第8章_回归正交试验设计
（实验设计与数据处理08.正交实验设计的方差分析（上）
第8章正交试验设计的方差分析前面我们讨论了如何安排正交试验以及用极差分析法(即直观分析法)对试验结果进行计算分析.极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少，便于普及推广.但这种方法不能把试验中由于试验条件的改变引起的数据波动，同试验误差引起的数据波动区分开来.也就是说，不能区分因素各水平对应的试验结果间的差异，究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，即不知道试验的精度.同时，对影响试验结果的各个因素的重要程度，既不能给出精确的定量估计，也不能提供一个标准，用来判断所考察的因素的作用是否显著.为了弥补极差分析法的不足，对试验结果的分析可采用方差分析法.8.1 正交试验方差分析的基本步骤在第2章中我们已经介绍过，方差分析的基本思想是将数据的总偏差平方和(S T)分解为因素的偏差平方和(S A、S B)和误差的偏差平方和(S e)，然后将偏差平方和除以相对应的自由度(f)得到方差(V A、V B)，最后利用因素方差与误差方差之比(V A/V e，V B/V e)，作F检验，即可判断因素的作用是否显著.正交试验设计的方差分析也是按这样的步骤进行的，所不同的是这是考虑的是多因素试验的方差分析，而第2章中只考虑单因素和双因素试验的方差分析.一、计算1.偏差平方和与自由度的计算方差分析的关键是偏差平方和的分解，现在以最简单的L 4(23)正交表上安排的试验为例来说明(见表8-1，板书).不考虑哪些因素安排在哪些列上(即表头设计时)，设试验结果为x 1、x ２、x 3和x 4. 总的偏差平方和:4)(241221212_T x n T x x x S i i ni ini i T -=-=-=∑∑∑=== T=∑=ni i x 1=(x 21+x 22+x 23+x 24)-41(x 4321x x x +++)2 整理后可得 43=(24232221x x x x +++) 21- (434232413121x x x x x x x x x x x x +++++) 第1列各水平偏差平方和为S 1=22_21_2_11_)(2)(x K x K -+-=2[221211)42()42(TK T K -+-] =2[T K T K T K T K 2111222122114141164164--+++] =222121141)(21T K K -+ )(211141K K x T i i +==∑= =24321243221)(41])()[(21x x x x x x x x +++-+++=)(21)(4143214232413124232221x x x x x x x x x x x x x x x x --+++-+++表8-1 L 4(23)正交表及计算表注: K ij 表示第j 列第i 水平的指标值之和；ij K __表示第j 列第i 水平的平均指标值；T 表示指标值总和；__x 表示平均指标值. 同理，第2、3列各水平的偏差平方和S 2、S 3为)(21)(4141)(21)()(23241434231212423222122232132__23__2__13__3x x x x x x x x x x x x x x x x T K K x K x K S --+++-+++=-+=-+-= 由此可得S T =S 1+S 2+S 3 (8-1)式(8-1)是正交表L 4(23)的总偏差平方和的分解公式，即L 4(23)的总偏差平方和等于各列偏差平方和之和.若在L 4(23)正交表的第1列和第2列分别安排二水平因素A 、B ，在不考虑A 、B 因素间交互作用的情况下，则第3列(空列)是误差列.)(21)(4141)(21)(2)(24231433241212423222122222122__22__2__12__2x x x x x x x x x x x x x x x x T K K x K x K S --+++-+++=-+=-+-=同样也可以证明S T =S A +S B +S e (8-2)上式也是总偏差平方和的分解公式，即总偏差平方和等于各列因素的偏差平方和与误差的偏差平方和之和.我们可以把上例推广到一般情况:用饱和正交表L n (m k )安排试验(见表8-2，p160)，总的试验次数为n ，每个因素的水平数为m ，则每个水平作r 次试验，r=mn. 试验结果为x 1，x 2，x 3，…，x n .令∑∑∑=======ni i T ni i ni i x Q x n x nT CT x T 121__21,1,,则总偏差平方和为CT Q n T x x x S T ni ini i T -=-=-=∑∑==21212__)( (8-3)列偏差平方和为),,2,1(1)(21212__k i CT Q n T K r x K r S j m i ij mi ij j =-=-=-=∑∑== (8-4) 其中∑==m i ij j K r Q 121特别地， 当m=2(即二水平)时， 式(8-4)可表示成:2212212221221222122221)(1)(1)(2)(1)()(1j j j j j j j j jj j j j K K nK K n K K n K K n K K n m n T K K r S -=+-+=+-+=-+= (8-5) 列偏差平方和S j 是第j 列中各水平对应的试验数据平均值与总平均值的偏差平方和，它反映了该列水平变动所引起的试验数据的波动.