1.5推理规则和证明方法
精品文档-离散数学(方世昌)-第1章
第1章 数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
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第1章 数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 故将它归属于 命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于 命题。
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第1章 数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。 这 样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命 题。 这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子 命题或本原命题。 例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命 题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两 个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
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第1章 数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式 通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。 但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值， 因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称 为命题常元。
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第1章 数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。 但这样描述 过于表面，它没能指出命题公式的结构。 因为不是由命题变元、 联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算 机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式(简称公式):
推理证明与逻辑推理的基本方法
推理证明与逻辑推理的基本方法在日常生活中，我们常常需要做出决策或得出结论。
这时，我们就需要进行推理，以便能够根据已有的信息、证据或事实得出合理的结论。
推理方法包括推理证明和逻辑推理，二者都是在我们日常思维过程中常用的基本方法。
一、推理证明的基本方法推理证明是一种根据已知的证据和信息以及逻辑推理来得出结论的过程。
其基本方法包括归纳证明、演绎证明和对比证明。
1. 归纳证明归纳证明是一种通过观察现象来推断普遍性结论的方法，一般分为数学归纳法和实证归纳法。
其中，数学归纳法的基本思想是：如果对于一个正整数n，当n=1时结论成立，且当n=k时结论成立，则当n=k+1时结论也成立。
而实证归纳法则是通过一系列实验或实际事实中的个别案例证实一个假说，然后推算出结论的正确性。
例如，我们根据过去的数据发现，每逢夏日来临，天气会变得越来越炎热，那么我们就通过归纳推理来得出结论：夏季气温会上升。
2. 演绎证明演绎证明是一种通过已有的前提，通过严密的逻辑推理推导出结论的方法。
演绎证明根据推理的过程可以分为诡辩演绎和有效演绎，其中我们应该遵循有效演绎法即使前提正确，结论也一定正确的道理。
例如，假设我们已知“所有人类都会死亡”然后反推出“我会死亡”，这就是一种绝对正确的演绎证明。
3. 对比证明对比证明是一种根据两个或多个事物的异同性来得出结论的方法。
其中，比较分析的本质是难以玄妙地反复推导比较的两个事物间精神内辅及物质内在因果关系和基本形态、规律、变化趋势等多方面不同和相同之处，从而进而得到正确判断的结论。
例如，我们可以通过对比许多国家的社会制度来发现，民主制度对促进国家发展和民生改善更为有利，因此通过对比推理来得出民主制度的优越性结论。
二、逻辑推理的基本方法逻辑推理是一种利用逻辑规则进行推理的方法，通过对事物之间的关系、条件、前提、方式、结果等进行逻辑分析，得出正确的结论，其中比较常见的逻辑推理方法包括假言命题、陈述命题、三段论等。
第一章 逻辑与证明(2)
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NEC-DM
p
T T T F T F F F
q
T T F T F T F F
r
T F T T F F T F
q∨r
p → (q∨r)
¬q
¬r
¬p
p → (q∨r) ¬q ¬r _________ ¬p
注意到：当p → (q∨r) ，¬q ， ¬r 三 个命题都为T的时候，¬p也为T，因此本 论证有效。
NEC-DM
例
假设d、d1、d2 和x 是任意实数 if d=min(d1,d2) and x ≤d then x ≤d1 and x ≤d2 证明：根据min 的定义可以推出d ≤ d1 并且d ≤ d2。 依x ≤ d 并且d ≤ d1，可以根据前面的定理（例 1.5.5 的第二个定理）推出x ≤ d1。由于x ≤ d 并且d ≤ d2，可以根据前面的同一个定理推出 x ≤ d2。因此，x ≤ d1 并且x ≤ d2。
2
NEC-DM
1.5.2 命题逻辑的有效论证
从一系列前提得出结论的方法称为演绎推理。 前提：已知的命题系列 结论：由假设得出的结论
