简单复合函数求导
简单复合函数的求导法则
f ( x)
f (u ) ( x )
对 ( x )求导
注意：不要写成 f ( x )！
复合函数的导数
新授课
2 2 y u , u 3 x 2 f ( x ) ( 3 x 2 ) u , ux , f ( x ) 若 ， ，求 y
复合函数的导数
新授课 一般地，设函数 u ( x ) 在点 x 处有导数 ux ( x ) ，函 数 y f (u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y u f ( u ) ，则复合 函数 y f ( ( x )) 在点 x 处也有导数，且
y x yu u x
解析
复合函数求导法则的注意问题： （1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量； （2）尽可能地将函数化简，然后再求导； （3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合 运用； （4）复合函数求导法则，常被称为“链条法则”，
一环套一环，缺一不可。
例3
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 50(5 x 2)
S f (t ) ( 2t 1)
t
的新函数：
2
由于 f (t ) f ( 2t 1) ( 4t 2 4t 1) 所以由导数的运算法则可得：
f (t )
(8t 4) 4 ( 2t 1)
∵ f (r ) 2r , r (t ) 2 ∴ f (t ) 2 ( 2t 1) 2 f (2t 1) (t )
3 ( 3 x 1 ) f (u ) ( x) 3 2 u 2 3x 1
例2
1
解： 令 u ( x) 2 x 1 ，则函数是由 f (u ) u 3与
5.2.3简单复合函数的导数
= − =
可以发现，
′ = = ∙ = ′ ∙ ′
合作探究
复合函数的求导法则
一般地，对于由函数 y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 = (())
5.2.3简单复合函数的导数
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
思考
如何求函数 = ( − ) 的导数呢 ？
新知讲解
函数 = ( − ) 不是由基本初等函数通过加、减、乘、
除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数.
下面，先分析这个函数的结构特点.
若设 = − ( >
（2）函数 = + 的中间变量为 = 2 + 1 . 则函数的导数为，
′ = ′ ∙ ′ = ′ ∙ + ′ = = +
课堂练习
1 （3） = (− + )
（5） =
（4） = ( − )
（6） =
−
)，则
=
从而 = ( − )可以看成是由 = 和 = − ( >
)
经过“复合”得到的，即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x
的函数.
新知讲解
复合函数
对于两个函数 y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数
合函数的求导法则，有
′
=
′
∙
′
′
=
∙ + ′ = × = +
（2）函数 = −.+ 可以看作函数 = 和 = −. + 的复合函数.根据复合
复合函数求导举例
复合函数求导举例复合函数的求导是微积分中的一个重要概念，它描述了两个或多个函数相互作用的过程。
在此，我们将举例说明如何求解复合函数的导数，并提供相关的参考内容。
首先，我们来看一个简单的例子：求解复合函数 f(g(x)) 的导数，其中 f(x) 和 g(x) 分别是两个可导函数。
假设 f(x) = 2x，g(x) = x^2，我们需要求解的导数为 f(g(x)) = 2(g(x))。
根据链式法则，导数可以通过求解 g(x) 的导数再将结果乘以f(g(x)) 的导数，即d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)。
首先求解 g(x) 的导数：g'(x) = d(x^2)/dx = 2x。
然后求解 f(g(x)) 的导数：f'(g(x)) = d(2(g(x)))/d(g(x)) = 2。
最后，将 f'(g(x)) 与 g'(x) 相乘得到 f(g(x)) 的导数：d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x) = 2 * 2x = 4x。
所以，复合函数 f(g(x)) 的导数为 4x。
接下来，我们提供一些相关的参考内容，以加深对复合函数求导的理解。
1. 链式法则的证明：- 《微积分导论》（Thomas）第9.2节- 《微积分学导引》（Simmons）第3.6节2. 复合函数求导公式的应用：- 《解析几何与线性代数》（Hoffman/Kunze）第6章- 《数学分析基础》（Abbot）第8.3节3. 更复杂的复合函数求导：- 多元复合函数的求导公式- 高阶导数的计算方法4. 复合函数求导的应用：- 函数的极值及拐点分析- 函数图像的绘制和变换通过深入研究复合函数求导，我们可以进一步理解微积分的基本概念和应用，并应用于更复杂的数学问题中。
5.2.3简单复合函数的导数
l
为 =
2
18(
3
解：函数 =
− ).求函数在
2
2
18(
3
= 3 时的导数，并解释它的实际意义.
− )可以看作函数
2
= 18 和 =
2
3
−
的复合函数，
2
根据复合函数的求导法则，有：
’
=
’
∙
’
= (18
2
’
) ∙ (
3
−
’
)=
2
18 ×
2
3
=
2
12(
3
3
2
当 = 3时， ’ = 12( ) = 0.
它表示当 = 3时，弹簧振子振动的瞬时速度为0 /.
− ).
2
练习
题型一：求复合函数的导数
例1.求下列函数的导数：
l
示成的函数，那么称这个函数为函数 = ()和 = ()的复合函数，记作
= (()).
l
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的.例如，函
数 = (2 − 1)由 = 和 = 2 − 1复合而成.又如，函数 = 2由
= 和 = 2复合而成.
如何求复合函数的导数呢？我们先来研究 = 2的导数.
