微积分4.4曲线的凹凸性、拐点与渐近线
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微积分第二版课件第四节曲线的凹凸性与拐点
o
x
1
从而知点(0,0)为曲线弧 y x3的拐点.
由此可以看到曲线的拐点可能在二阶导数为零 的点以及不可导处取得.
例 求曲线 y x3 与 y 3 x 的拐点.
解 所给曲线在 (,) 内为连续曲线弧.由于
y (x3) 3x2 , y (3x2 ) 6x.
y
当x<0时，y 0 , y x3为凸的. 当x>0时，y 0 , y x3为凹的.
在I内是凸的.
几何特征是凹曲线位于弦线下侧，凸曲线位于弦 线的上侧.
问题观察：观察曲线的凹凸方向与曲线的切线间 的位置关系.
y y=f (x)
y y=f (x)
o
x
o
x
凹曲线在切线的上侧，随 凸曲线在切线的下侧，随
着x的增大，切线斜率随之 着x的增大，切线斜率随之
增大，即 f (x) 0
增大，即 f (x) 0
0 拐点
(1/ 5,0) 0
+
不存在
凹
非拐点
(0,)
+ 凹
曲线在(,1/ 5) 为凸的. 在(1/ 5,) 内为凹的.
拐点为点(1/
5,
f
(1/
5))
(1/
5,1.2
1
25 3
).
当 a 0时, 曲线为凹的. 当a 0 时,曲线为凸的.
例 判定曲线弧 y x arctan x 的凹凸性.
解 所给曲线在 (,)内为连续曲线弧.由于
y
arctan
x
1
x x
2
,
y
1
1 x
2
(1 x2 ) x 2x (1 x2 )2
2 (1 x2 )2
第8节 曲线的凹凸性及渐近线
2
2
那么称在Ⅰ上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；
如果恒有
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
2
2
那么称在Ⅰ上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。
定义：设函数 y f x在a,b内可导，则
1.如果曲线y f x在a,b内任意点的切线总位于 曲线的下方，则称曲线y f x在a,b上是凹的.
1.确定函数的定义域并求f x; 2.求出f x 0和f x不存在的点x0; 3.对于2中的每一个x0,检查f x在x0左、右两侧
邻近的符号.
例3.求曲线y 2x3 3x2 12 x 14的凹凸区间和拐点 .
解 函数的定义域为 (, ).
y y
6x2 0
6x 12, ,得x1
y 1 2
第八节 曲线的凹凸性及渐近线
一、曲线的凹凸性及拐点的判定定理 二、曲线的渐近线
一、曲线的凹凸性及其判别法
y y f (x)
y y f (x)
o
x x x1 x2 12
x
2
o x1 x1 x2 x2 x
2
定义 设在区间Ⅰ上连续，如果对Ⅰ上任意两点 x1, x2，
恒有 f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
拐点是曲线凹与凸的分界点.由定理知，在拐点左右两侧
f x的符号必然异号，因而在拐点处有f x 0或者f x 不存在；反过来，f x 0的点和f x不存在的点可能是 曲线的拐点，究竟是否拐点，还要看该点处f x的符号是
否异号.
例1.判定曲线 y x3的凹凸性.
解 函数的定义域为 (, ).
y' 3x2 , y'' 6x. x 0 y'' 0.
微积分课件曲线的凹凸性与拐点
二、曲线凹凸的判定
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .
(3) x0两近旁 f ( x)变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ;
x0两近旁 f ( x)不变号 ,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点 .
4 3 求曲线 y 3 x 4 x 1 的拐点及 例2 凹、凸的区间 .
解
2 y 12 x 12 x , y 36 x( x ). 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
如果对(a , b)内任意两点 x1 , x2 , 恒有 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) , 2 2 那末称 f ( x )在(a , b)内的图形是凸的;
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
b
x
曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。 凹弧： 凸弧： 曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。
即证：
f ( 2 ) f (1 ) 0
微积分 第四章 第五节 曲线的凸性、拐点与渐近线
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0
f (x)
下凸
拐点
(0,1)
拐点
上凸 (2 3 ,1127)
下凸
8
拐点的求法：
1.找出二阶导数为零的点或不可导点； 2.若它两侧的二阶导数值异号,则为 拐点；若同号则不是拐点.
