高中数学必修五学案及答案(人教B版)

2014级必修五 编号1001 课题：正弦定理（第一课时） 编制人：闫宝新 审核人：王国燕 编制日期：2015年4月8日 星期三 班级 姓名 【学习目标】：能运用正弦定理解决两类解三角形的问题；能利用正弦定理判断三角形的形状。

一、【自学课本】：3——5页
1、正弦定理的内容是什么？了解正弦定理推导过程。

2、正弦定理可做怎样的变形？ （边化角）： （角化边）：
3、三角形中你可以想到那些结论？
4、正弦定理可以解决哪些题型？
二、【学习过程】
(A)1、在ABC ∆中，若A sin >B sin ，则有（ ） A 、a <b B 、a ≥b C 、a >b D 、a ，b 的大小无法确定 (A)2、在ABC ∆中，A=30°，C=105°，b=8，则a 等于（ ） A 、4 B 、24 C 、34 D 、54
(A)3、已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( )
A ．1∶2∶3
B ．2∶3∶1
C ．1∶3∶2
D ．3∶1∶2 (A)4、已知在ABC ∆中，A=45°，2,6==BC AB ，则=∠C (A)5、设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________． (A)6、根据下列条件，解ABC ∆： （1）已知
30,7,5.3===B c b ，求C 、A 、a ；
（2）已知B=30°，2=
b ，c=2，求C 、A 、a ；
（3）∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，求A 、b 、c 。

（A ）7、在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ∆是等腰三角形或直角三角形。

三、【达标检测】 （A ）1、在ABC ∆中，下列等式总能成立的是（ ） A 、A c C a cos cos = B 、A c C b sin sin = C 、B bc C ab sin sin =
D 、A c C a sin sin =
（A ）2、在ABC ∆中，
120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ）
A 、
3
5 B 、
5
3 C 、
7
3 D 、
7
5
(A)3、在ABC ∆中，已知
60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ）
A 、24
B 、34
C 、64
D 、
3
32 (B)4、在ABC ∆中，A=60°，24,34==b a ，则角B 等于（ ）
A 、45°或135°
B 、135°
C 、45°
D 、以上答案都不对
(A)5、已知ABC ∆中，
45,60,10===C B a ，则c 等于（ ）
A 、310+
B 、)13(10-
C 、)13(10+
D 、310
(A)6、在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 2
2
=，则此三角形是（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、直角或等腰三角形
(A)7、在ABC ∆中，若
60,32,2=∠==B b a ，则c= ，=∠C 。

(B)8、在ABC ∆中，已知6:5:4)(:)(:)(=+++b a a c c b ，则C B A sin :sin :sin 等于 (B)9、在ABC ∆中， 30,1,3===B b a ，则三角形的面积等于 。

四、【拓展提高】
(C)10.在任意△ABC 中，求证：a （sinB-sinC ）+b （sinC-sinA ）+c （sinA-sinB ）=0
2014级必修五 编号1001 课题：正弦定理（第一课时） 编制人：闫宝新 审核人：王国燕 编制日期：2015年4月8日 星期三 班级 姓名
1001 正弦定理(第一课时)答案学习过程：
1、C
2、B
3、A
4、60°或120° 5
、6、解：（1）在△ABC 中，由正弦定理得：
sin sin b c B C =即 3.57
sin 30sin C
=
∴sin 1C =且0°＜∠C ＜180° ∴∠C=90°, ∠A=60°
又
sin sin b a B A =即 3.5sin 30sin 60a
=
∴a =综上：∠C=90°, ∠A=60°，
a =(2) △ABC 中,由正弦定理得，
b sin sin c
B C
=
即2sin 30
sin C = ∴sin C =且0°＜∠C ＜180°
∴∠C=45°或∠C=135°
若∠C=45°，则∠A=105
°，sin sin b
a A B
=⋅
=
6sin 304+⋅
=1 若∠C=135°，则∠A=15° sin sin b
a A B
=⋅
630⨯=1 (3)由题∠A=75° 在△ABC 中由正弦定理得：sin sin sin a b c
A B C
==
即
1)75sin 45sin 60b c +=
=
∴
1)42b =
⨯=
1)c ==7．证明：由正弦定理：2sin cos 2sin cos R A A R B B ⋅=⋅⋅
即 sin2sin2A B = ∵0A π<<，0B π<< ∴022A π<<，022B π<<
∴22A B =或22A B π+= ∴A B =或2A B π+=
故△ABC 为等腰三角形或直角三角形
达标检测
1．D 2．A 3．
C 4．C 5．B 6．
D 7
．4；90° 8．7：5：3 9 10.证明：由正弦定理得，令a=ksinA ，b=ksinB ， c=ksinC ，代入得：左边=k （sinAsinB-sinAsinC
+sinBsinC-sinBsinA+sinCsinA -sinCsinB ）=0=右边 ∴等式成立
2014级必修五 编号1002 课题：正弦定理（第二课时） 编制人：闫宝新 审核人：王国燕 编制日期：2015年4月8日 星期三 班级 姓名
【学习目标】：初步掌握利用正弦定理解决实际问题且能判断解的个数；
会运用数形结合的思想方法分析问题，解决问题。

一、【复习】：
1、 正弦定理的内容；
2、 正弦定理的变形；
3、 三角形面积公式：1
1
1
sin sin sin 222
ABC
s ab C ac B bc A 二、【学习过程】
（A ）1、 在△ABC 中，若3a = 2b sin A ，则∠B 为( )
A.
3π B.6π C.6π或6π5 D.3
π或3π
2
(A)2、已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )
A ．9
B ．18
C ．93
D ．183
(B)3、根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A 、
30,16,8===A b a ，有两解 B 、
60,20,18===B c b ，有一解
C 、 90,2,5===A b a ，无解
D 、
150,25,30===A b a ，有一解
(B)4、若△ABC 的三内角∠A ，∠B ，∠C 满足 sin A = 2sin C cos B ，则△ABC 为 三角形. (A)5、在ABC ∆中，::2:3:4a b c = ，求C
B
A sin sin sin 2-的值。

(B)6、在△ABC 中，A = 45°，B : C = 4 : 5，最大边长为10，求角B ，C ，△ABC 外接圆半径R 及三角形的面积S .
三、【达标检测】
(A)1、在△ABC 中，b = 8，c =38，S △ABC =316，则∠A 等于( )
A. 30 º
B. 60º
C. 30º 或 150º
D. 60º 或120º (A)2、 △ABC 中，下述表达式：①sin(A + B )+ sin C ；②cos( B + C )+ cos A ；
③cos(
)sin 22
A B C
，其中表示常数的是( ) A. ①和②
B. ①和③
C. ②和③
D. ①②③
(A)3、在ABC ∆中，C=2B ，则B B
sin 3sin 等于（ ）
A 、
a
b
B 、b a
C 、c
a
D 、
a
c
(B)4、在ABC ∆中，已知
45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理，三角形有两解，则x 的取值范围是（ ）
A 、2<x <22
B 、x >22
C 、2<x <2
D 、0<x <2
(A)5、已知△ABC 的面积为23
，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．
(c)6、已知ABC ∆中，c AB a BC ==,，且b
b
c B A
-=2tan tan ，求A 。

