第2章关模型和关系运算理论

成绩子模式 G(S#，SNAME，C#，GRADE)
图2.8 子模式
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关系模型的形式定义
关系模型有三个重要组成部分：数据结构，数据操纵，数 据完整性规则。 （1）数据结构：数据库中全部数据及其相互联系都被组织成 “关系”（二维表格）的形式。关系模型基本的数据结构是关 系。 （2）数据操纵：关系模型提供一组完备的高级关系运算，以 支持对数据库的各种操作。关系运算分成关系代数、关系演算 和关系逻辑等三类。 （3）数据完整性规则：数据库中数据必须满足实体完整性， 参照完整性和用户定义的完整性等三类完整性规则。
第2章 关系模型和关系运算理论
计算机系
刘金岭
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本章重要概念（一）
（1）基本概念 关系模型，关键码（主键和外键），关系的定义和性质，三类完整性规 则，ER模型到关系模型的转换规则，过程性语言与非过程性语言。 （2）关系代数 五个基本操作，四个组合操作，七个扩充操作。 （3）关系代数表达式的优化 关系代数表达式的等价及等价转换规则，启化式优化算法。

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关系的定义和性质
定义2.2 关系是一个属性数目相同的元组的集合。 在关系模型中，对关系作了下列规范性限制： （1）关系中每一个属性值都是不可分解的； （2）关系中不允许出现重复元组（即不允许出现相同的元组）； （3）由于关系是一个集合，因此不考虑元组间的顺序，即没有行序； （4）元组中的属性在理论上也是无序的，但使用时按习惯考虑列的顺 序。
因此：若R有m个元组，S有n个元组，则R×S有m×n个元组。
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关系代数的五个基本操作 (3)
投影（Projection） 这个操作是对一个关系进行垂直分割，消去某些列，并 重新安排列的顺序。 设关系R是k元关系，R在其分量Ai1，…，Aim（m≤k， i1，…，im为1到k间的整数）上的投影用π i1，…，im（R） 表示，它是一个m元元组集合，形式定义如下： π i1，…，im（R）≡{ t | t＝〈ti1，…，tim〉∧〈t1，…， tk〉∈R } 例如，π 3，1（R）表示关系R中取第1、3列，组成新的 关系，新关系中第1列为R的第3列，新关系的第2列为R的 第1列。如果R的每列标上属性名，那么操作符π 的下标处 也可以用属性名表示。例如，关系R（A，B，C），那么 π C，A（R）与π3，1（R）是等价的。

由参照完整性建立了多表之间的对应关系
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关系模型的三类完整性规则 (3)

例2.1 下面各种情况说明了参照完整性规则在关系中如何实现的。 ① 在关系数据库中有下列两个关系模式： S（S#，SNAME，AGE，SEX） SC（S#，C#，GRADE） 这里带下划线者为主键，带红虚线者为外键。据规则要求，关系SC 中的S# 值应该在关系S中出现。如果关系SC中有一个元组（S7,C4,80）， 而学号S7却在关系S中找不到，那么我们就认为在关系SC中引用了一个 不存在的学生实体，这就违反了参照完整性规则。 另外，在关系SC中S#不仅是外键，也是主键的一部分，因此这里S# 值不允许空。
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ER模型向关系模型的转换规则 (1)
ER模型向关系模型的转换，实际上就是把ER图转换成关系模式的集合。 规则2.1（实体类型的转换）：将每个实体类型转换成一个关系模式， 实体的属性即为关系模式的属性，实体标识符即为关系模式的键。 规则2.2（二元联系类型的转换） ① 若实体间联系是1:1,可以在两个实体类型转换的两个关系中的任意一 个关系模式的属性中加入另一个关系模式的键和联系类型的属性。
2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.1.7
基本术语 关系的定义和性质 关系模型的三类完整性规则 ER模型向关系模型的转换规则 关系模型的三级体系结构 关系模型的形式定义和优点 关系查询语言和关系运算
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基本术语(1)

定义2.1 用二维表格表示实体集，用关键码进行数据导航的数据模型称 为关系模型（relational Model）。这里数据导航(data navigation)是 指从已知数据查找未知数据的过程和方法。

