第三章波动方程
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t
(1.17)
的形式。这样，由D Alembert公式（见上一章中的(4.13)式）可知，Cauchy问题(1.17)的 解为 1 w(t, x; τ ) = 2c
˜ x+ c t
f (τ, ξ )dξ =
˜ x− c t
1 2c
x+c(t−τ )
f (τ, ξ )dξ.
x−c(t−τ )
(1.18)
始速度，它所产生的振动可以由下面的具有非齐初始条件的齐次方程的Cauchy问题来 描述 wtt − c2 wxx = 0, t = ti : w = 0, wt = f (ti , x)∆ti . (1.12) (1.13)
记Cauchy问题(1.12)-(1.13)的解为w = w(t, x; ti , ∆ti )。利用叠加原理，非齐次项f (t, x)所 产生的总的效果可以看成是许多个这种瞬间作用的叠加。于是，Cauchy问题(1.1) (1.2)的解u = u(t, x)可以表示为
n
u(t, x) = lim
∆ti →0
w(t, x; ti , ∆ti ).
i=1
(1.14)
由于(1.12)是线性方程，所以w与∆ti 成正比，也就是说，如果记w(t, x; τ )为如下齐次方 程的Cauchy问题 w − c2 w = 0 (t > τ ), tt xx t = τ : w = 0, w = f (τ, x) t
i=1 0
w(t, x; τ )dτ.
这样，我们从另外一个角度重新得到定理1.1。 ˜= 下 面 我 们 给 出w(t, x; τ )的 具 体 表 达 式 。 为 此 ， 在Cauchy问 题(1.15)中 作 变 换t t − τ ，于是(1.15)便化为 w − c2 w = 0 (t ˜ > 0), xx ˜t ˜ t t ˜ = 0 : w = 0, w˜ = f (τ, x)
t
[f (τ, x + c(t − τ )) + f (τ, x − c(t − τ ))] dτ,
0
(1.20) (1.21) (1.22) (1.23)
utt = f (t, x) + ux = uxx = 于是，有 1 2c 1 2c
c 2
t 0 t
t
[fx (τ, x + c(t − τ )) − fx (τ, x − c(t − τ ))] dτ,
t t
(1.8)
ut (t, x) = w(t, x; t) +
0 t
wt (t, x; τ )dτ =
0 t
wt (t, x; τ )dτ. (1.9)
utt = wt (t, x; t) +
0
wtt (t, x; τ )dτ =
0 t
wtt (t, x; τ )dτ + f (t, x).
另一方面，有 uxx =
= f (t, x). 在上式中的第三个等式中我们利用了方程(1.3)。(1.11)表明u(t, x)确实满足方程(1.1)。 这样我们就证明了定理1.1。 齐次化原理也可以用下述方法得到。 我们知道，非齐次项f (t, x)表示时刻 t在 x处的单位质量所受的外力，而ut 表示 质 点 的 速 度 。 把 时 间 段[0, t]分 成 若 干 个 小 时 段∆ti = ti+1 − ti (i = 1, 2, · · · , n),在 每 个 小 时 段∆ti 中 ， 非 齐 次 项f (t, x)可 以 看 作 与 时 间t无 关 ， 并 以f (ti , x)来 表 示 。 由 F (ti , x) (这里F (ti , x)表示外力，而ρ是密度函数)，所以在时间段∆ti 内非齐 于f (ti , x) = ρ 次项所产生的速度改变是为f (ti , x)∆ti 。我们把这个速度改变量看作是在时刻ti 时的初 3
即u(t, x)满 足 初 始 条 件(1.2)式 。 因 此 ， 由(1.19)式 定 义 的 函 数u(t, x)的 确 是Cauchy问 题(1.1)-(1.2) 的解。
5
注记1.1 利用叠 . ，我们容易得到下述一般的Cauchy问题 .加 .理 .原 u − c2 u = f (t, x) (t > 0, x ∈ R), tt xx t = 0 : u = ϕ(x), u = ψ (x) (x ∈ R)
t
(1.7)
ut (t, x) = w(t, x; t) +
0
wt (t, x; τ )dτ,
于是，再利用(1.4)可知 ut |t=0 = w(0, x; 0) = 0. (1.7)和(1.8)两式表明初始条件(1.2)式成立。 下面我们证明由(1.6)式定义的函数u = u(t, x)满足方程(1.1)。 由(1.6)及(1.4)易知
0
[f (τ, x + c(t − τ )) − f (τ, x − c(t − τ ))] dτ, [fx (τ, x + c(t − τ )) − fx (τ, x − c(t − τ ))] dτ.