新知探索
一个合理的猜想是，函数 = 2的导数一定与函数 = ， = 2的导
l
数有关.下面我们就来研究这种关系.
l
以 ’ 表示对的导数， ’ 表示对的导数，’ 表示对的导数.一方面，
5.2 5.2.3 简单复合函数的导数
5．2.3简单复合函数的导数考点学习目标核心素养复合函数的导数能够利用导数的运算法则推导出简单复合函数f(ax＋b)的导数，并能利用它求其他复合函数的导数数学抽象、数学运算复合函数的导数的应用会用复合函数的导数求解相关问题数学运算问题导学预习教材P78倒数第一行～P80的内容，并思考下列问题：1．复合函数的定义是什么？2．如何求复合函数的导数？1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．■名师点拨在复合函数定义中，y是因变量，x是自变量，u是中间变量，因变量y是中间变量u的函数，中间变量u是自变量x的函数．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝2x ＋5＋ln x ，y ＝ln(2x ＋5)和y ＝sin(x ＋2)都是复合函数．( ) (2)函数y ＝ln(3x ＋1)是函数y ＝ln u ，u ＝3x ＋1的复合函数．( ) 答案：(1)× (2)√2．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1 B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2 C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)n D ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1答案：A3．已知f (x )＝sin n x ，则f ′(x )＝( ) A ．n sin n －1x B ．n cos n －1xC.cos n x D ．n sin n －1x ·cos x解析：选D.由于f (x )＝sin n x ，由函数y ＝t n ，t ＝sin x 复合而成，所以y ′x ＝y ′t ·t ′x ＝nt n －1·cos x ＝n sin n －1x ·cos x .4.已知f (x )＝ln(2x ＋5)，则f ′(1)＝____________． 解析：因为f ′(x )＝12x ＋5(2x ＋5)′＝22x ＋5， 所以f ′(1)＝22×1＋5＝27.答案：27探究点1 简单复合函数求导求下列函数的导数． (1)y ＝e cos x ＋1；(2)y ＝log 2(2x ＋1)； (3)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6；(4)y ＝11－2x . 【解】 (1)设y ＝e u ，u ＝cos x ＋1，则y′x＝y′u·u′x＝e u·(－sin x)＝－e cos x＋1·sin x.(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝2u ln 2＝2（2x＋1）ln 2.(3)设y＝2sin u，u＝3x－π6，则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos(3x－π6)．(4)设y＝u－12，u＝1－2x，则y′x＝y′u·u′x＝(u－12)′·(1－2x)′＝－12u－32×(－2)＝(1－2x)－32.(1)求复合函数导数的步骤(2)求复合函数导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．求下列函数的导数．(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(e x＋x2)；(3)y＝sin4x＋cos4x.解：(1)令u＝3x－2，则y＝10u，所以y′x＝y′u·u′x＝10u ln 10·(3x－2)′＝3×103x－2·ln 10.(2)令u＝e x＋x2，则y＝ln u，所以y′x＝y′u·u′x ＝1 u·(e x＋x2)′＝1e x＋x2·(e x＋2x)＝e x＋2xe x＋x2.(3)因为y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x＝1－12sin22x＝1－14(1－cos 4x)＝34＋14cos 4x，所以y′＝⎝⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x′＝－sin 4x.探究点2复合函数与导数的运算法则的综合应用求下列函数的导数．(1)y＝ln 3xe x；(2)y＝x1＋x2；(3)y＝x cos(2x＋π2)sin(2x＋π2)．【解】(1)因为(ln 3x)′＝13x×(3x)′＝1x，所以y′＝（ln 3x）′e x－（ln 3x）（e x）′（e x）2＝1x－ln 3xe x＝1－x ln 3xx e x.(2)y′＝(x1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝（1＋2x2）1＋x21＋x2.(3)因为y＝x cos(2x＋π2)sin(2x＋π2)＝x(－sin 2x)cos 2x＝－12x sin 4x，所以y′＝⎝⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x′＝－12sin 4x－x2cos 4x·4＝－12sin 4x－2x cos 4x.(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．求下列函数的导数．(1)y ＝sin 2x3；(2)y ＝sin 3x ＋sin x 3； (3)y ＝11－x；(4)y ＝x ln(1＋x )． 解：(1)因为y ＝1－cos 23x2，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－cos23x 2′＝13sin 23x . (2)y ′＝(sin 3x ＋sin x 3 )′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2cos x 3. (3)y ′＝0－（1－x ）′1－x＝－12（1－x ）－12（1－x ）′1－x＝12（1－x ）1－x.(4)y ′＝x ′ln(1＋x )＋x [ln(1＋x )]′＝ln(1＋x )＋x 1＋x. 探究点3 复合函数的导数与导数几何意义的综合应用设f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R)，曲线y＝f(x)与直线y＝3 2x在(0，0)点相切，求a，b的值．【解】由曲线y＝f(x)过(0，0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b，得f′(x)＝1x＋1＋12x＋1＋a，则f′(0)＝1＋12＋a＝32＋a，即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a＝32，故a＝0.本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目的隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．曲线y＝e sin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程．解：设u＝sin x，则y′＝(e sin x)′＝(e u)′(sin x)′＝cos x·e sin x，即y′|x＝0＝1，则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.因为直线l与切线平行，可设直线l的方程为x－y＋c＝0.两平行线间的距离d＝|c－1|2＝2⇒c＝3或c＝－1.故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.1．函数y ＝(2 016－8x )3的导数等于( ) A ．3(2 016－8x )2 B ．－24x C ．－24(2 016－8x )2D ．24(2 016－8x )2解析：选C.y ′＝3(2 016－8x )2×(2 016－8x )′ ＝3(2 016－8x )2×(－8)＝－24(2 016－8x )2.2．函数y ＝x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的导数为( )A ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 B ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ′＝x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D ．y ′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：选 B.y ′＝(x 2)′cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 3．函数y ＝1（3x －1）2的导数是( )A.6（3x －1）3B.6（3x －1）2C ．－6（3x －1）3D ．－6（3x －1）2解析：选C.y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（3x －1）2′＝－2（3x －1）3·(3x －1)′＝－6（3x －1）3，故选C. 4．己知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝__________ . 解析：因为f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1，所以f ′(1)＝32. 答案：325．设曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝__________．解析：由题意知y ′|x ＝0＝a e ax |x ＝0＝a ＝2.答案：2[A 基础达标]1．(多选)下列函数是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x ＋1 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4解析：选BCD.A 中的函数是一个多项式函数；B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数；C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u 的复合函数；D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选BCD.2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5的导数为( )A ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4B ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xC ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2D ．