e 1)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-由欧拉公式，有所以(2.13）同理(2.14）4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
拉氏变换和反变换公式
拉氏变换和反变换公式拉氏变换和反变换公式，这可真是数学领域里相当重要且有点“烧脑”的一部分内容。
咱先来说说拉氏变换，它就像是一个神奇的魔法工具，能把在时域里看起来复杂得让人头疼的函数，给变到复频域里，让咱们能更方便地分析和处理。
比如说，一个随时间变化得乱七八糟的信号，经过拉氏变换之后，可能就会变得有规律、好理解多啦。
我记得有一次给学生们讲拉氏变换的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这拉氏变换到底有啥用啊？感觉好难啊！”我笑着跟他说：“你就想象你要跑一段很长很乱的路，这路一会儿上坡一会儿下坡，一会儿还有石头挡着。
拉氏变换就像是给你变出一双翅膀，让你能从空中看这段路，一下子就清楚路的走向和特点啦！”这孩子似懂非懂地点点头。
那拉氏变换的公式呢，一般是对于一个函数 f(t) ，它的拉氏变换 F(s) 等于从 0 到正无穷对 e 的 -st 次方乘以 f(t) 进行积分。
这里的 s 是个复数，这公式看起来可能有点复杂，但其实只要多做几道题，多练习练习，也就慢慢熟悉了。
再来说说反变换，它就是把在复频域里的函数变回时域里的原来的样子。
就像是你把东西变到了另一个世界，现在又要把它给变回来。
反变换的公式也有不少方法可以求解，像部分分式展开法、留数法等等。
给大家举个例子啊，比如说有一个函数 F(s) = (s + 1) / (s^2 + 2s + 2) ，咱们要把它通过反变换变回时域里的函数 f(t) 。
首先，把 F(s) 进行部分分式展开，得到 F(s) = 1 / (s + 1 + i) + 1 / (s + 1 - i) ，然后根据反变换的公式和一些常见函数的拉氏变换对，就能求出 f(t) = e^(-t) cos(t) 。
在学习拉氏变换和反变换公式的过程中，大家可别着急，一步一个脚印，多做练习，多思考，慢慢地就能掌握这个神奇的工具啦！相信大家都能在数学的世界里越走越远，越学越厉害！。
拉普拉氏变换与反变换
L[e x(t )] X (s a)
5、延时定理：
at
L[ x(t a) 1(t a)] eas X (s)
6、初值定理：
t 0
lim x(t ) lim sX ( s )
s
7、终值定理：
lim x(t ) lim sX ( s )
分解因式，根据不同情况，利用待定系数法求反拉 氏变换
拉氏变换的运用
求解微分方程
X (s) L[ x(t )] x(t )est dt ˆ
0
式中：s为复变量；x(t)为原函数；X(s)为象函数
二、简单拉氏变换： 1、单位阶跃函数1(t) 2、指数函数 e at 3、正弦函数sinωt和余弦函数cosωt 利用欧拉公式 e j cos j sin
e j cos j sin e j e j sin 2j e j e j cos 2j
4、幂函数tn 利用Γ（gama）函数的性质：
(a ) x a 1e x dx ˆ
0
(n 1) n(n) n! u st u t s 1 dt du s L[t ] t e dt
拉普拉氏变换与反变换
一、定义： 对于函数 x(t )，如果满足下列条件： x （1）当t<0时， (t ) =0； 当t>0时，x(t)在每个有限区间上是分段连续的。 （2） x(t )et dt ，其中σ为正实数，即x(t)为指数级的； 0 则可定义x(t)的拉氏变换X(s)：
n n st
s n 1
1
n! u e du n 1 s
n u
拉氏变换及反变换
0
t
F(s)=L[f(t)]=
te
0
st
dt
t st 1 st e e dt 0 s 0 s
1 2 s
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
5. f (t ) t
ℒ [t ]
n
n
n
（幂函数）
0
t e dt 0
n st
t n st de s
例1 例2
1 1 ) ℒ [ A(1 e )] A( s s 1 j t [sin t ] ℒ ℒ [ (e e j t )] 2j 1 1 1 [ ] 2 2j s j s j s 2
t
机械工程控制基础
二、微分定理
拉普拉斯变换及反变换
1 d (sin t )] ℒ [cos t ] ℒ [ dt s 1 [s 2 si nt 0 ] 2 2 s 2 s
机械工程控制基础