注意：拐点要写出纵坐标.
例3 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x 0时,
y
1
x
2
3,
当x 0时， y 0,
曲线 在 [0,) 为下凸的；
点(0,0)是曲线的拐点.
y
y x3
Ox
7
例2 求曲线 y 3x4 4 x3 1的凹凸区间及拐点.
解 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36 x( x 2).
3
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
y
2
x
5 3
,
3
9
x 0 是不可导点, y, y 均不存在.
但在(,0)内, y 0, 在(0,)内, y 0,
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
9
例4 求 曲 线 y x2 3 的 拐 点.
解
y
2
x
1 3
，y
4
x
4 3
，
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
当 x 0 和当 x 0 时,均有 y 0 ,
故 (0, 0) 不是拐点.
所以曲线无拐点.
y
y 3 x2
o
高数4.4曲线的凹凸性
求拐点的一般步骤： （1）求函数的定义域； （2）求二阶导数； （3）求定义域内使二阶导数等于零 或二阶导数不存在的点； （4）检验各点两侧二阶导数的符号,如果 符号不同,该点就是拐点的横坐标；
（5）求出拐点的纵坐标．
例2.求曲线 y 5 x 3x 7 x 1 凹、凸区间
3 2
及拐点． 解：函数的定义域为 (, )
一 、曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性定义 设f(x)在区间I上连续, 如果对I上任意两点x1, x2, 恒有
那么称f(x)在I上的图形是凹的
如果恒有 f (
x1 x2 f (x1) f (x2 ) f( ) , 2 2
x1 x2 f (x1) f (x2 ) ) , 2 2
斜渐近线求法:
f ( x) lim a, x x
lim[ f ( x ) ax ] b.
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线.
3.斜渐近线
注意:
如果
f ( x) (1) lim 不存在; x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax ] 不存在, x x x
例4.求曲线 解:
为水平渐近线;
2
2. 铅直渐近线
若
(或 x x0 )
则曲线
有垂直渐近线 x x0 .
例5.求曲线
解:
的铅直渐近线 .
为垂直渐近线.
1
3.斜渐近线
如果
x x
lim [ f ( x ) (ax b)] 0
或 lim [ f ( x ) (ax b)] 0 (a , b 为常数) 那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线.
曲线的凹凸性与拐点及图象
注意:若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x)的拐点.
练习：讨论曲线 y (x 1)3 x5 的凹凸性与拐点.
解 函数的定义域为 (,) ．
由于
y
x
8 3
5
x3
，
y
8 3
5
x3
5 3
2
x3
,
y
40 9
x
2 3
10 9
1
x3
10 9
4x
3
练习: 作函数 (x)
1
x2
e2
的图形.
2
解 D : (,), W : 0 ( x) 1 0.4.
2
偶函数,图形关于y轴对称.
( x)
x
x2
e 2,
(
x)
(
x
1)(
x
1)
e
x2 2
.
2
2
令 ( x) 0, 得驻点 x 0,
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
例3 作函数 f ( x) x3 x2 x 1 的图形.
解 D : (,), 无奇偶性及周期性.
f ( x) (3x 1)( x 1), f ( x) 2(3x 1). 令 f ( x) 0, 得驻点 x 1 , x 1.
3 令 f ( x) 0, 得特殊点 x 1 .
x (,3) 3 (3,2) 2 (2,0) 0 (0,)
f ( x)
0 不存在
f (x)
0
f (x)
拐点
(3, 26) 9
极值点
3
间 断 点
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
是连续曲线 y f ( x)的拐点.
练习：讨论曲线 y (x 1)3 x5 的凹凸性与拐点.
解 函数的定义域为 (,) ．
由于
y
x
8 3
5
x3
，
y
8 3
5
x3
5 3
2
x3
,
y
40 9
x
2 3
10 9
1
x3
10 9
4x
3
练习: 作函数 (x)
1
x2
e2
的图形.
2
解 D : (,), W : 0 ( x) 1 0.4.
2
偶函数,图形关于y轴对称.
( x)
x
x2
e 2,
(
x)
(
x
1)(
x
1)
e
x2 2
.
2
2
令 ( x) 0, 得驻点 x 0,
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
例3 作函数 f ( x) x3 x2 x 1 的图形.
