初三数学直角三角形三角函数

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、一周知识概述
(3)三个三角函数之间的关系:
① 互余关系 sinA=cos(90 ° — A)、cosA=sin(90 ° — A)
② 平方关系：处「= ■
sin A
tarM = -------
③ 商数关系： ■-亠■■-
2、注意两个转化
(1)把实际问题转化为数学问题：将实际问题图形转化为平面几何图形，依题意，画 出图形•
(2)若三角形不是直角三角形，应添加适当的辅助线，将原图形分割成几个直角三角 形，找
当0°WaW 90°时，正弦与正切的函数值随角的增大而增大，但 tan90°的值不
存在，而余弦的函数值是随角的增大而减小. 5、理解仰角、俯角、坡角、坡度等概念
COSJ 4 =—
(2)三个锐角三角函数:
a c tan .4 = —i ；cot 卫=—J
b
a
■视
有时为了测出江河、水库、筑路等的坡面 AB 与地面BC 的倾斜程度，有时用坡角a 的大小来反映。

当a( 0°<a< 90°)较大时，则倾斜程度就较徒，有时把坡面 AB 的 铅垂高度h 和水平宽度f 的比叫做坡度，用字母i 表示..
(2) 0°、90° 的特殊情况：sinO ° =0, cosO ° =1, tan0 ° =0，sin90 ° =1，cos90° =0， tan90 °不存在.
(3)
已知锐角a ，则可求出sin a ,cos a ,ta n a 的值，
当a 是0°〜90°中一般角时,
可用科学计算器求出，反过来，若已知某三角函数值时，也可求出 0° ~90°间的角. (4) 利用直角三角形中的边角关系，解决实际冋题 2、难点
将一般三角形中所要求的值，转化为直角形求其值，即辅助线要恰当地作出。

一般 来说，辅助线不要破坏所给的特殊角. 一、周知识概述
1、从实际问题出发一一梯子靠在墙上，有的较陡，有的较缓，用什么值反映出来？通 过学习发现：把这一问题
tan A =
转化为在直角三角形中，某锐角的对边与邻边的比.所以规定
山的对起
B
乙扛的对边BC
A
人
_____________ C
C
小旳邻边AC
显然，梯子的倾斜程度与tanA 的值的大小有关，当0° <A° <90 °，若/ A 逐渐
增大，则tanA 的值逐渐增大 ，梯子越陡•
..乙4的对边
.山的邻边
sin A = -------- cos >1= ----------
2、相应地规定正弦：
斜边
料边
B
B
B
C
'
A
C
C
AB
AB 3
2
2 3
1
2 1
sin a
tan a
2
AB
M 6(P= — AS
^AB
2
昱
~2~
60°
30°
45° 3、关于30°, 45°, 60°的正弦，余弦、正切值，可由直角二角形来确定，与直角二 角形大小无关，而与两锐 角大小有关•
当/ A=30°时
当/ A=45时 当/ A=60°时
则EU ^-AB
2
AC=^-AB
1
—击
4、为方便学习，应了解一下在直角三角形中，把/ A 的邻边与/ A 的对边之比起名为余 切，即卩
则紀=• —
2
AB AB
AB
BC
taL6(F = —
AC ^AB
将它们的特殊值列表如下：
三角函数 角a 的度
数 COS
a
mtA=山的邻边显然cot虫-------- .
匕1的对边tan』
5、在Rt△ ABC中，由锐角A (0° vA<90°)的特点，可得到0<sinA<1,0<cosA<1，由定义：
2 2 2
sin A= —r cos =—T(sm 乂〕卞 + (co务妊尸=—y ■—= —— \. 2 2
芒芒可得出疋匸' 芒即sin A+ cos A=1.
6除特殊角30°, 45°, 60°的三角函数值外，还有0°, 90°的极端情况规定：stnO°= _ = H = o?
co s0D= —= - - l r tan 0° = —= - = 0
c c e c b b
(b^0)，而sin90 ° =1, cos90 ° =0, tan90。