0
utt − c2 uxx = f (t, x), 即u(t, x)满足方程(1.1)。再由(1.19)式和(1.20)式可知 u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0,
(1.1) (1.2)
其中c > 0是一常数，表示波的传播速度，f (t, x)是一给定的函数，表示 t 时刻在 x 处单 位质点所受的外力。方程(1.1) 可用来描述强迫振动的弹性弦的微小振动。 为了求解Cauchy问题(1.1)-(1.2)，我们引入 wtt − c2 wxx = 0, t = τ : w = 0, wt = f (τ, x). 记Cauchy问题(1.3)-(1.4)的解为 w = w(t, x; τ ), 则我们有 定理 1.1 如果w = w(t, x; τ )是Cauchy问题(1.3)-(1.4)的解（其中τ 是参数），则Cauchy问 题(1.1)-(1.2) 的解可以表示为
第三章
波动方程
波动方程是最典型的一类双曲型方程，它可以用来描述自然界以及工程技术中的 波动现象，例如在研究波的传播以及弹性体振动时经常会遇到这类方程。本章我们 将介绍波动方程的一些基本概念，方法和结果。在第一节中我们介绍一维波动方程 的Cauchy问题，着重介绍线形方程的叠加原理和齐次化原理（或称Duhamel原理）。 在第二节中我们介绍一维波动方程的初边值问题，着重介绍一种常见的解法—分离变 量法。第三节中介绍高维波动方程的Cauchy问题，特别地，用球平均法导出三维波动 方程Cauchy问题的解的表达式，即Poisson 公式，进而用Hadamard 的降维方法导出了 二维波动方程相应的解的公式。在第三节的基础上，在第四节中我们研究了波动方程 解的一些性质，譬如波的传播方式、衰减性及其正则性等，进而发现不同维数的波动 方程的解的性质有着巨大差别。在第五节中，我们介绍了高维波动方程的具有一般初 始条件的一般的Cauchy问题以及高维波动方程的混合初边值问题。在第六节中，我们 利用能量估计（或称能量积分）的方法，讨论了波动方程Cauchy问题以及初边值问题 解的唯一性和稳定性。这种方法的基础是能量守恒原理。
0
wxx (t, x; τ )dτ.
t
(1.10)
于是， utt − c2 uxx =
0
t
wtt (t, x; τ )dτ + f (t, x) − c2
0
wxx (t, x; τ )dτ (1.11)
t
=
0
wtt (t, x; τ ) − c2 wxx (t, x; τ ) dτ + f (t, x)
再利用(1.6)式就可得到Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解为 u(t, x) = 1 2c
t 0 x+c(t−τ )
f (τ, ξ )dξdτ =
x−c(t−τ )
1 2c
f (τ, ξ )dξdτ,
Ω
(1.19)
4
其中区域Ω为(τ, ξ )−平面上过点(t, x)向下做两特征线与ξ −轴所围成的三角形区域(见 图1.1)。 τ 6 ξ − x = c(τ − t) Ω
t
(1.3) (1.4)
(1.5)
wenku.baidu.com
u(t, x) =
0
w(t, x; τ )dτ.
