第十章标高投影

§10-2 点和直线
例题10-2 求AB直线的坡度和平距，并求C点的标高。
a20
cc15 坡度 i=I/L =(20-10)/30
=1/3
b10 平距 l=L/I=3
C点标高=15×1/3+10 =5+10
0 5 10 15 20m
=15
3.直线上整数标高点的确定
9
8 8 7 6 6 5 5 4 4 3 A B
的 单 面正 水投 平影 投法 影绘 图制 地形图
第十章 标高投影
§10-2 点和直线的标高投影
点的标高投影 直线的标高投影
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一、点的标高投影
标高投影是以水平面H为投影面，称为基面，并 约定其高度为零。 标注出该点与水平投影面的高度距离（高程），便 得到该点的标高投影。
将点向H面作正投影，在点的水平投影旁，
根据标高投影求平面交线
例：求图中P、Q两平面的交线。
分 析
1、 两平面的交线为两平面上同 等高线交点的连线。 如何求 2、P平面已知一条等高线，再 标高为2的 求一条等高线即可求出交线。 另一等高线？
i
5
解题步骤
1、延长P平面上等高线5，与 Q平面上等高线5相交，得交线 上一点a5。 2、求出P平面上的另一等高线， 并求出其与Q平面上同等高线 的交点。 3、连接a5、b5，得两平面的 交线。
四、求平面的交线
例题： 已知平台顶面标高为3，底面标高为0和各 坡面的坡度，求平台的标高投影图。
平面的最大坡度线
平面的等高线为:一组 相互平行的水平线，其 标高投影仍相互平行。 平面的最大坡度线与等 高线相互垂直，其标高 投影亦相互垂直。
等高线 3 1 A E 1 B 3 2 2 标高 投影
平面倾角
平面的坡度与平距 ＝平面内最大坡度 线的坡度与平距
等高线
1、定义：平面上的水平线称为平面上的 等高线。 2、特性： ①等高线都是直线； ②等高线互相平行； ③等高线的高差相等时其平距边相等。
例：已知A、B 、C三点的标高投影，求平面 ABC的平距和倾角。
平行于a1b6， 如何确 标高为1的 5 定间距？ 基线。 4
3 2 1 2 3
分
6
析
6 5 4
目的1
目的2
相邻等高线之间 的距离为平距，最大坡 度线的倾角为平面倾角。
b6
5 4 3
解题步骤
1、连接a1、b6、c 是否可以直接 2， 任取两边，求出各边 利用整数点？ 的整数标高点。 c2
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平面对H面的倾角
平面上最大斜度线与它的H面投影之 间的夹角 ，就是平面对H面的倾角。
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2.平面的坡度比例尺 将平面的最大坡度线的标高投影，按整 数标高点进行刻度和标注，就是平面的坡度 比例尺。为了区别于直线的标高投影，规定 平面的坡度比例尺以一粗一细的双线并标以 “Pi”
标高投影的基本概念 点和直线的标高投影 平面的标高投影 曲面的标高投影 曲面和地面的表示法 标高投影的应用举例
第十章
标高投影
§10-1 基本概念
标高投影法是采用水平投影并标注特征 点、线、面的高度数值来表达空间形体的方 法，它是一种标注高度数值的单面正投影。
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标高投影的基本概念
标高投影---用水平投影和标注高度来表达形体形状的投影图。
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坡度线
１、定义：平面上对水平面的最大斜度线， 就是平面上的坡度线。 ２、特性： ①平面内的坡度线与等高线互相垂直， 它们的水平投影也互相垂直； ②平面内坡度线的坡度代表平面的坡度， 坡度线的平距就是平面内等高线的平距。 最大坡度线的坡度就是平面的坡度； 最大坡度线的平距就是平面的平距
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例题1 ：试求下图所示直线上一点C的标高。
解：先求i或者Ｈ 。按比例 尺量得L=36，经计算得 Ｈ=26.4-12=14.4
则 i
I L

