微积分4.4曲线的凹凸性、拐点与渐近线

lim
1
x x 1
x x1
所 以 y x 1 是 曲 线 的 一 条 斜 渐 近 线 .
25
四*. 函数图形的描绘
借助于一阶导数的符号, 可以确定函数图形在哪个区间 上上升, 在哪个区间上下降, 在什么地方有极值点; 借助于 二阶导数的符号, 可以确定函数图形在哪个区间上为凹, 在哪个区间上为凸, 在什么地方有拐点. 知道了函数图形 的升降、凹凸以及极值点和拐点后, 也就可以掌握函数的 性态, 并把函数的图形画得准确.
x -
x
两边同除以 x 并取极限有
f (x) lim[ a]0 x x-
或 lim[f(x)a]0 x x
即
f(x) lim a x x-
或 lim f(x) a x x
从而得到求 y = ƒ(x) 的斜渐近线 y = ax + b 的公式为:
a
f (x) lim
x x
或
b
lim[
x
f
( x)
27
(4) 根据需要, 在各部分子区间内选取图形上的关键点
(如极值点、拐点与坐标轴之交点及间断点等), 并补充一些
各部分区间内的特殊点, 有利于决定图形变化趋势的点.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(5) 根据以上讨论, 列表、描点并作出函数y = ƒ(x)的图形.
例7 作函数 f (x)
20
例5 求曲线 y 1 的铅垂渐近线. x1
解 因为
1
lim
x1 x 1
所以曲线 y 1 有铅垂渐近线 x 1 x1
问题: 曲线 y 1 , ylnx 是否有垂直渐近线？
x2
分别是什么？
21
3.斜渐近线
定义4.4.7 设曲线 y =ƒ(x)，若存在直线 y = ax + b使得
lim [f(x ) (a x b )] 0或 lim [f(x)(axb)]0
(2 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凸 的 .
分析：只需证明 f(x)y0
证 因 为 x ( a , b ) ,f ( x ) 存 在 , f ( x ) 存 在 则 曲 线 上 任 意 一 点 ( x 0 ,f ( x 0 ) ) 的 切 线 方 程 为
由 于 f ( x ) 0 ,f ( x ) 在 ( a , b ) 内 单 调 增 加
则 由 x 0 知 ,有 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 0
8
由 x 0 知 , 有 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 0
x 0 , 恒 有 f ( x ) y 0 则 由 点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 与 ( x , f ( x ) ) 的 任 意 性 知 , 曲 线 y f ( x ) 在 ( a , b ) 内 是 凹 的 .同 理 可 知 ( 2 ) .
§4.4 曲线的凹凸性、拐点与渐近线 绘制函数图形
一. 曲线的凹凸性 二. 曲线的拐点 三. 曲线的渐近线 四*. 函数图形的描绘
1
函数ƒ(x)的单调性与极值是函数的重要性态. 如图:
曲线弧AB是单增的曲线. 但 从A 到 C 的曲线是凸的; 从 C 到 B的曲线是凹的.
B C
•
A
显然, 曲线的弯曲方向和弯曲方向的转变点对我们研究函 数的性态是十分重要的. 这就是下面讨论的凹凸性与拐点.
点和阶导数不存在的点; (3) 用(2)中求出的点将函数定义域分成若干个部分区间,
在各个部分区间内讨论二阶导数的符号, 确定曲线是否存在 拐点, 若在拐点, 求出拐点.
例2 判断曲线 y(x1)3 x5 的凸性, 并求其拐点. 解 定 义 域 为 (- ,)
15
而 y 8x5 3 5x2 3, y 10 4 x 1
动点M沿着曲线无限远离原点 y
y=ƒ(x)
移动时, 若该动点M到某直线L 的距离无限趋近于零 (如右图),
αM˘• Q •
•
L: y=ax+b
则称此直线L是曲线 y = ƒ(x)
o »α
x
的渐近线.