结论从前提导出 结论为真 任何论证过程都有形式： 如果p1并且p2并且…并且pn, 则q。 论证有效在于形式不在于内容
3
NEC-DM
定义
一个论证过程是一系列的命题， p1,p2,…,pn/∴q p1,p2,…,pn称为前提，命题q是结论 如p1,p2,…,pn全为真，则q也必为真， 那么论证有效；否则论证过程是无 效的
假设３段论
p q pq
析取３段论
化简
附加
pq p
p pq
pq qr pr
pq p q
8
高中数学推理证明题的常用证明方法及实例解析
高中数学推理证明题的常用证明方法及实例解析在高中数学中，推理证明题是一种常见的题型，要求学生运用已知的条件和基本的数学知识，通过逻辑推理和证明方法来得出结论。
这类题目不仅考察学生的数学思维能力，还培养了学生的逻辑思维和分析问题的能力。
本文将介绍一些常用的证明方法，并通过具体的题目解析，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一，它通过逻辑推理和运用已知条件来得出结论。
具体步骤如下：1. 首先，我们要明确问题的要求，即要证明的结论是什么。
2. 其次，我们要分析已知条件，找到与结论相关的条件和信息。
3. 然后，我们要根据已知条件和结论，通过逻辑推理和数学运算，一步一步地推导出结论。
4. 最后，我们要对证明过程进行总结，确保每一步的推理都是合理的，并且符合数学规律。
下面通过一个具体的例子来说明直接证明法的应用。
【例题】已知：直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=BC。
证明：∠ABC=45°。
【解析】根据已知条件，我们可以得到∠B=90°和AB=BC。
接下来，我们通过直接证明法来证明∠ABC=45°。
由于∠B=90°，所以∠ABC+∠BCA=90°。
（三角形内角和定理）又因为AB=BC，所以∠BCA=∠ABC。
（等腰三角形的性质）将上述两个等式带入∠ABC+∠BCA=90°中，得到∠ABC+∠ABC=90°。
化简得到2∠ABC=90°，即∠ABC=45°。
因此，我们通过直接证明法证明了∠ABC=45°。
二、间接证明法间接证明法是一种通过反证法来证明结论的方法。
它假设结论不成立，然后通过逻辑推理推导出矛盾的结论，从而反驳了假设，证明了结论的正确性。
具体步骤如下：1. 首先，我们要明确问题的要求，即要证明的结论是什么。
2. 其次，我们要假设结论不成立，即假设反面命题成立。
《离散数学》--随堂练习(2019)
第一章命题逻辑1.1 命题与联结词1、在下面句子中，是命题的是( A )A．明年“五一”是晴天。
B．这朵花多好看呀！。
C．这个男孩真勇敢啊！ D．明天下午有会吗？2. 在下面句子中，是命题的是( B )A．1＋101＝110 B．中国人民是伟大的。
C．这朵花多好看呀！ D．计算机机房有空位吗？3. 在下面句子中( A )是命题A．如果天气好，那么我去散步。
B．天气多好呀！C．x=3。
D．明天下午有会吗？4．下面的命题不是简单命题的是( A )A．3是素数或4是素数 B．2018年元旦下大雪C．刘宏与魏新是同学 D．圆的面积等于半径的平方与π之积5．下面的表述与众不一致的一个是( C )A．P：广州是一个大城市 B．⌝P：广州是一个不大的城市C．⌝P：广州是一个很不小的城市 D．⌝P：广州不是一个大城市6．设，P：他聪明；Q：他用功。
在命题逻辑中，命题：“他既聪明又用功。
”可符号化为：( A )A．P ∧Q B．P→QC．P∨⌝Q D．P∧⌝Q7．设：P ：刘平聪明。
Q：刘平用功。
在命题逻辑中，命题：“刘平不但聪明，而且用功”可符号化为：( A )A．P ∧Q B．⌝P∨QC．P∨⌝Q D．P∧⌝Q8．设：P：他聪明；Q：他用功。
则命题“他虽聪明但不用功。
”在命题逻辑中可符号化为( D )A．P ∧Q B．P→QC．P∨⌝Q D．P∧⌝Q9．设：P：我们划船。
Q：我们跑步。
在命题逻辑中，命题：“我们不能既划船又跑步。
”可符号化为：( B )A．P→Q B．⌝（P ∧Q）C．P∨Q D．P∧⌝Q10．设：P：王强身体很好；Q：王强成绩很好。
命题“王强身体很好，成绩也很好。
”在命题逻辑中可符号化为( D )A．P ∨Q B．P→QC．P∧⌝Q D．P∧Q11．设：P：你努力；Q：你失败。
则命题“除非你努力，否则你将失败。
”在命题逻辑中可符号化为( C )A ．Q →PB ．P → QC ．⌝ P →QD ．Q ∨⌝P12．设：p ：派小王去开会。
离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例
离散数学及其应用重要名词中英对应以及重要概念解释与举例1 The Foundations: Logic and Proofs（逻辑与证明）1.1 Propositional Logic（命题逻辑）Propositions（命题）——declarative sentence that is either true or false, but not both.判断性语句，正确性唯一。
Truth Table（真值表）Conjunction（合取，“与”，and），Disjunction（析取，or，“相容或”），Exclusive（异或），Negation（非，not），Biconditional（双条件，双向，if and only if）Translating English Sentences1.2 Propositional Equivalences（命题等价）Tautology（永真式、重言式），Contradiction（永假式、矛盾式），Contingency（偶然式）Logical Equivalences（逻辑等价）——Compound propositions that have the same truth values in all possible cases are called logical equivalent.