•例3 某动态电路的输入—输出方程为
拉普拉斯变换及反变换
d2 d d r ( t ) a r ( t ) a r ( t ) b e (t ) b0 e (t ) 1 0 1 2 dt dt dt
拉普拉斯变换及反变换
(t )dt 1
0
t
ℒ [ ( t )]
0
( t )e st dt 0 (t )dt
0
=1
机械工程控制基础
4. f (t ) t （单位斜坡函数）
f(t)
拉普拉斯变换及反变换
拉氏变换逆变换
1 解：F ( s) s 2 s 1 f (t ) ' (t ) 2 (t ) e t (t 0)
2s 2 9s 18 (2) F ( s) 2 s 4s 8
f (t ) ILTF (s) 2 (t ) e2t cos2t u(t )
1 j st f (t ) F ( s)e ds 2j j
拉普拉斯逆变换可以按照逆变换的定义式进行求 解（留数法），实际中也可以采用其他一些简便的方 法求解。
2015-1-14 信号与系统
一、查表法
一些典型信号的逆变换可以借助于附表进行查询得到。
s 2 3s 1 (1) F ( s) s 1
K1 ( s 1 j 2) F ( s) s 2 1 j2 5
7 2 1 f (t ) e 2t 2e t cos(2t ) sin(2t ) u (t ) 5 5 5
2015-1-14 信号与系统
2 s 3 重新求解上例： F ( s ) ( s 2 2s 5)(s 2) k 2 s k3 k1 2 s 2 s 2s 5
2015-1-14 信号与系统
例：求下示函数的逆变 换 s2 3 F ( s) 2 ( s 2s 5)(s 2)
7 2t 2 t 1 f (t ) e 2e cos(2t ) sin(2t ) u (t ) 5 5 5
2015-1-14
信号与系统
201667信号与系统4444拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换利用拉普拉斯变换法分析连续系统时最后都需要求象函数的逆变换得到信号的时域形式
4.4 拉普拉斯逆变换
利用拉普拉斯变换法分析连续系统时，最后都需要 求象函数的逆变换，得到信号的时域形式。因此拉普拉 斯逆变换在求解系统相应及系统分析中是非常重要的一 个环节。要求要熟练掌握。
2拉氏变换逆变换
m 1
系数ai 和bi 都为实数，m和n是正整数； 通常情况下： bn 1
A(s) 0 z1 , z2 ...zm 零点 B(s) 0 p1 , p2 ...pn 极点
2018/11/13 信号与系统
对有理真分式可以进行部分分式展开，形成多 个简单分式的和；
对有理假分式可以首先进行化简，化作为： 有理假分式＝ P(S)＋真分式 对多项式P(S)直接进行逆变换，对真分式进行部分分 式展开。 对有理真分式进行部分分式展开的按照极点的 不同特点，有不同的展开方法。
2018/11/13
信号与系统
1.极点为实数且无重根
A( s) A( s) F ( s) B( s) ( s p1 )(s p2 )...(s pn ) kn k1 k2 ... s p1 s p2 s pn 系数的求解方法：k j ( s p j ) F ( s) |s p j
信号与系统
实际中出现共轭极点时也可以采用如下展开法：
设k1 c jd , 则k2 c jd c jd c jd F ( s) s j s j A1s A2 2 2 (s )
利用待定系数法确定系 数A1和A2
A( p1 ) k1 ( s j ) F ( s ) |s j 2 jB1 ( p1 ) A( p1*) k 2 ( s j ) F ( s ) | s j k1 * 2 jB1 ( p1*)
2018/11/13 信号与系统
2018/11/13 信号与系统
例：求下示函数的逆变 换 s2 3 F ( s) 2 ( s 2s 5)(s 2)
拉氏变换及反变换
初值定理
拉氏反变换方法
部分分式法的求取拉氏反变换
B( s) b0 s m b1s m 1 .... bm 1s bm F ( s) ,m n n n 1 A( s) a0 s a1s .... an 1s bn
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t) F(s)= F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)
e
at at
te
sin(wt) cos(wt)
常见时间函数拉氏变换表 序号 f(t) F(s)
n! s n1
n! s a n1
9
10 11 12
tn(n=1,2,3….)
