拉氏变换与逆变换

s1
s2
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22
应用拉氏变换求解线性常系数微分方程
例：解方程 y(t) 5y(t) 6yt) 6 ,其中y(0) y0) 0
解： 将方程两边取拉氏变换，得
s2Y (s) 5sY s) 6Y s) 6
s 整理得
Y
s)
ss
6
2)s
3)
1 s
s
3
2
s
2
3
故
yt) 1 3e2t 2e3t
F (s) L[eat ] e(as)tdt 1
0
sa
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9
7、正弦函数和余弦函数
L[sint]
sin t estdt
0
0
1 (e j 2j
e j )est dt
s2
2
L[cost] cost estdt 1(e j e j )estdt s
0
02
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12
2、微分性质
函数f(t)的象函数F(s)与其导数的象函数之间有 如下关系:
L[ f (t)] sF (s) f (0) L[ f (t)] s2F(s) sf (0) f (0)
L f (n) (t) sn F (s) sn1 f (0) sn2 f (0) f (n1) (0)
拉普拉斯(Laplace)变换
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1
复数与复变函数
1.复数
s j
(σ,ω为实数)
2. 复变函数 F(s)
3. 复数的代数表示法
F (s) Re j Im F (s) e jF (s)
4. 复数的模与幅角
F1(s) F2 (s) F1(s) . F2 (s)
[F1(s) F2(s)] F1(s) F2(s)
1） A(s)=0无重根，即F(s)只有不相同的极点
2） A(s)=0有，一个k重根P1 ，即F(s)有k重极点 3） A(s)=0有一对共轭复根
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20
四、拉氏逆变换的部分分式法
设 F (s)
B(s) A(s)
bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
]
s1
[d ds
(
1 s
)]s
1
(s2 )
s 1
1
c1
1 (2s3) 2!
s 1
1；c4
1 s(s 1)3
s
s0
1
Y(s) 1 1 1 1 s (s 1)3 (s 1)2 s 1
y 1 1 t 2et tet et 2
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25
3） A(s)=0有一对共轭复根P1、P2 方法1：
s2 2
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10
三、拉氏变换的基本性质
1、线性性质（叠加原理）
设f1(t)和f2(t)是两个任意时间函数，它们 的象函数分别为F1(s) 和F2(s) ，a和b是两个任 意实常数，
L[af1(t)+ bf2(t)] = aL [f1(t) ] + bL[f2(t)] = aF1(s) + bF2(s)
0
t0 1
2031:109-10-7
5 5
2、单位阶跃函数1(t)
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6
3、单位斜坡（速度）函数
2031:109-10-7
7 7
4、单位抛物线（加速度）函数
2031:109-10-7
8 8
5、幂函数：f(t)=tn
F(s)
L[t n ]
0
t
n
e stdt
n! sn1
6、指数函数： f(t)=eat (a为常数)
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2
一、 拉普拉斯变换的定义：
❖ 设函数 f (t)若满足：
（1）当t 0 时，f (t) 0
（2）当t 0 时，实函数 f (t) 的积分
0
f
(t )e st dt
（s = + jω）
在s的某一域内收敛，则定义 f (t)的拉普拉斯变换为
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
] s p1
,
ck i
1{ i!
di dsi
[F (s)(s
p1)k ]}s p1
c1
(k
1
d k 1
{ 1)!