（3）关系逻辑语言。
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2.2 关系代数


2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4
关系代数的五个基本操作 关系代数的四个组合操作 关系代数运算的应用实例 关系代数的七个扩充操作
返 回
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关系代数的五个基本操作 (1)
并（Union） 设关系R和S具有相同的关系模式，R和S的并是由属于R或属 于S的元组构成的集合，记为R∪S。形式定义如下： R∪S≡{t | t∈R ∨ t∈S}，t是元组变量，R和S的元数相同。 差（Difference） 设关系R和S具有相同的关系模式，R和S的差是由属于R但不 属于S的元组构成的集合，记为R－S。形式定义如下： R－S≡{ t | t∈R ∧ t∈S}，R和S的元数相同。
一般术语 字段、数据项 A a1 B b1 C c1 D d1 E e1 记录类型 记录1 记录2 关系模型术语 属性 关系模式 元组1 元组2
R
a2
a3 a4
b2
b3 B4
c2
c3 c4
d2
d3 d4
e2
e3 e4
文件
记录3 记录4 字段值 元组3 元组4 属性值
关系 (实例)
图2.2 关系模型的术语

例子
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关系代数的五个基本操作 (2)

笛卡儿积(Cartesian Product)
设关系R和S的元数分别为r和s,定义R和S的一个(r+s)元的元 组集合，每个元组的前r个分量来自R的一个元组，后s个分量来 自S的一个元组，记为R×S。 R×S ≡{t|t=<tr,ts>∧tr∈R∧ts∈S}

返 回
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关系查询语言和关系运算
关系数据库的数据操纵语言（DML）的语句分成查询语句和更新语句两 大类。查询语句用于描述用户的各种检索要求；更新语句用于描述用户 进行插入、删除、修改等操作。关于查询的理论称为“关系运算理论”。 关系查询语言根据其理论基础的不同分成三类： （1）关系代数语言。 （2）关系演算语言。

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ER模型向关系模型的转换规则 (2)
其关系模式为: 学校(校名,地址,电话,校长名, 任职年月) 校长(姓名,性别,年龄,职称)
图2.3 一对一联系
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ER模型向关系模型的转换规则 (3)
②若实体间联系是1:N,则在N端实体类型也转换成的关系模式中加入 1端实体类型的键和联系类型的属性。
系(系号,系名,电话) 教师(工号,姓名,性别,年龄, 系号,聘期)
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关系模型的三类完整性规则 (4)
② 设工厂数据库中有两个关系模式：
DEPT(D#，DNAME) EMP(E#，ENAME，SALARY，D# )
车间模式DEPT的属性为车间编号、车间名，职工模式EMP的属性为 工号、姓名、工资、所在车间的编号。每个模式的主键与外键已标出。 在EMP中，由于D#不在主键中，因此D# 值允许空。
工 号 4001 4002 4124 5018 姓 名 zhang li liu wang 年 龄 50 40 35 25 性 别 M F M M 工 资 2000 1500 2000 1000
图2.1 职工登记表
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基本术语(2)

在关系模型中，字段称为属性，字段值称为属性值，记录类型称为关系 模式。在图2.2中，关系模式名是R。
关系的属性个数称为元数，元组的个数称为基数。 关系R的元数为5，基数为4。
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基本术语(3)

记 录 称 为 元 组 (Tuple) ， 元 组 的 集 合 称 为 关 系 （ relation ） 或 实 例 （instance）。一般用大写字母A、B、C、… 表示单个属性，用大写字 母 …、X、Y、Z表示属性集，用小写字母表示属性值，有时也习惯称呼 关系为表或表格，元组为行(row)，属性为列(column)。 关系中属性个数称为“元数”（arity），元组个数为“基 数”(cardinality)。
C1 C1 C2 C2 C3 C4 C3
80 90 70 85 95 70 90
C
C# C2 C4 C3 C1
CNAME MATHs Physics Chemistry Database
TEACHER Ma Shi Zhou Li
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关系模型的三级体系结构 --子模式

子模式是用户所用到的那部分数据的描述。除此之外，还应指出数据与 关系模式中相应数据的联系。例如，用户需要用到子模式G（图2.8）。

用户定义的完整性规则 在建立关系模式时，对属性定义了数据类型，即使这样可能还满足 不了用户的需求。此时，用户可以针对具体的数据约束，设置完整性 规则，由系统来检验实施，以使用统一的方法处理它们，不再由应用 程序承担这项工作。例如学生的年龄定义为两位整数，范围还太大， 我们可以写如下规则把年龄限制在15～30岁之间： CHECK（AGE BETWEEN 15 AND 30）
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关系模型的三级体系结构 -- 关系模式