y ′＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x解析：选C.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5是函数y ＝u 5与u ＝x ＋1x 的复合函数，所以y ′x＝y ′u ·u ′x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2.3．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D.x 2x ＋5解析：选 B.y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 4．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B.设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln （x 0＋a ），解得x 0＝－1，a ＝2.5．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13 B.12 C.23 D ．1解析：选A.y ′|x ＝0＝－2e －2×0＝－2，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝x ，解得x ＝y ＝23，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，所以围成的三角形的面积为12×23×1＝13.6．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是__________． 解析：因为y ＝sin 2x cos 3x ， 所以y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′ ＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x .答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x7．曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线的斜率为__________．解析：y ′x ＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1，1)处的切线的斜率为2.答案：28．若y ＝f (x )＝(2x ＋a )2且f ′(2)＝20，则a ＝________．解析：令u ＝2x ＋a ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 2)′(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )，则f ′(2)＝4(2×2＋a )＝20，所以a ＝1.答案：19．求函数y ＝a sin x3＋b cos 22x (a ，b 是常数)的导数．解：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＝a cos x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝a 3cos x 3，又(cos 22x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 4x ′＝12(－sin 4x )×4＝－2sin 4x ，所以y ＝a sin x3＋b cos 2 2x 的导数为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x 3－2b sin 4x .10．曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0，1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．解：由y ′＝(e 2x cos 3x )′ ＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋e 2x (－3sin 3x ) ＝e 2x (2cos 3x －3sin 3x )， 得y ′|x ＝0＝2.则切线方程为y －1＝2(x －0)， 即2x －y ＋1＝0.因为直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，两平行线间的距离d ＝|c －1|5＝5⇒c ＝6或c ＝－4.故直线l 的方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.[B 能力提升]11．己知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：选D.y ′＝－4e x （e x ＋1）2＝－4e x （e x ）2＋2e x ＋1＝－4e x ＋1ex ＋2. 因为e x＋1e x ≥2，所以e x ＋1e x ＋2≥4， 所以y ′∈[－1，0)，即tan α∈[－1，0)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 12．在等比数列{}a n 中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝__________．解析：因为f ′(x )＝x ′(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋x (x －a 1)′(x －a 2)·…·(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)′＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋x (x －a 2)·…·(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 7)，所以f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1a 8)4＝84＝4 096.答案：4 09613．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________．解析：设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x .因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝2，即所求的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案：2x －y ＝014．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )．(1)求切线l 的方程；(2)求S (t )的解析式．解：(1)因为y ＝e －x ，所以y ′x ＝(e －x )′＝－e －x ，当x ＝t 时，y ′x ＝－e －t .故切线方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )，即x ＋e t y －(t ＋1)＝0.(2)令y ＝0，得x ＝t ＋1.令x ＝0，得y ＝e －t (t ＋1)．所以S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t (t ≥0)．[C 拓展探究]15．设曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离．解：作出直线l ：2x －y ＋3＝0和曲线y ＝ln(2x －1)的图象可知它们无公共点，所以平移直线l ，当l 与曲线相切时，切点到直线l 的距离就是曲线上的点到直线l 的最短距离，y ′＝12x －1(2x －1)′＝22x －1. 设切点为P (x 0，y 0)，所以22x 0－1＝2，所以x 0＝1， 所以y 0＝ln(2×1－1)＝0，P (1，0)．所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离为P (1，0)到直线l ：2x －y ＋3＝0的距离，|2×1－0＋3|22＋12＝55＝ 5.最短距离d＝。
第2章 §5 简单复合函数的求导法则
§5简单复合函数的求导法那么1.理解复合函数的概念.(难点)2.掌握复合函数的求导法那么.(重点)3.能利用复合函数的求导法那么求简单复合函数的导数.(重点、难点)[根底·初探]教材整理1复合函数的概念阅读教材P49倒数第2行以上局部，完成以下问题.一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量.以下函数不是复合函数的是()A.y＝－x3－1x＋1 B.y＝cos⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4C.y＝1ln x D.y＝(2x＋3)4【解析】A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋π4，y＝cos u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝1u的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，应选A.【答案】 A教材整理2复合函数的求导法那么阅读教材P49最后两行至P50局部，完成以下问题.复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积.(ln 2x)′等于()A.12x B.1x C.1x ln 2 D.ln 2x【解析】(ln 2x)′＝12x(2x)′＝1x.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们〞讨论交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]复合函数的定义指出以下函数是怎样复合而成的.(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.