3.1 微分中值定理及其应用
高等数学微分中值定理
定理2（拉格朗日中值定理） 设函数 f ( x ) 在 a , b 上连续，在 a , b 内可导， 则至少存在一点 a, b ，
f (b ) f (a ) . 使得 f ( ) ba
分析：如 图3.3，定理2实际是让我们证明曲线 f ( x )
B 点所在直线 其切线平行于 A， 上存在一点 , f ， y f ( ) l ( x ) 0 l ( x )， 即 y f ( x)
y
C
y f ( x)
o a
1
2
b
x
物理解释: 变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.
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定理1（罗尔定理） 设
f ( x ) 在 a , b 上连续，在
y
y f (x)
(a , b) 内可导，且 f (a ) f (b)， o
则至少存在一点 a, b 使得 f ( ) 0 ．
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§3.1 微分中值定理
第三章
微分中值定理与导数的应用
第二我们给出了函数导数的定义，研究了导性态与函数的图像．
由于函数在一点的导数只反映函数的局部性态，因此要
用导数来研究函数的性质及其图像，就必须在函数的定义域
内研究函数的自变量、因变量与导数之间的关系，这一理论 就是微分中值定理，微分中值定理是研究函数性态和函数图 像的理论基础．
f (b ) f (a ) . 使得 f ( ) ba
f ( ) l ( x ) 0 f ( x ) l ( x ) x = 0．
因此，只要证明 f ( x ) l ( x ) 在 a , b 上满足罗尔定理条件， 定理即可证明. 事实上, 易知
微分中的中值定理及其应用
微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。
一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。
其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。
3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。
二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。
1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，也是微分学中的基本定理之一。
该定理通常用于研究函数在某一点的变化情况，可以推导出许多与函数极值、单调性、零点和曲率等相关的性质。
微分中值定理的数学表述如下：若函数f(x)在[a, b]区间内满足以下条件：1、f(x)在[a, b]区间内可导；2、f(a)和f(b)存在；则在[a, b]内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)其中，f'(c)表示在点c处的导数。
这个定理的意义可以用图示表示为以下：此外，微分中值定理也可以用于求函数的 Taylor 展开式和曲率等问题。
下面我们来看一些微分中值定理的应用实例。
例1：证明一次函数f(x) = kx + b的图像线性。
我们知道，要证明一条直线呈现线性图像，需要证明其斜率k是恒定不变的。
因此，我们可以利用微分中值定理进行证明。
由于f(x)是一个一次函数，因此它在[a, b]区间内可导。
我们设该区间的两个端点为a和b，于是由微分中值定理可知，在[a, b]区间内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)根据f(x) = kx + b的定义，我们可以计算出其导数：f'(x) = k因此，有：即k是[b, a]区间上两个点间f(x)的变化率的平均值。
也就是说，k是线性函数在任何两个点间斜率的平均值，从而证明了一次函数的图像呈现线性。
例2：证明一段周期函数的平均值等于零。
假设f(x)是一个具有周期T的函数，即f(x+T) = f(x)，我们需要证明其平均值为0，即：(1/T) * ∫f(x)dx = 0 （其中，积分区间为一个周期）我们首先对函数进行平移（或反演）操作，得到：由于g(x)的平均值为0，那么根据微分中值定理，我们可以得到：∃c∈[x, x+T]，使得g'(c) = g(x+T) - g(x) / T = 0即：由此可得：因此，f(x)的周期平均值为f(c)，而由于函数具有周期性，因此f(c)等于函数的平均值，即证明了我们的论点。
最新3[1]1微分中值定理及其应用汇总
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3[1]1微分中值定理及其应用3.2 微分中值定理及其应用教学目的：1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。
教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。
教学时数：2学时一、微分中值定理:1. Rolle中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,且有.则«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».grange中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,则«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数.推论2 函数和在区间I上可导且推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导.若存在,则右导数也存在,且有(证)但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数在闭区间上可导, 且( 证 )Th ( Darboux ) 设函数在区间上可导且. 