解 D : (,), 无奇偶性及周期性.
f ( x) (3x 1)( x 1), f ( x) 2(3x 1). 令 f ( x) 0, 得驻点 x 1 , x 1.
3 令 f ( x) 0, 得特殊点 x 1 .
x (,3) 3 (3,2) 2 (2,0) 0 (0,)
f ( x)
0 不存在
f (x)
0
f (x)
拐点
(3, 26) 9
极值点
3
间 断 点
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
3-5 凹凸性 拐点.渐近线
0
0
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
y 0
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例1. 判断曲线
解: 函数的定义域为
的凹凸性.
1 y , x 1 y 2 x
所以在函数的定义域 由定理1知 曲线
1 内，y 2 0 x
是凸的.
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2 x 2 3x b lim [ f ( x) x] lim 2 x x x 2 x 3
y x 2 为曲线的斜渐近线 . 无水平渐近线 .
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y 0是曲线的水平渐近线
1 x lim +ln(1+e ) = x 0 x
x 0是曲线的垂直渐近线
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1 例3 求曲线y=f(x)= +ln(1+e x )的渐近线 x f ( x) 1 ln(1+e x ) lim 2 + 考虑斜渐近线. lim x x x x x
第五节
第三章
曲线的凹凸性,拐点与渐近线
一、曲线的凹凸性 二、曲线的拐点 三、渐近线
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结束
1、曲线凹凸性的概念
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
图形是凹的; (2) 若恒有
B
则称
则称
A 图形是凸的 .
yy
oo
x1 x x1 x x1x1 2 2x2x2 x x 2 2
4.4函数的单调性、凹凸性与曲线的渐近线
确定函数单调区间的一 般步骤：
(1) 确定函数 f ( x ) 的定义域；
(2) 求 f ( x ), 并求出使得 f ( x ) 0 的点以及 f ( x ) 不存在的点；
(3) 用上述点将 f ( x ) 的定义域分成若干小区间， 并判定每个子区 间内 f ( x ) 的符号，从而得到 f ( x ) 的单调区间.
例6. 判断曲线 y x 的凹凸性.
3
定义 连续曲线上凸弧与凹弧 的分界点称为拐点 .
注1. 设 ( x 0 , f ( x 0 )) 为 曲线 y f ( x ) 的拐点, 若 f ( x 0 ) 存在,
则 f ( x 0 ) 0. 反之未必, 如
(0, 0) 并非 y x 的拐点.
4
注2. 若 ( x0 , f ( x0 )) 为 y f ( x) 的拐点, 则 f ( x0 ) 未必存在.
例7. 求曲线 y 3 x 的拐点.
3 5 3 2 例 8. 求曲线 y x 3 x 3 1 的凹凸区间及拐点 . 5 2
确定函数凹凸区间及曲 线的拐点的一般步骤：
三. 曲线的渐近线 1.定义
定义 如果动点 M 沿曲线 C 趋于无穷远时, M 与某
直线 L 的距离趋于零, 则称 L 为曲线 C 的一条渐近线 .
2.渐近线的确定
(1) 垂直渐近线(垂直于 x 轴的渐近线)
命题 1
设函数 f ( x) 在 x c 间断, 若
x c x c
lim f ( x ) 或 lim f ( x ) ,
则称 f ( x ) 在 (a, b) 内是下凸 (上凹) 的, 也称 f ( x ) 是 (a, b) 内的下凸函数, 称区间 (a, b) 为该函数的下凸
曲线的凹凸性和拐点和图象课件公开课获奖课件
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
lim ( x) lim
1
x2
e 2 0,
x
x 2
得水平渐近线 y 0.