【精彩点拨】分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系.【自主解答】(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的.(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的.(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的.判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数构造是以根本函数为主要构造的，各层的中间变量构造也都是根本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量x的根本函数或关于自变量x的根本函数经过有限次运算而得到的函数.[再练一题]1.指出以下函数由哪些函数复合而成.(1)y＝ln x；(2)y＝e sin x；(3)y＝cos(3x＋1).【解】(1)y＝ln u，u＝x.(2)y＝e u，u＝sin x.(3)y＝cos u，u＝3x＋1.求复合函数的导数求以下函数的导数.(1)y＝e2x＋1；(2)y＝1〔2x－1〕3；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.【精彩点拨】先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导.【自主解答】(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝e u和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·u x′＝(e u)′(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)函数y＝1〔2x－1〕3可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·u x′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－6〔2x－1〕4.(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝－5u ln 2＝5〔x－1〕ln 2.(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数.∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u2·cos x＋3cos v＝3sin2x cos x＋3cos 3x.1.解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)假设是复合函数，不能正确判断它是由哪些根本初等函数复合而成.2.复合函数求导的步骤[再练一题]2.求以下函数的导数.(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x ； (3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3；(4)y ＝102x ＋3. 【解】 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，那么y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝(1－2x )-12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，那么y x ′＝y u ′·u x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12u -32·(－2) ＝(1－2x ) -32＝1〔1－2x 〕1－2x .(3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数，那么y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，那么y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(2ln 10)102x ＋3.[探究共研型]复合函数导数的应用探究1 求曲线y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在x ＝π6处切线的斜率.【提示】 ∵y ′＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴切线的斜率k ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝－2. 探究2 求曲线y ＝f (x )＝e 2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程. 【提示】 ∵f ′(x )＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2， ∴曲线y ＝e 2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程为y －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 即2x －y ＋2＝0. 函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，假设直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，务实数a 的值.【精彩点拨】 求出导数f ′(1)，写出切线方程，由直线l 与圆C 相切，建立方程求解.【自主解答】 因为f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)， 所以f ′(1)＝2a －2，所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的间隔 等于半径，即d ＝|2－a |4〔a －1〕2＋1＝12，解得a ＝118. 关于复合函数导数的应用及其解决方法1.应用复合函数导数的应用主要有：求在某点处的切线方程，切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.2.方法先求出复合函数的导数，假设切点，那么求出切线斜率、切线方程；假设切点未知，那么先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用.[再练一题]3.曲线y ＝f (x )＝e sin x 在(0，1)处的切线与直线l 平行，且与l 的间隔 为2，求直线l 的方程.【导学号：94210048】【解】 设u ＝sin x ，那么f ′(x )＝(e sin x )′＝(e u )′(sin x )′＝cos x e sin x .f ′(0)＝1.那么切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.假设直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0.两平行线间的间隔 d ＝|c －1|2＝2⇒c ＝3或c ＝－1.故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.[构建·体系]复合函数的求导—⎪⎪⎪⎪—复合函数的概念—复合函数的求导法那么—应用 1.函数y ＝cos (－x )的导数是( )A.cos xB.－cos xC.－sin xD.sin x【解析】 y ′＝－sin (－x )(－x )′＝－sin x .【答案】 C2.假设f (x )＝e 2x ln 2x ，那么f ′(x )＝( )A.e 2x ln 2x ＋e 2x 2xB.e 2x ln 2x ＋e 2x xC.2e 2x ln 2x ＋e 2x xD.2e 2x ·1x【解析】 f ′(x )＝(e 2x )′ln 2x ＋e 2x (ln 2x )′＝2e 2xln 2x ＋e 2x x . 【答案】 C3.f (x )＝ln(3x －1)，那么f ′(1)＝________.【解析】 f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1， ∴f ′(1)＝32.【答案】 324.设曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，那么a ＝________.【导学号：94210049】【解析】 令y ＝f (x )，那么曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax )′＝(e ax )·(ax )′＝a e ax ，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.【答案】 25.求以下函数的导数.(1)y ＝cos(x ＋3)；(2)y ＝(2x －1)3；(3)y ＝e －2x ＋1.【解】 (1)函数y ＝cos(x ＋3)可以看做函数y ＝cos u 和u ＝x ＋3的复合函数， 由复合函数的求导法那么可得y x ′＝y u ′·u x ′＝(cos u )′·(x ＋3)′＝－sin u·1＝－sin u＝－sin(x＋3).(2)函数y＝(2x－1)3可以看做函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，由复合函数的求导法那么可得y x′＝y u′·u x′＝(u3)′·(2x－1)′＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.我还有这些缺乏：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些复合函数的求导公式有哪些呢?想来绝大部分的人都不知道，为了满足大家的好奇心。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数求导公式有哪些链式法则(英文chain rule)是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。
所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。
如设f(x)=3x，g(x)=3x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g′(f(x))=9。
要注意f(x)的自变量x与g(x)的自变量x之间并不等同。