若该列安排的是因素，就称S j 为该因素的偏差平方和；若该列安排的是交互作用，就称S j 为该交互作用的偏差平方和；若该列为空列，则S j 表示由于试验误差和未被考察的某些交互作用或某些条件因素所引起的波动.在正交试验设计中，通常把空列的偏差平方和作为试验误差的偏差平方和，虽然它属于模型误差，一般比试验误差大（当作安全系数考虑），但用它作为试验误差进行显著性检验，可使检验结果更可靠些。
回归正交试验设计PPT精品文档
Orthogonal Regression Design
1
正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定 试验范围内的最优方案
回归正交设计（orthogonal regression design） ： ➢ 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点 ➢ 用较少的试验建立回归方程 ➢ 能解决试验优化问题 ➢ 不适合非数量性因素
2
8.1 一次回归正交试验设计及结果分析
建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的 一次回归方程
例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3
➢ 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 ➢ 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：
8
（4）试验方案的确定 表头设计 ： ➢ 可参考正交设计的表头设
计方法 ➢ 交互作用列的编码等于表
中对应两因素列编码的乘 积 零水平试验（中心试验 ）
9
8.1.2 一次回归方程的建立
总试验次数为n ： n＝mc＋m0
➢ mc：二水平试验次数 ➢ m0：零水平试验次数 一次回归方程系数的计算： ➢ 常数项：a ➢ 一次项系数：bj ➢ 交互项系数： bjk
14
例8-1： （1）因素水平编码
15
（2）正交表的选择和试验方案的确定
16
（3）回归方程的建立 ➢ m0＝0，n＝mc＝8 ➢ 计算表 ➢ 计算各回归系数 ➢ 写出y与规范变量zj的回归方程 ➢ 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次 ➢ 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向 （4）方差分析 （5）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量xj的回归
8第八章_回归正交试验设计
16
7.1.3 回归分析对数据的处理由被动变主动 古典的回归分析方法只是被动地处理已有的试验数据，对 试验的安排不提任何要求，对如何提高回归方程的精度研究 很少。 后果： （1）盲目增加试验次数，而这些试验结果还不能提供充分 的信息，以致在许多多因子试验问题中达不到试验目的。 （2）对模型的合适性有时无法检验，因为在被动处理数据 时在同一试验点上不一定存在重复试验数据。 为了适应寻求最佳工艺、最佳配方、建立生产过程的数学 模型等的需要，人们就要求以较少的试验次数建立精度较高 的回归方程。
ˆ b0 b1 x1 bp x p y 今后称 A X X 为正规方程组的系数矩阵， B X Y 为正规 1 方程组的常数项向量，C X X 为相关矩阵。 在模型（7.1.5）下，有
b ~ N ( , 2 ( X X ) 1 )
2015-1-9 试验设计与数据处理 9
( xi1 , xi 2 ,, xip , yi ), i 1,2,, n
假定回归模型为：
yi 0 1 xi1 p xip i，i 1,2,, n 2 各 iid ~ N ( 0 , ) i (7.1.5)
2015-1-9
试验设计与数据处理
i 1 i 1 i 1
ˆi )2 ( y ˆ i y) 2 S E S R ST ( yi y ) 2 ( yi y
其中
ˆi )2 S E ( yi y
ˆ i y) 2 S R ( y
i
为残差平方和，自由度为 为回归平方和，自由度为
2015-1-9 试验设计与数据处理 15
当H0j为真时，有 Fj ~ F (1, f E ) 。 给定的显著性水平 ，当 Fj F1 (1, f E ) 时拒绝假设H0j，即认 为 j 显著不为零，否则可以将对应的变量从回归方程中删除。 注：当有不显著的系数时，一般情况下一次只能删除一个F 值最小的变量，重新计算回归系数，再重新检验。通常要到余 下的系数都显著时为止。