若为介于与之间的任一实数, 则设对辅助函数, 应用系4的结果. ( 证 )3.Cauchy中值定理:Th 3 设函数和在闭区间上连续, 在开区间内可导, 和在内不同时为零, 又则在内至少存在一点使.证分析引出辅助函数. 验证在上满足Rolle定理的条件,必有, 因为否则就有.这与条件“和在内不同时为零”矛盾.Cauchy中值定理的几何意义.（二）中值定理的简单应用:1. Rolle中值定理的应用例1设函数在区间上连续,在内可导,且有.试证明: .提示：设«Skip Record If...»例2设函数«Skip Record If...»在区间上连续,在内可导,且«Skip Record If...».试证明:«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».例3设函数«Skip Record If...»在区间上连续,在内可导,对«Skip Record If...»,试证«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...»提示：设«Skip Record If...»例4 已知函数«Skip Record If...»具有二阶导数,且«Skip Record If...»试证在区间«Skip Record If...»内至少存在一点«Skip Record If...»例5 证明方程在内有实根.例6 证明方程在内有实根.练习设函数在区间«Skip Record If...»上连续,在«Skip Record If...»内可导,且«Skip Record If...»,试证明(1)«Skip Record If...»;(2) 对任意实数«Skip Record If...»,必存在«Skip Record If...».提示：(2)«Skip Record If...», «Skip Record If...»广义Rolle中值定理：设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»可微，«Skip Record If...»存在且等于«Skip Record If...»，则存在«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».例7设函数在«Skip Record If...»上连续可微,«Skip Record If...»,证明存在一点«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...».练习设函数在«Skip Record If...»上可微,«Skip Record If...», 试证«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...».grange中值定理的应用例8 设是可微函数, 导函数«Skip Record If...»严格单调增加,若«Skip Record If...»,试证对一切«Skip Record If...»,有«Skip Record If...».(不得直接利用凸函数的性质)3.Cauchy中值定理的应用例1 设函数在区间上连续, 在内可导,«Skip Record If...»则«Skip Record If...».练习设函数在区间上连续, 在内可导,«Skip Record If...»则«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»(三).Jensen不等式及其应用:Jensen 不等式: 设在区间上恒有( 或, 则对上的任意个点, 有Jensen不等式:( 或,且等号当且仅当时成立.证令, 把表为点处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿前述定理的证明，注意即得所证.对具体的函数套用Jensen不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证明不等式的方法称为Jensen不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数的严格单调性.例2证明: 对有不等式.例3证明均值不等式: 对, 有均值不等式.证先证不等式.取.在内严格上凸, 由Jensen不等式, 有. 由↗↗.对用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.例4证明: 对, 有不等式. ( 平方根平均值 )例5设，证明.解取, 应用Jensen不等式.Jensen不等式在初等数学中的应用举例: 参阅荆昌汉文: “凸(凹)函数定理在不等式证明中的应用”,《数学通讯》1980.4. P39.例6在⊿中, 求证.解考虑函数在区间内凹, 由Jensen不等式, 有..例7 已知. 求证.解考虑函数, 在内严格上凸. 由Jensen不等式, 有..例8已知求证.( 留为作业 ) 解函数在内严格下凸. 由Jensen不等式, 有.。
§3.1-微分中值定理PPT课件
1 x2
1 x2
f ( x) C , x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 ,
即
C
.
arcsin
x
arccos
x
2
.
2
2
2
说明 欲证x I , f ( x) C0 ,只需证在 I上
f ( x) 0,且 x0 自证 arctan x arc
则在开区间 (a, b)内至少存在一点 ,使得 f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
广义微分中值定理
20
微分中值定理
柯西(1789 – 1857)
法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影 响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.
0
由条件,则 f ( x1 ) f ( x2 ), 即在区间I中任意两
点的函数值都相等,所以, f ( x) C.
