第8章_回归正交试验设计

③均方：离差平方和与 对应自由度之比。 ④F检验： 回归方程显著性检验; 偏回归系数显著性检验 ： 判 断 因 素 或交 互 作 用 对试 验 的 影 响 程度 ； 经 检 验不 显 著 的 因 素或 交 互 作 用应
归 入 残 差 ，重新检验；可
直 接 从 回 归方 程 中 剔 除这 些一次和交互项。
可见，只有原子化温度x2对吸光度有显著影响，两者之间 存在显著的线性关系，且原子化温度取上水平时试验结果最 好。根据编码公式：
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Orthogonal Regression Design
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从第二次方差分析可知，因素z2对试验指标y有非常显著的 影响，所以原回归方程可简化为：
y 0.50475 0.03375 z2
①任一列编码的和为0。
②任两列编码的乘积之和等 于0。 这些特点说明转换后的正交 表同样具有正交性。
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（4）试验方案的确定
表头设计：可参考正交设计的表头设
计方法。
如考虑三个因素x1,x2,x3，选用L8(27)， 将 x1,x2,x3 分别安排在第 1 ， 2 ， 4 列，即
FLf<Fa,回归方程失拟不 显著。 只有当回归方程显著，失 拟检验不显著时，才说明 回归方程拟合的很好。
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例8-1 用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提 高测定灵敏度，希望吸光度（y）大。讨论x1（灰化温度/℃）、x2 （原子化温度/℃）和x3（灯电流/mA）三个因素对吸光度的影响， 并考虑交互作用x1x2, x1x3。已知x1＝300～700 ℃， x2＝1800～ 2400 ℃， x3＝8～10 mA。试通过一次正交试验确定吸光度与三 个因素之间的函数关系。 解：（1）因素水平编码 因x1＝300～700 ℃， 所以其上水平x12 ＝700 ℃，下水平x11 ＝ 300 ℃，零水平x10 ＝500 ℃，变化期间Δ1 ＝200 ℃，对应编码 （以x11 ＝ 300 ℃为例）：
j＝1，2，…，m
mc
bkj
(z z ) y
i 1 k j i
n
j＞k, k＝1，2，…，m－1
mc
说明： ①求得的回归系数直接反映了该因素作用的大小。
②回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负。
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Orthogonal Regression Design 8.1.3 回归方程及偏回归系数的方差分析
zj
x j x j0 j
zj：因素xj的编码 ，称为规范变量。 xj：自然变量。
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编码目的：使每个因素的每个水平在编码空间是“平等”的， 即规范变量zj的取值范围都在[－1，1]内变化，不会受到自然变 量xj的单位和取值大小的影响。 所以，编码能将试验结果y与因素xj（j＝1，2，…，m）之间 的回归问题，转换成试验结果y与编码值zj之间的回归问题 。
z10 z22
x10 x10 500 500 0 1 200 x22 x20 2400 2100 1 2 300
x31 x30 8 9 z31 1 3 1
z32 1 ; z30 0
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mc
0.078 0.00975 8 Page 17
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b2
z
i 1 n
n
2i
yi
mc
i 1

0.270 0.03375 , b3 8
i
z
i 1
n
3i
yi
n
mc
i 1

0.046 0.00575 8
2 SSel y0i y0 y0 i 2 i 1 i 1 m0 m0
1 y 0i m0 i 1
m0
2
重复试验误差对应的自由度为：
dfel m0 1
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8.1.1 Orthogonal Regression Design 一次回归正交设计的基本方法
（1）确定因素的变化范围 以因素xj为例：设xj 的变化范围为[xj1， xj2] xj1为xj的下水平 ，xj2为xj的上水平 xj0为xj的零水平： xj0＝ (xj1＋ xj2)/2 因素xj的变化间距Δj： 上水平xj2的编码 ：zj2＝1 Δj＝上水平－ 零水平＝xj2－xj0 下水平xj1的编码：zj1＝－1 Δj= (xj2 － xj1)/2 零水平xj0的编码：zj0＝0 （2）因素水平的编码 编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变换：
（2）正交表的选择和试验方案的确定 选
L8(27)
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（3）回归方程的建立 m0＝0，n＝mc＝8
1 4.038 a yi 0.50475 , b1 n i 1 8
n
z
i 1
n
1i
yi
n＝mc＋m0
mc：二水平试验次数 m0：零水平试验次数
一次回归方程系数的计算：
常数项：a 一次项系数：bj 交互项系数： bjk
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1 a yi y n i 1
n
bj
i
z
i 1
n
ji
yi
SS一次项 回归平方和 ： SSR 残差平方和 ： SSe SST SSR