第19页
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1, 1 ) 2e
f (x ) 1
f
(
x 2
)
,
那末称
f (x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
第4页
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
bx
f (x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx
y 0
定理2 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ; (2) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
4x
3
1 x
．
令 y 0 ,
得
x
1 4
，又当
x
0
时，y
不存在．列表考察 y 的符号：
第11页
x (,0) ０
y
＋
不存在
(0, 1 ) 4
－
1
(1 ,)
4
4
０
＋
曲线y ︶
拐点
⌒
拐点
︶
由上表可知,
曲线在
(,0)
曲线的凹凸性和拐点、函数图像的描绘
高等数学
曲线的凹凸性和拐点、函数图 像的描绘
一、曲线的凹凸性与拐点 1．曲线凹凸性的定义及其判定
首先观察图3-9所示的两条曲线。
图3-9
如图3-9所示，有一类曲线向上弯曲，它在任何点处的切 线总位于曲线的下方；另一类曲线向下弯曲，它在任何点处的 切线总位于曲线的上方，由此我们给出关于曲线凹凸的定义：
x x0
则称直线 x x0 为曲线 y f (x)的垂直渐近线。
其一般步骤如下：
2．函数图像的描绘
（1）确定函数 y f (x) 的定义域、间断点及函数所具有的某些特 性（如奇偶性、周期性等）； （2）求出函数的一阶导数 f (x) 和二阶导数 f (x)，解方程
f (x)=0，f (x) 0 在定义域内的全部实根及 f (x) 和 f (x)不存在的 点，应用这些根和点，将函数的定义域划分为若干个子区间； （3）列表讨论 f (x)和 f (x) 在（2）中所得各子区间内的符号，由 此确定函数的单调性、极值、曲线的凹凸性和拐点； （4）如有渐近线，求出渐近线，并确定其他变化趋势； （5）求辅助点，如曲线与坐标轴的交点等； （6）在直角坐标系中，根据上面讨论，描点作图。
例2 求曲线 y x4 2x3 1 的凹凸点区间和拐点。 解 函数 y x4 2x3 1 的定义域为( ， )
y 4x3 6x2 y 12x2 12x 12x(x 1) ， 令 y 0，得 x 0 和 x 1。 列表讨论如下：
x y
曲线
( ，0) +
0 0 拐点 （0，1）
如果将定理中的区间改为其他区间，结论仍然成立。
例1 判定曲线 y x3 的凹凸性。 解 函数的定义域为 ( ， ) ，y 3x2，y 6x
（当 x 0 时，y 0 ，故曲线在 ( ，0] 内是凸的；当 x 0 时，y 0，股曲线在 [0 ， ) 内是凹的；当x 0时，y 0。 点（0，0）是曲线 y x3由凸变凹的分界点（图3-11）
曲线的凹凸性和拐点、函数图 像的描绘
一、曲线的凹凸性与拐点 1．曲线凹凸性的定义及其判定
首先观察图3-9所示的两条曲线。
图3-9
如图3-9所示，有一类曲线向上弯曲，它在任何点处的切 线总位于曲线的下方；另一类曲线向下弯曲，它在任何点处的 切线总位于曲线的上方，由此我们给出关于曲线凹凸的定义：
x x0
则称直线 x x0 为曲线 y f (x)的垂直渐近线。
其一般步骤如下：
2．函数图像的描绘
（1）确定函数 y f (x) 的定义域、间断点及函数所具有的某些特 性（如奇偶性、周期性等）； （2）求出函数的一阶导数 f (x) 和二阶导数 f (x)，解方程
f (x)=0，f (x) 0 在定义域内的全部实根及 f (x) 和 f (x)不存在的 点，应用这些根和点，将函数的定义域划分为若干个子区间； （3）列表讨论 f (x)和 f (x) 在（2）中所得各子区间内的符号，由 此确定函数的单调性、极值、曲线的凹凸性和拐点； （4）如有渐近线，求出渐近线，并确定其他变化趋势； （5）求辅助点，如曲线与坐标轴的交点等； （6）在直角坐标系中，根据上面讨论，描点作图。
例2 求曲线 y x4 2x3 1 的凹凸点区间和拐点。 解 函数 y x4 2x3 1 的定义域为( ， )
y 4x3 6x2 y 12x2 12x 12x(x 1) ， 令 y 0，得 x 0 和 x 1。 列表讨论如下：
x y
曲线
( ，0) +
0 0 拐点 （0，1）
如果将定理中的区间改为其他区间，结论仍然成立。
例1 判定曲线 y x3 的凹凸性。 解 函数的定义域为 ( ， ) ，y 3x2，y 6x