17
微分中值定理
例2 证明 arcsin x arccos x (1 x 1). 2
证 设 f ( x0) arcsin x0 arccos 0x, x [1,1]
f ( x) 1 ( 1 ) 0.由推论
f (1) 0 f (2) (2) 结论正确
方程f ( x) 0, 即3x2 8x 7 0有实根
x1
1 (4 3
37),
第三章 微分中值定理及其应用
第三章 微分中值定理及其应用3.1 中值定理 3.1.1 费马引理设函数)(x f 在点0x 处可导且在点0x 处取得极值，则0)(0'=x f 。
备注：费马引理实质上是可导函数极值存在的必要条件。
3.1.2 罗尔定理设函数)(x f 在[]b a ,上连续，),(b a 上可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ε，使得0)('=εf 。
（1）罗尔定理的三个条件缺一不可。
（2）罗尔定理的几何意义是曲线)(x f 存在水平切线。
（3）罗尔定理只给出了导函数零点的存在性，通常这样的零点是不易具体求出的。
例1：设函数)(x f 在[]3,0上连续，在)3,0(上可导，3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f 。
证明：至少存在一点)3,0(∈ε，使得0)('=εf 。
例2：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，0)()(==b f a f ，且)(x f 在),(b a 内可导，试证：对任意的实数α，存在一点),(b a ∈ξ，使得αξξ=)()('f f 例3：设函数)(x f 在[]b a ,上具有二阶导数，且0)()(==b f a f ，0)()('' b f a f 。
证明：（1）至少存在一点),(b a ∈ε，使得0)(=εf（2）至少存在一点),(b a ∈η，使得0)(''=ηf 。
例4：设n a a a 21,满足n i R a n a a a a i nn ,2,1,,012)1(531321=∈=--+++-- 证明：方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n 在)2,0(π内至少有一个实根。
例5：设函数)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，在),(b a 内二阶可导且存在相等的最大值，又)()(),()(b g b f a g a f ==。
微分中值定理及其应用技术
第五章 微分中值定理及其应用引言本章，我们将利用微分学理论进一步研究函数高一级的分析性质。
我们知道，函数是数学分析的研究对象，因此，刻划函数的各种分析性质、揭示函数的几何特征，是认识、了解函数的主要手段，特别是通过几何特征更能直观地认识、了解和研究函数。
到目前为止，我们已经了解了函数的连续性，已经掌握了用导数讨论函数的连续性和求曲线的切线，显然，这远远不能用来精确刻划函数，不能解决更复杂的函数的问题，如单调性、零点 、渐进性等，因此，必须发展更高级的工具和理论，研究函数更高级的分析性质。
我们知道，导数是更高一级的分析性质，因此， 我们自然期望用导数这一工具去分析、解决这些问题。
另外，进一步分析我们知道：导数只是反映函数在一点的局部特征，而我们往往要了解函数的整体性态，这也需要我们研究导函数的性质。
因此，我们期望用导数更进一步揭示函数的分析性质，以便更精确地刻划函数，这正是本章的目的。
本章的主要内容是微分中值定理，它不仅是研究函数性质的有力工具，更在后续课程中有着非常重要的作用，可以说，它是微分学的核心。
本章以研究导函数性质为主线，围绕微分中值定理及其应用展开讨论。
§1 微分中值定理一、 Fermat 定理先引入函数的极值概念。
设函数f （x ）在区间I 上有定义，0x I ∈。
定义 1.1 若存在0x 的邻域0(,)U x I δ⊂，使得对于任意的0(,)x U x δ∈，有0()()f x f x ≥，则称点0x 为f (x )在区间I 上的一个极大值点，称f （0x ）为相应的极大值。
类似，若存在0x 的邻域0(,)U x δ，使得对于任意的0(,)x U x δ∈，有0()()f x f x ≤，则称点0x 为f (x )在区间I 上的一个极小值点，称f （0x ）为相应的极小值。
极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。
注、从定义可知，极值是局部概念。
注、极值（点）不唯一。
高等数学 微分中值定理与导数的应用
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b). 结论亦可写成 f (b) f (a) f (). ba
f (b) f (a) f ( )
ba
y 几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
C
y f (x)
有一点(a b),使等式
f (a) F (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
结构图
特例
推广
Rolle定理
Lagrange定理
Cauchy定理
拉格朗日中值定理又称微分中值定理.
第二节 洛必达法则
一、0 型及 型未定式解法: 洛必达法则 0
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
1
2 b x
切线，在曲线弧AB上至少有一点C ,在该点处的
切线是水平的.
注① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导
区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件
如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使
第三章 微分中值定理与导数的应用
§3. 1 微分中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
定理(Rolle) 若函数f ( x ) 满足 （1）在闭区间[a,b]上连续 （2）在开区间(a,b)内可导 （3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)
则在(a,b)内至少存在一点 , (a,b)使得函数 f ( x)在该点的导数为零，即 f ( ) 0
3.1.1 微分中值定理
证 任取两点 x1、x2 [a, b], 设 x1< x2,
则
f (x2 ) f (x1 ) x2 x1
f (x ),
x ( x1 , x2 )
因为 f (x) = 0，所以 f (x) = 0， 即 f ( x2 ) f ( x1 ) 0，
x2 x1
故 f (x1) = f (x2)， 由于x1、x2的任意性,
※然后相应确定一个区间
※选定的函数在所确定的区间上要满足拉格朗日中
值定理的条件，则有拉格朗日公式成立
※由ξ 所在区间范围，即可导致等号成为不等号
例5
设a
b
0, 证明：a-b
a
ln b
a-b
.