在关系模型中，记录类型称为关系模式，而关系模式的集合就是数 据库的概念模式。在系统实现时，关系模式和属性的命名一般都用 英文单词。譬如上例的ER图转换成的关系模式集可用图2.6表示。
学生关系模式：S(S#，SNAME，AGE，SEX) 选课关系模式：SC(S#，C#，GRADE)
③ 设课程之间有先修、后继联系。模式如下： R(C# ，CNAME，PC# ) 其属性表示课程号、课程名、先修课的课程号。如果规定，每门课程 的直接先修课只有一门，那么模式R的主键是C#，外键是PC#.。这里参 照完整性在一个模式中实现。即每门课程的直接先修课必须在关系中出 现。
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关系模型的三类完整性规则 (5)

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基本术语(4)
关键码(key,简称键) 由一个或多个属性组成，有下列几种： （1）超建（super Key）:在关系中能惟一标识元组的属性集称为关系模 式的超键。 （2）候选键（candidate Key）：不含有多余属性的超键称为候选键。 （3）主键(primary Key)：用户选作元组标识的候选键称为主键。一般 如不加说明，键是指主键。 在前面职工登记表中，（工号，姓名）是模式的一个超键，但不是候选 键，而（工号）是候选键。在实际使用中，如果选择（工号）作为删除或 查找元组的标志，那么称（工号）是主键。 （4）外键（foreign Key）：如果模式R中属性K是其他模式的主键，那 么K在模式R中称为外键。 关系中每一个属性都有一个取值范围，称为属性的值域(Domain), 属性A的取值范围用DOM(A)表示。

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关系模型的三类完整性规则(1)
实体完整性规则（entity integrity rule） 要求关系中元组在组成主键的属性上不能有空值。如果出 现空值，那么主键值就起不了惟一标织元组的作用。

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关系模型的三类完整性规则 (2)
参照完整性规则（reference integrity rule） 定义2.3 参照完整性规则的形式定义如下： 如果属性集K是关系模式R1的主键，K也是关系模式R2的外 键，那么在R2的关系中，K的取值只允许两种可能，或者为空 值，或者等于R1关系中某个主键值。 这条规则的实质是“不允许引用不存在的实体”。 在上述形式定义中，关系模式R1的关系称为“参照关系”，关 系模式R2的关系称为“依赖关系”。

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关系模型的优点
与其它数据模型相比，关系模型突出的优点如下： （1）关系模型提供单一的数据结构形式，具有高度的简明 性和精确性。 （2）关系模型的逻辑结构和相应的操作完全独立于数据存 储方式，具有高度的数据独立性。 （3）关系模型使数据库的研究建立在比较坚实的数学基础 上。 （4）关系数据库语言与一阶谓词逻辑的固有内在联系，为 以关系数据库为基础的推理系统和知识库系统的研究提供了方 便。
课程关系模式：C(C#，CNAME，TEACHER)
图2.6 关系模式集
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这个关系模型的三个具体关系: S
S# S1 S4 S2 S3 S8 SNAME Wang Wu Liu Chen Dong AGE 20 19 21 22 18 SEX M M F M F
SC
S#
C#
CRADE
S1 S3 S1 S3 S3 S4 S8
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本章概要

本章先介绍关系模型的基本概念；然后主要介绍关系运算的三种理论之 一：关系代数。
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关系模型和关系运算理



2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
关系模型的基本概念 关系代数 关系演算(略) 关系代数表达式的优化 关系逻辑(略)
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2.1 关系模型的基本概念



图2.4 一对多联系
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ER模型向关系模型的转换规则 (4)
③若实体间联系是M:N,则将联系类型转换成关系模式时,其属性为两端实体 类型的键加上联系类型的属性,而键为两端实体键的组合。
学生(学号,姓名,年龄, 性别) 选课(学号,课程号,成 绩) 课程(课程号,课程名, 教师名)
图2Βιβλιοθήκη Baidu5 多对多联系