（当 x 0 时，y 0 ，故曲线在 ( ，0] 内是凸的；当 x 0 时，y 0，股曲线在 [0 ， ) 内是凹的；当x 0时，y 0。 点（0，0）是曲线 y x3由凸变凹的分界点（图3-11）
曲线的凹凸性、拐点与渐近线
x1 x2 f ( x 1 ) f ( x2 ) f( ) , 2 2 则称 f ( x )在 I 上的图形是(向上)凸的(凸弧)。 x x y y f( )
如果恒有
1
2
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) 2 x x2 f( 1 ) 2 x1 x2 2
f ( x2 )
2013-9-12 9
§2.4.2 曲线的凹凸性、拐点与渐近线
注 如果 f ( x) (1)lim 不存在； x x f ( x) (2)lim a , 但 lim[ f ( x ) ax ]不存在， x x x 则可以判断y f ( x )不存在斜渐近线。
2013-9-12
§2.4.2 曲线的凹凸性、拐点与渐近线
1.函数的凹凸性与拐点 定义1：设 f ( x )在区间 I 上连续，如果对于 I 上任意两点 x1 , x2， x1 x2 f ( x 1 ) f ( x2 ) 恒有 f( ) , 2 2 则称 f ( x )在 I 上的图形是(向上)凹的(凹弧)；
2013-9-12
13
§2.4.2 曲线的凹凸性、拐点与渐近线
x2 例8 求曲线 f ( x ) 的渐近线。 x 1
2013-9-12
14x x 来自则直线 y C 是曲线 y f ( x )的水平渐近线。
(2)垂直渐近线 若曲线 y f ( x )在点 x0处间断，且 lim f ( x ) 或 lim f ( x ) ,
x x0 x x0
则直线 x x0是曲线 y f ( x )的垂直渐近线。 f ( x) (3)斜渐近线 若 lim a , lim[ f ( x ) ax ] b, x x x 则直线y ax b是曲线 y f ( x )的斜渐近线。
如果恒有
1
2
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) 2 x x2 f( 1 ) 2 x1 x2 2
f ( x2 )
2013-9-12 9
§2.4.2 曲线的凹凸性、拐点与渐近线
注 如果 f ( x) (1)lim 不存在； x x f ( x) (2)lim a , 但 lim[ f ( x ) ax ]不存在， x x x 则可以判断y f ( x )不存在斜渐近线。
2013-9-12
§2.4.2 曲线的凹凸性、拐点与渐近线
1.函数的凹凸性与拐点 定义1：设 f ( x )在区间 I 上连续，如果对于 I 上任意两点 x1 , x2， x1 x2 f ( x 1 ) f ( x2 ) 恒有 f( ) , 2 2 则称 f ( x )在 I 上的图形是(向上)凹的(凹弧)；
2013-9-12
13
§2.4.2 曲线的凹凸性、拐点与渐近线
x2 例8 求曲线 f ( x ) 的渐近线。 x 1
2013-9-12
14x x 来自则直线 y C 是曲线 y f ( x )的水平渐近线。
(2)垂直渐近线 若曲线 y f ( x )在点 x0处间断，且 lim f ( x ) 或 lim f ( x ) ,
x x0 x x0
则直线 x x0是曲线 y f ( x )的垂直渐近线。 f ( x) (3)斜渐近线 若 lim a , lim[ f ( x ) ax ] b, x x x 则直线y ax b是曲线 y f ( x )的斜渐近线。
第五节曲线的凹凸性拐点与渐近线
例3 讨论曲线 f (x) x4 2x3 1 拐点.
解 f ( x)的定义域为(,)
f ( x) 4x3 6x2
f ( x) 12x( x 1)
令 f ( x) 0 得 x 0, x 1
x
f ( x) f (x)
( ,0) 0 (0,1)
0
拐点(0,1)
1 (1, )
0
拐点(1,0)
x0
x0
故有垂直渐近线 x 0.
练习 求曲线
y
(1
1 1
x)e x
的渐近线.
解
(3)
lim
f (x)
lim(1
1
1
)e
1 x
e0
x x
x
x
1 1
lim [ f ( x) ex ] lim[(1 x)e x ex]
x
x
1 1
1 1
1 1
lim[e x x(e x e)] e l i m x(e x e)
例4 讨论曲线 f ( x) ( x 1)3 x5 的凹凸性与拐点 解 f ( x)的定义域为(,)
f
( x)
8
5
x3
5
2
x3
33
令
f
(
x)
0
得
x
1 4
f ( x) 10 4x 1 9 3x
另 f (0) 不存在
x ( ,0) 0
1 (0, )
4
1 4
( 1 , ) 4
f (x)ຫໍສະໝຸດ 不存在 利用凹凸性证明不等式
例2
试证明0
x
时,有
sinx 2
x
.