第8章回归正交试验设计
②二次项的中心化 对二次项的每个编码进行中心化处理 ：
(二次项编码)－(二次项编码算术平均值)
z ji
'
z
j
2 i
1 n
n i 1
z
j
2 i
二元二次回归正交组合设计编码表
试验号
z1
1
1
z2
z1 z2
z12
1
1
1
2
1
－1
－1
1
3
－1
1
－1
1
4
－1
－1
1
1
5
1
0
0
1
6
－1
0
0
1
7
0
1
0
0
8
0
－1
0
1.414
1.483
3 1.147 1.353
1.471
1.547
4 1.210 1.414
1.525
1.607
5 1.267 1.471
1.575
1.664
6 1.320 1.525
1.623
1.719
7 1.369 1.575
1.668
1.771
8 1.414 1.623
1.711
1.820
9 1.457 1.668
bkj
i 1 n
(zk z j )i2
i 1
二次项偏回归系数bjj ：
n
(
z
' ji
)
yi
b jj
i 1 n
(
z
' ji
)
2
i 1
⑤回归方程显著性检验
实验五回归正交试验设计(Excel)
j 1
一次回归正交试验的结果分析
I. 建立回归方程
第一步：计算各列的SSj值
n
n
SS j d j zi2j dkj (zik zij )2
i 1
i 1
第二步：计算各列的Bj值
n
n
B0 yi Bj zkj yk
i 1
i 1
n
Bkj zik zij yi i 1
第三步：计算各列的回归系数bj值
二次回归组合设计结果分析
第一步，计算Bj，dj
n
B0 yi i 1
n
d j zi2j i 1
n
n
B j zij yi Bkj zik zij yi
i 1
i 1
n
B jj
z
' ij
yi
k 1
n
dkj (zik zij )2 i 1
n
d jj (zi'j )2 i 1
第二步，计算bj
b0
B0 n
bj
Bj dj
bkj
Bkj dkj
b jj
B jj d jj
II. 回归方程显著性检验
第一步： 计算各列回归系数的偏回归平方和 （ U j）
U j B2j / d j Ukj Bk2j / dkj U jj B2jj / d jj
第二步： 计算总变异均方、剩余的均方、回归均方
p
p
内容：
一次回归正交试验设计
yˆ b0 b1x1 b2 x2... bp xp
p
p1 p
或 yˆ b0 bj x j
bkj xk x j
j 1
k 1 jk 1
二次回归正交试验设计
正交回归设计(2)
2．检验一次方程的合适性 为了了解是否存在因子间的交互作用，是否有因子的高次效 应，在中心点进行了m=5次试验，结果为： 40.3，40.5，40.7，40.2，40.6 5 其平均值为 y 0 40.46 ，偏差平方和为 S0 ( y0i y0 ) 2 0.172 ， i 1 其自由度=4。 采用方法1中的检验统计量t作检验。 ˆ 0 40.425， y 0 40.46 ， 现在 y
1u 表示为行向 其中 ，1u 表示元素均为1的u维列向量， 量， I u 表示u阶单位阵，J uv 表示u行v列的矩阵，其元素均为 1， h mc 2 2 ，G是p阶对称方阵，其对角元均为 f mc 2 4 ， 非对角元均为mc，即 f mc mc m c f mc G m m f c c
0
S e ( y 0i y 0 ) 2，f e m0 1
i 1
m0
S Lf S E S e，f Lf f E f e
可对二次回归模型的合适性进行检验。
例8.4.1 为提高钻头的寿命，在数控机床上进行试验，考察 钻头的寿命与钻头轴向振动频率F及振幅A的关系。在试验中， F与A的变动范围分别为：[125 Hz，375Hz]与[1.5，5.5]，采用 二次回归正交组合设计，并在中心点重复进行三次试验。
(2)用二水平正交表L4(23)安排试验，试验方案与结果如下：
(3)建立一次回归方程：
所得一次回归方程为：
ˆ 40.425 0.775 x1 0.325 x2 y
链接31
对回归方程与回归系数作显著性检验的方差分析表如下：
若取 0.05 ，那么 F0.95 (2,1) 200 ，所以方程在显著性水 平0.05上是显著的，又 F0.95 (1,1) 161 ，则两个系数也是显著 的。
第八章回归正交试验设计
8回归正交试验设计本章要点：主要讲述了一次回归正交试验设计、二次回归正交试验设计的原理、基本方法和统计分析步骤，并针对不同类型的回归正交试验给出了相应的计算案例。
重点：回归正交试验设计的方法，统计过程中方程的建立以及显著性分析检验。
难点：二次回归组合设计正交性的实现及其统计分析。
8.1 回归正交试验设计简介产品质量通常受多因素的综合影响，试验效应既包括因素的主效应，也包括因素间的交互作用，因此，在产品研究中总希望安排足够多的研究因素以使试验效应有充分的试验论据。
但因素和水平的增加造成试验规模庞大，特别是对于多指标分析的试验往往由于分析困难而无法实施。