a
b
例6 证明 当 x 1 时, e x ex
证明: 设 f ( x) e x , f ( x) e x ,
1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f (x)(x 0), (0 x x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1 x
解 显然, f (x) 在区间 [1, 2]，[2, 3] 上都满
足罗尔定理，所以至少有 x1 (1, 2)，x2 (2, 3)， 使 f (x1) = 0， f (x2) = 0， 即方程 f (x) = 0 至少
有两个实根，又因为 f (x) = 0 是一个一元二次方程， 最多有两个实根，所以方程 f (x) = 0 有且仅有两个 实根，且分别在区间(1, 2) 和 (2, 3)内.
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用微分中值定理是微分学中的重要定理之一，用于描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
本文将介绍微分中值定理的概念、表述形式以及其在实际问题中的应用。
一、微分中值定理的概念微分中值定理是由法国数学家拉格朗日于18世纪提出的，它是微分学的基石之一。
该定理基于连续函数的性质，揭示了连续函数在区间内的某个点存在瞬时变化率等于平均变化率的情况。
二、微分中值定理的表述形式微分中值定理有三种常见的表述形式，它们分别是拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
下面将分别对这三个定理进行详细介绍。
1. 拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)上存在一个点c，使得f'(c)等于函数f(x)在[a, b]上的平均变化率，即：f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)2. 柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且g'(x)不为0，则在(a, b)上存在一个点c，使得：[f'(c)]/[g'(c)] = [f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)]3. 罗尔中值定理（Rolle's Mean Value Theorem）设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且f(a)等于f(b)，则在(a, b)上存在一个点c，使得f'(c)等于0。
三、微分中值定理的应用微分中值定理在实际问题中具有重要的应用价值。
下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 判断函数的增减性通过微分中值定理，可以判断函数在某个区间内的增减性。
如果在该区间内的导数恒为正（负），则函数在该区间上单调递增（递减）。
微分中值定理
17
几何解释:
在曲线弧AB上至少有 一点C,在该点处的切 线平行于弦AB.
物理解释:
y
C
yf(x)
M
B
A
N
D
o a 1 x
2 b
x
拉格朗日中值定理告诉我们, 在 t=a 到 t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在 某一时刻达到它的平均速度.
究竟等于什么数, 只要知道 存在即可.
9
例 证明方x5程 5x10有且仅有一1个 的正实 . 根
证 (1) 存在性
设 f(x )x 5 5 x 1 ,则f(x)在 [0,1]连,续 且f(0)1, f(1)3. 零点定理 x0(0,1),使f(x0)0.
即为方程的小于1的正实根.
(2)|f(x)|M . ? |f( x ) f( x 0 ) | M |x x 0 |.
(3 )f(x ) 0( 0 ). ?
f(x)()
还有什么？
21
推论 1 若 f ( x ) 0 , x I , 则 f ( x ) C , x I .
推论 2
18
例 证明不等式
arx c 2 t aarn x c 1 tx 2 a x 1 n ,(x1 x2).
如果f(x)在某区间上可导,要分析函数 在该区间上任意两点的函数值有何关系, 通常就想到微分中值定理.
证 记 f(x)arctax,n在[x1,x2]上,
利用微分中值定理, 得
1
arcx2 t a an rcx1 t a 1 n 2(x2x1)
20
由拉格朗日 以中 得值 出定 其理 它 ？ 可 的
3.1 微分中值定理
1 1 1, 1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f ( x)及 g(x)
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导, f '(x) 与
即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
f ( ) f (b) f (a) .
ba
也可以写成 f (b) f (a) f ()(b a)形式
注意 :当 f (a) f (b)即是罗尔定理 .
几何解释:
y
在曲线弧 AB 上至少有
一点,该点切线平行于 A
C
y f (x)
M
B
N
D
端点弦 AB.
o a 1 x
几何解释:
y
C
A
o a 1
y f (x)
B
2 b x
在每一个点都有切线的一段曲线上，若端点 纵坐标相同，则至少有一条平行于x轴的切线.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
例如, y x , x [2,2];
在[2,2]上除f (0)不存在外,满足罗尔定理的 其他条件, 但在内找不到一点能使f ( x) 0.