链式法则(chain rule)若h(a)=f[g(x)]则h'(a)=f'[g(x)]g'(x)链式法则用文字描述，就是"由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。
"拓展阅读：复合函数的奇偶性复合函数中只要有偶函数则复合函数为偶函数，如一奇一偶为偶;若只有奇函数则复合函数为奇函数，无论奇数个还是偶数个，如两奇仍为奇。
1、f(x)*g(x)*h(x)这种相乘的复合函数。
奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。
奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。
2、f(g(h(x)))这种多层的复合函数。
函数中的有偶数，复合函数就是偶函数。
函数中的没有偶数，奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。
函数中的没有偶数，奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。
复合函数的单调性的判断方法复合函数单调性就2句话：2个函数(或多个)都递增或者都递减那么复合函数就是单调递增函数2个函数一个递增一个递减那么复合函数就是单调递减函数简单记法：负负得正,正在得正,负正得负。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
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1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
第2章 §5 简单复合函数的求导法则
§5简单复合函数的求导法则学习目标 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导运算(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．知识点一复合函数的概念已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考1这三个函数都是复合函数吗？答案函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数．思考2试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？答案设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．梳理一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量．知识点二复合函数的求导法则(1)复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)．(2)复合函数求导的步骤①适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系y＝f(u)，u＝φ(x)．②分步求导：要特别注意中间变量对自变量求导，先求f′(u)，再求φ′(x)．③计算f′(u)·φ′(x)，并把中间变量代入原变量的函数．1．函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.(×)2．函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．(×)3．函数y＝cos(3x＋1)由函数y＝cos u，u＝3x＋1复合而成．(√)类型一 复合函数的概念 例1 指出下列函数的复合关系． (1)y ＝(a ＋bx )x ；(2)y ＝ln 3e x ＋2； (3)y ＝3log 2(x 2－2x ＋3)；(4)y ＝sin 3⎝⎛⎭⎫x ＋1x . 考点 简单复合函数的导数 题点 复合函数的概念 解 函数的复合关系分别是： (1)y ＝u x ，u ＝a ＋bx .(2)y ＝ln u ，u ＝3v ，v ＝e x ＋2. (3)y ＝3log 2u ，u ＝x 2－2x ＋3. (4)y ＝u 3，u ＝sin v ，v ＝x ＋1x.反思与感悟 要对复合函数分层，应先准确把握住复合函数的特点，才能选择中间变量，写出构成它的内、外层函数．跟踪训练1 下列函数不可以看成是复合函数的是( ) A ．y ＝x cos x B ．y ＝1ln xC ．y ＝(2x ＋3)4D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x考点 简单复合函数的导数 题点 复合函数的概念 答案 A解析 B 中函数y ＝1ln x 是由函数f (u )＝1u和函数u ＝φ(x )＝ln x 复合而成的，其中u 是中间变量；C 中函数y ＝(2x ＋3)4是由函数f (u )＝u 4和函数u ＝φ(x )＝2x ＋3复合而成的，其中u 是中间变量；D 中函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是由函数f (u )＝sin u 和函数u ＝φ(x )＝π2－x 复合而成的，其中u 是中间变量．故选A. 类型二 复合函数的求导例2 求下列函数的导数： (1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln(6x ＋4)； (3)y ＝e 2x ＋1；(4)y ＝2x －1；(5)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4；(6)y ＝cos 2x . 考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数解 (1)y ′＝2×(3x －2)·(3x －2)′＝6×(3x －2) ＝18x －12.(2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2.(3)y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1. (4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1 .(5)y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4·⎝⎛⎭⎫3x －π4′＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. (6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x .反思与感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导． 跟踪训练2 求下列函数的导数． (1)y ＝ln 3xe x ；(2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x，∴y ′＝(ln 3x )′e x －(ln 3x )(e x )′(e x )2＝1x －ln 3x e x ＝1－x ln 3x x e x .(2)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x2. (3)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′ ＝－12sin 4x －x2cos 4x ·4＝－12sin 4x －2x cos 4x .类型三 复合函数导数的应用例3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切，求a ，b 的值． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点， 可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1. 由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率． 由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.反思与感悟 复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 解 由y ＝e sin x ，得y ′＝(e sin x )′＝cos x e sin x ， 即当x ＝0时，y ′＝1，则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0. 两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2，得c ＝3或c ＝－1.故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x 2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5) D.x 2x ＋5考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数答案 B解析 y ′＝[x ln(2x ＋5)]′ ＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′ ＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.2．设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln 2B ．－ln 2 C.ln 22 D ．－ln 22考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 A解析 f ′(x )＝e x －a ·e －x ， 由f ′(x )为奇函数可得a ＝1， 故f (x )＝e x ＋e －x ，f ′(x )＝e x －e －x . 设点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率为32，则0e x－0ex －＝32，解得x 0＝ln 2. 3．已知函数f (x )＝ax 2－1，且f ′(1)＝2，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．a >0 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 B解析 由题意得f ′(x )＝12·(ax 2－1)12-·2ax ＝ax ax 2－1，所以f ′(1)＝a a －1＝2，所以a ＝2.故选B.4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π9＝________. 