线性反应试验一般是研究一个因素多水平的试验设计，面体反应试验是研究两个因素多水平的的试验设计。
当试验因素超过3个的多水平试验时，由于采用组合处理，处理数目等于因素水平间的乘积，它随因素的增加呈几何级数增加。
例如，一个3因素4水平的试验，总共有43＝64个试验处理，而4因素5水平的试验就有54＝625个处理，由于处理数目太大，不仅增加了试验误差，而且由于受试材和条件的限制，这对产品研究来说是难以实施的。
正交试验设计方法在产品工艺改进、新产品的试制中得到了广泛的应用，它能够利用较少的处理安排较多的试验因素，获得较佳的试验结果。
但是正交设计不能在一定的试验范围内，根据数据样本，去确定变量间的相关关系及相应的回归方程。
如果试验传统的回归分析，又只能被动地去处理由试验所得到的数据，而对试验的设计安排几乎不提出任何要求。
这样不仅盲目地增加了试验次数，而且由数据所分析出的结果还往往不能提供充分的信息，造成在多因素试验的分析中，由于设计的缺陷而达不到预期的试验目的。
因而回归正交试验设计应运而生。
回归正交试验设计是将试验安排与数据的回归分析结合起来考虑。
在试验中，通过适当地安排试验点，使得在每个试验点上获得的数据含有最大的信息，并且各自变量(因素)向量间满足正交性以便于回归分析。
第八章.正交试验设计
第八章.正交试验设计第8章正交试验设计本章要求(1)掌握试验设计的基本概念；(2)掌握正交表的形式与特征；(3)掌握正交设计的试验步骤；(4)熟悉无交互作用的正交设计的数据直观分析方法；(5)熟悉正交设计的统计模型与方差分析；(6)了解正交设计的最佳条件选择。
正交试验设计法是研究与处理多因素实验的一种科学方法。
利用规格化的表格―正交表,科学地挑选试验条件,合理安排实验。
正交试验设计法最早由日本质量管量专家田口玄一提出,称为国际标准型正交试验法。
认为：“一个工程技术人员若不掌握正交试验设计法, 只能算半个工程师”。
我国工业企业特别是化工、纺织、医药、电子、机械行业,正交试验设计法的应用也取得相当的成就,中国数学家张里千教授发明了中国型正交试验设计法。
无交互作用单一指标的正交设计及其基本概念试验设计例为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A),反应时间(B),用碱量(C),并确定了它们的试验范围：A:80-90℃ B:90-150分钟C:5-7% 试验目的是搞清楚因素A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。
试制定试验方案。
这里，对因素A,在试验范围内选了三种状态；因子B和C也都取三种状态：A:A1=80℃,A2=85℃,A3=90℃ B:B1=90分，B2=120分，B3=150分C:C1=5%,C2=6%,C3=7% 当然，在正交试验设计中，因素可以是定量的，也可以是定性的。
而定量因素各水平间的距离可以相等，也可以不相等。
这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法：(Ⅰ)取三因素所有状态之间的组合，即AlBlC1,A1BlC2,A1B2C1, ……, A3B3C3,共有33=27次试验。
用图表示就是图1 立方体的27个节点。
这种试验法叫做全面试验法。
全面试验对各因素与指标间的关系剖析得比较清楚。
工程试验设计 回归正交试验设计
第一节 一次回归正交设计一 正交设计和回归设计的特点1 正交设计的特点正交设计是一种很实用的试验设计方法，它利用较少的试验次数获得较好的试验结果；但是通过正交设计得到的优方案只是局限在确定的水平组合中，而不是一定试验范围内的最优方案。
2 回归设计回归分析是一种有效的数据处理方法，通过所确定的回归方程，可对试验结果进行预测和控制；但是，它只能对试验数据进行被动的分析和处理，不涉及对试验设计的要求。
如果把两者的优势统一起来，不仅有合理的试验设计和较少的试验次数，还能建立有效的数学模型，这就是回归正交设计方法。
二 一次回归正交设计基本方法一次回归正交设计就是利用回归正交设计原理，建立试验指标y 与m 个因素x 1、x 2、…、x m 之间的一次回归方程：)(ˆ1k j x x b x b a yjk j k kj mj j j ≠++=∑∑<=（k=1，2，…，m ） 如果不考虑交互作用，则一次回归方程为m m x b x b x b a y++++=...ˆ2211 一次回归正交设计的基本步骤如下：1 确定因素的变化范围根据指标y ，确定需要考察的m 个因素x j （j=1，2，…，m ），并确定每个因素的取值范围。
设：x j 的变化范围为[x j 1，x j 2]，分别称x j 1和x j 2为因素x j 的下水平和上水平，并将其算术平均值称为零水平，即2210j j j x x x +=上水平与零水平之差或零水平与下水平之差称为x j 的变化间距j ∆，即2121002j j j j j j j x x x x x x -=-=-=∆例如，某试验中温度的变化范围为30-90℃，则其上水平为x j 2=90℃，x j 1=30℃，零水平x j 0=60℃，变化间距△j =30℃。
