2013年黄陂一中分配生测试模拟考试数学试卷及答案

2013年黄陂一中分配生测试模拟考试数学试卷一．选择题 1.求和：1111644686681088101009898100S =++++++++=（ ）A 、15 B 、152 C 、172D 、7214-2.在直角坐标平面中，已知点P a b a b ≠（，）（），设点P 关于直线y =x 的对称点为Q ，点P 关于原点的对称点为R ，则△PQR 的形状是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定 3.设ABC ∆中，边BC 上一点D 满足BC ：CD =4，边CA 上一点E 满足CA ：AE =5，边AB 上一点F 满足AB ：BF =6，那么DEF ∆的面积：ABC ∆的面积=（ ） A 、37：60 B 、61：120 C 、59：120 D 、23：60 4.若实数a,b,c 满足a +b +c =0，abc =2，c >0，则（ ） A ab <0 B |a |+|b |≥2 C |a |+|b |≥4 D |a |+|b |≤15.如图，正方形OPQR 内接于△ABC.已知△AOR ，△BOP ，和△CRQ 的面积分别是1，3，1，那么正方形OPQR 的边长是（ ）A 2B 3C 2D 36.某同学用牙膏纸盒制作一个如图所示的笔筒，笔筒的筒底为长4.5厘米，宽3．4厘米的矩形。

则该笔筒最多能放半径为0．4厘米的圆柱形铅笔 ( ) A ．20支 B.2l 支 C ．24支 D ．25支7.如图，在正方形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点.折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后得折痕MN.设梯形ADMN 的面积为S1，梯形BCMN 的面积为S2，则21S S 的值为（ ）A 52B 53C 81D 87 8.任意选择一对有序整数（b,c ）其中每一个整数的绝对值小于或等于5，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的.方程02=++c bx x 没有相异正实根的概率是（ ） A 109 B 10091 C 121111 D 121112 9.已知a,b,c 是正整数，且抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个不同的交点A,B ，若A,B 到原点的距离都小于1，则a+b+c 的最小值为（ ）A 8B 9C 10D 1110.如图Rt △ABC 中有两种作内接正方形的方法.图（1）作的内接正方形面积为441，（2）中作的内接正方形的面积为440，则AC+BC 的值为（ ） A.456 B.458 C.460 D.462 二．填空题11.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC (BC >AD )，︒=∠90D ，BC =CD =12, ︒=∠45ABE ，若AE =10，则CE 的长为 .12.设旋转角∠A 1A 0B 1=α（α< A 1A 0A 2）, θ3，θ4，θ5，θ6，所表示的角如图所示。

设正n 边形A 0A 1A 2…A n －1与正n 边形A 0B 1B 2…B n －1重合（其中，A 1与B 1重合），现将正n 边形A 0B 1B 2…B n －1绕顶点A 0逆时针旋转α（n1800<<α）．设θn 与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，则写出θn 的度数为_________13.如图，相离的两个圆⊙O 1和⊙O 2在直线l 的同侧。

一条光线跟⊙O 1相切射向l 后反射，反射线又跟⊙O 2相切，则满足条件的光线共有 ▲14.设实数a 、b 、c满足则函数y =ax 2+bx +c 的图象一定经过一个定点，那么这个定点的坐标是____▲___15.有甲、乙均为20升的两容器，甲盛满纯酒精，而乙为空容器。

第一次自甲容器内倒出若干升酒精于乙容器内，再将乙容器用水填满；第二次将乙容器内的混合液填满甲容器；第三次再由甲容器回倒入乙容器326升，这时两容器内所含纯酒精量恰好相等。

则第一次从容器甲倒出酒精______升。

16.设函数)1(2)22()(23+--++=a a x a a x x f ，a 为实数.如果关于x 的方程)(x f =0有三个整数根，则实数a 的所有值为________ 17.如图所示，⊙O 是单位圆，AB,CD 是两条直径，弧AD 为60°，点P 在弧DB 上，设t =PA +PC ，则t 的取值范围为_________三．证明和计算题18．如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE 的延长线与大圆交于点B ，点D 在大圆上，BD 与小圆相切于点F ，AF 的延长线与大圆相交于点C ，且CE ⊥BD ．找出图中相等的线段并证明．C AED BFO19、min{1s ，2s ，┅，n s ，max{1s ，2s ，┅，n s 分别表示实数1s ，2s ，┅，ns 中的最小者和最大者．（1）作出函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的图像；（2）在求函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的最小值时，有如下结论：min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f ＝4．请说明此结论成立的理由； （3）仿照（2）中的结论，讨论当1a ，2a ，┅，n a 为实数时，函数)(x f ＝||11x x a -＋||22x x a -＋┅＋||n n x x a -x ∈R ，1x ＜2x ＜┅＜n x ∈R 的最值．20.菱形ABCD 的内切圆O 与各边分别切于E 、F 、G 、H ，在EF 与GH 上分别作⊙O 的切线交AB 于M ，交BC 于N ，交CD 于P ，交DA 于Q 。

