专题06 利用函数性质解决抽象函数不等式-学会解题之高三数学万能解题模板(2021版)(原卷版)

学习界的专题06 利用函数性质解决抽象函数不等式

【高考地位】

函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。

确定抽象函数单调性解函数不等式

例1 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的实数x1 , x2 ，且x1 ≠x2 ，不等式

x

1

f(x1)+x2f(x2)

【变式演练 1】【辽宁省辽西联合校 2020-2021 学年高三（上）期中】已知函数 f ( x) =

f(log2x-1)≤f(3)的解集为（）

x2

x2 +1

，则不等式

A．[4, +∞) B．⎛1

, 4

⎫

C．

⎡1

,16

⎤

D．

⎡1

,16

⎤

2 ⎪ ⎢8 ⎥ ⎢4 ⎥ ⎝⎭⎣⎦⎣⎦

1 1 【变式演练 2】【江西省赣州市部分重点中学 2021 届高三上学期期中考试文科】已知定义在[1, +∞) 上的函数 f (x ) 满足 f (x ) + x ln xf '(x ) < 0 且 f (2021) = 0 ，其中 f ' (x ) 是函数 f ( x ) 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式 f ( x ) > 0 的解集为（ ）

A ．

(1, 2021) B ． (2021, +∞) C ． (1, +∞) D ．

[1, 2021)

【变式演练 3】定义在非零实数集上的函数 f (x ) 满足 f (xy ) = f (x ) + f ( y ) ，且 f (x ) 是区间(0, +∞) 上的

递增函数．

（1）求 f (1), f (-1) 的值；

（2）求证： f (-x ) = f (x ) ；

（3）解不等式 f (2) + f (x - 1 ) ≤ 0 ．

2

【 变式 演 练 4 】 定 义在 (-1,1) 上 的函 数 f (x ) 满 足下 列 条件 ： ① 对 任意 x , y ∈ (-1,1) ， 都有

f (x ) + f ( y ) = f ( x + y

) ；②当 x ∈(-1, 0) 时，有 f ( x ) > 0 ，求证：

1+ x + y

（1） f (x ) 是奇函数；

（2） f (x ) 是单调递减函数；

（3） f ( ) + 11 1 1 f ( ) + + f ( ) > f ( ) ，其中 n ∈ N * ． 19 n + 5n + 5 3

【高考再现】

1. 【2020 年高考浙江卷 9】已知 a , b ∈ R 且 ab ≠ 0 ，若

( x - a )( x - b )( x - 2a - b ) ≥ 0 在 x ≥ 0 上恒成立，

则 （ ）

A. a < 0

B. a > 0

C. b < 0

D. b > 0

2. 【2020 年高考北京卷 6】已知函数 f (x ) = 2x

- x -1，则不等式 f ( x ) > 0 的解集是

（ ）

A ． (-1 , 1)

B ． (-∞ , -1) (1 , + ∞)

C ． (0 , 1)

D ． (-∞ , 0) (1 , + ∞)

2

3.【2020 年高考山东卷8】若定义在R 上的奇函数f (x) 在(-∞, 0) 单调递减，且f (2) = 0 ，则满足xf (x -1) ≥ 0

的x 的取值范围是（）A．[-1 ,1] [3 , +∞) B．[-3 , -1] [0 , 1] C．[-1 , 0] [1 ,+∞) D．[-1 , 0] [1 , 3]

4.【2017 全国卷一理】函数 f (x)在(-∞，+∞)单调递减，且为奇函数．若 f (1)=-1，则满足-1≤f (x - 2)≤1的x 的取值范围是（）

A．[-2 ，2]B．[-1，1] C．[0 ，4] D．[1，3]

5【.2018年普通高等学校招生（江西卷）】已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0

A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b) C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)

6.【2014 辽宁理12】已知定义在[0,1] 上的函数f (x) 满足：

①f (0) =f (1) = 0 ；

②对所有 x, y ∈[0,1]，且 x ≠y ，有| f (x) -f ( y) |<1

| x -y | .

2

若对所有x, y ∈[0,1]，| f (x) -f ( y) |

1 1 A．B．

2 4

1 1 C．

2π

D．

8

7.【2018 年普通高校招生全国卷一】已知函数f (x)，任取两个不相等的正数x1 ，x2 ，总有

⎣⎡f(x1)-f(x2)⎤⎦(x1-x2)>0，对于任意的x > 0 ，总有f⎡⎣f(x)-ln x⎤⎦=1，若g (x)=f '(x )+f (x )-m 2 +m 有两个不同的零点，则正实数m 的取值范围为．

【反馈练习】

1.【山西省运城市2021 届高三（上）期中数学（理科）】已知函数f (x)=x5 + 3x3 +x + 2 ，若

f (a)+f (a - 2)> 4 ，则实数a 的取值范围是（）