四、【拓展提高】
(c)7. 在ABC ∆中，C
B C
B A cos cos sin sin sin ++=，试判断AB
C ∆的形状。

2014级必修五 编号1002 课题：正弦定理（第二课时） 编制人：闫宝新 审核人：王国燕 编制日期：2015年4月8日 星期三 班级 姓名
1002 正弦定理（第二课时）答案
学习过程 1．D 2．C 3．D 4．等腰
5．解：∵::1:3:5a b c = 故设,3,5a k b k c k ===
在△ABC 中，由正弦定理得：22sin sin 2232215sin 52a b A B a b k k
R R c C C K
R
-
---====-
6．解：∵∠A=45°，A+B+C=180°且B ：C=4：5 ∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°
易知 C=10 在△ABC 中，由正弦定理得：
2sin sin c a
R C A
====
∴R =
∴sin 1)sin 2
c a A C =⋅==
∴11sin 101)25(322ABC S ac B ∆==⨯⨯=- 达标检测
1．C 2．C 3．B 4．A 5．60°或120° 6．解：在△ABC
中由正弦定理得：
sin cos cos sin A B A B ⋅=⋅
∴sin cos cos sin cos A B C A B A ⋅=⋅-⋅
即
sin()cos A B C A +=
⋅ 即 sin C
=cos C A ⋅
∵0C π<< ∴sin 0C ≠
∴cos A =且0A π<< ∴4A π
=
7．解：∵sin sin sin cos cos B C
A B C
+=
+
∴sin cos sin cos sin sin A B A C B C +=+sin()sin A C C =++ sin cos cos sin sin A C A C C =++
∴sin cos cos sin sin A B A C C =+
cos sin sin()A C B A =++cos sin sin cos cos sin A C A B A B =++ ∴cos sin cos sin 0A C A B +=
即cos (sin sin )0A C B +=
∵0A π<<，0B π<< ∴sin sin 0C B +≠
∴cos 0A = ∴2A π
=
故△ABC 为直角三角形
2014级必修五 编号1003 课题：1.1.2 余弦定理（第一课时） 编制人：闫宝新 审核人：王国燕 编制日期：2015年4月8日 星期三 班级 姓名
一、学习目标：1.应用余弦定理及其变形解决解三角形问题：已知三边；已知两边及一角。

2.能利用余弦定理及其变形判断三角形的形状。

二、预习思考：1.余弦定理的内容是什么？
2.余弦定理的变形是什么？
3.余弦定理及其变形能解决哪两类解三角形问题？
三、典型例题：
(a)例1、已知三角形的两边分别为4和5，它们夹角的余弦是方程02322
=-+x x 的根，求第三条
边的边长。

(a)练习1：已知ABC ∆中，)13(:6:2::+=c b a ，求角B 。

(b)例2、在ABC ∆中，已知ab c b a c b a 3))((=-+++，且C B A sin sin cos 2=⋅，确定ABC
∆的形状。

(b)练习2、在ABC ∆中，B a A b cos cos =，试判断三角形的形状。

四、作业
(a)1、在ABC ∆中，若ac c a b ++=2
2
2
，则角B 为（ ） A 、60°
B 、45°或135°
C 、120°
D 、30°
(a)2、在ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若ab
b a
c 22
22-->0，则ABC ∆（ ）
A 、一定是锐角三角形
B 、一定是直角三角形
C 、一定是钝角三角形
D 、是锐角或直角三角形
(a)3、在ABC ∆中，已知cos cos a A
b B ，那么这个三角形是（ ）
A 、等腰三角形
B 、直角三角形
C 、等腰直角三角形
D 、等腰三角形或直角三角形
(a)4、在ABC ∆中，7:5:3::=c b a ，则ABC ∆的最大角是（ ） A 、30° B 、60° C 、90° D 、120°
(a)5、在ABC ∆中，4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则C cos 的值为（ ）
A 、41-
B 、41
C 、3
2
- D 、32
(b)6、ABC ∆中，已知
30,33,3===B c b ，边a 等于
(b)7、ABC ∆中三边分别为a 、b 、c ，且4
2
22c b a S -+=∆，那么角C=
(c)8、在ABC ∆中，已知b c a b a 2,4=+=-，且最大角为120°，则这个三角形的最大边等
于 。

(c)9、如图所示，在ABC ∆中，AB=5，AC=3，D 为BC 的中点，且AD=4，求BC 边的长。

2014级必修五 编号1003 课题：1.1.2 余弦定理（第一课时） 编制人：闫宝新 审核人：王国燕 编制日期：2015年4月8日 星期三 班级 姓名
1.1.2 余弦定理（1）答案
例1：解设4=a ,5=b ，它们夹角为C
由已知202322
-=⇒=-+x x x （舍）或21=
x 即21cos =C 则21212
154254cos 22
2222=⇒=⨯⨯⨯-+=-+=c C ab b a c
即第三条边的边长是21
练习1：解：设m a 2=，m b 6=，)0()13(>+=m m c
21
)13(22)6(])13[()2(2cos 222222=+⨯⨯-++=-+=m
m m m m ac b c a B 又︒<<︒1800B
则︒=60B
例2解：2
1
2cos 3)(2222
2
2
2
2
=-+=⇒=-+⇒=-+ab c b a C ab c b a ab c b a ︒=⇒60C ①
︒<<︒1800C
2⇒+=⇒=⋅)sin(sin cos 2sin sin cos B A B A C B A B A B A B A sin cos cos sin sin cos 2+=
即0)sin(0sin cos cos sin =-⇒=-B A B A B A △ABC 中 0=-B A 即B A = ②
由①②得：︒===60C B A △ABC 是等边三角形
练习2：解：ac
b c a a bc a c b b B a A b 22cos cos 2
22222-+⋅=-+⋅⇒=
整理得 ABC b a ∆⇒=是等腰三角形
作业：
1—5 CCDDA 6、3或6 7、︒45 8、14 9、解：设BD=DC=x
△ABD 中：ADB BD AD BD AD AB ∠⋅-+=cos 22
2
2
即：ADB x x ∠⨯⨯-+=cos 424522
2
① △ADC ：ADC DC AD DC AD AC ∠⋅⋅-+=cos 22
22 即：ADC x x ∠⨯⨯-+=cos 42432
2
2
② 又 ADC ADB ∠-=∠cos cos
则①+②整理得：2112
=⇒=⇒=BC x x
2014级必修五 编号1004 课题：1.1.2 余弦定理（第二课时） 编制人：闫宝新 审核人：王国燕 编制日期：2015年4月8日 星期三 班级 姓名 一、学习目标：熟练应用余弦定理及其变形解决求三角形问题以及判断三角形的形状。