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 3 3解析 ∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ， ∴f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9·3cos 3x －3sin 3x ， 令x ＝π9可得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝f ′⎝⎛⎭⎫π9×3cos π3－3sin π3 ＝32f ′⎝⎛⎭⎫π9－3×32， 解得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝3 3.5．曲线y ＝2e x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 e 2解析 y ′＝122e x，切线的斜率k ＝12e 2，则切线方程为y －e 2＝e 22(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2， ∴切线与坐标轴围成三角形的面积为 12×2×|－e 2|＝e 2.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键．一、选择题1．函数y ＝2sin 3x 的导数y ′等于( ) A ．2cos 3x B ．－2cos 3x C ．6sin 3xD ．6cos 3x考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 D解析 y ′＝2(cos 3x )·(3x )′＝6cos 3x .2．已知函数f (x )＝24x －3，则f ′⎝⎛⎭⎫14的值是( ) A.14 B.14ln 2 C ．ln 2D ．1考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 C解析 ∵f ′(x )＝24x －3·ln 2·(4x －3)′＝24x －1·ln 2，∴f ′⎝⎛⎭⎫14＝ln 2.3．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 D解析 y ′＝a －1x ＋1，由题意得当x ＝0时，y ′＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 4．曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D ．1考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 A解析 ∵当x ＝0时，y ′＝－2e －2×0＝－2，∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝x ，得x ＝y ＝23，∴A ⎝⎛⎭⎫23，23，则围成的三角形的面积为12×23×1＝13.5．若f (x )＝e 2x ln 2x ，则f ′(x )等于( ) A ．e 2xln 2x ＋e 2x2xB ．e 2xln 2x ＋e 2xxC ．2e 2xln 2x ＋e 2xxD ．2e 2x ·1x考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 C解析 f ′(x )＝(e 2x )′ln 2x ＋e 2x (ln 2x )′＝2e 2x ln 2x ＋1xe 2x .6．已知函数f (x )＝e ax ＋3x (x ∈R )，a 为实数，若f ′(x )＝0有大于零的解，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3 C ．a >－13 D ．a <－13考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 B解析 ∵f ′(x )＝a e ax ＋3， 由a e ax ＋3＝0，得e ax ＝－3a (a <0)．又f ′(x )＝0有大于零的解， ∴0<－3a<1，∴a <－3.7．要得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导函数f ′(x )的图像，只需将f (x )的图像( )A ．向右平移π2个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)B ．向左平移π2个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)C ．向右平移π4个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)D ．向左平移π4个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 D解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导函数f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3， ∴将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f ′(x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3的图像． 二、填空题8．函数y ＝cos(π－3x )的导数y ′＝________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 3sin 3x解析 ∵y ＝－cos 3x ，∴y ′＝－(－sin 3x )·(3x )′＝3sin 3x . 9．曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率为________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 2解析 y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1， 故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(1＋1)e 1－1＝2.10．若y ＝f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 1解析 令u ＝2x ＋a ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )，则f ′(2)＝4(2×2＋a )＝20，∴a ＝1.11．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，0e x －)，当x ＝x 0时，y ′＝－0ex －＝－2，得x 0＝－ln 2，∴P (－ln 2,2)． 12．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 2解析 设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎨⎧ 1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＝－1，a ＝2.三、解答题13．曲线y ＝e 2x cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 由y ′＝(e 2x cos 3x )′＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x )′＝2e 2x cos 3x ＋e 2x (－3sin 3x )＝e 2x (2cos 3x －3sin 3x )，得当x ＝0时，y ′＝2.则切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，两平行线间的距离d ＝|c －1|5＝5，得c ＝6或c ＝－4. 故直线l 的方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.四、探究与拓展14．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 2x －y ＝0解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x .因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝2，即所求的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.15．求曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 作出直线l ：2x －y ＋3＝0和曲线y ＝ln(2x －1)的图像(图略)可知它们无公共点，所以平移直线l ，当l 与曲线相切时，切点到直线l 的距离就是曲线上的点到直线l 的最短距离，y ′＝12x －1(2x －1)′＝22x －1. 设切点为P (x 0，y 0)，所以22x 0－1＝2，所以x 0＝1， 所以y 0＝ln(2×1－1)＝0，即P (1,0)．所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离为P (1,0)到直线l ：2x －y ＋3＝0的距离，最短距离d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝55＝ 5.。
简单复合函数的导数
• 分解——求导——相乘——回代
课后作业：
课本 P24 练习 No.2；
课本 P26 习题1.2 No.2、7、13.
求下列函数的导数：
(1) y (2x 3)3; (2) y ln(5x 1) (3) y 1 ; (4) y cos(1 2x)
3x 1
例写出由下列函数复合而成的函数,并 求它们的导数。
⑴ y cosu u 1 x2
⑵ ； y ln， u
u， ln x
．
解：⑴
y cos(1 x 2 )
[ f (x)] g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x) g 2 ( x)
其中g(x) 0
简单复合函数 的导数
楚水实验学校高二数学备课组
复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．
由函数 y f (u)与 u (x) 复合而成
的函数一般形式是 y f [(x)]
，其中u称为中间变量．
法则2:
[Cf (x)] Cf (x).(C为常数)
法则3:两个函数的积的导数，等于
第一个函数的导数乘以第二个函数
加 乘 上第一个函数 以第二个函数
的导数
[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x).