曲线 y = ƒ(x) 的渐近线按其与 x 轴的位置关系, 可分为
以下三种:
18
1.水平渐近线
定义4.4.5 如果曲线 y = ƒ(x)的定义域是无限区间, 且有
0)和 ( 4 , 16 3
). 16
16
定理4.4.4 (拐点的第二判别方法) 设 函 数 f(x)在 x0的 邻 域 内 三 阶 可 导 ,且 f(x0)0,而 f(x0)0,那 末 (x0,f(x0))是 曲 线 yf(x)的 拐 点 .
例3 判断曲线 y s in x c o sx ([0 ,2])的拐点.
x -
x
其 中 a 和 b 为 常 数 ,且 a 0 ,则称直线 y = ax + b为曲线
y =ƒ(x) 的斜渐近线. (如图)
y
αM˘•
•
Q
y=ƒ(x)
•
L:y=ax+b
o »α
x
22
分析: 如果曲线 y =ƒ(x)有斜渐近线 y = ax + b, 则由定义知,
必有
lim[f(x)ax]b 或lim [f(x)ax]b
lim f(x ) b或 lim f(x ) b
x
x
则称直线 y = b 为曲线 y = ƒ(x) 的水平渐近线 (b为常数) .
例4 求曲线 yarctanx的水平渐近线.
解
因为
lim a r c ta n x,lim a r c ta n x
x
2x
2
所以曲线
y
=
arctan
ax]
a
f (x) lim
x x
b
lim [
x
f
(x)
ax]
23
f(x ) a x b (lim 0 ) x -
或 f(x ) a x b (lim 0 ) x
两边同除以 x 并取极限有
lim[ f(x) a]0 或 lim[f(x)a]0
x x-
x x
24
例6
求f(x) x2 的渐近线. x1
解 定 义 域 为 ( , 1 )( 1 , ) .
因 为limf(x), limf(x),
x 1
x1
所 以 x 1 是 曲 线 的 铅 直 渐 近 线 .
又因为alimf(x) lim x2 1
x x
x x(x 1)
b lim[
x2
x]
x2 x2 x
f (x0) 0 或 f ( x0 )不存在.
但是, 若f (x0) 0或 f ( x0 )不存在时, 曲线 y f (x)
上的点 (x0, f (x0))不一定是拐点, 还必须用下面的定理判断.
13
定理4.4.3 (拐点存在的充分条件) 设函数 y = ƒ(x)在 x0 的某邻域内二阶可导 (f(x0)可 以 不 存 在 ),且f(x0)0 或 f(x0)不 存 在 ,
B A
B A
而凹的曲线从点A移到点B时, 对应的切线斜率 f ( x ) 单调增加的.
从而, 当 f ( x ) 存在时, 则可用二阶导数的符号来判别
曲线的凹凸性.
6
定理4.4.1 设函数 y = ƒ(x)在 I 内有二阶导数, 则
(1 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凹 的 ；
解 ycosxsinx, y sinx c o sx,
y co sx sinx.
令 y 0,
得x1
3,
4
x2
7.
4
f(3) 2 0, f(7) 20,
4
4
所 以 在 [ 0 ,2] 内 曲 线 有 拐 点 为 ( 3,0 ) , ( 7,0 ) .
4
4 17
三.曲线的渐近线
定义4.4.4 当曲线 y = ƒ(x)上
2
一. 曲线的凹凸性
定义4.4.1 设函数 y = ƒ(x) 在区间 I 内可导. 若该函数曲
线在 I 内总位于其上任意一点切线的上方 (即曲线向上弯
曲),则称该曲线在 I 内是凹的; 区间 I 为该曲线的凹区间.
用符号∪表示 .
y
y =ƒ(x)
o
x
3
显然, 用定义来判别曲线的凸性是 极不方便的.由定义1知凸的曲线从点 A移到点B 时, 对应的切线斜率 f ( x ) 单调减少的.
26
函数作图的方法
描绘函数图形的一般步骤是: (1)确定函数 y = ƒ(x) 的定义域, 讨论其周期性和对称性; (2)确定曲线的渐近线;
(3) 求 f(x)0和 f(x)0在函数定义域内的全部实根
及 f(x)和 f(x)不存在的点, 并用这些根和点把函数的定义域 分成几个子区间, 以确定函数的单调区间、凹性区间、极值 和拐点.
y f(x 0 ) f(x 0 )(x x 0 ) 设 ( x , f ( x ) ) 为 曲 线 上 的 另 一 个 任 意 点 , 则
7
由 f ( x ) 在 x 0 与 x 之 间 满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 , 得
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) xy
(1) 若在点 x = x0 的两侧, f ( x ) 异号, 则点(x0, f (x0)) 为曲线 y = ƒ(x) 的拐点.