ds
k
1
[F (s)(s
p1 ) k
]}s p1
c j [F (s)(s p j )]s pj
式中：p j是F(s)的其余互异极点。（j k 1, , n)
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23
2） A(s)=0有一个k重根P1 ，即F(s)有k重极点
F(s)
(s
ck p1
)k
(
s
ck 1 p1 )k
1
c1 s p1
ck 1 s pk 1
cn s pn
式中：ck [F (s) (s p1)k ]s p1
ck 1
d
ds
[F (s) (s
p1 ) k
t 0
s
7、终值定理
f () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
条件：sF(s)的所有极点都在[S]左半平面
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17
8、卷积定理
1）两个时域函பைடு நூலகம்的卷积
f1(t) f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
2）卷积定理 设
L[ f1(t )] F1(s)
L[ f2 (t )] F2 (s)
（ｎ ｍ）
1). A(s)=0无重根，即F(s)只有不相同的极点
F (s) c1 c2 ci cn
s p1 s p2
s pi
s pn
其中， ， ci [F (s)(s pi )]s pi
而 L1[
s
ci
pi
]
cie
pit
f (t) c1e p1t c2e p2t cne pnt
s
s2 2
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14
3、积分性质 若L[f(t)]= F(s) ,且各重积分在t=0时的值均为0，则
L
t 0
f
(t)dt
1 s
F (s)
L
t 0
t 0
f (t)dtdt
1 s2
F (s)
L
t
0
t 0
f
(t )dt
dt
1 sn
F(s)
n重积分
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4、延迟性质 若 L[f(t)]= F(s)，则 L[ f (t )] es F (s)
零初始条件下：f (0) f (0) f (n1) (0) 0
L f (n) (t) sn F (s)
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例：利用导数性质求余弦函数的象函数。
解：
L[sin(t)]
s2
2
cos(t) 1 d sin(t) dt
L[cos (t )]
L1
d
sin(t)
dt
1
[s s2 2 0]
则 L[ f1 (t ) f2 (t )] F1 (s)F2 (s)
3）卷积定理的应用
线性系统中如果 xo(t)是任意激励下的零状 态响应，xi(t)是任意激励，g(t)是系统的脉冲响 应，则：
xo(t) xi(t) g(t) Xo(S) Xi(S)G(S)
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18
常用函数拉氏变换表
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19
四、拉氏逆变换的部分分式法
设 F (s)
B(s) A(s)
bm s m an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
（ｎ ｍ）
按代数定理将F(s)展开为部分分式：
F (s) F1(s) F2 (s) Fi (s) Fn (s)
分三种情况：
L-1[aF1(s) + bF2(s) ] = af1(t)+ bf2(t)
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11
例：求函数f(t)=K(1-e-at)的象函数。
解：L[K(1-e-at)] =L[K] -L[Ke-at]
K K s sa
Ka s(s a)
根据拉氏变换的线性性质，求函数乘以常数的
象函数以及求几个函数相加减的结果的象函数时， 可以先求各函数的象函数再进行计算。
F(s) 称为 f (t) 的象函数； f (t) 称为F(s)的原函数.
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3
拉氏逆变换
f (t) L1[F (s)] 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
拉氏变换与拉氏逆变换一一对应
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4
二、 常用函数的拉氏变换
1、单位脉冲函数δ (t)
L[ (t)]
(t)est dt est
例：求e-b(t-a) 的拉氏变换，a、b为任意实数。 解：L[ebt ] 1 sb L[eb(ta) ] 1 eas sb
5、位移性质 若L[f(t)]= F(s)，则F(s-a)= L[f (t) eat]
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6 、初值定理
f (0) lim f (t) lim sF(s)
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例：求 F(s) s 3 的拉氏逆变换。
s 2 3s 2
解： F (s) s 3 c1 c2 (s 1)(s 2) s 1 s 2
求 c1和c2
s3
c1
(s
1)(s
2)
(s
1) s1
2,
c2
(s
s3 1)(s
2)
(s
2)
s2
1
f (t ) L1[F (s)] L1[ 2 ] L1[ 1 ] 2et e2t
F(s) c1s c2 c3 c4 cn
(s p1)(s p2 ) s p3 s p4
s pn
c1和c2由下式求得： [ F (s) (s p1)(s p2 )]s p1 [c1s c2 ]s p1
等式两端实部、虚部分别相等
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26
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27
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24
例：解方程 y(3) 3y 3y y 1，y(0) y(0) y(0) 0
解： Y (s) 1 c3 c2 c1 c4 s(s 1)3 (s 1)3 (s 1)2 s 1 s
c3
[
s(s
1 1)3
(s
1)3 ]s1
1
c2
d
ds
[1 s(s 1)3
(s
1)3