2 因素水平的编码编码（coding ）就是将x j 的各水平进行线性变换，即jj j j x x z ∆-=式中，z j ——x j 的编码。
第8章正交
（2）综合平衡法 先对每个指标分别进行单指标的直 观分析，得到每个指标的影响因素主 次顺序和较优水平组合，然后根据理 论知识和实践经验，对各指标的分析 结果进行综合比较和分析，得出较优 方案。 例8-7
3.2 方差分析法
先将试验结果的总变异分解为各因素
不同水平间、交互作用及误差的变异，
然后计算出各F值，查F界值表，确定P
根据因素数和水平数来选择合适的正 交表。一般要求，因素数≤正交表列 数，因素水平数与正交表对应的水平 数一致，在满足上述条件的前提下， 选择较小的表。
表头设计：
表头是指正交表第一行的“列号”。正交表选 定后，要把各因素项及交互作用项分别放在正交 表表头适当的列中去。此过程称表头设计。若因 素间的交互作用可以忽略时，可随意地把各因素 安排在所选表的列上；若因素间有交互作用，则 应将交互作用看作是影响因素，并将其安排在相 应的列上（称为交互作用列）。但是，各个因素 列和交互作用列是不能随意安排的。表头设计不 是唯一的，一项试验，可以做出多种不同的表头 设计，一般来说，只要设计得合理，试验误差不 大，结论一般都是一致的。
L125(531)，…
混合水平正交表： L8(4×24) ， L16(4×212)
L16(42×29) ，L16(43×26)，
L12(3×23) ，L12(3×24) ，L18(2×37)，
L12(6×22) ，…
常用的正交表见附录。
1.2 正交表的特点
“均衡分散”和“整齐可比”
均衡分散（或称搭配均匀）：是说明正交 表列出的这部分组合搭配，在全部可能的 组合搭配中分布是均匀的，因此代表性强， 能较好地反映全面情况。
如L18(6×36)，如表8-3
正交表可分为同水平和混合水平两大类
第8章 回归的正交设计
第8章 回归的正交设计教学目标：1. 掌握一次回归正交设计及统计分析方法2. 掌握二次回归正交组合设计及统计分析方法正交设计是一种重要的科学试验设计方法，它能够利用较少的试验次数，获得较佳的试验结果。
但是正交设计不能在一定的试验范围内，根据数据样本，去确定变量间的相关关系及其相应的回归方程。
如果使用传统的回归分析，又只能被动地去处理由试验所得到的数据，而对试验的设计安排几乎不提出任何要求。
这样不仅盲目地增加了试验次数，而且由数据所分析出的结果还往往不能提供充分的信息，造成在多因素试验的分析中，由于设计的缺陷而达不到预期的试验目的。
因而有必要引入把回归与正交结合在一起的试验设计与统计分析方法──回归正交设计。
回归设计就是在因子空间选择适当的试验点，以较少的试验处理建立一个有效的多项式回归方程，从而解决生产中的最优化问题，这种试验设计方法称为回归设计。
随着生产与科学技术的发展，在工农业生产中为了实现以较少的生产投资，获得最大的经济效益，经常需要寻求某种产品、材料试验的最佳配方、试验条件与工艺参数以及建立生产过程的数学模型。
特别是以较少的试验次数和数据分析去选择试验点，使得在每个试验点上能获得比较充分、有用的信息，减少试验次数，并使其数据分析能提供更为科学、充分、有用的信息。
解决上述问题比较理想的方法就是通过回归设计进行试验，建立相应的数学模型，寻求最佳生产条件和最优配方。
回归设计始于20世纪50年代初期，发展至今其内容已相当丰富，包括回归的正交设计、回归的旋转设计、回归的最优设计以及回归的混料设计等，本章只介绍回归的正交设计。
8.1一次回归正交设计与统计分析当试验研究的因变量（如加工罐头质量）与各自变量（如杀菌方式、产品配料等）之间呈线性关系时，可采用一次回归正交设计的方法。
8.1.1一次回归正交设计的一般方法一次回归正交设计的方法原理与正交设计类似，主要是应用二水平正交表进行设计，如)2(34L ，)2(78L ，)2(1112L ，)2(1516L 等，其设计的一般步骤为：⑴ 确定试验因素的变化范围。
回归正交设计
实验内容：P201习题2、5模版：实验3 回归正交试验设计◆实验目的掌握回归正交试验设计原理及统计分析方法，并能通过SAS编程实现◆实验内容及实验步骤1某橡胶制品有橡胶，竖直和改良剂复合而成，为提高撕裂强度，考虑进行一次响应曲面正交设计，三个变量的取值范围分别为：Z：橡胶中等成分的含量0~20Z：树脂中等成分的含量10~20Z：改良剂的阿百分比0.1~0.3（2）如果在试验中心进行了四次重复试验，结果分别为：417，401，455，439，试检验在区域中心一次响应曲面方程是否合适？实验步骤：I)在SAS系统软件中对该数据进行一次相应曲面正交试验设计，程序如下：data raw1;input tno x1 x2 x3 y @@;cards;1 -1 -1 -1 4072 -1 -1 1 4213 -1 1 -1 3224 -1 1 1 3715 1 -1 -1 2306 1 -1 1 2437 1 1 -1 2508 1 1 1 259;proc print data = raw1; proc glm data =raw1; model y= x1 x2 x3 ; Run;321625.10375.12375.67875.312x x x y +--=从方差分析结果来看，2x 和3x 的显著性不高，可推断该曲面方程的忽略了几个变量之间的交互作用，但是拟合度已经达到90.2027%，整个实验还是显著的。