(1.6)
定理1.1被称为齐次化原理或Duhamel原理。 证明 首先我们验证由(1.6)式定义的函数u(t, x)满足初始条件(1.2)式。 2
由(1.6)式，显然有 u(0, x) = 0. 另一方面，从(1.6)式可得
其中F, G为任意的具有二阶连续导数的单变量函数，并由此求解它的初值问题： t = 0 : u = ϕ(x), ∂u = ψ (x). ∂t
2. 问初始条件ϕ(x)与ψ (x)满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传 播波组成？ 3. 利用传播波法，求解波动方程的古沙(Goursat)问题 2 2 ∂ u 2∂ u = a , ∂t2 ∂x2 u|x−at=0 = ϕ(x), u|x+at=0 = ψ (x) (其中ϕ(0) = ψ (0)). 4. 对非齐次波动方程的初值问题(1.24)，证明：当f (x, t)不变时， （1）如果初始条件在x轴的区间[x1 , x2 ]上发生变化，那么对应的解在区间[x1 , x2 ]的 影响区域以外不发生变化； （2）在x轴区间[x1 , x2 ]上所给的初始条件唯一地确定区间[x1 , x2 ]的决定区域中解的 数值。 6
-
(t, x) ξ − x = −c(τ − t)
0
ξ
图 1.1. 三角形区域Ω
上面我们用两种方法得到了Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解的表达式(1.19)式。它究竟是 否确实是Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解呢？这一点还需要按照解的定义进行验证。 我们假设f ∈ C 1 。由(1.19)式可知， 1 ut = 2
t
(1.24)
的解。 注记1.2 齐次化原理不仅可以应用于非齐次波动方程的Cauchy问题，而且也能应用 于初边值问题以及其它方程（譬如热传导方程）的定解问题，以后我们将多次用到这 一原理。
习 题
1. 证明方程 ∂ x ∂u 1 x ∂2u (1 − )2 = 2 (1 − )2 2 ∂x h ∂x a h ∂t 的通解可以写成 u= F (x − at) + G(x + at) , h−x (h > 0为常数)
§ 1.
一维波动方程Cauchy问题
本节我们讨论一维波动方程的Cauchy问题，着重介绍一维波动方程的叠加原理和齐 次化原理(或称为Duhamel原理)。 1.1 叠加原理 在物理学的研究中经常会出现这样的现象：几种不同的原因的综合所产生的效果 等于这些不同原因单独产生的效果的叠加。例如，几个外力同时作用在一个物体上 所产生的加速度可以用单个外力各自单独作用在该物体上所产生的加速度相加而得 出。这个原理被称为 叠 加 原 理。叠加原理的适用范围很广泛，譬如，叠加原理对于 ::::::::::: 用线 .程 .方 .定 . 和线 .解 .条 .性 .性 . 件 . 描述的物理现象来说，都是成立的。下面我们利用一个具 体例子说明之。对于弦振动方程，如果u1 (t, x)是方程 utt − c2 uxx = f1 (t, x) 的解，而u2 是方程 utt − c2 uxx = f2 (t, x) 1
的解，那么对于任意的常数C1 和C2 ，函数 u(t, x) = C1 u1 (t, x) + C2 u2 (t, x) 是方程 utt − c2 uxx = C1 f1 (t, x) + C2 f2 (t, x) 的解。关于叠加原理的一个典型的例子就是声学中把弦线振动时所发生的复杂的声音 分解成各种单音的叠加。事实上，早在十八世纪Bernoulli以及以后的Fourier就利用这 个原理来研究弦振动方程的问题。 1.2 齐次化原理 考虑下述Cauchy问题 utt − c2 uxx = f (t, x), t = 0 : u = 0, ut = 0,
(1.15)
的解，则有 w(t, x; ti , ∆ti ) = ∆ti w(t, x; ti ). 于是，Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解可以表示为
n n t
(1.16)
u(t, x) = lim
∆ti →0
w(t, x; ti , ∆ti ) = lim
i=1
∆ti →0
w(t, x; ti )∆ti =
(1.17)
的形式。这样，由D Alembert公式（见上一章中的(4.13)式）可知，Cauchy问题(1.17)的 解为 1 w(t, x; τ ) = 2c
˜ x+ c t
f (τ, ξ )dξ =
˜ x− c t
1 2c
x+c(t−τ )
f (τ, ξ )dξ.
