矩阵讲义

§1 矩阵及其运算

教学要求：理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵（比如零矩阵，单位矩阵，对称矩阵和反对称矩阵 ) 的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同。能熟练正确地进行矩阵的计算。

知识要点：

一、矩阵的基本概念

矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素

在矩阵中的位置。比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。

特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。

当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，

则称为单位矩阵，记为，即：。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，是一个阶下三角矩阵，而则

是一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成的集合，而用或者

表示数域上的阶方阵构成的集合。

二、矩阵的运算

1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：。

给定矩阵，我们定义其负矩阵为：。这样我们可以定义同型矩阵的减法为：。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：

（ 1）交换律：；

（ 2）结合律：；

（ 3）存在零元：；

（ 4）存在负元：。

2 、数与矩阵的乘法：

设为一个数，，则定义与的乘积仍为中的一个矩阵，中的元素就是用数乘中对应的元素的道德，即。由定义可知：。容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律：

（1 ）；

（2 ）；

（3 ）；

（4 ）。

3 、矩阵的乘法：

设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵德列数等与矩阵

的行数），所得的积为一个距阵，即，其中，并且

。

据真的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：

（ 1）结合律：；

（ 2）左分配律：；

（ 3）右分配律：；

（ 4）数与矩阵乘法的结合律：；

（ 5）单位元的存在性：。

若为阶方阵，则对任意正整数，我们定义：，并规定：由于矩阵乘法满足结合律，我们有：，。

注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：

（1 ）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便有意义，也未必有意义；倘使都有意义，二者也未必相等（请读者自己举反例）。正是由于这个原因，一般来讲，，。

（2 ）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即未必能推出或者（请读者自己举反例）。

（3 ）消去律部成立：如果并且，未必有。

4 、矩阵的转置：

定义：设为矩阵，我们定义的转置为一个矩阵，并用表示的转

置，即：。矩阵的转置运算满足下列运算律：

（1 ）；

（2 ）；

（3 ）；

（4 ）。

5、对称矩阵：

定义1.11 阶方阵若满足条件：，则称为对称矩阵；若满足条件：，则称为反对称矩阵。若设，则为对称矩阵，当且仅当对任意的成立；为反对称矩阵，当且仅当对任意的成立。从而反对称局针对角线上的元素必为零。对称矩阵具有如下性质：

（1 ）对于任意矩阵，为阶对称矩阵；而为阶对称矩阵；

（2 ）两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；

（3 ）如果两个同阶（反）对称矩阵可交换，即，则它们的乘积必为对称矩阵，即。思考题：

1 、设为第个分量为，而其余分量全为零的维列向量，为第个分量为，而其余分量全为零的维列向量，为矩阵，试计算；

2 、设 为 阶方阵，并且对任意 有 ，你能得出什么结论？

2 矩阵与矩阵相乘

我们先来举例说明矩阵乘法的实际意义。

假如有甲、乙、丙三个商店某年销售同样三种商品的数量（单位：万件）分别为：4，6，8；5，4，3；5，9，7。它们可表示为矩阵

，

上述三种商品的单价分别为每万件2，5，7万元，纯利润分别为每万件1.9, 4 .8, 6.7万元。那么全年这三个商店销售该三种商品的总销售额可由下列算式给出： 甲商店为 4×2 + 6×5 + 8×7 = 94， 乙商店为 5×2 + 4×5 + 3×7 = 51， 丙商店为 5×2 + 9×5 +7×7 = 104。 其总的纯利润可用下列算式给出： 甲商店为 4×1.9 + 6×

4.8 + 8×6.7 = 90, 乙商店为 5×

1.9 + 4×4.8 + 3×6.7 = 48.8, 丙商店为 5×1.9 + 9×4.8 + 7×6.7 = 99.6。 若记

，

三个商店全年的销售额、纯利润用C （第一列为销售额，第二列为纯利润）表示，则上述运算规则可以写成：

=

. 468543597A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

2 1.95 4.87 6.7B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

4682 1.95435 4.85977 6.7AB ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4265874 1.96 4.88 6.75245375 1.94 4.83 6.75295775 1.99 4.87 6.7⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⎛⎫

⎪=⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⎝⎭

94905148.810499.6⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

C =