简明微积分曲线凹凸与拐点
凹的. (2) 若在(a,b)内 f(x)0，则曲线弧y=f(x)在[a,b]上为
凸的.
例1 判定曲线弧y=xarctan x的凹凸性. 解 所给曲线在 (,)内为连续曲线弧.由于
yHale Waihona Puke rctxa1nxx2, y 1 1 x2 (1 (1 x 2)x 2) x 2 2 x(1 2 x2)2 0 ,
(3)y3 1 3x2 3,y3 9 2x5 3.y3 在 x0处不 . 存在
1
当 x0时 ， y3 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凹 . 的
1
当 x0时y3 ， 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凸 . 的
1
从而知点(0,0)为曲线弧 y3 x 3 的拐点.
例5 讨论曲线 y(x1)3 x2的凹凸性，并求其拐点.
解 所给函数 在(,)内为连续函数.
52
y[x (1)3x2][x3x3]
2
5x3
2
1
x 3,
33
1 4
4
y1x0 32x31x0 3(x1).
99 9
5
当x0时， y为连续. 函数
当x0时 ,y不存. 在 令 y0，可 x得 1.
(2) 若对于任意的x0(a,b)，曲线弧y=f(x)过点(x0,f(x0)) 的切线总位于曲线弧y=f(x)的上方，则称曲线弧 y=f(x)在[a,b]上为凸的.
如果y=f(x)在(a,b)内二阶可导，则可以利用二阶 导数的符号来判定曲线的凹凸性. 定理(曲线凹凸的判定法) 设函数y=f(x)在[a,b]上连续， 在(a,b)内二阶可导. (1) 若在(a,b)内 f(x)0，则曲线弧y=f(x)在[a,b]上为
(2)y2 5 3x2 3,y2 1 9x 01 3,y2 在 x0处不 . 存在
凸的.
例1 判定曲线弧y=xarctan x的凹凸性. 解 所给曲线在 (,)内为连续曲线弧.由于
yHale Waihona Puke rctxa1nxx2, y 1 1 x2 (1 (1 x 2)x 2) x 2 2 x(1 2 x2)2 0 ,
(3)y3 1 3x2 3,y3 9 2x5 3.y3 在 x0处不 . 存在
1
当 x0时 ， y3 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凹 . 的
1
当 x0时y3 ， 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凸 . 的
1
从而知点(0,0)为曲线弧 y3 x 3 的拐点.
例5 讨论曲线 y(x1)3 x2的凹凸性，并求其拐点.
解 所给函数 在(,)内为连续函数.
52
y[x (1)3x2][x3x3]
2
5x3
2
1
x 3,
33
1 4
4
y1x0 32x31x0 3(x1).
99 9
5
当x0时， y为连续. 函数
当x0时 ,y不存. 在 令 y0，可 x得 1.
(2) 若对于任意的x0(a,b)，曲线弧y=f(x)过点(x0,f(x0)) 的切线总位于曲线弧y=f(x)的上方，则称曲线弧 y=f(x)在[a,b]上为凸的.
如果y=f(x)在(a,b)内二阶可导，则可以利用二阶 导数的符号来判定曲线的凹凸性. 定理(曲线凹凸的判定法) 设函数y=f(x)在[a,b]上连续， 在(a,b)内二阶可导. (1) 若在(a,b)内 f(x)0，则曲线弧y=f(x)在[a,b]上为
(2)y2 5 3x2 3,y2 1 9x 01 3,y2 在 x0处不 . 存在
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动点M沿着曲线无限远离原点 y
y=ƒ(x)
移动时, 若该动点M到某直线L 的距离无限趋近于零 (如右图),
αM˘• Q •
•
L: y=ax+b
则称此直线L是曲线 y = ƒ(x)
o »α
x
的渐近线.