（真值表相同的式子，p<->q是重言式）Logical Equivalences——Page24Disjunctive normal form(DNF，析取范式)Conjunctive normal form(CNF，合取范式) 见Page27～291.3 Predicates and Quantifiers（谓词和量词）Predicates——谓词，说明关系、特征的修饰词Quantifiers——量词? Universal Quantifier(全称量词) "全部满足? Existential Quantifier(存在量词) $至少有一个Binding Variables(变量绑定，量词作用域与重名的问题)Logical Equivalence Involving QuantifiersNegating Quantified Expressions(量词否定表达：否定全称=存在否定，否定存在=全程否定) Translating from English into Logical Expressions(自然语句转化为逻辑表达)Using Quantifiers in System SpecificationsExamples from Lewis Carrol——全称量词与条件式(p->q)搭配，存在量词与合取式搭配。
数学推理及证明方法
数学推理及证明方法数学推理及证明方法是数学研究中一项关键的技巧和方法。
它不仅在解决数学问题时起到重要作用，同时也促进了数学领域的发展和进步。
本文将介绍数学推理的基本概念、常见的证明方法以及一些实际应用案例。
在数学推理中，推理是指由已知的真实命题出发，通过一系列合理的步骤得出新的结论。
推理的目的是通过逻辑推理演绎出结论的真实性。
数学推理的基础是数学公理和定义，通过运用逻辑原理、推理规则和证明方法，来推导出未知命题的正确性。
数学证明是数学推理的一个重要部分，它是指通过严密的推理过程来证明一个数学命题的真实性。
在数学证明中，常见的证明方法有直接证明法、归谬法、递推证明法、反证法、数学归纳法等。
直接证明法是最常见的证明方法之一。
它通过假设已知命题成立，然后通过逐步推理得出目标命题的正确性。
例如，在证明一个数学定理时，我们可以先假设已知的条件成立，然后按照逻辑顺序一步步进行推导，最终得到目标命题成立的证明。
归谬法是一种通过假设目标命题为假，然后通过推理演绎出与已知条件相矛盾的结论，从而证明目标命题的正确性的证明方法。
当假设的目标命题为假的时候，无论如何推导都会导致矛盾，从而说明目标命题一定为真。
递推证明法是通过将目标命题分解成同一类型的小命题，并将小命题的正确性递推到目标命题的证明方法。
这个方法通常适用于同构问题，即具有相同结构和重复性质的问题。
通过证明一个基本情况成立，然后利用递推关系将证明扩展到更一般的情况。
反证法是假设目标命题不成立，并通过逻辑推理得出与已知条件相矛盾的结论，从而证明目标命题的正确性。
当假设的目标命题不成立时，通过逻辑推理会导致矛盾，从而说明目标命题一定成立。
数学归纳法是一种证明自然数命题或递归定义的正确性的常用方法。
它由两个步骤组成：基本情况的证明和归纳步骤的证明。
基本情况是证明命题在最小的情况下成立，而归纳步骤是证明如果命题在一个情况下成立，则对于下一个情况也成立。
数学推理及证明方法在实际问题中有广泛的应用。
逻辑推理与证明方法总结
逻辑推理与证明方法总结逻辑推理和证明方法是逻辑学领域中非常重要的概念和方法。
在这篇文章中，我们将讨论逻辑推理和证明方法的基本概念、常见的形式以及它们在解决问题和判断正确性方面的作用。
一、逻辑推理的基本概念逻辑推理是基于形式逻辑的方法，通过推断来得出结论。
它不依赖于实际情况，而只关注逻辑关系的合理性。
逻辑推理可以分为两种类型：演绎推理和归纳推理。
1. 演绎推理：演绎推理是从一般规则或前提中推导出特定结论的过程。
它基于“如果…那么…”的逻辑形式，又称为条件推理。
演绎推理可分为三种形式：假言推理、拒取推理和三段论。
2. 归纳推理：归纳推理是从特殊案例中推导出一般规律的过程。
它基于观察和经验，并通过类比和概率来得出结论。
归纳推理常用于科学实验、统计分析和常识判断等领域。
二、常见的证明方法证明方法是通过推理和逻辑推导来证明某个命题或结论的有效方法。
下面是几种常见的证明方法：1. 直接证明法：直接证明法通过逻辑推理和前提的已知条件，直接得出结论的正确性。
它通常使用“假设-推导-结论”的结构，逐步推导出最终的结论。
2. 反证法：反证法通过假设反面命题为真，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原命题为假。
反证法常用于证明数学定理和逻辑命题。
3. 归谬法：归谬法是通过证明某个命题的反面导致自相矛盾的结论，从而推翻该反命题，进而证明原命题的正确性。
4. 数学归纳法：数学归纳法是通过证明命题对某个基础情况成立，然后证明对于任意情况都成立的方法。
它将问题分解为基础情况和递推情况两部分，通过归纳法证明了所有情况都满足命题。
三、逻辑推理和证明方法的应用逻辑推理和证明方法广泛应用于数学、哲学、计算机科学等领域，具有重要的理论和实践意义。
1. 在数学中，逻辑推理和证明方法是数学证明的基础。
数学家通过逻辑推理和证明方法建立了数学定理和公理体系，为数学研究提供了强大的工具。
2. 在哲学中，逻辑推理和证明方法是研究思维、知识和真理的重要工具。
1.5 推理规则与证明方法
1.5
推理规则与证明方法
推理是由一个或几个判断得出另一个新的判断的思维 形式(思维过程)。其中已知的判断——前提 新的判断——结论 列出前提H1,H2,… ,Hm与结论C——论证 逻辑的主要功能是提供推理的规则或论证的原理。从一 组给定的前提出发，根据推理规则得到的结论称为有效 结论，论证才是有效的。 建立逻辑学的主要目的在于探索出这一套完整的规则， 按照这些规则，就可以确定任何特定论证是否有效。
第一列是步骤列, 将各次操作按先后排序; 第二列是断言列或命题公式列, 内容可以是 前提, 中间结论或最终结论; 第三列是注释列或根据列,表明所引用的推 理规则及与之有关的行的编号.