二、知识复习：
1、余弦定理：
a 2= ，
b 2= ，
c 2= 。

2、余弦定理的变形：
=A cos ，=B cos ，=C cos 。

三、典型例题
（a ）例1：在ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且b=3,c=1,ABC
求cos A 和
a 的值.
(b)例2：在ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知6
,sin 6sin 6
a
c
b B C . (1)
求cos A 的值； (2)求cos(2)6
A
的值.
四、作业
(a)1．在△ABC 中，若C B A 2
2
2
sin sin sin <+，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定
(b))2．在△ABC 中，若a=7，b=3，c=8则其面积等于（ ）
A ．12
B ．
212
C ．28
D ．
(b)3．在△ABC 中，AB=3，AC=4则边AC 上的高为（
）
A ．
2 B ．
C ．2
D ．3
2
(b)4．在△ABC 中，若a=7，b=8，cosC=13
14
则最大角的余弦值是（ ） A ．15
-
B ．16-
C ．17-
D ．1
8
-
(b)5．△ABC 的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则AB BC ⋅的值为（ ） A ．19 B ．14 C ．-18 D ．-19
(c)6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2,45,1===∆ABC S B a
，则ABC ∆
的外接圆直径是（ ） A 、34
B 、5
C 、25
D 、26
(a)7．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ab c b a c b a =++-+))((，则角C=
.
(a)8
．若平行四边形两条邻边长度分别是 cm 和，它们夹角是45°，则这个平行四边形两条对角线的长度分别为 .和 . (b)9．在ABC ∆中，若c=4，b=7，BC 边上的中线AD 的长为
2
7
，则边长a = (c)10．已知△ABC 中，AC=6，∠
B=60°，S △ABC ，则△ABC 的周长为 。

(c)11．设ABC 的内角A,B,C 所对的边的长分别为a,b,c ，且b=3,c=1,A=2B.
(1)求a 的值；(2)求sin()4A
的值.
2014级必修五 编号1004 课题：1.1.2 余弦定理（第二课时） 编制人：闫宝新 审核人：王国燕 编制日期：2015年4月8日 星期三 班级 姓名
1.1.2 余弦定理（2）答案
例1：解2sin 21
==∆A bc S ABC 322sin =⇒A 3=b 1=c ︒<<︒1800A
（1）当31cos =A 时，2283113213cos 22
2222=⇒=⨯⨯⨯-+=-+=a A bc c b a
（2）当31cos -=A 时，3212)31(13213cos 22
2222=⇒=-⨯⨯⨯-+=-+=a A bc c b a
即当2231cos ==a A 时，当323
1
cos =-=a A 时
例2：解（1）c b C B 6sin 6sin =⇒=
b c a 6
6=- △ABC 中，46
62)2()6(2cos 222222=
⋅⋅-+=-+=c
c c c c bc a c b A （2）△ABC 中4
10cos 1sin 46cos 2=-=⇒=
A A A 则4
1
1cos 22cos 2
-
=-=A A 415cos sin 22sin ==A A A
8
3
152141523)41(6sin
2sin 6
cos
2cos )6
2cos(-=⨯+⨯-=+=-⇒π
π
π
A A A 作业：
1-6 ADCCDC 7、︒120 8、cm 154 cm 34 9、9 10、16 11、解（1）B A B A 2sin sin 2=⇒=B B A cos sin 2sin =⇒
ac
b c a b a 222
22-+⋅=⇒
3=b 1=c
（2）3
1
13212132cos 22222-=⨯⨯-+=-+=
bc a c b A △ABC 中 3
2
2cos 1sin 2
=
-=A A 6
2
422)31(223224sin cos 4cos sin )4sin(-=⨯-+⨯=+=+πππA A A
c a 2=⇒ 32122=⇒=⇒a a
31sin 1cos 2±=-±=⇒A A
2014级必修五 课题：解三角形习题课 编制人：闫宝新 审核人：王国燕 编制日期：2015年4月17日 班级 姓名
解三角形习题课
学习目标：能熟练地运用正、余弦定理解决三角形中的有关问题。

一、
正余弦定理直接应用
(A)1.在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c.
(A)2．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π
3，则a ＝________.
(A)3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.
(A)4．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，已知c ＝3，C ＝π
3，a ＝2b ，则b 的值为_____．
(A)5．在△ABC 中，若AB=3－1，BC=3+1，AC=6，则B 等于（ ） A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
(A)6．在△ABC 中，A=45°，AC=4，AB=2，那么cosB=（ ）
A ．10103
B ．－10
10
3
C ．5
5
D ．－5
5
二、正余弦定理推理应用
(A)7．在△ABC 中，若5,5||,2||-=⋅==AC AB AC AB ，则S △ABC =（ ） A ．
2
3
5
B ．3
C ．
2
5 D ．5
(B)8．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．
(B)9．在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，ABC S
＝3，则a ＋b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
的值为 ( ) A.2633 B.2393 C.393 D.1333
(B)10．在锐角三角形ABC 中，b =1,c =2,则a 的取值范围是（ ） A ．1＜a ＜3
B ．1＜a ＜5
C ．3＜a ＜5
D ．不确定
(A)11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边分别为c b a ,,，且A ＞B ，则一定有（ ）
A ．cosA ＞cos
B B ．sinA ＞sinB
C ．tanA ＞tanB
D ．sinA ＜sinB (B)12．在△ABC 中，∠A=60°，4,6==b a .满足条件的△ABC （ ）
A ．无解
B ．有一解
C ．有两解
D ．不能确定
(A)13.已知ABC 中，222sin A=sin sin B C +，则ABC 的为_______三角形
(B)14．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c,C=2B,则cosC=（ ） A ．
25
7
B ．－
25
7
C ．±
25
7 D ．
25
24 (B)15．在△ABC 中，关于x 的方程（1+x 2）sinA+2x sinB+(1-x 2)sinC=0有两个不等的实数根，则A 为（ ）
A ．锐角
B ．直角
C ．钝角
D ．不存在 (B)16．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A 是锐角,且3b ＝2a·sin B. (1)求A ； (2)若a ＝7，△ABC 的面积为103，求2
2
c b +的值．
(B)17．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. （1）求A 的大小；
（2）若sinB+sinC=1，试判断△ABC 的形状.
三、综合应用
(C)18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，2
7
2cos 2sin 42
=-+A C B . (1)求∠A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．
2014级必修五 课题：解三角形习题课 编制人：闫宝新 审核人：王国燕 编制日期：2015年4月17日 班级 姓名
解三角形习题课 答案
一、
1
、解：sin sin a B
A b
⋅=
== 又∵A 是△ABC 内角 ∴ 60A ∠=或
120
①60A ∠=时，75C ∠=
，sin sin b C C B ⋅==②120A ∠=时，15C ∠=
，sin sin 2
b C C B ⋅=
=
2、1 3
、
3
4
5、C
6、D 二、
7、A 8、2 9、B 10、C 11、B 12、A 13、直角 14、A 15、A 16、解：（1
）2sin a B =
2sin sin B A B = ∴
sin 2
A =
∵ A 是锐角，∴A=60°
（2
）由题意得：222cos 49
1sin 2
b c bc A bc A ⎧+-=⎪
⎨=⎪⎩
∴ 2
2
1
40,49240892
bc b c =+=+⨯⨯=
17、解：（1）2
2(2)(2)a b c b c b c =+⋅++⋅ 即222
a b c bc =++
又∵ 222
2cos a b c bc A =+- ∴ 1cos 2
A =-且A 是三角形内角 ∴A=120°
（2）sin sin 1B C += ∴ sin sin(60)1B B +-=
∴
1
sin sin 122
B B B +
-=
∴ sin(60)1B += ∵ 6060120B <+<
∴ 6090B +=
∴ 30,30B C == ∴ ABC ∆为等腰三角形。