II) 一次响应曲面方程的最大值是403.25，而四次重复试验的结过分别为417，401，455，439，其中的三个结果都超出了一次相应曲面方程的最大值，所以在区域中心的一次相应曲面方程是不合适的。
下面再对三个变量的交互作用进行二次相应曲面方程拟合。
程序如下： data raw1;input tno x1 x2 x3 y @@; cards ;1 -1 -1 -1 4072 -1 -1 1 4213 -1 1 -1 3224 -1 1 1 3715 1 -1 -1 2306 1 -1 1 2437 1 1 -1 2508 1 1 1 2599 0 0 0 41710 0 0 0 401 11 0 0 0 45512 0 0 0 439;data reg1;set raw1;x1x2=x1*x2;x1x3=x1*x3;x2x3=x2*x3;x1x1=x1*x1;x2x2=x2*x2;x3x3=x3*x3;proc print data=reg1;proc glm data=reg1;model y= x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2x3 x1x1 x2x2 x3x3;run;结果2通过上面的图标可以看出，数据的拟合度已经达到了97.6273%，这样的拟合度是相当高的，在该种拟合状况下的二次响应曲面方程式是：1132312132112.115875.3125.5375.21625.10375.12375.67428x x x x x x x x x x x y -+-++--=该种情况下，虽然拟合程度很高，但是我们仍然可以看到，x2、x3、x1x3的显著性不是很好。
回归正交试验设计
规范变量z 规范变量 j 上星号臂γ 上星号臂 上水平1 上水平 零水平0 零水平 下水平－1 下水平－ 下星号臂－ 下星号臂－γ 变化间距 变化间距 j
②确定合适的二次回归正交组合设计 参考表8-22 参考表
正交表的选用 因素数m 因素数 2 3 4（1/2实施） （ 实施 实施） 4 5（1/2实施） （ 实施 实施） 5 选用正交表 L4（23） L8（27） L8（27） L16（215） L16（215） L32（231） 表头设计 1，2列 ， 列 1，2，4列 ， ， 列 1，2，4，7列 ， ， ， 列 1，2，4，8列 ， ， ， 列 1，2，4，8，15列 ， ， ， ， 列 1，2，4，8，16列 ， ， ， ， 列 mc 22＝ 4 23＝ 8
（3）回归方程的建立 ） m0＝0，n＝mc＝8 ， ＝ 计算表 计算各回归系数 写出y与规范变量 写出 与规范变量zj的回归方程 与规范变量 根据偏回归系数绝对值大小， 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次 根据偏回归系数正负， 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向 （4）方差分析 ） 与自然变量x （5）回归方程的回代：得到试验指标 与自然变量 j的回归 ）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量 方程
1 m0 SSe1 = ∑ ( y0i y 0 ) 2 = ∑ y0i2 (∑ y0i ) 2 m0 i =1 i =1 i =1
m0
m0
重复试验误差的自由度： 重复试验误差的自由度： ②回归方程失拟部分： 回归方程失拟部分： 失拟平方和 ：
df e1 = m0 1
SS Lf = SST SS R SS e1 = SS e SS e1
回归平方和 ： SS R = ∑ SS 一次项 + ∑ SS 交互项 残差平方和 ：
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1 y 0i m0 i 1
m0
2
重复试验误差对应的自由度为：
dfel m0 1
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第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
（2）正交表的选择和试验方案的确定 选
L8(27)
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第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
（3）回归方程的建立 m0＝0，n＝mc＝8
1 4.038 a yi 0.50475 , b1 n i 1 8
n
z
i 1
n
1i
yi