x−c(t−τ )
(1.18)
始速度，它所产生的振动可以由下面的具有非齐初始条件的齐次方程的Cauchy问题来 描述 wtt − c2 wxx = 0, t = ti : w = 0, wt = f (ti , x)∆ti . (1.12) (1.13)
记Cauchy问题(1.12)-(1.13)的解为w = w(t, x; ti , ∆ti )。利用叠加原理，非齐次项f (t, x)所 产生的总的效果可以看成是许多个这种瞬间作用的叠加。于是，Cauchy问题(1.1) (1.2)的解u = u(t, x)可以表示为
n
u(t, x) = lim
∆ti →0
w(t, x; ti , ∆ti ).
i=1
(1.14)
由于(1.12)是线性方程，所以w与∆ti 成正比，也就是说，如果记w(t, x; τ )为如下齐次方 程的Cauchy问题 w − c2 w = 0 (t > τ ), tt xx t = τ : w = 0, w = f (τ, x) t
i=1 0
w(t, x; τ )dτ.
这样，我们从另外一个角度重新得到定理1.1。 ˜= 下 面 我 们 给 出w(t, x; τ )的 具 体 表 达 式 。 为 此 ， 在Cauchy问 题(1.15)中 作 变 换t t − τ ，于是(1.15)便化为 w − c2 w = 0 (t ˜ > 0), xx ˜t ˜ t t ˜ = 0 : w = 0, w˜ = f (τ, x)
t
[f (τ, x + c(t − τ )) + f (τ, x − c(t − τ ))] dτ,
0
(1.20) (1.21) (1.22) (1.23)
utt = f (t, x) + ux = uxx = 于是，有 1 2c 1 2c
c 2
t 0 t
t
[fx (τ, x + c(t − τ )) − fx (τ, x − c(t − τ ))] dτ,
t t
(1.8)
ut (t, x) = w(t, x; t) +
0 t
wt (t, x; τ )dτ =
0 t
wt (t, x; τ )dτ. (1.9)
utt = wt (t, x; t) +
0
wtt (t, x; τ )dτ =
0 t
wtt (t, x; τ )dτ + f (t, x).
另一方面，有 uxx =
= f (t, x). 在上式中的第三个等式中我们利用了方程(1.3)。(1.11)表明u(t, x)确实满足方程(1.1)。 这样我们就证明了定理1.1。 齐次化原理也可以用下述方法得到。 我们知道，非齐次项f (t, x)表示时刻 t在 x处的单位质量所受的外力，而ut 表示 质 点 的 速 度 。 把 时 间 段[0, t]分 成 若 干 个 小 时 段∆ti = ti+1 − ti (i = 1, 2, · · · , n),在 每 个 小 时 段∆ti 中 ， 非 齐 次 项f (t, x)可 以 看 作 与 时 间t无 关 ， 并 以f (ti , x)来 表 示 。 由 F (ti , x) (这里F (ti , x)表示外力，而ρ是密度函数)，所以在时间段∆ti 内非齐 于f (ti , x) = ρ 次项所产生的速度改变是为f (ti , x)∆ti 。我们把这个速度改变量看作是在时刻ti 时的初 3
即u(t, x)满 足 初 始 条 件(1.2)式 。 因 此 ， 由(1.19)式 定 义 的 函 数u(t, x)的 确 是Cauchy问 题(1.1)-(1.2) 的解。
5
注记1.1 利用叠 . ，我们容易得到下述一般的Cauchy问题 .加 .理 .原 u − c2 u = f (t, x) (t > 0, x ∈ R), tt xx t = 0 : u = ϕ(x), u = ψ (x) (x ∈ R)
t
(1.7)
ut (t, x) = w(t, x; t) +
0
wt (t, x; τ )dτ,
于是，再利用(1.4)可知 ut |t=0 = w(0, x; 0) = 0. (1.7)和(1.8)两式表明初始条件(1.2)式成立。 下面我们证明由(1.6)式定义的函数u = u(t, x)满足方程(1.1)。 由(1.6)及(1.4)易知
0
[f (τ, x + c(t − τ )) − f (τ, x − c(t − τ ))] dτ, [fx (τ, x + c(t − τ )) − fx (τ, x − c(t − τ ))] dτ.