三、18、解（1）2
7
4cos
cos 222
A A -= ∴ 2
7
2(cos 1)2cos 12
A A +-+=
∴ 1cos 2
A =
又∵A ∠为三角形内角，∴ 60A ∠=
（2）22222
22
()295
22cos 3b c b c bc b c bc b c bc A ⎧+=++=-⎧+=⎪⇒⎨⎨=+-=⎪⎩⎩
∴222
()2541b c b c bc -=+-=-=
||1231b c b b c c -==⎧⎧⇒⇒⎨⎨
+==⎩⎩
或2
1c b =⎧⎨=⎩
2014级必修四 编号：1005 课题：应用举例 编制人：郑文铎 审核人：王国燕 编制日期 ：2015年4月16日 班级 姓名
【学习目标】学会用正余弦定理解决应用问题 【基本概念】
1、仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）
方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为α（如图②）
3、方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③） ①北偏东α：指北方向顺时针旋转α到达目标方向。

②东北方向：指北偏东45º或东偏北45º ③其他方向角类似。

【典型例题】
例1、要测量河对岸两地A 、B 之间的距离，在岸边选取相距1003米的C 、D 两点，并测得∠ACB=75º，∠BCD=45º，∠ADC=30º，∠ADB=45º（A 、B 、C 、D 在同一平面内），求A 、B 两地的距离。

例2．海中有小岛A ，已知A 岛四周8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，在B 处望见A 岛在北偏东
75，航行220海里后到达C 处，见此岛在北偏东
30，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁的危险？（414.12,449.26≈=≈=）
【课后作业】
1．如图所示：在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四 组数据，较适宜的是（ ）
A ．a 和c
B ．c 和b
C ．c 和β
D ．b 和α
2、在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走103米，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数。

3．A 、B 是海平面上的两点，相距800m ，在A 点测得山顶C 的仰角为
45，
∠BAD= 120，又在B 点测得∠ABD= 45，其中D 是点C 到水平面的垂
足，求山高CD 。

4、某观测站C 在城A 的南偏西20º的方向，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40º，在C 处测得公路上B 处有一人，距C 为31千米，正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 和上，此时CD 间的距离为21千米，问：这人还需要走多少千米才能到达A 城？
2014级必修四 编号：1005 课题：应用举例 编制人：郑文铎 审核人：王国燕 编制日期 ：2015年4月16日 班级
姓名
应用举例参考答案
【典型例题】
例1、解：30,60CAD CBD ∠=∠
=
在△ACD 330030sin120AD
AD =
∴= 在△BCD
360sin 45
BD
BD =∴
=
在△
ABD 中 余弦：AB 2=AD 2+BD 2=2BD ·AD cos45º=5×104 ∴AB=例2、解：在△ABC 中，
sin15sin 45
AC BC
=
∴AC=
在RtACD 中 AD=AC ·sin60º=
≈21.2112.2458.96578-=
∴无触礁危险
【课后作业】
1、D
2、解：在△BCP 中
30sin(4)sin
2πθθ
=
- ∴
cos 226
π
θθ==
∴12
πθ=
3、解：45BDA ∠= 45
CAD ∠=
sin sin 45
AB AD
BDA ∴
=
∠
1)CD AD ∴==
1)AD ∴= 4、解：在△BCD 中，1cos sin 7
7
ββ=-
∴=
sin sin()sin()3314π
παπββ=+-=--= 在sin 60sin CD AD
ACD α
∆=中
∴AD=15
2014级必修四 编号：2001 课题：数列 编制人：郑文铎 审核人：王国燕 编制日期 ：2015年4月16日 班级 姓名
第二章 数列 2.1.1 数列
一、学习目标
理解数列的概念及数列的通项公式，能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，会判断数列的单调性。

二、基本概念
1．概念：按照 排列起来的一列数叫做数列。

数列中的每一个数叫做这个数列的 。

2．数列的一般形式为： ，简记为 。

其中 叫做数列的通项。

3．如果数列的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个函数式 来表示，那么这个公式叫
做数列的 。

数列的通项公式也就是相应的 。

4．数列是定义在 上的函数，它们的图像时相应的曲线（或直线）上横坐标为 的一些 。

5．根据数列的项数，数列可分为 和 。

6．从第 项起， 叫做递增数列；从第 项起， 叫做递减数列；各项 叫做常数列。

三、典型例题
例1．根据{}n a 的通项公式，写出它的前5项。

（1）1+=n n a n （2）n a n
n ⋅-=)1( （3）2211
n n a n +=+
例2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数 （1）1，2，3，4， （2）1，3，5，7；
（3）515,414,313,2122222----； （4）21-，41
，81-，161； （5）211-，3121-，4131-，5
1
41-
四、课后作业
1．79是数列3、7、11、15…的（ ）
A ．第18项
B ．第19项
C ．第20项
D ．第21项 2．以下四个结论中①数列的递推公式也是给出数列的一种方法②数列都可以用通项公式来表示③数列可以用图象表示，从图象上看，它是一群孤立点④数列的通项公式是唯一的。