有效是指结论的推出是合乎推理规则的，并不在于 结论是否真实。
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NUIST
例1-5-4
证明 R∨S是前提C∨D，C→R，D→S的 有效结论，即证明： (C∨D)∧(C→R)∧(D→S)(R∨S)。
证明： (1) P (2) P→(Q→R) (3) Q→R (4) Q (5) R (6) Q→(R→S) (7) R→S (8) S (9) P→(Q→S) 由CP 规则，有： P→(Q→R)，Q→(R→S)
规则P(附加前提) 规则P (1),(2)假言推理，规则T 规则P(附加前提) (3),(4)假言推理，规则T 规则P (4) (6）假言推理，规则T (5),(7)假言推理，规则T CP规则 P→(Q→S)
20
NUIST
(2)反证法(归谬法) 将结论C的否定C 做为假设前提推出矛盾 的证明方法称为反证法或归谬法。 即：H1∧H2∧ … ∧Hm C 的充要条件是 H1∧H2∧ … ∧Hm∧ C F。 证明： 要证 H1∧H2∧ … ∧Hm C 即证(H1∧H2∧ … ∧Hm)→C T 同样，要证 H1∧H2∧ … ∧Hm∧C F 即证(H1∧H2∧ … ∧Hm∧C)→F T 而(H1∧H2∧ … ∧Hm)→C (H1∧H2∧ … ∧Hm)∨C (H1∧H2∧ … ∧Hm∧C) 上式左边是永真式， 21 当且仅当H1∧H2∧ … ∧Hm∧C是永假式。
高中数学的归纳数学证明与推理的方法与技巧
高中数学的归纳数学证明与推理的方法与技巧数学中的归纳法是一种常用的证明方法，它在高中数学中起着重要的作用。
归纳法的核心思想是通过已知的条件和结论，逐步推导出所有情况的正确性。
在本文中，将介绍高中数学中使用归纳法进行数学证明和推理的方法与技巧。
一、基本概念归纳法是数学中常用的一种证明方法。
它包括两个基本步骤：1.基础步骤：证明当n=k时结论成立。
2.归纳步骤：假设当n=k时结论成立，利用这一假设证明当n=k+1时结论也成立。
二、证明的基本结构使用归纳法进行数学证明可以采用以下基本结构：1.写出基本步骤的证明：证明当n=k时结论成立。
2.假设n=k时结论成立，即假设条件为n=k时结论成立。
3.用归纳假设推导出当n=k+1时结论成立，即证明条件为n=k时结论成立能推导出n=k+1时结论成立。
4.综合基本步骤和归纳步骤，得出结论：根据基本步骤和归纳步骤的证明，可得出当为任意正整数n时结论成立。
三、具体例子下面通过一个具体的例子来说明归纳法的应用。
例：证明对于任意正整数n，1+2+3+...+n=n(n+1)/2。
解：首先，我们来证明当n=1时结论成立。
当n=1时，左边等式为1，右边等式为1(1+1)/2=1，显然左边等式等于右边等式，因此当n=1时结论成立。
假设当n=k时结论成立，即假设1+2+3+...+k=k(k+1)/2成立。
我们需要证明当n=k+1时结论也成立。
根据归纳假设，我们有1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
将等式两边都加上k+1，得到：1+2+3+...+k+(k+1)=(k(k+1)/2)+(k+1)。
化简右边的等式，得到：(k+1)(k/2+1)=(k^2+k+2k+2)/2，即(k+1)(k/2+1)=(k^2+3k+2)/2。
我们需要证明左边等式等于右边等式，即(k+1)(k/2+1)=(k^2+3k+2)/2成立。
对右边等式进行化简，得到：(k+1)(k/2+1)=k^2/2+3k/2+2/2，即(k+1)(k/2+1)=(k^2+3k+2)/2。
数学推理与证明的方法
数学推理与证明的方法教案主题：数学推理与证明的方法一、引言数学是一门基于逻辑推理的学科，推理是数学研究的核心。
本节将介绍数学推理的基本方法和证明的重要性。
1. 数学推理的定义（200字）数学推理是指根据已知条件和逻辑关系，以合乎逻辑的思维方式推断出未知结果的过程。
它是数学研究和解决数学问题的基本方法。
二、归纳法归纳法是数学推理中常用的一种思维方法，它通过观察已知结果的特征，推导出普遍规律。
1. 归纳法的基本原理（300字）归纳法的基本原理是通过观察和分析已知条件，总结出普遍规律，并据此推断出未知情况。
它分为弱归纳法和强归纳法两种形式。
2. 归纳法的应用举例（300字）通过具体的例子，说明归纳法在数学中的应用，如斐波那契数列、等差数列等。
三、演绎法演绎法是一种从已知命题中推导出新命题的推理方法，它基于一系列已知条件，并运用逻辑规则得出结论。
1. 演绎法的基本规则（300字）演绎法的基本规则包括假设、前提、逻辑推理和结论等方面，其中假设是演绎法的出发点。
2. 演绎法的应用举例（300字）通过具体的例子，阐述演绎法在数学证明中的应用，如数学定理的证明过程等。
四、数学证明的重要性数学证明是数学学科中至关重要的环节，它是验证数学理论和问题解决的必要手段。
1. 数学证明的定义和特点（300字）数学证明是指通过逻辑推理和严谨论证的方式来证实数学命题的真实性和有效性。