法则4 :两个函数的商的导数，等于分 子的导数与分母的积，减去分母的导数 与分子的积，再除以分母的平方,即：
2 cos2 x 2 sin 2 x
2 cos2x
另一方面： 将函数 y sin 2x
看作是函数 y sin u
和函数 u 2x
分 解
复合函数，并分别求对应变量的导数如下：
yu (sin u) cosu ux (2x) 2
简单复合函数的导数
跟踪训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝sin23x；
解
方法一
1－cos ∵y＝ 2
2 3x，
∴y′＝12－cos2 32x′＝13sin
2 3x.
方法二 y′＝2sin 3xcos 3x·13
＝23sin
x 3cos
3x＝13sin
2 3x.
(2)y＝sin3x＋sin x3；
解 y′＝(sin3x＋sin x3)′ ＝(sin3x)′＋(sin x3)′ ＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2 ＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
(3)y＝sin2x＋π3.
解 设 y＝sin u，u＝2x＋π3， 则 yx′＝(sin u)′2x＋π3′＝cos u·2＝2cos2x＋π3.
二、复合函数与导数的运算法则的综合应用
例2 求下列函数的导数： (1)y＝lne3x x；
解 ∵(ln 3x)′＝31x×(3x)′＝1x，
∴y′＝ln
(3)y＝xln(1＋x).
解 y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′ ＝ln(1＋x)＋1＋x x.
3 随堂演练
1.(多选)下列函数是复合函数的是
A.y＝－x3－1x＋1
√C.y＝ln1x
√B.y＝cosx＋π4 √D.y＝(2x＋3)4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(3)y＝log2(2x＋1)；
解 设y＝log2u，u＝2x＋1， 则 yx′＝yu′ux′＝ul2n 2＝2x＋21ln 2.
(4)y＝e3x＋2.
解 设y＝eu，u＝3x＋2， 则yx′＝(eu)′·(3x＋2)′ ＝3eu＝3e3x＋2.
简单复合函数的求导法则(最经典)——王彦文()
y ' 2x2 1 x2
y ' 1 1 cos x 2
y ' x cos x x sin x 2x
y ' cos x sin2 x
14:35:40
二、讲授新课：
1.复合函数的概念:
对于函数y f ((x)), 令u (x),
若y f (u)是中间变量u的函数，
u (x)是自变量x的函数，则称 y f ((x))是自变量x的复合函数.
yu 2u 6x 4 ; ux 3 ;
分析三个函数解析式以及导数
yu , ux ,
y
' x
之间的关系: y' yx' yu ux
14:35:40
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，
则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 yx yu ux，或 yx f (u) (x)
复习检测
复习检测
复习检测
分析：(sin x) cos x (sin 2x)cos 2x ?
解1：yx (sin 2x) (2sin xcos x)
2(cosxcosxsin xsin x) 2cos 2x
解2： y sin 2x 可由y=sinu,u=2x复合而成
yu cosu,ux 2
yu .ux 2cosu 2cos2x yx yu ux =2cos2x
y x 1
y ax ln a
y ex
y 1 x ln a
y 1 x
y cosx
y sin x
y
1 c os2
x
2.导数的四则运算法则：
设函数 u(x)、v(x) 是 x 的可导函数,则
简单复合函数的求导法则
简单复合函数的求导法则复合函数的求导是微积分中的重要概念之一，常用于解决实际问题中的导数计算。
在本文中，将介绍简单复合函数和复合函数的求导法则，以及一些例题的解答。
简单复合函数指的是由一个基本函数和一个简单函数复合而成的函数。
例如，如果有一个函数y=f(u)和另一个函数u=g(x)，那么可以通过将这两个函数进行复合得到一个新的函数y=f(g(x))。
我们可以使用链式法则来计算这个复合函数的导数。
链式法则是求导中最基本的方法之一，它可以帮助我们计算复合函数的导数。
链式法则的表达式为：(dy/dx) = (dy/du)*(du/dx) 或者 f'(g(x))=f'(u)*g'(x)其中，dy/dx表示函数y关于x的导数，dy/du表示函数y关于u的导数，du/dx表示函数u关于x的导数。
举个例子，如果y=sin(3x)和u=3x，那么我们可以将它们复合为y=sin(u)，然后利用链式法则求导。
首先通过求导公式得到dy/du=cos(u)，然后通过将du/dx代入得到dy/dx=cos(u)*3、因此，我们得出了函数y=sin(3x)的导数为dy/dx=3*cos(3x)。
复合函数指的是由两个以上的函数复合而成的函数。
与简单复合函数不同，复合函数的求导需要使用多次链式法则来计算。
下面是一些常见的复合函数求导法则：1.和法则如果一个函数可以表示为两个函数之和的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之和。
即，如果y=f(x)+g(x)，那么dy/dx=f'(x)+g'(x)。
比如，对于函数y=x^2+3x，我们可以将其分解为f(x)=x^2和g(x)=3x两个函数的和。
然后分别求导得到f'(x)=2x和g'(x)=3、最后，将两个导数相加得到dy/dx=2x+32.差法则如果一个函数可以表示为两个函数之差的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之差。
复合函数怎么求导
复合函数求导公式什么？怎么求导？
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；②设
u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
两个函数商的复合函数可导的前提条件是作分母的函数即g(x)≠0，否则无意义。
复合函数求导，就是找出构成复合函数的子函数，一个复合函数可以拆分成无数种子函数。
对于复合函数自身带有幂指对这类较为难求导的函数，一般来说会以它为中心进行化简，即最终子函数能够很容易求出复合函数中的幂指对。
将复合函数的本框架作为原函数，化好子函数后，就是求导过程，划出来的函数全部求导，代入即可。
简单复合函数的导数 课件-高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册
)
x
(
1
x
)
.