t e e e
n at
(n=1,2,3….)
at
sinwt coswt
s a 2 w 2
拉氏变换的定义
设函数f(t)满足： 1、f(t)实函数； 2、当t<0时，f(t)=0； 3、当t0时，f(t)的积分 f (t )est dt 在s的某一域内收敛。
0
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为： s=σ+jω（σ，ω均为实数）
拉氏反变换的定义
F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数;
2e t e 2t
t0
例2 求 解
的Laplace1 ( s 2) 2
1 1 1 f (t ) L [ ] L [ ] 2 s 1 ( s 2)
1
e te
t
2t
拉氏正逆变换
一、拉普拉斯变换的概念 拉普拉斯变换就是通过一种积分运算，把一个函数化为另一个函数的变换。 定义 ：设函数在区间
0, 内有定义，如果广义积分：
0
F ( p)
f (t )e pt dt
（15－1）
对于参数 p 的某一取值范围收敛，则称（15－1）式为 f (t ) 的拉普拉斯变换，简称拉氏 变换，记为£
19
������ ������ ������ ������ ������������
������ ������ ������ ������ ������
10
������������������ ������������
������ ������������ + ������������
20
拉普拉斯逆变换
������ ������ .
其中， F ( p ) 称为 f (t ) 的象函数；而 f (t ) 称为 F ( p ) 的原函数，也被称为 F ( p ) 的拉普拉斯逆 变换，记为 即 关于拉氏变换的定义，作如下说明： （1）符号“”表示拉普拉斯变换，它是一种运算符号， “”施行于 f (t ) 时，便得出函数
拉氏变换的性质
序号 1 2 3 4 £ ������
������
设£ ������ ������ £ ������������������ ������ + ������������������ ������ £ ������������������ ������ ������
= ������(������)
F ( p) ；
（2）定义中只要求 f (t ) 在 t 0 时有定义， 为讨论的方便以后总假定 t 0 时，f (t ) 0 ； （3）在较广泛的研究中，拉氏变换式中的参数 p 是在复数范围内取值； （4）求 f (t ) 的拉氏变换就是通过一种广义积分 F ( p)
拉氏变换与拉氏反变换
16
n
1 2
e n t sinn 1 2 t
序号
f(t)
F(s)
1
17
1
2
e
n t
sin n 1 2 t 1
2
2
s s 2 n s
2 n
arctan
1 1 1
2
e n t sin n 1 2 t 1 2
二、拉氏反变换及其计算方法
（一）拉氏反变换的定义
已知象函数F(s)，求出与之对应的原函数f(t)就 称为拉氏反变换，计作 L1 F (s) f (t )
L [ F ( s )] f ( t )
1
2 j r j
1
r j
F ( s )e st ds
式中，r为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。 所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是F(s) 在该点及其邻域不处处可导。
1 1 1 L1 1 2 tt L1 2 t L 2 ss s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式
B( s ) bm s m bm 1 s m 1 bm 2 s m 2 b1 s b0 F ( s) A( s ) an s n an1 s n1 an 2 s n 2 a1 s a0
1 s 2
( s pi )( s p j )
Ak An s pk s pn
Br ,1 , Ak ,, An 为实数,称留数
留数的方法可分为下面三种情况研究。
拉氏变换与逆变换
常用函数拉氏变换表
00:16
19
四、拉氏逆变换的部分分式法
B(s) bm s m bm1s m1 b1s b0 设 F (s) （ｎ ｍ） n n 1 A(s) an s an1s a1s a0
按代数定理将F(s)展开为部分分式：
1 dt sa
