《电磁场》课件—第二章 场论2(旋度与数学定理)

( ) ∫ ∫ = rot B
( ) S1
l= im l
∆S ∆S1→0
1
∆lSi1m→0= α bl 2 − a2
µJ
2
绕另一个闭合曲线afgda（相当于扇形立体的一个斜面）的环量，注意此时的环量积
分不变，但面积始终有 ∆S2 > ∆S1
( ) (r= ot B)
lim = ∫ l B⋅ dl
µJα b2 − a2
梯度
散度
eˆ x eˆ y eˆz ∇ × A = ∂ ∂ ∂ = rot A
∂x ∂y ∂z Ax Ay Az
∇2ϕ= ∂2 ϕ + ∂2 ϕ + ∂2 ϕ
∂x2
∂y 2
∂z 2
旋度
拉普拉斯算子，读作Laplacian
【例3】梯度计算
z
(x’,y’,z’) R
r'
r
o
x
P(x,y,z)
源点： (x’, y’ ,z’)或 r' 场点P： (x, y, z)或 r
∇=h
eˆ r
∂h ∂r
+ eˆθ
1 r
∂h
∂θ
+ eˆφ
1
rsinθ
∂h
∂φ
球坐标系中的梯度
2.5.3, 2.6.2. 数学定理
∫ ∫ 1)（高斯）散度定理： ∇ ⋅ A dV = A ⋅ dS
V
S
∫ ∫ ∫ ∫ 应用：
∇ ⋅ EdV =
V
E ⋅ dS = Q
S
ε0
=
ρdV
V'
ε0
=
ρdV
V
ε0
∫S J2 ⋅ dS = J eˆr ⋅ S'0eˆn = JS'0 cos=α J= S0 I
即穿过这两个面的电流(强度)是相同的，都是I ，显然，如果S的方向反向， 结果会变负，也就是说截面的方向决定了电流的正负，其实这个截面的方向 就是参考方向。这说明电流无论以什么方向穿过一个平面，大小不变，正负 只与该面的法向有关。
2.6 矢量场的旋度
涡旋的有无和强弱
L1
L2
L4 L3
2.6 来自百度文库量场的旋度
1) 环量
dl θ
E
l 是矢量场 E 中的任意一根闭合曲线
矢量E 沿某一闭合曲线l 的线积分，
称为E 沿该闭合曲线的环量
l
∫ Γ = E ⋅ dl 积分方向要预先规定,
l
实际上l 有方向
eˆ n
2) 旋度（点函数）
E⋅ d l
r'
r
∇R
=
eˆ x
∂R ∂x
+
eˆ y
∂R ∂y
+
eˆ z
∂R ∂z
o x
= eˆx (x − x') + eˆ y (y − y') + eˆz (z − z') = R (x − x')2 + (y − y')2 + (z − z')2 R
∇'
R
=
eˆ x
∂R ∂x'
+
eˆ y
∂R ∂y'
+
eˆ z
RJ p
g
hc
d αe f
a b
c
d
∆S1
a
b
g
d ∆S2 af
g c ∆S3
f b
B
=
µ Jr 2
eˆφ
计算该点p处绕abcda一个扇形的闭合曲线
的环量，规定积分方向为abcda
( ) ∫l B⋅ d l=
µJb ⋅ bα − µJa ⋅ aα =
2
2
µJα ⋅ b2 − a2 2
B⋅ dl
B⋅ dl
∫ rot
E
=
eˆ n
lim
∆S →0
l
∆S
max
l
l 的方向与S的方向 eˆn 构成右手螺旋
eˆx eˆy eˆz rotE = ∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
最大环量面密度
是矢量,有旋涡,无旋涡
Ex Ey Ez
【例1】 求均匀载流的导体棒中和棒外某一点p磁感应强度的环 量面密度，如图所示，电流体密度为J，磁导率为µ。
= (rot B) µ= J , rot B µ J S1
G
=
∂f ∂x
eˆ x
+
∂f ∂y
eˆ
y
+
∂f ∂z
eˆ z
=
grad
f
∂f ∂l
=G⋅ eˆl
= G
cos ω
E⋅ d l
∫ rot
E
=
eˆ n
lim
∆S →0
l
∆S
max
矢量场在p点绕方向 eˆn 的方向旋度= rot E⋅ eˆn =rot E cosω
• 不同于无方向、有正负的标量，如电荷量
• 需要设置参考方向
• 参考方向和积分方向有关
I
I = ∫∫ J ⋅ dS
S
∫ U AB =
B E ⋅ dL
A
Κ1
Κ 2
通过某个面的电流——矢量与双向标量的关系
J1 eˆn
S
S0
J1= J= J2 S
J2
αeˆn eˆr
S'0
∫S J1 ⋅ dS = Jeˆz ⋅ S0eˆn = JS0 = I
∇ ⋅ E = ρ ε0
(由于V的任意性)
∫ ∫ 2) 斯托克斯定理： A ⋅ dl = ∇ × A ⋅ dS
l
S
S2
S3
∫ ∫ 应用： E ⋅ dl = ∇ × E ⋅ dS = 0
l
S
∇ × E = 0 (由于L固定后S的任意性)
S1 L
2.7 亥姆赫兹定理
矢量场的唯一性定理 设矢量场F 在以S 为边界的单连通区域V内具有连续偏导 数，F 满足以下边值问题
I
B • 什么是源？ • 周围某一点的旋度？
2.5.4 算子
∇
=
eˆ x
∂ ∂x
+
eˆ y
∂ ∂y
+
eˆ z
∂ ∂z
∇ϕ
= eˆ x
∂ϕ
∂x
+ eˆ y
∂ϕ
∂y
+ eˆz
∂ϕ
∂z
=
grad ϕ
∇⋅
A
=
∂ ∂x
Ax
+
∂ ∂y
Ay
+
∂ ∂z
Az
=
divA
哈密顿算子，读做 del 或 nabla。 在多数情况下，可以当作一个普通 矢量那样参与运算。
y
源点到场点位置矢量：R
R = r− r' = (x − x')eˆx + (y − y')eˆ y + (z − z')eˆz
R = r− r' = (x − x')eˆx + (y − y')eˆ y + (z − z')eˆz
z
(x’,y’,z’) R
R = (x − x')2 + (y − y')2 + (z − z')2
∂R ∂z'
= − eˆx (x − x') − eˆ y (y − y') − eˆz (z − z') = − R
(x − x')2 + (y − y')2 + (z − z')2
R
P(x,y,z) y
【例4】不同坐标系的梯度
∇h
=
eˆ ρ
∂h
∂ρ
+ eˆφ
1
ρ
∂h
∂φ
+
eˆ z
∂h ∂z
柱坐标系中的梯度
∇ ⋅ F = g ∇ × F = G F S = C
则矢量场F 被已知量g，G，C的值所唯一确定。
电磁场问题就是围绕散度、旋度和边界条件进行。
补充 双向标量2.8 双向标量
• 只有两个可能方向(正负)的标量，如电流强度,电压,磁通
• 不同于有无限多个可能方向的矢量，如电场强度，电流密度
• 不同于无方向、无正负的标量，如体积
lim 2
= < µJ
∆S S2 ∆S2 →0
2
∆S2 →0
∆S2
(rot B) S1
如果我们再取一个闭合曲线bcgfb（相当于扇形立体的一个外侧面），计算它的环量面 密度，可以发现结果为零。因此绕不同的闭合曲线，有不同的结果。
矢量场的旋度是矢量场A在该点的最大环量面密度， 方向是取最大环量面密度的面元方向