它具有严密性、精确性和一般性等特点。
2. 数学证明方法的分类（300字）数学证明方法包括直接证明法、反证法、数学归纳法等多种形式，这些方法在不同情况下有着各自的适用性。
五、数学证明的思维方式数学证明是一种特殊的思维方式，需要运用严密的逻辑和严谨的推理。
1. 数学证明思维的培养（400字）通过数学问题解决和证明练习，培养学生的逻辑思维和推理能力，并将其运用于实际问题中。
2. 数学证明的误区（400字）阐述学生常见的数学证明误区，如片面性、不严谨性和无逻辑性等，并提出改进方法。
第一章数理逻辑
第一章数理逻辑1.1 命题1. 设P是命题“天下雪”；Q是命题“我去镇上”；R是命题“我有时间”。
(a) 用逻辑符号写出以下命题：(i) 如天不下雨和我有时间，那么我去镇上；(ii) 我去镇上，仅当我有时间；(iii) 天不下雪；(iv) 天正在下雪，我也没去镇上。
(b) 对下述命题用中文写出语句：(i) ()↔∧⌝；Q R P(ii) R Q∧；(iii) ()()→∧→；Q R R Q(iv) ()⌝∨。
R Q2. 否定下列命题：(a) 上海处处清洁；(b) 每一个自然数都是偶数。
3. 说出下述每一命题的逆命题和逆反命题：(a) 如果天下雨，我将不去；(b) 仅当你去我将逗留；(c) 如果n是大于2的正整数，则方程n n n+=无正整数解（费尔马最后定理）；x y z(d) 如果我不获得更多帮助，我不能完成这个任务。
4. 给P和Q指派真值T，给R和S真值F，求下列命题的真值：(a) (()())∧∧∨⌝∨∧∨；P Q R P Q R S(b) ()(())⌝∧∨⌝∨↔⌝→∨⌝；P Q R Q P R S(c) ()∨→∧⌝↔∨⌝。
P Q R P Q s5. 构成下列公式的真值表：(a) ()∧→→；Q P Q P(b) ()∨→∧→∧⌝。
P Q Q R P R6. 证明下列公式的真值与它们的变元值无关：(a) ()∧→→；P P Q Q(b) ()()()→∧→→→。
P Q Q R P R7. 对P和Q的所有值，证明P Q⌝∨有同样的真值。
证明()()→与P Q→↔⌝∨总是P Q P Q 真的。
8. 设*是具有两个运算对象的逻辑运算符，如果()x y z**逻辑等价，那么运算**与()x y z符*是可以结合的，(a) 确定逻辑运算符∧∨→↔、、、哪些是可结合的；(b) 用真值表证明你的断言。
9. 指出一下各式哪些不是命题公式，如果是命题公式，请说明理由：(a) )()))(((；⌝→∧∨P P Q R(b) ()))∧→→((。
数学中的逻辑推理学习证明与推理的方法
数学中的逻辑推理学习证明与推理的方法数学是一门严谨的学科，其核心在于逻辑推理。
逻辑推理是指通过合理的推断和证明，从已知条件得出结论的过程。
在数学中，学习证明与推理的方法对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要作用。
一、数学证明的基本要素数学证明的基本要素包括：前提、推理和结论。
前提指已知条件，推理是根据前提进行逻辑推理，而结论是通过推理得出的结论。
在数学证明中，前提是最重要的。
前提是问题的已知条件，也是证明的起点。
在进行数学证明时，要先明确已知条件，然后运用逻辑推理，将已知条件转化为待证明的结论。
二、数学证明的方法1. 直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一。
它的步骤是：根据已知条件，运用逻辑推理，从前提出发，一步步地推导出结论。
例如，假设要证明一个命题"P"，可以从前提出发，逐步运用已知定理和推理规则，得出"P"的真值。
这种方法简单直接，适用于许多数学证明问题。
2. 反证法反证法也是一种常用的证明方法。
它的基本思想是：假设要证明的命题为假，然后通过推理推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题为真。
例如，假设要证明一个数是素数，可以假设该数不是素数，然后通过推理得出矛盾的结论，说明假设错误，即该数是素数。
反证法常用于证明存在性命题，尤其适用于证明素数、方程的唯一解等问题。
3. 数学归纳法数学归纳法是一种适用于一类问题的证明方法。
它的基本思想是：通过证明问题在某一特定情况下成立，并且在问题的扩展情况下也成立，从而推断问题在所有情况下都成立。
数学归纳法一般包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤是证明问题在某一特定情况下成立，而归纳步骤是证明问题在扩展情况下成立。
归纳步骤中，首先假设问题在某一情况下成立，然后用此前提证明问题在下一情况下也成立。
数学归纳法常用于证明命题在整数范围内成立，如正整数的等差数列和公式等。
三、数学证明的推理规则在数学证明中，推理规则是指根据逻辑关系进行推理的规则，常见的推理规则包括：1. 合取（合取规则）合取是指将两个命题同时成立的关系，合取规则包括合取引入和合取消去。