2 b
x
f ( ) f (b) f (a) .
ba
注意:拉格朗日中值定理描述了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用Chapter 3 Mean Value Theorem of Differentials and the Application of Derivatives3.1 微分中值定理 (The Mean Value Theorem)一、罗尔定理 (Rolle's Theorem) 费马引理 (Fermat Lemma)设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义 , 并且在0x 处可导 , 如果对任意的0()x U x ∈, 有0()()f x f x ≤( 或0()()f x f x ≥), 那么0()0f x '=。
Let ()f x be defined on the open interval 00(,)x x δδ-+for some δ. If ()f x is differentiable at 0x , and for any x in 00(,)x x δδ-+ , (or 0()()f x f x ≥)then 0()0f x '=.驻点、奇异点和临界点(1) 如果函数在c 点的导数()0f c '=, 则称c 点为驻点；(2) 如果c 是区间(,)I a b =的内点 , 且函数在c 点的导数()f c '不存在 , 则称c 点为奇异点 ；（3) 函数的定义域内的驻点、奇异点和端点统称为函数的临界点。
Stationary Point, Singular Point, and Critical Point(1) If c is a point at which ()0f c '=, we call c a stationary point; (2) If c is an interior point of (,)I a b = where ()f c ' fails to exist, we call c a singular point;(3) Any point of the three types ，including stationary point, singular point and end point, in the domain of a function is called a critical point of ()f x .罗尔定理 (Rolle's Theorem)如果函数()f x 满足 :(1) 在闭区间[,]a b 上连续 ； (2) 在开区间(,)a b 内可导 ；(3) 在区间端点处的函数值相等 , 即()()f a f b =，那么在(,)a b 内至少有一点ξ()a b ξ<<， 使得()0f ξ'=。
高等数学 上、下册3_1 中值定理
中，b 2, a 0， f (2) 8, f (0) 0, f (x) 2x 2
故由拉格朗日中值定理得
8 0 (2 2)2
则
10, 2
例 3 证明： 当 x 0时，
x ln(1 x) x 1 x
导利，用满辅足助罗函尔数定理(x)的及三罗个尔条定件理，可即以可证利明用拉 (格x)朗证日明中拉值格定朗
日理中. 值定理. 证明详见主教材.
类似罗尔定理的物理意义，可以思考拉格朗日中值 定理的物理背景. 如果一辆汽车从甲地开往乙作变速直 线运动，其运动规律(即位置函数) s = s (t), 当这辆汽车 从时刻T0运动到时刻T1时，平均速度为
可导，但 f (1) f (1) ，不满足条件（1），可知不存在
(1,1)，使 f ( ) 0.
定理的条件是充分的，即在特殊情况虽所给函数罗 尔定理中三条件都不满足也可能在 (a, b) 内存在这样一
点，使 f ( ) 0.
例如函数
(x 1)2 1,0 x 3 f (x)
先看一下定理的几何意义，如把
y
（1）式改写成
f (b) f (a) f ( )
C
B
b a
A
由图 3-2 看出， f (b) f (a) 为弦 AB
ba
的斜率，而 f ( )为曲线在点 C 处的曲 O a
bx
线斜率，因此拉格朗日中值定理的几何
图3-2
意义是：
如果连续曲线 y f (x) 的弧 AB 上除了端点外处处具 有不垂直与 x 轴的切线，那么这弧上至少有一点 C，使 得曲线在 C 点处的切线平行于弦 AB.