0
utt − c2 uxx = f (t, x), 即u(t, x)满足方程(1.1)。再由(1.19)式和(1.20)式可知 u|t=0 = 0, ut |t=0 = 0,
(1.1) (1.2)
其中c > 0是一常数，表示波的传播速度，f (t, x)是一给定的函数，表示 t 时刻在 x 处单 位质点所受的外力。方程(1.1) 可用来描述强迫振动的弹性弦的微小振动。 为了求解Cauchy问题(1.1)-(1.2)，我们引入 wtt − c2 wxx = 0, t = τ : w = 0, wt = f (τ, x). 记Cauchy问题(1.3)-(1.4)的解为 w = w(t, x; τ ), 则我们有 定理 1.1 如果w = w(t, x; τ )是Cauchy问题(1.3)-(1.4)的解（其中τ 是参数），则Cauchy问 题(1.1)-(1.2) 的解可以表示为
第三章
波动方程
波动方程是最典型的一类双曲型方程，它可以用来描述自然界以及工程技术中的 波动现象，例如在研究波的传播以及弹性体振动时经常会遇到这类方程。本章我们 将介绍波动方程的一些基本概念，方法和结果。在第一节中我们介绍一维波动方程 的Cauchy问题，着重介绍线形方程的叠加原理和齐次化原理（或称Duhamel原理）。 在第二节中我们介绍一维波动方程的初边值问题，着重介绍一种常见的解法—分离变 量法。第三节中介绍高维波动方程的Cauchy问题，特别地，用球平均法导出三维波动 方程Cauchy问题的解的表达式，即Poisson 公式，进而用Hadamard 的降维方法导出了 二维波动方程相应的解的公式。在第三节的基础上，在第四节中我们研究了波动方程 解的一些性质，譬如波的传播方式、衰减性及其正则性等，进而发现不同维数的波动 方程的解的性质有着巨大差别。在第五节中，我们介绍了高维波动方程的具有一般初 始条件的一般的Cauchy问题以及高维波动方程的混合初边值问题。在第六节中，我们 利用能量估计（或称能量积分）的方法，讨论了波动方程Cauchy问题以及初边值问题 解的唯一性和稳定性。这种方法的基础是能量守恒原理。
0
wxx (t, x; τ )dτ.
t
(1.10)
于是， utt − c2 uxx =
0
t
wtt (t, x; τ )dτ + f (t, x) − c2
0
wxx (t, x; τ )dτ (1.11)
t
=
0
wtt (t, x; τ ) − c2 wxx (t, x; τ ) dτ + f (t, x)
再利用(1.6)式就可得到Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解为 u(t, x) = 1 2c
t 0 x+c(t−τ )
f (τ, ξ )dξdτ =
x−c(t−τ )
1 2c
f (τ, ξ )dξdτ,
Ω
(1.19)
4
其中区域Ω为(τ, ξ )−平面上过点(t, x)向下做两特征线与ξ −轴所围成的三角形区域(见 图1.1)。 τ 6 ξ − x = c(τ − t) Ω
t
(1.3) (1.4)
(1.5)
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u(t, x) =
0
w(t, x; τ )dτ.