概率论-第四讲 推理规则和证明方法
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三、证明方法
8. 反证法（又称归谬法、矛盾法） 定义：设公式H1, H2, … , Hm中的原子命题变元是 P1, P2, … , Pn, 如果给P1, P2, … , Pn以 某一指派, 能使H1∧H2 … ∧Hm具有真值T, 则称命题公式集合{H1, H2, … , Hm}是一致的, 否则称为非一致的。 这个定义也可这样叙述: H1∧H2∧…∧Hm ⇒ R∧¬R, 则{H1,H2, … , Hm} 是非一致的, 否则是一致的。
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三、证明方法
例8：证A→(B→ C)，¬ D∨ A，B ⇒ D→C 证： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) D ¬ A A B B C D D ∨ A →(B → C) → C P（附加前提） P T,(1),(2),I5 P T,(3),(4),I3 P T,(5),(6),I3 CP
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三、证明方法
例9: P ∧ Q → R, ¬ R∨ S, ¬ S ⇒ ¬ P ∨ ¬Q ¬ P P R ¬ S ¬ S (¬ P ∨ ¬Q) ∧ Q ∧ Q → R R∨ S S ∧ ¬ S P,假设前提 T,(1),E10,E P T,(2),(3),I3 P T,(4),(5),I5 P T,(6),(7),合取式
P→Q，R→ ¬ Q，R ⇒ ¬ P （1） R P,前提3 （2） R→ ¬ Q P,前提2 （3） ¬ Q T,(1),(2),I3 （4） P→Q P,前提1 （5） ¬ P T,(3),(4),I4
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三、证明方法
1. 无义证明法 证明 P ⇒ Q，只需证明P为假。 2. 平凡证明法 证明 P ⇒ Q，只需证明Q为真。 无义证明法和平凡证明法应用的次数较少, 但对有限 的或特殊的情况, 它们常常是重要的。
逻辑推理与证明方法
逻辑推理与证明方法逻辑是一门研究人类思维和推理规律的学科，它在哲学、数学、计算机科学等领域中都扮演着至关重要的角色。
逻辑推理与证明方法是逻辑学当中的重要概念，在解决问题和推断结论时起着关键作用。
本文将介绍逻辑推理的基本原理，以及一些常见的证明方法。
一、逻辑推理的基本原理逻辑推理是在一定的前提条件下，根据规定的推理规则来得出结论的过程。
在逻辑学中，推理一般分为演绎推理和归纳推理两种方式。
1. 演绎推理演绎推理是一种基于规则和前提条件的严密推理方式，它遵循了三段论的形式。
三段论由前提（Major premise）、前提（Minor premise）和结论（Conclusion）三部分组成。
通过前提和规则的运用，可以推导出结论。
例如：前提1：所有人类都是哺乳动物前提2：李华是人类结论：李华是哺乳动物演绎推理的优点在于推理过程具有严密性，推断出的结论一般是准确可靠的。
但是，演绎推理的缺点在于前提条件和规则必须是真实有效的，否则得出的结论可能是错误的。
2. 归纳推理归纳推理是基于已有事实和经验，通过对样本的观察和归纳，来推断适用于整体的一般性结论。
归纳推理的过程可能会涉及到统计学和概率的方法。
例如：观察到一只黑色的乌鸦观察到第二只黑色的乌鸦观察到第三只黑色的乌鸦结论：所有乌鸦都是黑色的归纳推理的优点在于可以通过有限的观察和样本，推导出普遍性的结论。
然而，归纳推理的推断过程较为主观，存在一定的误差和不确定性。
二、证明方法在数学、逻辑学和哲学中，证明是验证或证实某个命题或结论的过程。
下面介绍几种常见的证明方法：1. 直接证明法直接证明法是指在推导过程中，直接使用已知的命题和推理规则，逐步推导出待证明的结论。
例如：命题：对于任意实数a和b，若a>b，则a^2>b^2。
证明：根据已知命题和推理规则，可以得到a > b的前提条件。
将两边同时平方得到a^2 > b^2，即得到证明。
2. 反证法反证法是假设待证明的结论不成立，通过推理得出一个与已知事实矛盾的结论，从而推断原命题成立。
小学数学推理与证明知识点总结
小学数学推理与证明知识点总结数学是一门富有智慧和美感的学科，而数学的推理与证明是培养学生逻辑思维和创造力的重要环节。
通过数学推理与证明，学生不仅可以提高解决问题的能力，还可以培养批判性思维和创新思维。
在小学阶段，数学推理与证明是一个渐进的过程，从简单到复杂，从具体到抽象。
在这篇文章中，我们将总结小学数学中的推理与证明知识点。
一、逻辑推理逻辑推理是数学推理与证明的基础，它包括命题逻辑和谓词逻辑两个方面。
在小学阶段，学生主要接触命题逻辑，即判断命题的真假和构造合乎逻辑的命题。
1. 命题与命题的连接词命题是陈述句，可以判断真假。