00:16
9
7、正弦函数和余弦函数
L[sin t ] sin t e dt
st 0 0
1 j j st (e e )e dt 2 2j s 2
0
L[cos t ] cos t e dt
1 d sin(t ) L[cos( t )] L dt 1 [s 2 0] 2 s s 2 s 2
00:16 14
3、积分性质
若L[f(t)]= F(s) ,且各重积分在t=0时的值均为0，则
t 1 L f (t ) dt F ( s ) 0 s t t 1 L f (t )dtdt 2 F ( s ) 0 0 s t t 1 L f (t )dt dt n F ( s ) 0 0 s
1 1 3 c1 (2s ) 1 ；c4 s 1 3 2! s( s 1) s 0 s 1 1 1 1 1 Y (s) s ( s 1)3 ( s 1) 2 s 1 1 y 1 t 2e t te t e t 2
00:16 25
3） A(s)=0有一对共轭复根P1、P2
方法1：
c3 cn c1s c2 c4 F(s) ( s p1 )(s p2 ) s p3 s p4 s pn c1和c2由下式求得： [ F ( s ) ( s p1 )(s p2 )]s p1 [c1s c2 ]s p1
拉氏变换逆变换例题
拉氏变换逆变换例题拉氏变换和逆变换是信号处理中常用的工具，本文将提供几个拉氏变换和逆变换的例题，帮助读者更好地理解这些概念。
例题1：求函数f(t)=sin(2πt)的拉氏变换。
解：根据拉氏变换的定义，我们有：F(s) = ∫0∞ e^(-st) sin(2πt) dt这个积分可以通过分部积分来求解。
设u = sin(2πt)，dv = e^(-st) dt，则du/dt = 2πcos(2πt) 和 v = (-1/s) e^(-st)。
因此，F(s) = (∫0∞ u dv) = [(uv) |0∞ - ∫0∞ v du/dt dt]= [(sin(2πt) (-1/s) e^(-st)) |0∞ - ∫0∞ (-1/s) e^(-st) 2πcos(2πt) dt]= [(0 - 0) - (2π/s) ∫0∞ e^(-st) cos(2πt) dt]= (2π/s) [(1/(s^2 + 4π^2)]因此，f(t)=sin(2πt)的拉氏变换为F(s) = (2π/s) [(1/(s^2 + 4π^2)]例题2：求函数F(s) = (s + 2)/(s^2 + 4s + 5)的拉氏逆变换。
解：我们可以通过部分分式分解来求解逆变换。
设F(s) = A/(s + α) + B/(s + β)，则F(s) = A/(s + α) + B/(s + β) = (As + Aα + Bs + Bβ)/(s^2 + (α + β)s + αβ)比较系数可得：Aα + Bβ = 2，A + B = 1，Aβ + Bα = 0。
解得A = 2/(3-2i)，B = 1/(3-2i)。
因此，F(s) = (s + 2)/(s^2 + 4s + 5) = 2/(3-2i) /(s + (2-i)) + 1/(3-2i) /(s + (2+i))我们可以使用拉氏逆变换的表格或者将其转化为指数函数，最终得到f(t) = (2/5) e^(-2t) sin(t) + (1/5) e^(-2t) cos(t) 以上就是本文的拉氏变换和逆变换例题，希望能对读者在学习信号处理中有所帮助。
拉氏变换和反变换
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数） F(s)称为函数f(t)旳拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)旳原函数； L为拉氏变换旳符号。
拉氏反变换旳定义
其中L－1为拉氏反变换旳符号。
序号
1 2 3 4 5 6 7
常见时间函数拉氏变换表
f(t)
F(s)
单位脉冲函数:d(t)
单位阶跃函数:1(t) 单位速度函数：t
由线性性质可得
假如 f (t) 旳拉普拉斯变换 F (s) 可分解为 F (s) F1 (s) Fn (s)
并假定 Fi (s) 旳拉普拉斯变换轻易求得，即
Fi (s) L[ fi (t)]
则 L1[F (s)] L1[F1(s)] L1[Fn (s)]
f1(t) fn (t)
例1 求
F(s) s 3 s 2 3s 2
旳Laplace 反变换
解
F (s)
s2
s
3 3s
2
(s
s3 1)(s
2)
2 1 s 1 s 2
