卡方分布及其它分布

卡方分布

一、 卡方分布的定义：

若n 个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布（chi-square distribution ），其中参数 n 称为自由度。

二、 卡方分布的性质：:

（1） (可加性) 设i Y ~且相互独立，则,,,1,,2k i i

i n =λχ

,~2,1λχn k Y Y ++

这里.,∑∑==

i

i

n n λλ

（2） ,)(2

,λχλ+=n E n

.42)(2

,λχλ+=n Var n

证明 （1）根据定义易得。 （2）设则依定义，

,~

2

,λχn Y 可表示为Y ,2

2121n n X X X Y +++=-

其中且相互独立，于是),1,(~,1,,1),1,0(~λN X n i N X n i -=

)

2(.

)()()

1(,

)()(1

21

2∑∑====n

i i n

i i X Var Y Var X E Y E

因为

⎩

⎨

⎧+=+=,1,1)()()(22λi i i X E X Var X E .,

1,,1n i n i =-=

代入（1），第一条结论可得证。直接计算可得

.

36,1,,1,3244

++=-==λλn i EX n i EX 于是

,1,,1,

213)()(2

242-==-=-=n i EX EX X Var i i i

.42)()(2

242λ+=-=n n n EX EX X Var

代入（2）便证明了第二条结论。

三、 卡方分布的概率密度函数：

()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥⎪

⎭⎫ ⎝⎛Γ=--，其他当00,221

21222x e x n x f x n n

x 数）。现在来推导随机变，（相互独立且都服从设随机变量10n ,....1N X X

的分布。2^.....2^2^1n X ++X =χ

()()()

2^x 2^x 2

1

^2

n ^n 21n 1n 1++-X X θ的密度函数为，

[

]()[]()

[]()[]()

()()x

x x d D X P P o z z X P P n σχ

χ2^2^2

1

-

2

n

2

n 21

2

2

n 2

121e n 21

z z z 0

z 0z ++⎰⎰

=+X

==++X =≤ 时，当时，当

其中Dx 为n 维x 空间内由不等式z x x n 2

2

1+所定的区域。

即，Dz 为n 维x 空间内以坐标原点为球心、z 为半径的球面所围成的区域（边界不在内）

可以利用极坐标来计算这积分。令 ⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧=-===-----11

112121211cos sin 2cos sin sin cos sin sin sin n n n n n n n r x r x r x r x θθ

θθθθθθθ

与这变换相应的函数行列式为：

()

()()()()()()()()()()Φ

==∂∂-1-n 111,,,,,r r

r r

r r r r x x n n

θθ 其中括号和Φ都表示1,,1-n θθ 的函数。因此。当z>0时，

[]()

()

C P z ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡=⎰z 0dr r -1-n 2

n 22

r 21

z θπχ C 是常数。

为了定出C,在上述等式的两端令,∝+→r 得到

()

C dr r z r n n

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡=

⎰∝+--012

2

21

1θπ 从而，

()

⎰

∝

+--=

2122dr

r C z

n n

θ

π

在分母内的积分中令μ=22

1

r ，即，用21

2μ=r 作代换，那么，这个积分等

于⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ==•-∝+----

--∝

+⎰⎰22221221201212212

10

21-n n d d n

n n n n μθμμμθ

μ

μ

因此，()

⎪⎭

⎫ ⎝⎛Γ=

-22

212

2

n C n n

π

从而，当z>0时，

[

]()

⎰-

--⎪⎭

⎫

⎝⎛Γ=

z

n n d n z x P 0

2

1

12

2

22

1

γθγ

⎰-

--⎪⎭

⎫

⎝⎛Γ=

z

n

n d n 0

212

12

22

1νθνν

即，2χ的密度函数为