在推理过程中，常用到的命题连接词有“与”、“或”、“非”、“蕴含”、“等价”。
2. 命题的真值表通过列出命题的真值表，可以判断复合命题的真假。
真值表是一个有助于推理的工具，可以直观地展示命题的真假情况。
3. 推理规则在逻辑推理中，常用的推理规则有假言、析取、拒取和假设四种。
学生需要掌握这些规则，并能够灵活运用于求解问题。
二、几何推理几何推理是指通过推理方法来解决与几何形状、特性和关系有关的问题。
1. 图形的性质推理学生需要掌握常见图形的基本特性和性质，如直线段的垂直、平行、等长；角的对应关系；圆和直线的关系等。
通过观察图形的特点，学生可以进行推理得出结论。
2. 图形的构造和变换推理学生在几何推理中还需要掌握图形的构造和变换。
通过构造辅助图形、运用相似三角形和等距离等几何变换原理，学生可以推导出一些几何关系。
三、数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，通过证明某个命题对于正整数 n 成立，再证明对于 n+1 也成立，从而推导出命题对于所有正整数都成立。
1. 数学归纳法的三个步骤使用数学归纳法证明一个命题一般分为三个步骤：第一步，证明当 n=1 时命题成立；第二步，假设当 n=k（k为正整数）时命题成立，即假设命题在这个情况下成立；第三步，证明当 n=k+1 时命题也成立。
2. 数学归纳法的应用数学归纳法常用于证明一些数列的性质、等式的成立以及公式的推导等。
4-全功能集推理
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§1.5 推理理论
5. 形式推理系统
一个形式推理系统由下列四个部分组成：
初始符号：一个非空的字母表
形成规则：确定由字母表中的符号构成的合式公式集
公理集：合式公式集中的一些特殊公式(一些永真式) 推理规则集
自然推理系统：从任意给定前提(一组命题公式)出发，应用系 统的推理规则进行演算，得到的最后命题公式就是推理的结论.
联接词全功能集:
»基本恒等式 » {↑}是全功能集
设C是联接词集合,若任何公式均可用仅含C中联接词的公式
等价地表示，则称C是联接词全功能集；
设C是联接词全功能集，如果从C中删去任意一个联接词，
C就不是全功能集，则称C是联接词的极小全功能集。
{ ┐,∧,∨,→, }是联接词全功能集，但不是极小的。
┐(A1∧A2∧„∧An∧A)∨B(A1∧A2∧„∧An∧A)→B
例2：证明：P→(Q∨R), Q→┐P, S→┐R P→┐S
(1) (2) (3) (4) (5)
P P→(Q∨R) Q∨R Q→┐P ┐Q
(6) R 附加前提 (7) S→┐R 前提 ⑴⑵假言推论 (8) ┐S (9) P→┐S 前提 ⑴⑷拒取式 -吴扬扬-
⑶⑸析取三段论 前提 ⑹⑺拒取式 CP规则
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§1.5 推理理论
4.反证法(归谬法)
»蕴涵式 »恒等式
把结论的否定作为附加前提，与给定前提一起推证，若能引出 矛盾，则说明结论是有效的。 {A ,A ,„,A ,┐B}不相容 要证A1∧A2∧„∧AnB,只需证A1∧„∧An∧┐B是永假式(pp.27) 例3：用反证法证明例1的 P→Q， Q→┐R， R ┐P。 证明：（1） ┐（┐P） 附加前提 （2） P (1)双重否定律 （3） (P→Q) 前提 （4） Q (2)(3)假言推论 （5） (Q→┐R) 前提 （6） ┐R (4)(5)假言推论 (7) R 前提 -吴扬扬(8) R∧┐R (6)(7)
1.5推理规则和证明方法-1
1.5.1 推理规则
P→Q P Q
P, P→Q推出Q P ∧P→Q永 真蕴含 Q
注：任一永真蕴含式都可作为一条推理规则
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有效结论
定义1.5-1 设H1，H2，…， Hn，C为命题公式， 若 H1H2… Hn C, 则称C是H1,H2,…, Hn的有效结论， 或称由H1H2… Hn 推出C是正确的。 如Q是P→Q，P 的一个有效结论。
推理规则——基本恒等式
• 每一个基本恒等式都派生出两条推理定律. 如双重否定律AA，产生两条推理定律： A A ，A A
基本等值式
双重否定律 AA
幂等律 交换律 结合律
分配律 德摩根律 吸收律
AAA, AAA ABBA, ABBA (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC)
推理的形式结构（续）
判断推理是否正确的方法: •真值表法 •等值演算法 •主析取范式法 •观察法
实例（1）
例1 判断下面推理是否正确: (1) 若今天是1号, 则明天是5号. 今天是1号. 所以明天是5号. 解 设 P: 今天是1号, Q: 明天是5号 推理的形式结构为 (PQ)PQ 证明 用等值演算法 (PQ)PQ ((PQ)P)Q ((PQ)P)Q PQQ 1 得证推理正确,即 (PQ)PQ.
