初三数学直角三角形三角函数

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、一周知识概述

(3)三个三角函数之间的关系:

① 互余关系 sinA=cos(90 ° — A)、cosA=sin(90 ° — A)

② 平方关系：处「= ■

sin A

tarM = -------

③ 商数关系： ■-亠■■-

2、注意两个转化

(1)把实际问题转化为数学问题：将实际问题图形转化为平面几何图形，依题意，画 出图形•

(2)若三角形不是直角三角形，应添加适当的辅助线，将原图形分割成几个直角三角 形，找

当0°WaW 90°时，正弦与正切的函数值随角的增大而增大，但 tan90°的值不

存在，而余弦的函数值是随角的增大而减小. 5、理解仰角、俯角、坡角、坡度等概念

COSJ 4 =—

(2)三个锐角三角函数:

a c tan .4 = —i ；cot 卫=—J

b

a

■视

有时为了测出江河、水库、筑路等的坡面 AB 与地面BC 的倾斜程度，有时用坡角a 的大小来反映。当a( 0°

(2) 0°、90° 的特殊情况：sinO ° =0, cosO ° =1, tan0 ° =0，sin90 ° =1，cos90° =0， tan90 °不存在.

(3)

已知锐角a ，则可求出sin a ,cos a ,ta n a 的值，

当a 是0°〜90°中一般角时,

可用科学计算器求出，反过来，若已知某三角函数值时，也可求出 0° ~90°间的角. (4) 利用直角三角形中的边角关系，解决实际冋题 2、难点

将一般三角形中所要求的值，转化为直角形求其值，即辅助线要恰当地作出。一般 来说，辅助线不要破坏所给的特殊角. 一、周知识概述

1、从实际问题出发一一梯子靠在墙上，有的较陡，有的较缓，用什么值反映出来？通 过学习发现：把这一问题

tan A =

转化为在直角三角形中，某锐角的对边与邻边的比.所以规定

山的对起

B

乙扛的对边BC

A

人

_____________ C

C

小旳邻边AC

显然，梯子的倾斜程度与tanA 的值的大小有关，当0°

增大，则tanA 的值逐渐增大 ，梯子越陡•

..乙4的对边

.山的邻边

sin A = -------- cos >1= ----------

2、相应地规定正弦：

斜边

料边

B

B

B

C

'

A

C

C

AB

AB 3

2

2 3

1

2 1

sin a

tan a

2

AB

M 6(P= — AS

^AB

2

昱

~2~

60°

30°

45° 3、关于30°, 45°, 60°的正弦，余弦、正切值，可由直角二角形来确定，与直角二 角形大小无关，而与两锐 角大小有关•

当/ A=30°时

当/ A=45时 当/ A=60°时

则EU ^-AB

2

AC=^-AB

1

—击

4、为方便学习，应了解一下在直角三角形中，把/ A 的邻边与/ A 的对边之比起名为余 切，即卩

则紀=• —

2

AB AB

AB

BC

taL6(F = —

AC ^AB

将它们的特殊值列表如下：

三角函数 角a 的度

数 COS

a

mtA=山的邻边显然cot虫-------- .

匕1的对边tan』

5、在Rt△ ABC中，由锐角A (0° vA<90°)的特点，可得到0

2 2 2

sin A= —r cos =—T(sm 乂〕卞 + (co务妊尸=—y ■—= —— \. 2 2

芒芒可得出疋匸' 芒即sin A+ cos A=1.

6除特殊角30°, 45°, 60°的三角函数值外，还有0°, 90°的极端情况规定：stnO°= _ = H = o?

co s0D= —= - - l r tan 0° = —= - = 0

c c e c b b

(b^0)，而sin90 ° =1, cos90 ° =0, tan90。不存在.

二、本周重难点

1、重点：特殊角30°，45°，60°的正弦值，余弦值及正切值，且能根据特殊角的三角函数值，仅求锐角的大

小.

2、难点：如何将一般三角形，通过作辅助线转化为直角三角形去解决某些问题

三、重难点知识讲解

例1、若关于x的一元二次方程x2+ ax + b=0的两根是一直角三角形两锐角的正弦值，且a+ 5b=1，求a,b的值.

分析：此题要用到两个方面的知识.一是一元二次方程根与系数的关系，二是利用

在Rt△中，当/C=90°时，有/ A+Z B=90°,二/ B=90°-Z A,贝U sinB=sin(90 ° - A)=cosA 的关系，建立a,b的方程组求解.

解：设直角三角形ABC中, Z C=90，依题意：sinA + sinB= — a (1),

sinA • sinB=b，又T Z A+Z B=90°,：Z B=90°—Z A.

••• sinB=sin(90 ° —A)=cosA 则将(1),( 2)式化为:

si nA + cosA=—a (3) sinA • cosA=b (4)

(3) 2—( 4)x 2,得

2 2 2

sin A+ cos A+2 sinA • cosA—2 sinA • cosA= a —2b,

由sin 2A+ cos2A=1，二a2—2b=1 (5),

又由条件可知a+ 5b=1 (6),

解(5)( 6)组成的方程组，消去a得

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