其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③④
3．数列4，－1，
1710，3113-…的一个通项公式n a 是（ ） A ．（1-）121221-++n n n B ．（1-）121321+++n n n C ．（1-）121221+++n n n D ．（1-）1
2132
1-++n n n 4．数列172-=n a n ，该数列中相领两项积为负数的是（ ）
A ．6a 和7a
B ．7a 和8a
C ．8a 和9a
D ．9a 和10a
5．下列数列是递增数列的是（ ） A ．5-=n a n B ．43-=n a n C ．n n a )2
1(= D ．n n a n 42
-=
6．已知：数列的通项公式为：n n a n -=2
，则该数列中20是第 项。

7．数列{}n a 中，32922++-=n n a n ，{}n a 中的最大项是 。

8．已知数列的通项公式为1
2
2
+=
n n
a n
（1）写出数列{}n a 的前5项；（2）0.98是不是它的项？（3）判断此数列的增减性。

9．写出下列数列的通项公式： （1）2，5，10，17，26，…… （2）－
31，81，－151，241，－35
1，…… （3）5，11，17，23，29，……
10．数列{}n a 的通项公式为98
97--=n n a n ，它的前30项中最大项是第几项？最小项是第几项？
2014级必修四 编号：2002 课题：数列的递推公式 编制人：郑文铎 审核人：王国燕 编制日期 ：2015年4月18日 班级 姓名
2.1.2 数列的递推公式
一、教学目标
了解数列的递推关系，并用给出的递推关系解决一些简单问题。

二、基础知识
如果已知数列{a n }的 （或前几项），且任一项a n 与它的 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

三、典型例题
例1、已知数列{a n }的第一项11a =，以后的各项由公式122
n
n n a a a +=+给出，试写出这个数列的前5项。

例2、在数列{a n }中，已知11211,2(2)1
n n a a a n +=-=-。

（1）试写出该数列的前4项； （2）归纳出它的通项公式。

四、课后作业
1、已知数列{a n }中，1212,2,5n n n a a a a a ++=-==，则5a =（ ） A 、-3
B 、-11
C 、-5
D 、19
2、已知数列{a n }满足113,0n n a a a +=+=，则数列{a n }的通项公式可以是（ ） A 、n
B 、2n
C 、3n-3
D 、3n+3
3、已知数列{a n }满足112(0)2
121(1)
2
n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若167a =，则2014a 的值为（ ）
A 、
6
7
B 、
57
C 、
37
D 、
17
4、已知11
1
1,1(2)n n a a n a -==+
≥，则5a = 。

5、已知数列{a n }对任意的,p q N +∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ） A 、-165
B 、-33
C 、-30
D 、-21
6、已知数列{a n }中，121,2a a ==，以后各项由12()n n n a a a n --=+≥给出。

（1）写出此数列的前5项；
（2）通过公式1
n
n n a b a +=构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前4项。

2014级必修五 编号：2003 课题：等差数列（一） 编制人：李新洁 审核人：王国燕 编制日期 ：2015.4.20 班级 姓名
【学习目标】
1、阅读课本35，感悟等差数列的含义，并会用等差数列的定义判断一个数列是否为等差数列
2、能根据等差数列的定义归纳猜想出等差数列的通项公式，并能用叠加法证明，结合课本例2，
例3及学案能熟练求解关于1a d n n a 的计算问题
3、能够运用等差数列定义推导等差中项，并能用它来解决求值问题
4、反复阅读课本37页关于数列和函数关系的结论，体会等差数列通项公式n a 与一次函数的关系，
结合学案例3类比函数的观点解决等差数列问题
【自主学习】阅读课本35-37页内容及例题1、2，思考下面问题
(a)1.关于等差数列的定义的思考：
（1）如何用数学语言表示等差数列定义？： （2）等差数列至少有几项？ （3）怎样求公差？
（4）如何判断、证明一个数列是等差数列?
(b)2.等差数列的通项公式的推导
（1）已知等差数列{a n }的首项1a ，公差为d ，你能用1a 和d 表示出2a 3a 4a ，观察规律归纳出
通项公式n a 吗？
（2）请用叠加法证明你的结论
(b)3、等差中项（1）如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么如何用x ，y 表示A?
（2）怎么证明(1)的结论？
(c)4.从函数角度研究等差数列的性质与图像思考：
等差数列与一次函数有什么关系？等差数列的单调性与什么有关？
【尝试练习】
一、基础过关
（a ）1、已知等差数列2,5,8,．．．．．则=4a ________,n a =________ （a ）2、已知等差数列{}n a 中16,3a d ==，则n a =________,8a =______ （b ）3、以38n a n =+为通项公式的等差数列的首项是_____ 公差是_______
（a ）4、已知数列{a n }为等差数列，且a 5=11,a 8=5,a 11=________
（a ）5、判断下列数列是否为等差数列.（1）a n =3n +2；（2）a n =n 2+n .
(b)6、已知等差数列{a n }中，a 10=29,a 21=62,求n a 并判断91是否为此数列中的项.
(c)7、已知（1,4），（3,-4）是等差数列{a n }的图像上的两点，求n a 并判断数列的单调性
【小结】 【巩固提高】
（a ）1.在等差数列{a n }中,a 2=2,a 3=4,则a 10=（ ）
A.12
B.14
C.16
D.18
(a) 2.已知等差数列{a n }的通项公式a n =3-2n ,则它的公差为（ ）
A.2
B.3
C.－2
D.－3
(a) 3.方程x 2-6x +1=0的两根的等差中项为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
(b) 4、等差数列1，-1，-3，-5，…，-89，它的项数为（ ）
A.92
B.47
C.46
D.45 （b ）5、在数列{a n }中，21=a 1221+=+n n a a ，则101a 的值为（ ）
A.49
B.50
C.51
D.52
（b ）6、等差数列相邻四项是a+1,a+3,b,a+b,那么a=_______,b=______ (b)7、在等差数列{a n }中，a 2=3,a 4=a 2+8,则a 6=
.
(c)8、已知a 、b 、c 成等差数列，那么二次函数y=ax 2+2bx +c (a ≠0)的图像与x 轴的交点有___个. (b)9、在等差数列｛a n ｝中，已知a 5=10,a 12=31,求通项公式a n .
2014级必修五 编号：2003 课题：等差数列（一） 编制人：李新洁 审核人：王国燕 编制日期 ：2015.4.20 班级 姓名
2003 等差数列（一）学案答案
自主学习： 1，（1）
（2）3
（3）.d =a n +1-a n (n ∈N +)或者d =a n -a n-1 (n ∈N +且n ≥2).
（4）要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n ,a n +1-a n 是同一个常数(或a n -a n-1 (n >1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n 无关的常数.
注意:判断一个数列是等差数列的定义式：a n+1-a n =d (d 为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明a n+1-a n 或a n -a n-1 (n >1)不是常数，而是一个与n 有关的变数即可.
2.（1）d n a a d a a d a a d a a n )1(.....3,2,1141312-+=+=+=+=
(2)（叠加法）：∵{a n }是等差数列，∴a n -a n-1=d ,a n-1-a n -2=d ,a n -2-a n -3=d ,…,a 3-a 2=d,a 2-a 1=d . 将以上各式相加得：a n -a 1=(n -1)d , ∴a n =a 1+(n -1)d . 3(1)2y x A +=
(2)2
2,,-,,y
x A y x A A y x A d A y d x A y A x +=⇒+=⇒-=-=-=∴成等差数列 4等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d 变形整理可得a n =dn +a 1-d ，从函数角度来看，a n =dn +(a 1-d )是
关于n 的一次函数(d ≠0时)或常数函数(d =0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d 是该射线所在直线的斜率,函数的单调性与公差有关，当d>0,为递增数列，当d<0,为递减数列，当d=0为常数列 尝试练习
(1)11,3n-1 (2), 3n+3,27 (3) 11,3 (4) -1 (5) 利用等差数列定义，看a n+1-a n 是否为常数即可. (1)a n+1-a n =3(n +1)+2-(3n +2)=3(n ∈N +).由n 的任意性知，这个数列为等差数列. (2)a n+1-a n =(n +1) 2+(n +1)-(n 2+n )=2n +2,不是常数，所以这个数列不是等差数列. (6) 设等差数列的公差为d ,则有 a 10=a 1+9d =29
a 21=a 1+20d =62解得a 1=2,d =3.∴a n =2+(n -1)×3＝3n -1.令a n ＝3n -1=91,得n =
3
92
∉N +. ∴91不是此数列中的项.
（7）由等差数列上两点可知41=a ，43-=a 得d=-4,84+-=n a n ,d<0,所以数列为单减数列 巩固提高
1 D
2 C
3 C
4 C
5 D
6 2,
7 7,19
8,1或2 ［解析］ ∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b=a+c ,又Δ=4b 2-4ac =(a+c ) 2-4ac =(a-c )2≥0. 9 ， a 1+4d =10 a 1=－2 ［解析］ 由题意得 , 解得 .
a 1+11d =31 d=3
∴a n =-2+(n -1)×3＝3n -5.
)( 1为常数d d a a n n =--)2(≥n )( )( *1N n d d a a n n ∈=-+为常数
2014级必修五编号：2004 课题：等差数列（二）编制人：李新洁审核人：王国燕编制日期：2015.4.22 班级姓名
学习目标：
1.熟练等差数列定义，能够判断相关数列是否仍是等差数列。

