1.5推理规则和证明方法

离散数学
Discrete Mathematics
数理逻辑 1.5 推理规则与证明方法
张晓 西北工业大学计算机学院 zhangxiao@ 2011-1-10


引言
什么时候数学论证是正确的？ 用什么方法来构造数学论证？ 数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究推理过 程。

所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程 前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用 推理规则推出的命题公式。

要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首 先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。

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1.5.1
推理规则
前几节所讲的命题演算, 本质上和简单的开 关代数一样, 简单的开关代数是命题演算的 一种应用。

现在, 我们从另一角度研究命题演算, 即从 逻辑推理角度来理解命题演算。

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4个推理的例子
设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。

例1 如果x是偶数, 则x2是偶数。

前提 x是偶数。

x2是偶数。

例2 如果x是偶数, 则x2是偶数。

x2是偶数。

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P→Q P
结论
∴Q
在每一例子中, 横线上的是前提, 横线下的是结论。

右侧是例子的 逻辑符表示。

P→Q Q
x是偶数。

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∴P
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例3 如果x是偶数, 则x2是偶数。

x不是偶数。

x2不是偶数。

例4 如果x是偶数, 则x2是偶数。

x2不是偶数。

x不是偶数。

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P→Q P ∴ Q
P→Q Q ∴ P
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例 1 中, 若不管命题的具体涵义, 那么它所应用的推理规则 就是 左侧规则的另一
P →Q P ∴ Q
种写法
所对应的永真蕴 含式。

P ,P → Q 推得 Q
P∧(P→Q) ⇒ Q
从这个永真蕴含式可看出, 它正是代表“如果 P 并且 P→Q 是真, 则 Q是 真”的意义, 这里P和Q表示任意命题。

它恰好代表左侧的推理规则。

这条推理规则叫假言推理, 从形式上看 结论Q是从P→Q中分离出来的, 所以又叫分离规则。

它是推理规则中最 重要的一条。

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对任一永真蕴含式A ⇒ B来说, 如果前提A为真, 则可保 证B为真, 因此不难看出, 任一个永真蕴含式都可作为一条推理 规则。

例如, ┓P∧(P∨Q) ⇒ Q 代表以下规则, 叫做析取三段 论。

P ∨Q
P
∴ Q 或
所对应的永真蕴 含式。

P，P ∨ Q推得Q。

P∧(P∨Q) ⇒ Q ┓
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下边举一个例子, 说明这条推理规则是正确的。

设 P: 他在钓鱼, 他在钓鱼或下棋 他不在钓鱼 ∴他在下棋 这样, 就可给出以下定义: ∴ Q
Q: 他在下棋。

P∨Q P
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有效结论
定义 1.4-1 若 H1∧H2∧ …∧Hn Hn的有效结论。

⇒C, 则称 C 是 H1, H2,
…,
特别若A ⇒ B, 则称B是A的有效结论。

定义说明: 若 H1∧H 2∧ …∧Hn ⇒C, 则从H1∧H2∧…∧Hn推出 C, 这样的推理是正确的。

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注意
前提为真时, 才保证结论C为真; 前提为假时, C可能真也可能假 A ⇒ C，则C是正确的 × A ⇒ C，并且A为真，则C为真 √ 推理正确不等于结论为真 只要不出现真值表中1 → 0 的情况，推理就是正 确的 。

有效是指结论的推出是合乎推理规则的，判别有效 结论的过程就是论证过程。

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否定后件
判别有效结论的方法（证明的方法）
的真值表
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注意格式：步骤、断
的有效结论。

形式
∴┓P∧┓Q ┓(P∧Q)
⇒。