f (t) L1[F (s)] L1[ 2 ] L1[ 1 ]
s 1
s2
2et e2t t 0
例2 求
旳Laplace 反变换
解 F (s) 1 1 s 1 (s 2)2
线性定理
叠加定理
百分比定 理
多重微分 原函数旳高阶导数 像函数中s旳高次代数式
积分定理
多重积分 原函数旳n重积分像函数中除以sn
位移定理 原函数乘以指数函数e-at像函数d在复数域中作位移a
延时定理 原函数平移 像函数乘以 e-s
终值定理
原函数f(t)旳稳态性质
sF(s)在s=0邻域内旳性质
拉普拉斯变换及反变换ppt课件
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)
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s1
s2
23:19
22
应用拉氏变换求解线性常系数微分方程
例：解方程 y(t) 5y(t) 6yt) 6 ,其中y(0) y0) 0
解： 将方程两边取拉氏变换，得
s2Y (s) 5sY s) 6Y s) 6
s 整理得
Y
s)
ss
6
2)s
3)
1 s
s
3
2
s
2
3
故
yt) 1 3e2t 2e3t
F (s) L[eat ] e(as)tdt 1
0
sa
23:19
9
7、正弦函数和余弦函数
L[sint]
sin t estdt
0
0
1 (e j 2j
e j )est dt
s2
2
L[cost] cost estdt 1(e j e j )estdt s
0
02
23:19
12
2、微分性质
函数f(t)的象函数F(s)与其导数的象函数之间有 如下关系:
L[ f (t)] sF (s) f (0) L[ f (t)] s2F(s) sf (0) f (0)
L f (n) (t) sn F (s) sn1 f (0) sn2 f (0) f (n1) (0)
拉普拉斯(Laplace)变换
23:19
1
复数与复变函数
1.复数
s j
(σ,ω为实数)
2. 复变函数 F(s)
3. 复数的代数表示法
F (s) Re j Im F (s) e jF (s)
4. 复数的模与幅角
F1(s) F2 (s) F1(s) . F2 (s)
[F1(s) F2(s)] F1(s) F2(s)
1） A(s)=0无重根，即F(s)只有不相同的极点
2） A(s)=0有，一个k重根P1 ，即F(s)有k重极点 3） A(s)=0有一对共轭复根
23:19
20
四、拉氏逆变换的部分分式法
设 F (s)
B(s) A(s)
bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
]
s1
[d ds
(
1 s
)]s
1
(s2 )
s 1
1
c1
1 (2s3) 2!
s 1
1；c4
1 s(s 1)3
s
s0
1
Y(s) 1 1 1 1 s (s 1)3 (s 1)2 s 1
y 1 1 t 2et tet et 2
23:19
25
3） A(s)=0有一对共轭复根P1、P2 方法1：
s2 2
23:19
10
三、拉氏变换的基本性质
1、线性性质（叠加原理）
设f1(t)和f2(t)是两个任意时间函数，它们 的象函数分别为F1(s) 和F2(s) ，a和b是两个任 意实常数，
L[af1(t)+ bf2(t)] = aL [f1(t) ] + bL[f2(t)] = aF1(s) + bF2(s)
0
t0 1
2031:109-10-7
5 5
2、单位阶跃函数1(t)
23:19
6
3、单位斜坡（速度）函数
2031:109-10-7
7 7
4、单位抛物线（加速度）函数
2031:109-10-7
8 8
5、幂函数：f(t)=tn
F(s)
L[t n ]
0
t
n
e stdt
n! sn1
6、指数函数： f(t)=eat (a为常数)
23:19
2
一、 拉普拉斯变换的定义：
❖ 设函数 f (t)若满足：
（1）当t 0 时，f (t) 0
（2）当t 0 时，实函数 f (t) 的积分
0
f
(t )e st dt
（s = + jω）
在s的某一域内收敛，则定义 f (t)的拉普拉斯变换为
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
] s p1
,
ck i
1{ i!
di dsi
[F (s)(s
p1)k ]}s p1
c1
(k
1
d k 1
{ 1)!