曲线 y = ƒ(x) 的渐近线按其与 x 轴的位置关系, 可分为
以下三种:
18
1.水平渐近线
定义4.4.5 如果曲线 y = ƒ(x)的定义域是无限区间, 且有
x -
x
两边同除以 x 并取极限有
f (x) lim[ a]0 x x-
或 lim[f(x)a]0 x x
即
f(x) lim a x x-
或 lim f(x) a x x
从而得到求 y = ƒ(x) 的斜渐近线 y = ax + b 的公式为:
a
f (x) lim
x x
或
b
lim[
x
f
( x)
lim
1
x x 1
x x1
所 以 y x 1 是 曲 线 的 一 条 斜 渐 近 线 .
25
四*. 函数图形的描绘
借助于一阶导数的符号, 可以确定函数图形在哪个区间 上上升, 在哪个区间上下降, 在什么地方有极值点; 借助于 二阶导数的符号, 可以确定函数图形在哪个区间上为凹, 在哪个区间上为凸, 在什么地方有拐点. 知道了函数图形 的升降、凹凸以及极值点和拐点后, 也就可以掌握函数的 性态, 并把函数的图形画得准确.
ax]
a
f (x) lim
x x
b
lim [
x
f
(x)
ax]
23
f(x ) a x b (lim 0 ) x -
或 f(x ) a x b (lim 0 ) x
两边同除以 x 并取极限有
lim[ f(x) a]0 或 lim[f(x)a]0
x x-
x x
24
例6
解 ycosxsinx, y sinx c o sx,
y co sx sinx.
令 y 0,
得x1
3,
4
x2
7.
4
f(3) 2 0, f(7) 20,
4
4
所 以 在 [ 0 ,2] 内 曲 线 有 拐 点 为 ( 3,0 ) , ( 7,0 ) .
4
4 17
三.曲线的渐近线
定义4.4.4 当曲线 y = ƒ(x)上
f (x0) 0 或 f ( x0 )不存在.
但是, 若f (x0) 0或 f ( x0 )不存在时, 曲线 y f (x)
上的点 (x0, f (x0))不一定是拐点, 还必须用下面的定理判断.
13
定理4.4.3 (拐点存在的充分条件) 设函数 y = ƒ(x)在 x0 的某邻域内二阶可导 (f(x0)可 以 不 存 在 ),且f(x0)0 或 f(x0)不 存 在 ,
27
(4) 根据需要, 在各部分子区间内选取图形上的关键点
(如极值点、拐点与坐标轴之交点及间断点等), 并补充一些
各部分区间内的特殊点, 有利于决定图形变化趋势的点.
(5) 根据以上讨论, 列表、描点并作出函数y = ƒ(x)的图形.
例7 作函数 f (x)
20
例5 求曲线 y 1 的铅垂渐近线. x1
解 因为
1
lim
x1 x 1
所以曲线 y 1 有铅垂渐近线 x 1 x1
问题: 曲线 y 1 , ylnx 是否有垂直渐近线？
x2
分别是什么？
21
3.斜渐近线
定义4.4.7 设曲线 y =ƒ(x)，若存在直线 y = ax + b使得
lim [f(x ) (a x b )] 0或 lim [f(x)(axb)]0
(1) 若在点 x = x0 的两侧, f ( x ) 异号, 则点(x0, f (x0)) 为曲线 y = ƒ(x) 的拐点.
(2)若在点 x0 两侧, 二阶导数同号, 则点 (x0, f (x0)) 不为曲 线 y = ƒ(x)的拐点.
14
综上所述, 确定曲线 y = f(x) 的拐点的一般步骤是: (1) 确定函数的定义域; (2) 求二阶导数, 在定义域内求出使二阶导数等于零的
由 于 f ( x ) 0 ,f ( x ) 在 ( a , b ) 内 单 调 增 加
则 由 x 0 知 ,有 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 0
8
由 x 0 知 , 有 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 0
x 0 , 恒 有 f ( x ) y 0 则 由 点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 与 ( x , f ( x ) ) 的 任 意 性 知 , 曲 线 y f ( x ) 在 ( a , b ) 内 是 凹 的 .同 理 可 知 ( 2 ) .
y f(x 0 ) f(x 0 )(x x 0 ) 设 ( x , f ( x ) ) 为 曲 线 上 的 另 一 个 任 意 点 , 则
7
由 f ( x ) 在 x 0 与 x 之 间 满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 , 得
f ( x ) f ( x 0 ) f ( 若 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 是 曲 线 y f ( x ) 的 一 个 拐 点 , y f ( x ) 在 x 0 的 导 数 不 一 定 存 在.