SS
交互项
dfT＝n―1 ；各种偏回归平方和的自由度＝1；回归平方和的自
由度dfR＝∑df一次项＋∑df交互项；残差自由度dfe＝dfT－dfR。
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8.1
一次回归正交试验设计及结果分析
ˆ a b j x j bkj xk x j , k 1,2,, m 1 j k y
j 1 k j m
建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的一
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回归正交试验设计（orthogonal regression design）特点： （1）可以在因素的试验范围内选择适当的试验点； （2）用较少的试验建立回归方程；
（3）能解决试验优化问题；
（4）但不适合非数量性因素。
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失拟平方和定义为：
SS Lf SS T SS R SS el or SS Lf SS e SS el
失拟平方和表示了回归方程未能拟合的部分，包括未考虑 的其他因素及各xj的高次项等所引起的差异。
df Lf df e df el ; SST SS R SS e SS R SS Lf SS el dfT df R df e df R df Lf df el ; FLf SS Lf df Lf SS el df el
次回归方程
若不考虑交互作用，则为多元线性回归方程：
ˆ a b1 x1 b2 x2 bm xm y
例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用。 若不考虑交互作用，为三元一次线性回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3
（3）方差分析 2 2 n n 1 4 . 038 2 SST yi yi 2.049044 0.10864 n i 1 8 i 1 2 SS1 mcb12 8 0.00975 0.000761 2 2 SS2 mcb2 8 0.03375 0.009113 2 2 SS3 mcb3 8 0.00575 0.000265 2 2 SS12 mcb12 8 0.00475 0.000181 2 2 SS13 mcb13 8 0.00725 0.000421 SSR SS1 SS2 SS3 SS12 SS13 0.010741 SSe SST SSR 0.010864 0.010741 0.000123
x11 x10 300 500 z11 1 1 200
其他编码见下表。
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x12 x10 700 500 z12 1 1 200 x21 x20 1800 2100 z21 1 2 300 x20 x20 2100 2100 z20 0 2 300
PageHale Waihona Puke Baidu11
MSR/MSe
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（2）有零水平试验时
如果零水平试验次数 m0≥2 ，则可进行回归方程的失拟性 （ lack of fit ）检验。失拟性检验也称拟合度检验 （ test of goodness of fit），其作用是检验一次回归方程在整个研究范围 内的拟合情况。 假设 m0 次零水平试验结果为 y01,y02,… ， y0m ，根据 m0 次重复 试验，可以计算出重复试验误差为：
i
mc mc 回归方程为： y 0.50475 0.00975z1 0.03375z2 0.00575z3 0.00475z1 z2 0.00725z1 z3
b12
z z y
1 2 i
0.038 0.00475 , b13 8
z z y
1 3 i

0.058 0.00725 8
根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次为：
x2＞x1 ＞x1x3 ＞x3 ＞x1x2
根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向为：
灯电流x3增加使试验指标减小；其他因素↑，试验指标↑。
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Orthogonal Regression Design （3）一次回归正交设计表
将二水平的正交表中“2”用“－1”代换 ，例：
表8-2 一次回归正交设计编码表
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代换后，正交表中的编码不仅表示因素的不同水平，也表示 了因素水平值的大小。回归正交设计表的特点：
z1,z2,z3安排在第1、2、4列上。
交互作用参考正交表第3、5列。 交互作用列的编码等于表中对应两因
素列编码的乘积。
第 9 、 10 号试验称为零水平试验或中 心试验。
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8.1.2 一次回归方程的建立
总试验次数为n ：
（1）无零水平试验时 ①平方和： 总平方和： SST Lyy
1 n 2 ( y y ) y ( y ) i i n i 1 i 1 i 1 一次项偏回归平方和 ： SS j mcb2 j 2 交互项偏回归平方和： SSkj mcbkj
2 2 i
n
n
②自由度