不存在.
二、本周重难点
1、重点：特殊角30°，45°，60°的正弦值，余弦值及正切值，且能根据特殊角的三角函数值，仅求锐角的大
小.
2、难点：如何将一般三角形，通过作辅助线转化为直角三角形去解决某些问题
三、重难点知识讲解
例1、若关于x的一元二次方程x2+ ax + b=0的两根是一直角三角形两锐角的正弦值，且a+ 5b=1，求a,b的值.
分析：此题要用到两个方面的知识.一是一元二次方程根与系数的关系，二是利用
在Rt△中，当/C=90°时，有/ A+Z B=90°,二/ B=90°-Z A,贝U sinB=sin(90 ° - A)=cosA 的关系，建立a,b的方程组求解.
解：设直角三角形ABC中, Z C=90，依题意：sinA + sinB= — a (1),
sinA • sinB=b，又T Z A+Z B=90°,：Z B=90°—Z A.
••• sinB=sin(90 ° —A)=cosA 则将(1),( 2)式化为:
si nA + cosA=—a (3) sinA • cosA=b (4)
(3) 2—( 4)x 2,得
2 2 2
sin A+ cos A+2 sinA • cosA—2 sinA • cosA= a —2b,
由sin 2A+ cos2A=1，二a2—2b=1 (5),
又由条件可知a+ 5b=1 (6),
解(5)( 6)组成的方程组，消去a得
12 7
25b2-12^ = 0, '.'b^C r:. 25i -12 =0, = 一?则卫.
255
7 12
a = —p E =——综上所得-
例2、为了农田灌溉的需要，某乡利用土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出一个深为 1.2米，下底宽为2米，坡度为1 : 0.8的渠道（其横断面为等腰梯形）（如图），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤的高度比原来增加0.6米.
求（1）渠面宽EF的长；（2）若修300米长的渠道需挖的土方数是多少？
解析：从图中可知，将原土堤横断面MNP中挖出一个等腰梯形ABC D且将挖出的土方填在原土堤两边加高后，修成一个等腰梯形EBCF的渠道以便灌水，这中间要求AD EF 等量.
解：（1）如图过F作FGLBC交BC的延长线于G,贝U: FG=0.6+ 1.2=1.8（米）
- 丹1
又■"弓一-——
3 0,3
FG1.®
..C<? --------- 1.8x0.3 -1.44OK)
) 1
08
..-FF-SC + 2OT-2+2X1.44-4.38 (米)
（2）过D作DH L CG交CG于H,贝U由DH1
-- = --- 二…且
DH=1.2,
DR 1.2
..CH 一 m ——=^l .2x C.3 = 0.96(^)
3' J_
0.3
JHllHD^fiC = 2CH= 2 + 2x0.96 = 3 夕 2(米)
-一 £ =-DH 何+RC)=匕1加(39〜力=第艾(米・) 土方数于=3.552x300 = 1065J 6(^J
例3、在 Rt △ ABC 中/C=90° , AB=6 BC=2.求 (1) si nA, cosA, tanA 的值；
(2) si nA 与cosB 是否相等？ si nB 与cosA 是否相等？为什么, tanA 与sinA ，cosA 又有什么关系，为什么？ (3) sin 2A 与cos 2A 有什么关系？为什么？
解：••• BC=2 AB =6 :' AC =丿占-曲=加-护=岳"忑
...A a BC 2 1 ■ sin A =—= =—=— c AB S
3
sin A = — cos E M — sin cos B
(2) -
又•••/ B=90°-Z A , 即卩 sinA=cos(90 ° - A)①
而sin5 = — cos JI = —r
[
■-二 sinB=cosA 而/ A=90°-Z B
••• sinB=cos(90 ° - B)②
(1)
AC
~AB~~T
同理:
cos —
C
sin A cos A
综上所述，除了掌握从0°〜90°间的特殊角的三角函数值外，还需了解它们之间的关 系，可分为：
(1) 互余关系:sinA=cos(90 ° — A), cosA=sin(90 ° — A) (2) 平方关系：sin 2A + COS 2A=1
t"咤
(3)
商数关系： 可作为公式使用.
sin .
例4、在 Rt △ ABC 中, Z C=90，若 -求 tanB 的值.
解析：此题有两种解法，一是定义法，二是用三角函数间的关系式
•
sin^.= 2即是an A =
=-,
解法一：定义法：在 Rt △ ABC 中, Z C=90°，且 • •设 BC=3a - - AB=5a
贝Me = J 肿2 _ 於 =尸—(3说尸=
BC 3&
3
c o £ = sin A=-
解法二：••• sinA=cos(90 ° — A)=COS B ， -,.
又■/ sin 2B + COS 2B=1，且 sinB>0,
5
且 sin 2A + COS 2A=-。