4.微专题 特殊三角形中的分类讨论

微专题 特殊三角形中的分类讨论 类型二 等腰三角形腰和底不确定而产生的分类讨论(2020.22；2015.15)
方法解读 问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形．
分情况：对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需分①AB＝AP；②AB＝BP；③AP ＝BP三种情况进行讨论．
微专题 特殊三角Fra Baidu bibliotek中的分类讨论
第7题图
微专题 特殊三角形中的分类讨论
解：∵∠APC<90°，∴分两种情况讨论：
如解图①，
当∠PAC＝90°时，设直线AC的解析式为y＝－x＋b，
把A( 1 ，5 )代入得 5 ＝－ 1 ＋b，解得b＝3，
22
2
2
∴直线AC的解析式为y＝－x＋3.
由－x＋3＝2x2－8x＋6， 解得x＝3或x＝ 1 (舍去)，
第3题图
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4. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴交x轴于点H，直线y＝x＋1交x轴于点D，交 抛物线的对称轴于点G.点M为抛物线上的一个动点，当△DGM是以DG为底的等腰三 角形时，求点M的坐标．
第4题图
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解：∵抛物线y＝ －x2＋2x＋3的对称轴与直线y＝1 x＋1交于点G，抛物线对称轴为x
2
4
或(4 29 ， 17 4 29)．
2
4
第4题图
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【一题多解】∵抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴与直线y＝1 x＋1交于点G，
∴抛物线的对称轴为x＝－ b ＝1，
2
2a
∴点G的横坐标为1，代入直线y＝
1
x＋1中，得纵坐标为
3，
∴G(1，3 )．
2
2
2
将y＝0代入直线y＝
得N(－ 1 ，3 )．
24
设直线l的解析式为y＝－2x＋a，
将N(－ 1 ，3 )代入，得 3 ＝－2×(－ 1 )＋a，解得a＝－ 1 ，
24
4
故直线l的解析式为y＝－2x－
1
.
2
4
4
令－x2＋2x＋3＝－2x－1 ，
解得x1＝
4
2
29
4
，x2＝ 4
2
29
，
故点M的坐标为( 4 29 ，17 4 29 )
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代数法求解： ①设出P点的坐标，再分别表示出线段AB、BP、AP的长度，分BP2＝AB2＋AP2， AP2＝AB2＋BP2，AB2＝AP2＋BP2三种情况，列方程求解，若方程有解，则此情况存 在；若方程无解，则此情况不存在； ②找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过作辅助线构造 相似三角形； ③特殊地，若有30°、45°或60°角，可考虑用锐角三角函数求解．
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方法应用 2. 若等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个等腰三角形的周长为( C ) A. 21 B. 22或27 C. 27 D. 21或27 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，点D，E分别是BC， AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点B′恰好落在AC上，若△AEB′ 是等腰三角形，那么CB′的值是0_或__3_或___3__2_－___3_．
22
综上所述，满足条件的点P的坐标是(3，5)或( 7 ，11 )．
22
第7题解图
1
x＋1中，得x＝－2，
2
∴D(－2，0)．
设M(m，n)． 则DM2＝(m＋2)2＋n2，GM2＝(m－1)2＋(n－ 3 )2.
2
∵DM＝GM，
∴DM2＝GM2，
第4题图
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∴(m＋2)2＋n2＝(m－1)2＋(n－
3 2
)2，
整理，得2m＋n＋1＝0，
4
又∵n＝－m2＋2m＋3，
方法解读 问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．
分情况：①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°；②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°.
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作图找点： ①情况一：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②情况二：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③情况三：取AB的中点Q为圆心，以QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3、P4 即为所求．
＝－ b ＝－ 2 ＝1，
2
2a
2 (1)
∴点G的横坐标为1，代入直线y＝x＋1中，得纵坐标为
3
，
∴G(1，3 )．
2
2
将y＝0代入直线y＝
1
x＋1中，得
2
x＝－2，
∴D(－2，0)．
∵△DGM是以DG为底的等腰三角形，
∴MD＝MG.
第4题图
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作线段DG的垂直平分线l，与DG交于点N，直线l与抛物线的交点即为所求的点M.易
5
若△DEB′为直角三角形，则BD的长为_1_或___2___.
第6题图
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7. 如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝2x2－8x＋6交于A( 1 ，5 )，B(4，6)两点，点P是
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线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴，交抛物线于点C，连接AC，当 △PAC为直角三角形时，求点P的坐标．
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方法应用 5. 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直 角三角形，则∠BCD的度数为__1_0_或__6_0_°. 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边BC上，将△ABD沿 AD所在直线折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E.
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类型一 等腰三角形顶角和底角不确定而产生的分类讨论
方法解读 当已知等腰三角形的一个角α，需要分α为顶角或底角进行讨论，且需要用三角形 内角和检验．
微专题 特殊三角形中的分类讨论
方法应用 1. 等腰三角形有一个角的度数是80°，则另外两个角的度数可能是( C ) A. 40°，40° B. 20°，20° C. 80°，20° D. 20°，50°
作图找点： ①情况一：以AB为腰．分别以A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与已知直线的交 点P1，P2，P4，P5即为所求； ②情况二：以AB为底．作线段AB的垂直平分线与已知直线的交点P3即为所求． 代数法求解： 设出P点的坐标，再分别表示出线段AB、BP、AP的长度，分AB＝AP，AB＝BP， AP＝BP三种情况，列方程求解．
∴2m－m2＋2m＋3＋1 ＝0，
4
解得m1＝
4 2 29，m2＝
4 29 2
，
故点M的坐标为( 4 29 ，17 4 29)
2
4
或( 4 29，17 4 29 )．
2
4
第4题图
微专题 特殊三角形中的分类讨论 类型三 直角三角形的直角顶点不确定而产生的分类讨论(2019.23；2018、 2017、2013、2012.15)
2
当x＝3时，y＝x＋2＝3＋2＝5，
此时，点P的坐标为(3，5)；
第7题解图
如解图②，当∠PCA＝90°时，
由A( 1 ，5 )知，
22
点C的纵坐标为y＝
5
.
2
由2x2－8x＋6＝5 ，
2
解得x1＝12
(舍去)，x2＝
7 2
，
当x＝ 7 时，y＝x＋2＝ 7 ＋2＝ 11，
2
2
2
此时，点P的坐标为( 7 ，11)．