最新人教A版必修二 多面体的结构特征 学案

多面体的结构特征

学习目标

1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体；

2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；

3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．

知识点一空间几何体的定义、分类及相关概念

思考观察下面两组物体，你能说出各组物体的共同点吗？

答案(1)几何体的表面由若干个平面多边形围成．

(2)几何体的表面由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋转而成．

1．空间几何体的定义及分类

(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体．

(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．

2．多面体与旋转体

思考观察下列多面体，有什么共同特点？

答案(1)有两个面相互平行；(2)其余各面都是平行四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行．

棱柱的定义、分类、图示及其表示

思考观察下列多面体，有什么共同特点？

答案(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥的定义、分类、图形及表示

思考观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？

答案(1)区别：有两个面相互平行．

(2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体．棱台的定义、分类、图形及表示

类型一棱柱的结构特征

例1 试判断下列说法是否正确：

(1)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；

(2)棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形．

解(1)错误．如长方体中相对侧面互相平行．

(2)正确．由棱柱的定义可知，棱柱的侧棱互相平行且相等，且各侧面都是平行四边形．

反思与感悟概念辨析题常用方法：(1)利用常见几何体举反例；(2)从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断．

跟踪训练1 根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：

(1)由6个平行四边形围成的几何体．

(2)由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是平行四边形．

解(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．

(2)该几何体是六棱柱．

类型二棱锥的结构特征

例2 如图，几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征．在立体图中画出截面．

解(1)∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，

∴这个几何体不是棱柱．

(2)在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2；在BB1上取F点，使BF＝2；连接C1E、EF、C1F，则过C1、E、F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC—EFC1，其侧棱长为2；截去部分是一个四棱锥C1—EA1B1F，该几何体的特征为：有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．

反思与感悟认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开．

跟踪训练2 试从如图正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．

(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；

(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；

(3)三棱柱．

解(1)如图所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一)．

(2)如图所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一)．

(3)如图所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一)．

类型三棱台的结构特征

例3 有下列三个命题：

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．

其中正确的有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

答案 A

解析①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，故②③错．

反思与感悟一个棱台的基本特征是上、下底面平行且相似，侧棱延长后交于一点，这是判断几何体是否为棱台的依据．

跟踪训练3 已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4、8的正方形，各侧棱长均相等，

且侧棱长为17，求四棱台的高．

解 如图，在截面ACC 1A 1中，A 1A ＝CC 1＝17，A 1C 1＝42，AC ＝82，过A 1作A 1E ⊥AC 交AC 于点E .

在Rt △A 1EA 中，AE ＝1

2

(82－42)＝22，

A 1A ＝17，

∴A 1E ＝A 1A 2

－AE 2

＝17

2

－22

2

＝3，

即四棱台的高为3.

1．下列说法中正确的是( ) A ．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C ．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高

D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

答案 A

解析棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B 错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形．但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错．

2．下列说法中，正确的是( )

A．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥

B．棱柱的底面一定是平行四边形

C．棱锥的底面一定是三角形

D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

答案 A

3．下列说法错误的是( )

A．多面体至少有四个面

B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

C．长方体、正方体都是棱柱

D．三棱柱的侧面为三角形

答案 D

解析由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错．

4．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )

A．棱柱B．棱台