2.通过中项、通项，研究项与项的关系。

3.能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题.
自主学习：阅读课本37-38页，学习例题4、5，思考下面问题
1.与等差数列｛a n｝相关的哪些数列仍是等差数列？
2. 等差数列｛a n｝通项公式的推广：
（1）两项关系，a n=a m+ (m、n∈N+).
（2）多项关系，项的运算性质：若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，则=a p+a q.
特别地，若m+n=2p(m、n、p∈N+)，则a m+a n= .
3. 等差数列的性质
（1）若｛a n｝是公差为d的等差数列，则下列数列：
①｛c+a n｝(c为任一常数)是公差为的等差数列；
②｛c·a n｝(c为任一常数)是公差为的等差数列；
③｛a nk｝(k∈N+)是公差为的等差数列.
（2）若｛a n｝、｛b n｝分别是公差为d1、d2的等差数列，则数列｛pa n+qb n｝(p、q是常数)是公差为的等差数列.
尝试练习：课本38页练习B 2、3
(a)1.已知等差数列｛a n｝中，a7+a9＝16,a4=1，则a12等于（）
A.15
B.30
C.31
D.64
(b)2.在等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8=（）
A.45
B.75
C.180
D.300
(a)3.下列命题中正确的是（）
A.若a,b,c成等差数列，则a2,b2,c2成等差数列
B.若a,b,c成等差数列，则log2a,log2b,log2c成等差数列
C.若a,b,c成等差数列，则a+2，b+2,c+2成等差数列
D.若a,b,c成等差数列，则2a，2b,2c成等差数列
（b）4、已知｛a n｝为等差数列，a15=8,a60=20,求a75. （c）5、若数列{a n}为等差数列，a p=q,a q=p(p≠q)，则a p+q为（）
A.p+q
B.0
C.-(p+q)
D.
2
q
p
提炼总结：
课堂巩固训练：
(a)1.已知{a n}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（）
A.4
B.5
C.6
D.7 (b)2.如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=（）
A.14
B.21
C.28
D.35 (a)3.等差数列｛a n｝中，a4+a5=15,a7=12,则a2=（）
A.3
B.-3
C.
2
3
D.-
2
3 (a)4.在等差数列{a n}中，a3=7,a5=a2+6，则a6= .
(a)5.等差数列｛a n｝中，若a2+a4028=4,则a2015＝.
(b)6. ｛a n｝为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=.
(b)7. 已知等差数列｛a n｝的公差是正数，且a3a7=-12,a4+a6=-4,求｛a n｝的通项公式.
(c)8. 已知数列｛a n｝,a n=2n-1,b n=a2n-1.求｛b n｝的通项公式；
2014级必修五 编号：2004 课题：等差数列（二） 编制人：李新洁 审核人：王国燕 编制日期 ：2015.4.22 班级 姓名
2004 等差数列（二）答案
自主学习
1、若数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则 （1）｛a n ｝去掉前几项后余下的项仍组成公差为d 的等差数列；
（2）奇数项数列｛a 2n -1｝是公差为2d 的等差数列；偶数项数列｛a 2n ｝是公差为2d 的等差数列； （3）若｛k n ｝是等差数列，则｛a kn ｝也是等差数列. 2、(n-m )d a m +a n 2a p 3.d cd kd pd 1+qd 2
尝试练习1、［答案］ A
［解析］ ∵a 7+a 9=2a 8=16,故a 8=8. 在等差数列{a n }中，a 4,a 8,a 12成等差数列， 所以a 12=2a 8-a 4=16-1=15. 2、［答案］ C
［解析］ 由a 3+a 7=a 4+a 6=2a 5，得a 3+a 7+a 4+a 6+a 5=5a 5=450,∴a 5=90. ∴a 2+a 8=2a 5=180. 3、［答案］ C
［解析］ ∵a,b,c 成等差数列，∴2b=a+c ,∴2b +4=a+c +4, 即2（b +2）=(a +2)+(c +2), ∴a +2,b +2,c +2成等差数列. 4、［解析］ 解法一：∵a 15=a 1+14d,a 60=a 1+59d , a 1+14d =8 ∴ ，
a 1+59d =20
a 1=15
64
解得
d =
154 ∴a 75=a 1+74d =1564+74×15
4
＝24.
解法二：∵a 60=a 15+45d ,∴45d =a 60-a 15=20-8=12,∴d =
154. ∴a 75=a 60+15d =20+15×15
4
＝24 5、［分析］ 本题可用通项公式求解.
利用关系式a n =a m +(n-m )d 求解. 利用一次函数图像求解. ［答案］ B
［解析］ 解法一：∵a p =a 1+(p -1)d , a q =a 1+(q -1)d , a 1+(p -1)d=q ① ∴
a 1+(q -1)d =p ②
①-②，得（p -q ）d =q-p .∵p ≠q ,∴d =-1.
代入①，有a 1+(p -1)(-1)=q ,∴a 1=p+q -1.
故a p+q =a 1+(p+q -1)d=p+q -1+(p+q -1)(-1)=0.∴应选B. 解法二：∵a p =a q +(p-q )d ,∴q =p +(p-q )d ,即q-p =(p-q )d .
∵p ≠q ,∴d =-1. 故a p+q =a p +［(p+q-p )］d=q+q (-1)=0.∴应选B.
