3.1 微分中值定理及其应用

第三章 微分中值定理及其应用

第一节 微分中值定理

一、试问罗尔定理对下列函数是否成立？

1、5()ln sin ,[,]66f x x ππ

=

解：由于 ()ln sin f x x =是初等函数，故在5[,]66ππ上连续，在5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭

内可导，且 5()()ln 2,66

f f ππ==-因此()f x 满足罗尔中值定理. 2、23(),[1,1]1

f x x =-+ 满足

3、()[0,3]f x = 满足

二、下列函数是否满足拉格朗日定理的条件？若满足，求出ξ

1、3()2,[1,1]f x x =-

解：由于 3()2f x x =是初等函数，在[1,1]-上连续，在()1,1-内可导，故满足拉格朗日定

理的条件，且2(1)(1)261(1)f f ξ--==--，从而(1,1)3

ξ=±-

2、()arctan ,[0,1]f x x = 满足拉格朗日定理的条件且(0,1)ξ=

3、32()52,[1,0]f x x x x =-+-- 满足拉格朗日定理的条件且(1,0)ξ=

- 三、验证下列函数满足柯西中值定理，并求出ξ

1、2(),()[1,4]f x x F x ==

解：2(),()f x x F x ==[1,4]上连续，在(1,4)内可导，且()0

F x '=

≠ ，故满

足柯西中值定理，且 (1,4)ξ= 2、()sin ,()cos [0,

]2f x x F x x π== 满足且(0,)42ππξ=∈ 四、试证：方程3230x x c -+=在[0,1]内不可能有两个不同的实根。

证明：假设方程有两个实根12,[0,1]x x ∈，则函数32()3f x x x c =-+在12[,]x x 上满足罗尔定理，至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得()0.f ξ'=

事实上，2()363(2)0,(0,1)f x x x x x x '=-=-≠∈矛盾。故方程3230x x c -+=在

[0,1]内不可能有两个不同的实根.

五、求证：32432ax bx cx a b c ++=++在(0,1)内至少有一个根。

证明：设432()()f x ax bx cx a b c x =++-++，则()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)可导，(0)(1)f f =，故由罗尔定理至少存在一点(0,1)ξ∈，使()0f ξ'=，

即 32432ax bx cx a b c ++=++在(0,1)内至少有一个根.

六、试用拉格朗日中值定理证明：

（1）若0,b a <≤则ln a b a a b a b b

--≤≤ 证明：设()ln ,f x x =在[,]b a 上满足拉格朗日中值定理，故

1ln ln ln (),a b a a b a b a b b a a b b

ξξ--≤-==-≤<< （2）若0,x >则ln(1)1x x x x

<+<+ 证明：设()ln(1),f x x =+在[0,]x 上满足拉格朗日中值定理，故

1ln(1)ln1ln(1),011x x x x x x x ξξ

<+-=+=<<<++ （3）若0,1,a b n >>>则11()()n n n n nb

a b a b na a b ---<-<- 证明：设(),n f x x =在[,]b a 上满足拉格朗日中值定理，故

111()()(),n n n n n nb a b a b n a b na a b b a ξξ----<-=-<-<<

七、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内存在一点ξ，使得()()()f f a f b ξξξ

-'=- 证明：设()[()()]()F x f x f a b x =--，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且

()()0F a F b ==，有罗尔定理在(,)a b 内存在一点ξ，使得()0,F ξ'=即()()()f f a f b ξξξ

-'=-. 八、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导(0,0)a b >>，求证：方程

()()ln ()0b f b f a x f x a ⎛⎫'--= ⎪⎝⎭

在(,)a b 内至少有一个根。 证明：设()ln g x x =，则()f x ，()g x 在[,]a b 上满足柯西定理条件，在(,)a b 内至少有一个ξ，使得()()()1ln ln f b f a f b a ξξ

'-=-，即方程()()ln ()0b f b f a x f x a ⎛⎫'--= ⎪⎝⎭在(,)a b 内至少有一个根。 九、证明：222arctan arcsin

(1)1x x x x

π+=≥+. 证明：设22()2arctan arcsin ,1x f x x x =++ 则

2222()0,11f x x x '=+=≥+ 由 (1)2,42f πππ=⋅

+= 故 222a r c t a n a r c s i n (1)1x x x x π+=≥+