①⑦析取三段论
前提引入 ⑧⑨合取
推理正确,Q是有效结论
作业 （9月24日）
• P23, 1,2 • P32, --2. (1) --3.(2) --4.(1) --6.(2) --11.(1)(3)(5) --12.（2）（4） --15.（1）
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实例（3）
（3）若a是偶数，则a能被2整除. a是偶数. 所以，a能被2整 除. 解 设P: a是偶数. Q: a能被2整除. 前提： (PQ) , P 结论： Q 推理的形式结构： (PQ)PQ 用真指表法判断此推理： P Q (PQ)PQ 由表可知，推理正确，故 (PQ)PQ
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离散数学
Discrete Mathematics
数理逻辑 1.5 推理规则与证明方法
张晓 西北工业大学计算机学院 zhangxiao@ 2011-1-10
引言
什么时候数学论证是正确的？ 用什么方法来构造数学论证？ 数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究推理过 程。
所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程 前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用 推理规则推出的命题公式。
要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首 先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。
2011-1-10
离散数学
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1.5.1
推理规则
前几节所讲的命题演算, 本质上和简单的开 关代数一样, 简单的开关代数是命题演算的 一种应用。
现在, 我们从另一角度研究命题演算, 即从 逻辑推理角度来理解命题演算。
2011-1-10
离散数学
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4个推理的例子
设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。
例1 如果x是偶数, 则x2是偶数。
前提 x是偶数。
x2是偶数。
例2 如果x是偶数, 则x2是偶数。
x2是偶数。
2011-1-10
P→Q P
结论
∴Q
在每一例子中, 横线上的是前提, 横线下的是结论。
右侧是例子的 逻辑符表示。
P→Q Q
x是偶数。
离散数学
∴P
4
例3 如果x是偶数, 则x2是偶数。
x不是偶数。
x2不是偶数。
例4 如果x是偶数, 则x2是偶数。
x2不是偶数。
x不是偶数。
2011-1-10 离散数学
P→Q P ∴ Q
P→Q Q ∴ P
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例 1 中, 若不管命题的具体涵义, 那么它所应用的推理规则 就是 左侧规则的另一
P →Q P ∴ Q
种写法
所对应的永真蕴 含式。
P ,P → Q 推得 Q
P∧(P→Q) ⇒ Q
从这个永真蕴含式可看出, 它正是代表“如果 P 并且 P→Q 是真, 则 Q是 真”的意义, 这里P和Q表示任意命题。
它恰好代表左侧的推理规则。
这条推理规则叫假言推理, 从形式上看 结论Q是从P→Q中分离出来的, 所以又叫分离规则。
它是推理规则中最 重要的一条。
2011-1-10
离散数学
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对任一永真蕴含式A ⇒ B来说, 如果前提A为真, 则可保 证B为真, 因此不难看出, 任一个永真蕴含式都可作为一条推理 规则。
例如, ┓P∧(P∨Q) ⇒ Q 代表以下规则, 叫做析取三段 论。
P ∨Q
P
∴ Q 或
所对应的永真蕴 含式。
P，P ∨ Q推得Q。
P∧(P∨Q) ⇒ Q ┓
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离散数学
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下边举一个例子, 说明这条推理规则是正确的。
设 P: 他在钓鱼, 他在钓鱼或下棋 他不在钓鱼 ∴他在下棋 这样, 就可给出以下定义: ∴ Q
Q: 他在下棋。
P∨Q P
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离散数学
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有效结论
定义 1.4-1 若 H1∧H2∧ …∧Hn Hn的有效结论。
⇒C, 则称 C 是 H1, H2,
…,
特别若A ⇒ B, 则称B是A的有效结论。
定义说明: 若 H1∧H 2∧ …∧Hn ⇒C, 则从H1∧H2∧…∧Hn推出 C, 这样的推理是正确的。
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离散数学
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注意
前提为真时, 才保证结论C为真; 前提为假时, C可能真也可能假 A ⇒ C，则C是正确的 × A ⇒ C，并且A为真，则C为真 √ 推理正确不等于结论为真 只要不出现真值表中1 → 0 的情况，推理就是正 确的 。
有效是指结论的推出是合乎推理规则的，判别有效 结论的过程就是论证过程。
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离散数学
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否定后件
判别有效结论的方法（证明的方法）
的真值表
离散数学
注意格式：步骤、断
的有效结论。
形式
∴┓P∧┓Q ┓(P∧Q)
⇒。