求证：MQ∥NP。

21、已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）. （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 22．如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y ＝181x 2－94x －10与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t(单位：秒)（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；9）时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不（3）当t∈（0，2是，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．数学参考答案1.A2. B3. B4. B5. C6. B7. B8. C9. D 10. D 11. 答：4或6 12. 当n 为奇数时，180n nθα︒=-；当n 为偶数时，n θα=． 13. 4 14. （1，0） 15. 10 16. 11,9,1,3-- 17. 323≤≤t18. 解：图中相等的线段有：OA =OE ，DF =BF ，AF =BF ，AB =CD ，BC= AD=CE=AE ． 证明如下：∵AE 是小⊙O 的直径，∴OA =OE ． 连结OF ，∵BD 与小⊙O 相切于点F ，∴OF ⊥BD ． ∵BD 是大圆O 的弦，∴DF =BF ． ∵CE ⊥BD ，∴CE //OF ，∴AF =BF ．∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AD =BC ，AB =CD ． ∵CE ：AE =OF ：AO ，OF =AO ，∴AE=EC ． 连结OD 、OC ，∵OD =OC ，∴∠ODC =∠OCD ．∵∠AOD =∠ODC ，∠EOC =∠OEC ，∴∠AOC =∠EOC ，∴△AOD ≌△EOC ， ∴AD =CE ．∴ BC= AD=CE=AE ． 19. 解：（1）图略；（2）当x ∈（－∞，－3）时，)(x f 是减函数，当x ∈－3，1）时，)(x f 是减函数， 当x ∈1，＋∞）时，)(x f 是增函数，∴min )(x f ＝min{)3( f ，)1(f ＝4．（3）当1a ＋2a ＋┅＋n a ＜0时，max )(x f ＝max{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f ；当1a ＋2a ＋┅＋n a ＞0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f ； 当1a ＋2a ＋┅＋n a ＝0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(n x f ，max )(x f ＝max{)(1x f ，)(n x f ．20. 【分析】由AB∥CD 知：要证MQ∥NP，只需证∠AMQ=∠CPN，结合∠A=∠C 知，只需证△AMQ∽△CPN←，AM·CN=AQ·CP。

连结AC 、BD ，其交点为内切圆心O 。

设MN 与⊙O 切于K ，连结OE 、OM 、OK 、ON 、OF 。

记∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，则 ∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180°-2φ。

∴∠BON=90°-∠NOF -∠COF=90°-β-φ=α ∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是，∴AM·CN=AO·CO 同理，AQ·CP=AO·CO。

21. [解]（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . （2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞. （3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列. 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围. 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=， 依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n n n 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等.22. （1）在y ＝181x 2－94x －10中，令y ＝0，得x 2－8x －180＝0． 解得x ＝－10或x ＝18，∴A (18，0)． 在y ＝181x 2－94x －10中，令x ＝0，得y ＝－10． ∴B (0，－10)．∵BC ∥x 轴，∴点C 的纵坐标为－10． 由－10＝181x 2－94x －10得x ＝0或x ＝8． ∴C (8，－10)．∵y ＝181x 2－94x －10＝181(x －4)2－998 ∴抛物线的顶点坐标为(4，－998)．（2）若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥PA ，故只要QC ＝PA 即可．∵QC ＝t ，PA ＝18－4t ，∴t ＝18－4t ． 解得t ＝518．（3）设点P 运动了t 秒，则OP ＝4t ，QC ＝t ，且0＜t ＜4.5，说明点P在线段OA 上，且不与点O ，A 重合．∵QC ∥OP ， ∴PD QD ＝OD CD＝OPQC ＝t t 4＝41．同理QC ∥AF ，∴AF QC ＝AE CE ＝OD CD ＝41，即AFt＝41．∴AF ＝4t ＝OP ．∴PF ＝PA ＋AF ＝PA ＋OP ＝18． ∴S △PQF ＝21PF ·OB ＝21×18×10＝90 ∴△PQF 的面积总为定值90．（4）设点P 运动了t 秒，则P (4t ，0)，F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10) t∈（0，4.5）．∴PQ 2＝(4t －8＋t )2＋10 2＝(5t －8)2＋100FQ 2＝(18＋4t －8＋t )2＋10 2＝(5t ＋10)2＋100． ①若FP ＝FQ ，则18 2＝(5t ＋10)2＋100． 即25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝25224． ∵0≤t ≤4.5，∴2≤t ＋2≤6.5，∴t ＋2＝25224＝5144． ∴t ＝5144－2．②若QP ＝QF ，则(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2＋100． 即(5t －8)2＝(5t ＋10)2，无0≤t ≤4.5的t 满足． ③若PQ ＝PF ，则(5t －8)2＋100＝18 2．即(5t －8)2＝224，由于224≈15，又0≤5t ≤22.5， ∴－8≤5t －8≤14.5，而14.5 2＝(229)2＝4841＜224． 故无0≤t ≤4.5的t 满足此方程． 注：也可解出t ＝51448 －＜0或t ＝51448 ＋＞4.5均不合题意， 故无0≤t ≤4.5的t 满足此方程．综上所述，当t ＝5144－2时，△PQF 为等腰三角形。