解法三：不妨设p<q ，由于等差数列中，a n 关于n 的图像是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点（p ,a p ）,(q,a q ),(p+q,a p+q )共线.设a p+q =m ，由已知，得三点（p,q ）,(q,p ),(p+q,m )共线（如图）.由△ABE ∽△BCF ，得
BE AE =FC
BF
. ∴
p q p q --=q
q p m p -+-)(. ∴1=p m
p -.
得m =0，即a p+q =0.∴应选B.
［说明］ 本题采用了三种方法，第一种方法使用的是方程思想，由已知建立了两个关于首项a 1和公差d 的等式，通过解方程组，达到解题目的.第二种方法使用的是通项公式的推广形式a n =a m +(n-m )d .第三种方法使用的是函数的思想，通过点（p,a p ）,(q,a q ),(p+q,a p+q )共线求得其解，这也是解决本类问题较简便的方法.
巩固练习
1、［答案］ C
［解析］ ∵{a n }为等差数列，∴a 2+a 8=2a 5, ∴2a 5=12,∴a 5=6. 2、［答案］ C
［解析］ ∵a 3+a 4+a 5=12，∴3a 4=12, ∴a 4=4.∴a 1+a 2+…+a 7=(a 1+a 7)+(a 2+a 6)+(a 3+a 5)+a 4=7a 4=28. 3、［答案］ A
［解析］ ∵a 4+a 5=15,∴a 2+a 7=a 4+a 5=15, 又a 7=12.∴a 2=3. 4、［答案］ 13
［解析］ 设公差为d ,∵a 5=a 2+6,∴a 5-a 2=3d =6, ∴a 6=a 3+3d =7+6=13. 5、［答案］ 2
［解析］ ∵{a n }为等差数列， ∴2a 2015=a 2+a 4028, ∴a 2015=
2
40222a a +=24
=2. 6、［答案］ 1
［解析］ ∵a 1+a 3+a 5=105,即3a 3=105
∴a 3=35,同理a 4=33,∴d=a 4-a 3=-2 ∴a 20=a 4+(20-4)d =1. 7. ［解析］ ∵a 3+a 7=a 4+a 6=-4,又a 3a 7=-12 ∴a 3、a 7是方程x 2+4x -12=0的两根 而d >0,∴a 3=-6,a 7=2. a 1+2d =-6 ∴
a 1+6d =2
故a 1=-10,d =2,∴a n =2n -12. 8、［解析］ ∵a n =2n -1,b n =a 2n -1,∴b 1=a 1=1,b 2=a 3=5,b 3＝a 5=9，b n =a 2n -1=2(2n -1)-1=4n -3.
2014级必修五 编号：2005 课题：等差数列的前n 项和 编制人：卢岳生 审核人：王国燕 编制日期 ：2015.4.22 班级 姓名
学习目标：
1.通过实例学习等差数列的前n 项和公式及其推导过程，能够用来解决有关等差数列的实际问题.
2.体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系，能用二次函数的相关知识解决有关的数列
问题.
3.熟练运用等差数列的基本量之间的联系，相互求解.
4.进一步熟悉由数列的前n 项和S n 求通项的方法.
自主学习：阅读课本39-41页，思考下面问题
1.等差数列的前n 项和公式
若数列｛a n ｝是等差数列，首项为a 1,公差为d ,则前n 项和S n = = na 1+ =na n -______
2.等差数列前n 项和公式中涉及五个量______________________,已知其中任意_________个就可以列方程组求另外___________个,它是方程思想在数列中的体现.
3..如果S n =an 2+bn +c ，则在___________时{a n }是等差数列，在__________时{a n }不是等差数列；反过来{a n }是等差数列，S n 的表达式可以写成S n =______________的形式，但当{a n }是不为零的常数列时，S n =na 1是n 的一次函数.
4.等差数列前n 项和的性质
（1）等差数列｛a n ｝的前k 项和为S k ,则S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…成公差为 的等差数列. （2）等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,则｛
n
S n
｝也是 .
尝试练习：
1、根据下列各题中的条件，求相应等差数列{}n a 的前n 项和n S ： （1）16,3,10a d n ===；
（2）12,16,8n a a n ===；
（3）41010,2,12a a n ==-=。

(b)2、计算： ①135+++…(21)n +-；
②246+++…2n +
③135+++…(23)n ++；
④147+++(31)n ++
(a)3、已知等差数列{a n }中，（1）a 1=
23
,d =12
-,S n =-15，求n 和a n ;（2）a 1=1,a n =-512，S n =-1022,求公差d .
(a)4、求等差数列14，11，8，……前50项和，并判断前多少项和最大？
5、已知数列{a n ｝是等差数列，150,0.6a d ==-，
(a)(1)从第几项开始有a n <0;
(b)(2)求此数列的前n 项和的最大值.
(b)6、某屋顶的一个斜面成等腰梯形，要铺上瓦片。

已知最上面一层（一行）铺21块，往下每一层多铺1块，一共铺19层。

问铺屋顶的这个斜面需要用多少块瓦？
(b)7、一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和.
8、数列{a n }的前n 项和S n =3n -2n 2（n ∈N +）， (a)求{a n }；(c)S n 与na n 的大小关系。