【考研数学】3.1微分中值定理笔记小结
第三章 微分中值定理与导数应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理定义（极值）若，使得恒有 ，则称在取极小值.恒有，则称在取极大值.费马引理 若在处取得极值,且在处可导,则罗尔定理 若 1）在上连续；在内可导；则，使2）3）费马(1601 – 1665)费马 法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:历经358年, 直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决 .引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 若在上连续；2）内可导，1）在，使则注：1）结论都成立.2）有限增量公式推论 设在区间上连续，在内可导，则在上拉格朗日 (1736-1813)法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来, 数学中的许多成就都可直接或间接地追溯到他的工作,他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.例1 试证例2 证明：当时，例3 证明：当时，三、柯西中值定理柯西中值定理 若上连续；在内可导，且1）2）在则，使内容小结1. 意义建立局部和整体的关系2. 关系罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理3. 应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论作业P132：5；6；7；8；10；11；12.。
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第三章 微分中值定理及其应用
第一节 微分中值定理
一、试问罗尔定理对下列函数是否成立？
1、5()ln sin ,[,]66f x x ππ
=
解：由于 ()ln sin f x x =是初等函数，故在5[,]66ππ上连续，在5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内可导，且 5()()ln 2,66
f f ππ==-因此()f x 满足罗尔中值定理. 2、23(),[1,1]1
f x x =-+ 满足
3、()[0,3]f x = 满足
二、下列函数是否满足拉格朗日定理的条件？若满足，求出ξ
1、3()2,[1,1]f x x =-
解：由于 3()2f x x =是初等函数，在[1,1]-上连续，在()1,1-内可导，故满足拉格朗日定
理的条件，且2(1)(1)261(1)f f ξ--==--，从而(1,1)3
ξ=±-
2、()arctan ,[0,1]f x x = 满足拉格朗日定理的条件且(0,1)ξ=
3、32()52,[1,0]f x x x x =-+-- 满足拉格朗日定理的条件且(1,0)ξ=
- 三、验证下列函数满足柯西中值定理，并求出ξ
1、2(),()[1,4]f x x F x ==
解：2(),()f x x F x ==[1,4]上连续，在(1,4)内可导，且()0
F x '=
≠ ，故满
足柯西中值定理，且 (1,4)ξ= 2、()sin ,()cos [0,
]2f x x F x x π== 满足且(0,)42ππξ=∈ 四、试证：方程3230x x c -+=在[0,1]内不可能有两个不同的实根。
证明：假设方程有两个实根12,[0,1]x x ∈，则函数32()3f x x x c =-+在12[,]x x 上满足罗尔定理，至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得()0.f ξ'=
事实上，2()363(2)0,(0,1)f x x x x x x '=-=-≠∈矛盾。
故方程3230x x c -+=在
[0,1]内不可能有两个不同的实根.
五、求证：32432ax bx cx a b c ++=++在(0,1)内至少有一个根。
证明：设432()()f x ax bx cx a b c x =++-++，则()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)可导，(0)(1)f f =，故由罗尔定理至少存在一点(0,1)ξ∈，使()0f ξ'=，
即 32432ax bx cx a b c ++=++在(0,1)内至少有一个根.
六、试用拉格朗日中值定理证明：
（1）若0,b a <≤则ln a b a a b a b b
--≤≤ 证明：设()ln ,f x x =在[,]b a 上满足拉格朗日中值定理，故
1ln ln ln (),a b a a b a b a b b a a b b
ξξ--≤-==-≤<< （2）若0,x >则ln(1)1x x x x
<+<+ 证明：设()ln(1),f x x =+在[0,]x 上满足拉格朗日中值定理，故
1ln(1)ln1ln(1),011x x x x x x x ξξ
<+-=+=<<<++ （3）若0,1,a b n >>>则11()()n n n n nb
a b a b na a b ---<-<- 证明：设(),n f x x =在[,]b a 上满足拉格朗日中值定理，故
111()()(),n n n n n nb a b a b n a b na a b b a ξξ----<-=-<-<<
七、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内存在一点ξ，使得()()()f f a f b ξξξ
-'=- 证明：设()[()()]()F x f x f a b x =--，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且
()()0F a F b ==，有罗尔定理在(,)a b 内存在一点ξ，使得()0,F ξ'=即()()()f f a f b ξξξ
-'=-. 八、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导(0,0)a b >>，求证：方程
()()ln ()0b f b f a x f x a ⎛⎫'--= ⎪⎝⎭
在(,)a b 内至少有一个根。
证明：设()ln g x x =，则()f x ，()g x 在[,]a b 上满足柯西定理条件，在(,)a b 内至少有一个ξ，使得()()()1ln ln f b f a f b a ξξ
'-=-，即方程()()ln ()0b f b f a x f x a ⎛⎫'--= ⎪⎝⎭在(,)a b 内至少有一个根。
九、证明：222arctan arcsin
(1)1x x x x
π+=≥+. 证明：设22()2arctan arcsin ,1x f x x x =++ 则
2222()0,11f x x x '=+=≥+ 由 (1)2,42f πππ=⋅
+= 故 222a r c t a n a r c s i n (1)1x x x x π+=≥+。