(2)若在点 x0 两侧, 二阶导数同号, 则点 (x0, f (x0)) 不为曲 线 y = ƒ(x)的拐点.
14
综上所述, 确定曲线 y = f(x) 的拐点的一般步骤是: (1) 确定函数的定义域; (2) 求二阶导数, 在定义域内求出使二阶导数等于零的
x有水平渐近线
y
与y
2
2
19
问题:曲线 y1,yex,yex,ye1x, 是否有水平渐近线？
x
分别是什么？
2.垂直(铅垂)渐近线
定义4.4.6 如果曲线 y = ƒ(x) 在 x0 处无定义(或不连续), 且
lim f(x)或 lim f(x)
x x 0
x x 0
则称直线 x = x0 为曲线 y = ƒ(x) 的垂直渐近线.
y= ƒ(x)
•} (0 1 , x x x 0 )
(x, f(x))
(x0, f (x0))
(x, y)
• • 切 线 上 对 应 点 纵 坐 标 y 必 须 满 足
yf(x 0 ) f(x 0 ) x
ao
x0 x b x
f ( x ) y [ f ( x 0 x ) f ( x 0 ) ] x ( 0 1 )
注2 由拐点的定义知, 要讨论曲线的凸性须先寻找它的 拐点. 那么拐点在哪些点之中去寻找呢?
定理4.4.2(拐点存在的必要条件)若函数 y = ƒ(x)在 x0 处的二 可导，且点(x0, f (x0))为曲线 y = ƒ(x) 的拐点, 则
f (x0) 0
11
证 因为点 (x0, f (x0) )是曲线的拐点, 则点 x0 的两侧 f ( x0 ) 异号, 且由已知 f ( x0 ) 存在, 则 f(x0) 0 注3 在 f(x0)0 存在时, f(x0)0仅 是 拐 点 存在的必要 条件而非充分条件. 如 ,yx4,f(0)0，但点 (0, 0) 不是该曲线的拐点.
定义4.4.3 设函数 y = ƒ(x)在区间 (a, b)内连续, 则曲线 y = ƒ(x) 在该 区间内下凸部分与上凸 部分的分
y
y= ƒ(x)
• A C
B
界点C(c, ƒ(c))称为曲线的拐点.
oa c
bx
如右图, 从 A到 C与从C到B的分界点，
C(c, ƒ(c))就是曲线的拐点.
10
注1 拐点是曲线上的点, 从而拐点的坐标需用横坐标 与纵坐标同时表示, 不能仅用横坐标表示.这与驻点及极 值点的表示方法不一样.
33
9 3x
当 x 1 时 , y 0; 当x 0时, y不 存 在 .列 表 如 下 :
4
x (, 0)
0
(0, 1 ) 4
y
＋
不存在
－
y
拐点(0, 0)
1 4
0
拐点(1 , f (1)) 44
(1 , ) 4
＋
结论:
曲线在
(,0)(1, 4
)
内是下凸的;
曲线在
(
0
,
1 4
)
13
内是上凸的; 拐点为(0,
例1 讨 论 曲 线 yx 3的 凹 凸 性 . 解 由于y6x, 因而 当 x0时 ,f(x)0; 从 而 曲 线 在 ( ,0 ] 为 凸 的 ； 当 x0 时 , f(x)0 .从 而 曲 线 [0 , )为 凹 的 ；
9
注意，此曲线在经过点(0, 0)时, 曲线的凹凸性发生了改变.
二. 曲线的拐点
12
注4 若 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 是 曲 线 y f ( x ) 的 一 个 拐 点 , y f ( x ) 在 x 0 的 导 数 不 一 定 存 在.
例函数y 3 x 在 x = 0不可导, 但 (0, 0) 是该曲线的拐点. 综上所述, 若点 (x0, f (x0))是曲线 y f (x) 的拐点, 则必有