(1.6)
定理1.1被称为齐次化原理或Duhamel原理。 证明 首先我们验证由(1.6)式定义的函数u(t, x)满足初始条件(1.2)式。 2
由(1.6)式，显然有 u(0, x) = 0. 另一方面，从(1.6)式可得
其中F, G为任意的具有二阶连续导数的单变量函数，并由此求解它的初值问题： t = 0 : u = ϕ(x), ∂u = ψ (x). ∂t
2. 问初始条件ϕ(x)与ψ (x)满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传 播波组成？ 3. 利用传播波法，求解波动方程的古沙(Goursat)问题 2 2 ∂ u 2∂ u = a , ∂t2 ∂x2 u|x−at=0 = ϕ(x), u|x+at=0 = ψ (x) (其中ϕ(0) = ψ (0)). 4. 对非齐次波动方程的初值问题(1.24)，证明：当f (x, t)不变时， （1）如果初始条件在x轴的区间[x1 , x2 ]上发生变化，那么对应的解在区间[x1 , x2 ]的 影响区域以外不发生变化； （2）在x轴区间[x1 , x2 ]上所给的初始条件唯一地确定区间[x1 , x2 ]的决定区域中解的 数值。 6
-
(t, x) ξ − x = −c(τ − t)
0
ξ
图 1.1. 三角形区域Ω
上面我们用两种方法得到了Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解的表达式(1.19)式。它究竟是 否确实是Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解呢？这一点还需要按照解的定义进行验证。 我们假设f ∈ C 1 。由(1.19)式可知， 1 ut = 2
t
(1.24)
的解。 注记1.2 齐次化原理不仅可以应用于非齐次波动方程的Cauchy问题，而且也能应用 于初边值问题以及其它方程（譬如热传导方程）的定解问题，以后我们将多次用到这 一原理。
习 题
1. 证明方程 ∂ x ∂u 1 x ∂2u (1 − )2 = 2 (1 − )2 2 ∂x h ∂x a h ∂t 的通解可以写成 u= F (x − at) + G(x + at) , h−x (h > 0为常数)
§ 1.
一维波动方程Cauchy问题
本节我们讨论一维波动方程的Cauchy问题，着重介绍一维波动方程的叠加原理和齐 次化原理(或称为Duhamel原理)。 1.1 叠加原理 在物理学的研究中经常会出现这样的现象：几种不同的原因的综合所产生的效果 等于这些不同原因单独产生的效果的叠加。例如，几个外力同时作用在一个物体上 所产生的加速度可以用单个外力各自单独作用在该物体上所产生的加速度相加而得 出。这个原理被称为 叠 加 原 理。叠加原理的适用范围很广泛，譬如，叠加原理对于 ::::::::::: 用线 .程 .方 .定 . 和线 .解 .条 .性 .性 . 件 . 描述的物理现象来说，都是成立的。下面我们利用一个具 体例子说明之。对于弦振动方程，如果u1 (t, x)是方程 utt − c2 uxx = f1 (t, x) 的解，而u2 是方程 utt − c2 uxx = f2 (t, x) 1
的解，那么对于任意的常数C1 和C2 ，函数 u(t, x) = C1 u1 (t, x) + C2 u2 (t, x) 是方程 utt − c2 uxx = C1 f1 (t, x) + C2 f2 (t, x) 的解。关于叠加原理的一个典型的例子就是声学中把弦线振动时所发生的复杂的声音 分解成各种单音的叠加。事实上，早在十八世纪Bernoulli以及以后的Fourier就利用这 个原理来研究弦振动方程的问题。 1.2 齐次化原理 考虑下述Cauchy问题 utt − c2 uxx = f (t, x), t = 0 : u = 0, ut = 0,
(1.15)
的解，则有 w(t, x; ti , ∆ti ) = ∆ti w(t, x; ti ). 于是，Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解可以表示为
n n t
(1.16)
u(t, x) = lim
∆ti →0
w(t, x; ti , ∆ti ) = lim
i=1
∆ti →0
w(t, x; ti )∆ti =