例函数y 3 x 在 x = 0不可导, 但 (0, 0) 是该曲线的拐点. 综上所述, 若点 (x0, f (x0))是曲线 y f (x) 的拐点, 则必有
y= ƒ(x)
•} (0 1 , x x x 0 )
(x, f(x))
(x0, f (x0))
(x, y)
• • 切 线 上 对 应 点 纵 坐 标 y 必 须 满 足
yf(x 0 ) f(x 0 ) x
ao
x0 x b x
f ( x ) y [ f ( x 0 x ) f ( x 0 ) ] x ( 0 1 )
例1 讨 论 曲 线 yx 3的 凹 凸 性 . 解 由于y6x, 因而 当 x0时 ,f(x)0; 从 而 曲 线 在 ( ,0 ] 为 凸 的 ； 当 x0 时 , f(x)0 .从 而 曲 线 [0 , )为 凹 的 ；
9
注意，此曲线在经过点(0, 0)时, 曲线的凹凸性发生了改变.
二. 曲线的拐点
0)和 ( 4 , 16 3
). 16
16
定理4.4.4 (拐点的第二判别方法) 设 函 数 f(x)在 x0的 邻 域 内 三 阶 可 导 ,且 f(x0)0,而 f(x0)0,那 末 (x0,f(x0))是 曲 线 yf(x)的 拐 点 .
例3 判断曲线 y s in x c o sx ([0 ,2])的拐点.
2
一. 曲线的凹凸性
定义4.4.1 设函数 y = ƒ(x) 在区间 I 内可导. 若该函数曲
线在 I 内总位于其上任意一点切线的上方 (即曲线向上弯
曲),则称该曲线在 I 内是凹的; 区间 I 为该曲线的凹区间.
用符号∪表示 .
y
y =ƒ(x)
o
x
3
显然, 用定义来判别曲线的凸性是 极不方便的.由定义1知凸的曲线从点 A移到点B 时, 对应的切线斜率 f ( x ) 单调减少的.
(2 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凸 的 .
分析：只需证明 f(x)y0
证 因 为 x ( a , b ) ,f ( x ) 存 在 , f ( x ) 存 在 则 曲 线 上 任 意 一 点 ( x 0 ,f ( x 0 ) ) 的 切 线 方 程 为
x有水平渐近线
y
与y
2
2
19
问题:曲线 y1,yex,yex,ye1x, 是否有水平渐近线？
x
分别是什么？
2.垂直(铅垂)渐近线
定义4.4.6 如果曲线 y = ƒ(x) 在 x0 处无定义(或不连续), 且
lim f(x)或 lim f(x)
x x 0
x x 0
则称直线 x = x0 为曲线 y = ƒ(x) 的垂直渐近线.
B A
B A
而凹的曲线从点A移到点B时, 对应的切线斜率 f ( x ) 单调增加的.
从而, 当 f ( x ) 存在时, 则可用二阶导数的符号来判别
曲线的凹凸性.
6
定理4.4.1 设函数 y = ƒ(x)在 I 内有二阶导数, 则
(1 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凹 的 ；
注2 由拐点的定义知, 要讨论曲线的凸性须先寻找它的 拐点. 那么拐点在哪些点之中去寻找呢?
定理4.4.2(拐点存在的必要条件)若函数 y = ƒ(x)在 x0 处的二 可导，且点(x0, f (x0))为曲线 y = ƒ(x) 的拐点, 则
f (x0) 0
11
证 因为点 (x0, f (x0) )是曲线的拐点, 则点 x0 的两侧 f ( x0 ) 异号, 且由已知 f ( x0 ) 存在, 则 f(x0) 0 注3 在 f(x0)0 存在时, f(x0)0仅 是 拐 点 存在的必要 条件而非充分条件. 如 ,yx4,f(0)0，但点 (0, 0) 不是该曲线的拐点.
求f(x) x2 的渐近线. x1
解 定 义 域 为 ( , 1 )( 1 , ) .
因 为limf(x), limf(x),
x 1
x1
所 以 x 1 是 曲 线 的 铅 直 渐 近 线 .
又因为alimf(x) lim x2 1