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第8章 回归正交试验设计
8.1.1 Orthogonal Regression Design 一次回归正交设计的基本方法
（1）确定因素的变化范围 以因素xj为例：设xj 的变化范围为[xj1， xj2] xj1为xj的下水平 ，xj2为xj的上水平 xj0为xj的零水平： xj0＝ (xj1＋ xj2)/2 因素xj的变化间距Δj： 上水平xj2的编码 ：zj2＝1 Δj＝上水平－ 零水平＝xj2－xj0 下水平xj1的编码：zj1＝－1 Δj= (xj2 － xj1)/2 零水平xj0的编码：zj0＝0 （2）因素水平的编码 编码（coding）：将因素xj的各水平进行线性变换：
（3）方差分析 2 2 n n 1 4 . 038 2 SST yi yi 2.049044 0.10864 n i 1 8 i 1 2 SS1 mcb12 8 0.00975 0.000761 2 2 SS2 mcb2 8 0.03375 0.009113 2 2 SS3 mcb3 8 0.00575 0.000265 2 2 SS12 mcb12 8 0.00475 0.000181 2 2 SS13 mcb13 8 0.00725 0.000421 SSR SS1 SS2 SS3 SS12 SS13 0.010741 SSe SST SSR 0.010864 0.010741 0.000123
①任一列编码的和为0。
②任两列编码的乘积之和等 于0。 这些特点说明转换后的正交 表同样具有正交性。
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第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
（4）试验方案的确定
表头设计：可参考正交设计的表头设
计方法。
如考虑三个因素x1,x2,x3，选用L8(27)， 将 x1,x2,x3 分别安排在第 1 ， 2 ， 4 列，即
n＝mc＋m0
mc：二水平试验次数 m0：零水平试验次数
一次回归方程系数的计算：
常数项：a 一次项系数：bj 交互项系数： bjk
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第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
1 a yi y n i 1
n
bj
i
z
i 1
n
ji
yi
次回归方程
若不考虑交互作用，则为多元线性回归方程：
ˆ a b1 x1 b2 x2 bm xm y
例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用。 若不考虑交互作用，为三元一次线性回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3
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第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design （3）一次回归正交设计表
将二水平的正交表中“2”用“－1”代换 ，例：
表8-2 一次回归正交设计编码表
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第8章 回归正交试验设计
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代换后，正交表中的编码不仅表示因素的不同水平，也表示 了因素水平值的大小。回归正交设计表的特点：
第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
8.1
一次回归正交试验设计及结果分析
ˆ a b j x j bkj xk x j , k 1,2,, m 1 j k y
j 1 k j m
建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的一
0.058 0.00725 8
根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次为：
x2＞x1 ＞x1x3 ＞x3 ＞x1x2
根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向为：
灯电流x3增加使试验指标减小；其他因素↑，试验指标↑。
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第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
可见，只有原子化温度x2对吸光度有显著影响，两者之间 存在显著的线性关系，且原子化温度取上水平时试验结果最 好。根据编码公式：
mc
0.078 0.00975 8 Page 17
