数列与数学归纳法专题

数列与数学归纳法专题

上海市久隆模范中学石英丽

经典例题

【例1】已知数列｛%｝的前”项和为S“，且S” —5a” 一85,皿矿.

(1) 证明：｛。” 一 1｝是等比数列；

(2) 求数列｛S”｝的通项公式，并求出使得S”+】〉S”成立的最小正整数”.

解：(1)当川=1 时,a 1=-14；当n>2时，a” = S” —S”_】=—5。”+54心+ 1, 所以 a”_l = |(%_l).

又勺一 1 = —15工0,所以数列｛a”一 1｝是以一15为首项，？为公比的等比数列. 6

【例2】等差数列\a n ｝的前川项和为S”，①=1 +血,S3 = 9 + 3.

(1) 求数列｛%｝的通项曾与前n 项和S”；

£

(2) 设求证：数列｛仇｝中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

n

a. = 5/2 +1,

解：(1)由已知得彳1

严，••d = 2,

3勺+ 3d = 9 + 3>/I

故 a” =2/1-14-^2, S” =??(??+ >/2).

(2)由(I )得b“=L = n 十忑.

n

假设数列｛仇｝中存在三项巧，叽,b r ( p, q, z •互不相等)成等比数列，则b ；=b p b r . 即(<7 + A /2)2 = (p + >/2)(r + V2).

••• (q‘ - pr) + (2q-p-厂)JI = 0 p, q, r G N*,

(2)由(1)知:

从而S”

由S”+i > S "得<^»

最小正整数77 = 15.

+ n-90,ne N* ；

所以数列｛b”｝中任意不同的三项都不可能成等比数列.

【例3]已知公差不为0的等差数列｛%｝的首项⑦为a （aw/?）,设数列的前n 项和为 S”,且丄，丄，丄成等比数列.

①归J

（1） 求数列｛a“｝的通项公式及S”；

（2） 记 4” …=丄+ 丄+ —…,当 n> 2 时，试比较 4“ 与

S] S? S” ① a 2 % a 2…

的大小.

得(① +d)2

= a L (a i +3d).

因为dHO,所以d = d 所以

a” =Hd],S” = a”

；+"•

“、Ed 1 2(1 1 ) “ 人 1 1 1 2“ 1、

(2) 因为一= ------------- , 所以A”=— + —+ …+ — = — (1 ----------- ).

S” a\n

fi + 1丿

S] S 2

S lt

a n +1 i-fiT ,

W

1

1

1

1

1

(2丿 2厶 1

因为Q,所以B»=— + — + ---------------------+ …+

- _

= — 1_ —

当 w>2W,2H =C ； + C> - - + C ； >〃 + 1, 即1-丄vl -丄.

77 + 1 2”

所以，当a > 0时A” < B,,;当a < 00巾4” > B n .

【例4】已知勺=2,点在函数/（x ） = x 2 +2x 的图象上，其中=1, 2, 3,…

（1） 证明数列｛lg （l + nj ｝是等比数列；

（2） 设耳=（1 +兔Xl + 偽）…（1 +色），求丁”及数列伉｝的通项；

1 1 2

（3）

记仇=一+

求数列｛仇｝的前项

和：，并证明

S”+

=1.

q~ - pr = 0, 2q_ P_F = 0,

=pr\p - r)2 = 0, ?. p = r .与 pfr 矛盾.

3—1

a” a”+2

解：(1)由已知a”+]=a；+ 2a”，:. a n+l + l = (a lt+l)2

・.・® = 2 .•.a” + l>l,两边取对数得

lg(l+%) = 21g(l + a”)，即竽：严吋=2

lg(l + Q”)

/.｛lg(l+a n)｝是公比为2的等比数列.

⑵由(I)知lg(l+a n) = 2n-1lg(l + «1) =2"T・lg3 = lg3'E .•.l+d”=3厂(*) .•.7； =(l + aj(l+dj・・・

(l+an)=32° -32* •3厂=彳比+严+十疔疵宀

由(*)式得%=3尸_1

(3)•・•色+1 = 4； + 2d” ••• %严① S” + 2)

1 l z1 1 、 1 1 2

-- = — ( --------- ) ------------- = --------- ・

勺申2 a n a”+ 2 " a,, + 2 a… a ll+l '

又® =丄 + 丄一••- b n = 2(丄一一)

a n a”+ 2 a n a 申

S n = S + b、+・八+bn = 2(—- — + — - +•••+—- -^―) = 2( --------- ).

% a2 a2偽a n a n+l兔

•••a” = 3产」_ 1,务=2卫,出=32" -1 S” = ]_-^―•

3- -1

又人=3“S“ +」一=1.

”“ 37； _]

【例5】已知数列仏｝满足6=0® =2,且对任意gnwN*都有

+ %】=2a,”+,i + 2(加-n)2.

(1)求①‘冬；

(2)设仇=°2”+】一色”-(疋"*),证明：｛仇｝是等差数列；

(3)设c n = (%+] - a n )q n'1,(q 工0,“ w N*),求数列｛c n｝的前n项和S n.

解：（1）由题意，令加=2/ = 1可得勺=2他一d+2 = 6,