提炼总结：
2014级必修五 编号：2005 课题：等差数列的前n 项和 编制人：卢岳生 审核人：王国燕 编制日期 ：2015.4.22 班级 姓名
课堂巩固训练：
(a)1.在等差数列｛a n ｝中，已知a 2=2,a 8=10,则前9项和S 9＝（ ）
A.45
B.52
C.108
D.54
(a)2.数列｛a n ｝是等差数列，a 1+a 2+a 3=-24,a 18+a 19+a 20=78,则此数列的前20项和等于（ ）
A.160
B.180
C.200
D.220
(b)3.记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=2
1
，S 4=20，则S 6=（ ）
A.16
B.24
C.36
D.48 (b)4.等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n = . (a)5.等差数列｛a n ｝中，S 11=2013，则a 6= .
(c)6.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5 (b)7.在等差数列｛a n ｝中：已知S 7=42,S n =510，a n-3=45,求n .
(a)8、在1和15之间插入25个数，使得所得到的27个数成等差数列，求插入的25个数的和。

(b)9、等差数列{n a }的前n 项和为S n ，已知9100,S 0S <>，则此等差数列的前n 项和中，n 是多少时取得最小值？
(b)10、观察如下三角形数表，求第n 行中各数的和。

(a)11、为了参加5000m 长跑比赛，李强给自己制定了10天的训练计划：第1天跑5000m ，以后每天比前一天多跑400m 。

李强10天一共要跑多少路程？
(a)12、已知数列{n a }的前n 项和(1)n S n n =+，则n a = ；
已知数列{n a }的前n 项和2
31n S n n =-+，则该数列的通项公式为 。

(a)13、已知41n a n =+，则n S = ；
(b)14、如果等差数列{n a }的项数是奇数，11,{}n a a =的奇数项的和是175，偶数项的和是150，求这个等差数列的公差d 。

(b)15、已知数列{n a }的前n 项和2
10n S n n =-，数列{}n b 的每一项都有||n n b a =，求数列{}n b 的前
n 项和。

（c ）16、有30根水泥电线杆，要运往1000 m 远的地方开始安装，在1000 m 处放一根，以后每隔50 m 放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共多少？
2014级必修五 编号：2005 课题：等差数列的前n 项和 编制人：卢岳生 审核人：王国燕 编制日期 ：2015.4.22 班级 姓名
2005 等差数列的前n 项和 答案
自主学习： 1.
2
)(1n a a n + 2)1(-n n d ; 2)1(-n n d ;2. a 1,d,n,a n ,S n; 3,2; 4.(1)k 2d (2)等差数列
尝试练习
1、（1）195 （2）72 （3）60
2、（1）2
n （2）(1)n n + （3）2
(2)n + （4）
1
(1)(32)2
n n ++ 3、［分析］ a 1,d,n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量表示，五个基本量
a 1,d,n,a n ,S n 中可“知三求二”. ［解析］ (1)∵S n =n ·
23+2)1(-n n ·（-2
1）=-15， 整理，得n 2-7n -60=0. 解之得n =12或n =-5(舍去). ∴a 12=23+ (12-1)×（-2
1
）=-4. (2)由S n =
2)(1n a a n +=2
)
5121(-n =-1022, 解之得n =4. 又由a n =a 1+(n -1)d ,即-512=1+(4-1)d , 解之得d =-171.
［说明］ 等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题，一般是由通项公式和前n 项和公式联立方程（组）求解.这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用.
4、解：前5项的和最大。

理由：设等差数列{}n a ，则114,30a d ==-<，设其前n 项和最大，
则有10,0,
n n a a +≥⎧⎨<⎩解得141733n <≤，所以 5n =，即前5项的和最大。

5、［分析］ 对于（1）实质上是解一个不等式，但要注意n ∈N ＋；对于（2）实际上是研究S n 随n
的变化规律，由于等差数列中S n 是关于n 的二次函数，所以可以用二次函数的方法处理，也可以由a n 的变化推测S n 的变化.
［解析］ （1）因为a 1=50，d =-0.6,
所以a n =50-0.6(n -1)=-0.6n +50.6. 令-0.6n +50.6≤0，则n ≥
6
.06
.50≈84.3. 由于n ∈N ＋，故当n ≥85时，a n <0，即从第85项起以后各项均小于0. （2）解法一：因为d =-0.6<0,a 1=50>0,
由（1）知a 84>0,a 85<0,所以S 1<S 2<…<S 84,且S 84>S 85>S 86>…. 所以当n =84时，S n 有最大值，即S 84=50×84+
283
84⨯×(-0.6)=2108.4. 解法二：S n =50n +2)1(-n n ×(-0.6)=-0.3n 2+50.3n =-0.3（n -6503）2+1205032.当n 取接近于6
503
的自然
数，即n =84时，S n 达到最大值S 84=2108.4.
［说明］ 求等差数列的前n 项和S n 的最值有两种方法： 方法一：根据项的正负来定.
若a 1>0,d <0，则数列的所有正数项之和最大；若a 1<0,d >0，则数列的所有负数项之和最小.
方法二：S n =na 1+
2)1(-n n d =2d n 2+（a 1-2d ）n =2
d
(n +d d a 21-
)2-d
d
a 2)2(2
1-
=2d [n -（21-d a 1）]2-2d （21-d
a
1）2.
由二次函数的最大、最小值知识及n ∈N +知，当n 取最接近（21-d
a 1
）的正整数时，S n 取到最大值（或最小值），值得注意的是最接近（
21-d
a 1
）的正整数有时有1个，有时有2个. 6、解：由题意得每层的瓦数构成一个首项为21，公差为1的等差数列，
则1919(191)
192115702
S -=⨯+
⨯=（块）。

即铺屋顶的这个斜面需要用570块瓦。

7、［分析］ 解答本题可利用前n 项和公式求出a 1和d ,即可求出S 110,或利用等差数列前n 项和的性质求解.
［解析］ 方法一：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,前n 项和为S n ,则 S n =na 1+2
)
1(-n n d . 10a 1+2
9
10⨯d =100 ① 由已知得
100a 1+
299
100⨯d =10 ② ①×10－②，整理得d =-5011, 代入①，得a 1=100
1099
. ∴S 110=110a 1+2109110⨯d =110×1001099+2109110⨯×（-5011=110（100
11
1091099⨯-）＝－110.
故此数列的前110项之和为－110．
方法二：数列S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,…，S 100-S 90,S 110-S 100成等差数列，设其公差为D ，前10项和10S 10+
2
9
10⨯×D =S 100=10⇒D =-22， ∴S 110-S 100=S 10+（11-1）D =100+10×（-22）=-120. ∴S 110=-120+S 100=-110. 方法三：设S n =an 2+bn . ∵S 10=100,S 100=10, 102a +10b =100 a =-
100
11 ∴ ，⇒ .
1002a +100b =10 b =
10
111。