ds
k
1
[F (s)(s
p1 ) k
]}s p1
c j [F (s)(s p j )]s pj
式中：p j是F(s)的其余互异极点。（j k 1, , n)
23:19
23
2） A(s)=0有一个k重根P1 ，即F(s)有k重极点
F(s)
(s
ck p1
)k
(
s
ck 1 p1 )k
1
c1 s p1
ck 1 s pk 1
cn s pn
式中：ck [F (s) (s p1)k ]s p1
ck 1
d
ds
[F (s) (s
p1 ) k
t 0
s
7、终值定理
f () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
条件：sF(s)的所有极点都在[S]左半平面
23:19
17
8、卷积定理
1）两个时域函பைடு நூலகம்的卷积
f1(t) f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
2）卷积定理 设
L[ f1(t )] F1(s)
L[ f2 (t )] F2 (s)
（ｎ ｍ）
1). A(s)=0无重根，即F(s)只有不相同的极点
F (s) c1 c2 ci cn
s p1 s p2
s pi
s pn
其中， ， ci [F (s)(s pi )]s pi
而 L1[
s
ci
pi
]
cie
pit
f (t) c1e p1t c2e p2t cne pnt
s
s2 2
23:19
14
3、积分性质 若L[f(t)]= F(s) ,且各重积分在t=0时的值均为0，则
L
t 0
f
(t)dt
1 s
F (s)
L
t 0
t 0
f (t)dtdt
1 s2
F (s)
L
t
0
t 0
f
(t )dt
dt
1 sn
F(s)
n重积分
23:19
15
4、延迟性质 若 L[f(t)]= F(s)，则 L[ f (t )] es F (s)
零初始条件下：f (0) f (0) f (n1) (0) 0
L f (n) (t) sn F (s)
23:19
13
例：利用导数性质求余弦函数的象函数。
解：
L[sin(t)]
s2
2
cos(t) 1 d sin(t) dt
L[cos (t )]
L1
d
sin(t)
dt
1
[s s2 2 0]
则 L[ f1 (t ) f2 (t )] F1 (s)F2 (s)
3）卷积定理的应用
线性系统中如果 xo(t)是任意激励下的零状 态响应，xi(t)是任意激励，g(t)是系统的脉冲响 应，则：
xo(t) xi(t) g(t) Xo(S) Xi(S)G(S)
23:19
18
常用函数拉氏变换表
23:19
19
四、拉氏逆变换的部分分式法
设 F (s)
B(s) A(s)
bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
（ｎ ｍ）
按代数定理将F(s)展开为部分分式：
F (s) F1(s) F2 (s) Fi (s) Fn (s)
分三种情况：
L-1[aF1(s) + bF2(s) ] = af1(t)+ bf2(t)
23:19
11
例：求函数f(t)=K(1-e-at)的象函数。
解：L[K(1-e-at)] =L[K] -L[Ke-at]
K K s sa
Ka s(s a)
根据拉氏变换的线性性质，求函数乘以常数的
象函数以及求几个函数相加减的结果的象函数时， 可以先求各函数的象函数再进行计算。
F(s) 称为 f (t) 的象函数； f (t) 称为F(s)的原函数.
23:19
3
拉氏逆变换
f (t) L1[F (s)] 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
拉氏变换与拉氏逆变换一一对应
23:19
4
二、 常用函数的拉氏变换
1、单位脉冲函数δ (t)
L[ (t)]
(t)est dt est
例：求e-b(t-a) 的拉氏变换，a、b为任意实数。 解：L[ebt ] 1 sb L[eb(ta) ] 1 eas sb
5、位移性质 若L[f(t)]= F(s)，则F(s-a)= L[f (t) eat]
23:19
16
6 、初值定理
f (0) lim f (t) lim sF(s)
23:19
21
例：求 F(s) s 3 的拉氏逆变换。
s 2 3s 2
解： F (s) s 3 c1 c2 (s 1)(s 2) s 1 s 2
求 c1和c2
s3
c1
(s
1)(s
2)
(s
1) s1
2,
c2