2
5 1 x
1 x
5 1 x
(1 x)
5
1
2 2
2
2
2
y
(2
x
3)
1
x
(2
x
3)(1 x ) ;
解:
1
2 2
讲
课
人
：
邢
启
强
1
1
y 4 x(1 x ) (2 x 2 3) (1 x 2 ) 2 2 x
2
2
3
即曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 5.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,
所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
讲
课
人
：
邢
启
强
13
典型例题
例4(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(
A. 5
B.2 5
C.3 5
)
D.0
(2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=
.
分析:(1)设 P(x0,y0)→由 y'|= =2 求P(x ,y )→由点到直线的距离求最小值
5.2.3简单复合函数的导数课件(人教版)
y通过中间变量u表示成x的函数.
复合函数
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u， y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和 u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
试一试
指出以下函数是由哪些函数复合而成的？
（1）y＝log2(x＋1) （2）y＝(3x+5)3
（3）y＝e－0.05x＋1
y=log2u和u=x+1 y=u3和u=3x+5 y=eu和u=－0.05x+3
探究:如何求复合函数的导数？以函数 y=sin2x 为例，研究其导数.
y′ =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2 (sinxcosx)′ =2[ (sinx)′cosx + sinx (cosx)′] = 2[cos2x-sin2x]=2cos2x
特别地，[cf ( x)] ___cf__(_x_)__；
f (x)
f ( x)g( x) f ( x)g( x)
(3)
g(
x)
[g( x)]2
.
学习新知
思考 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？
LOGO
函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无 法用现有的方法求它的导数.
[解] 解法一：f′(x)＝2f′(2－x)·(2－x)′－2x＋8＝－2f′(2－x)－2x＋8， 则f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，得f′(1)＝2. 又f(1)＝2f(1)－1＋8－8，得f(1)＝1， 故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1.
巩固练习 1.曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________.
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简单复合函数的导数
一、基础知识梳理： （一）常用的求导公式
11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1
7.()log ,'()(0,1);
ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a
-========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x
==
则
（二）复合函数的求导数公式 若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则
2
)()()()(v v
u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'=''
=''+'='⋅'±'='±
（三）复合函数求导法则
1、二重复合：若)(u f y =， )(x u φ= 且)(x u φ=在点x 处可导。
则)()('•'='x u f y φ
2、多次复合函数求导法则类推
二、典型例题分析：
例1、求下列函数的导数；
1）、3
(23)y x =- 2）、ln(51)y x =+
练习：求下列函数的导数
1）、2
(23)y x =+ 2）、3
(13)y x =-
例2、求下列函数的导数； 1）、1
31
y x =
- 2)、cos(12)y x =-
练习：求导数； 1）、1ln y x
= 2）、2x y e =
3）、求曲线sin 2y x =在点P （,0π）处的切线方程。
例题3 已知(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1f f g g ==== ，根据下列条件 求(5)h 及'(5)h 1）、()3()2()h x f x g x =+ 2）、 ()()()1h x f x g x =+
3）、()2
()()
f x h x
g x +=
巩固练习 1.函数y =
2
)13(1
-x 的导数是
A.3)13(6-x
B.2)13(6-x
C.－3)13(6-x
D.－2
)
13(6
-x
2.已知y =
2
1
sin2x +sin x ,那么y ′是 A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值，又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数
3.函数y =sin 3(3x +
4π
)的导数为 A.3sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) B.9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π
)
C.9sin 2(3x +4π)
D.－9sin 2(3x +4π)cos(3x +4
π
)
4.函数y =cos(sin x )的导数为
A.－［sin(sin x )］cos x
B.－sin(sin x )
C.［sin(sin x )］cos x
D.sin(cos x )
5.函数y =cos2x +sin x 的导数为
A.－2sin2x +
x
x
2cos B.2sin2x +
x
x 2cos
C.－2sin2x +x
x 2sin D.2sin2x －
x
x 2cos
6.过曲线y =
11+x 上点P （1，2
1
）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为 A.2y －8x +7=0
B.2y +8x +7=0
C.2y +8x －9=0
D.2y －8x +9=0
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
8.曲线y =sin3x 在点P （3
π
,0）处切线的斜率为___________.
9.函数y =x sin(2x －2π)cos(2x +2
π
)的导数是 .
10.函数y =)3
2cos(π
-x 的导数为 .
11.函数
y =cos 3
x 1
的导数是___________.
复合函数的导数
1.C
2.B
3.B
4.A
5.A
6.A
7.y =u 3,u =1+sin3x
8.－3
9.y ′=21sin4x +2x cos4x 10.)
3
2cos()
32sin(π
π
---x x 11.x x x 1sin 1cos 122⋅
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。