第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
b2
z
i 1 n
n
2i
yi
mc
i 1
0.270 0.03375 , b3 8
i
z
i 1
n
3i
yi
n
mc
i 1
0.046 0.00575 8
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第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
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第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
从第二次方差分析可知，因素z2对试验指标y有非常显著的 影响，所以原回归方程可简化为：
y 0.50475 0.03375 z2
z1,z2,z3安排在第1、2、4列上。
交互作用参考正交表第3、5列。 交互作用列的编码等于表中对应两因
素列编码的乘积。
第 9 、 10 号试验称为零水平试验或中 心试验。
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第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
8.1.2 一次回归方程的建立
总试验次数为n ：
③均方：离差平方和与 对应自由度之比。 ④F检验： 回归方程显著性检验; 偏回归系数显著性检验 ： 判 断 因 素 或交 互 作 用 对试 验 的 影 响 程度 ； 经 检 验不 显 著 的 因 素或 交 互 作 用应
归 入 残 差 ，重新检验；可
直 接 从 回 归方 程 中 剔 除这 些一次和交互项。
SS一次项 回归平方和 ： SSR 残差平方和 ： SSe SST SSR
SS
交互项
dfT＝n―1 ；各种偏回归平方和的自由度＝1；回归平方和的自
由度dfR＝∑df一次项＋∑Байду номын сангаасf交互项；残差自由度dfe＝dfT－dfR。
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第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
x11 x10 300 500 z11 1 1 200
其他编码见下表。
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第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
x12 x10 700 500 z12 1 1 200 x21 x20 1800 2100 z21 1 2 300 x20 x20 2100 2100 z20 0 2 300
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MSR/MSe
第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
（2）有零水平试验时
如果零水平试验次数 m0≥2 ，则可进行回归方程的失拟性 （ lack of fit ）检验。失拟性检验也称拟合度检验 （ test of goodness of fit），其作用是检验一次回归方程在整个研究范围 内的拟合情况。 假设 m0 次零水平试验结果为 y01,y02,… ， y0m ，根据 m0 次重复 试验，可以计算出重复试验误差为：
i
mc mc 回归方程为： y 0.50475 0.00975z1 0.03375z2 0.00575z3 0.00475z1 z2 0.00725z1 z3
b12
z z y
1 2 i
0.038 0.00475 , b13 8
z z y
1 3 i
j＝1，2，…，m
mc
bkj
(z z ) y
i 1 k j i
n
j＞k, k＝1，2，…，m－1
mc
说明： ①求得的回归系数直接反映了该因素作用的大小。
②回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负。
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第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design 8.1.3 回归方程及偏回归系数的方差分析
第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
回归正交试验设计（orthogonal regression design）特点： （1）可以在因素的试验范围内选择适当的试验点； （2）用较少的试验建立回归方程；
（3）能解决试验优化问题；
（4）但不适合非数量性因素。
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