1 4 .4 36

2 5
或 l 2.5
然后按比例量得ac间的距离 为15，则根据 I
2
15=6
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5 于是，点C的标高应为 26.4-6=20.4
5 4 3 2
a1
0 1
2、分别连接相同整数 标高点，得等高线。
2
3
4
5
例：已知A、 B 、 C三点的标高投影， 求平面ABC的平距和倾角。
分
6 5 4 3 2 1
析
相邻等高线之间 的距离为平距，最大坡 度线的倾角为平面倾角。 b6
解题步骤
1
5 4 3 2
l
a
a1
0 1
c2
2 3
4 5
1、连接a1、b6、c2， 任取两边，求出各边 的整数标高点。 2、分别连接相同整数 标高点，得等高线。 3、作平面的最大坡度 线，求平距及倾角。
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平面的标高投影
平面的等高线为:一 组相互平行的水平 线，其标高投影仍 相互平行。
等高线 3 1 A E 1 3 2 2 标高 投影
平面的最大坡度线 与等高线相互垂直， 其标高投影亦相互 垂直。 平面的坡度与平距 ＝平面内最大坡度 线的坡度与平距
B
平面倾角
平面的标高投影
三个基本概念：等高线、坡度和平距
20秒后自动演播
四、求平面交线
１、定义：两面（平面或曲面）上相同 标高等高线的交点连线，就是两面的交 线 。
２、解法：用引辅助平面的方法求它们 的交线。所引辅助平面与两已知平面的 交线,分别是两已知平面上相同整数标 高的等高线，他们必然相交于一点。引 两个辅助平面，可得两个交点，连接起 来，即得交线。
B B
A
a
H
坡度 与 平距 的关系：
I
A
a
H
坡度的概念
l=1/i
平距的概念
i=I/L=tga
即：i 值越大，直线越陡。
l=L/I=ctga
即：l 值越大，直线越缓。
1单位
i
I
直线的坡度与平距之间的关系
直线的坡度与平距互为倒数， 即： 坡度愈大，平距愈小； 坡度愈小，平距愈大。
l 1/ i
求 直线上的点 1）在已知直线上定出任意高程的点。 2）已知直线上的点，求该点的高程
（4）作坡度线
（5）作辅助V投影
15秒后自动演播
三、标高投影中平面的作图问题
1. 求平面的等高线或坡度线
例 已知平面上一条标高为25的等高线和平面的坡度，求作平 面上具有整数标高的等高线。 解：
因i=1:1.5得l=1.5
15秒后自动演播
三、标高投影中平面的作图问题
1. 求平面的等高线或坡度线
例已知平面上一条斜直线AB的标高投影和平面的坡度，求作 过B点的坡度线和一组整数标高的等高线。 解：圆锥底圆半径为3m
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两平面的交线 在标高投影中，两平面（或曲面）的交线，就是两平 面（或曲面）上相同高程等高线交点的连线 。 坡面交线：相邻两坡面的交线。 坡脚线（或开挖线）：坡面与地面的交线。
四、求平面的交线
例题： 求P、Q两平面的交线
6 5 4 3 2 1 i=1/2 4
P
Q
5
平距=1/i=2
0
1 2 3 4m
7
3 4
8
b 8.6
5
点和直线的标高投影
直线的标高投影
3、直线上整数标高点的确定：
相邻整数标高点 8 平距 间的距离为 7 _______
6 5 4 A 3 4 5 9 8 7 6 B
解题步骤
1.作平行于直线标高投影 的基线，基线标高为小于 等于直线最低端点的整数。 2. 利用比例尺，作平行于 基线等间距的一组平行线。
b2
a4 a
直线的标高投影还可以用直线上一点的 标高投影，并标注直线的坡度和方向表示。
坡度和方向 a4 A
a4 a
0 0 1 2 3 4m
1
2
3
4m
点和直线的标高投影
1、直线的表示法： 直线的标高投影
b)一点+坡度+方向
坡度 符号 箭头表示 下坡方向
a5
0
1
2
3
4
5m
2.直线的坡度和平距
直线上任意两点的高度差与其水平距离之 比称为该直线的坡度，用符号i表示。当直线 上两点间的高度差为１个单位时，它们的水 平距离称为直线的平距，用符号l表示。 已知直线AB的标高投影，它的长度，即AB 的水平距离为L，AB两点见的高差为Ｈ,则直 线的坡度 i=Ｈ／Ｌ；直线的平距l＝Ｌ／Ｈ。
三、求作平面的等高线 例题10-2 已知A、B、C三点的标高投影a1、b6、c2，求 由这三点决定的平面的平距和倾角。
b6
5 4 3 5 4 3
2
l
c2
α
a1
0
1 2 3 4m
3.求平面的等高线或坡度线（标高投影中平面的 作图问题）
例求ABC平面的等高线、坡度线和水平倾角。 解： （1）连a3b4c8 （2）求边线上具有 整数标高的点 （3）作等高线
A
基面
高度为零
c0 a5
标高
a5
0 1 2 3
C
c0
b -3
4
5m
b -3
0 1
2 3 4 5
m
比例尺
低于基面 加负号
B
二、直线的标高投影
1. 直线的表示法 在直线的H面投影ab上，标出它的两个 端点a和b的标高，就是直线AB的标高投影。 例如a4 b2(下图）。 A
a4
B b2
0 1 2 3 4m
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c0 a4
基面
A
b-3
1 2 3 4m
c0 a4
C b-3
0
基准面以上的高程为正（可省略+），基准面以 下的高程为负（-），单位为米。为了表示几何元素 间的距离或线段的长度，标高投影中要附以比例尺。 用比例尺丈量，即可知A、B、C任意两点间的实际 水平距离。
B
点和直线的标高投影
点的标高投影
A
平距I=L/I=ctg
B

平距=1/坡度
1
b2
0
1
a4 a
2 3 4m
I
点和直线的标高投影
直线的标高投影
2、直线的坡度和平距：
B
A、B两点 的高度差
I
A
a
H
i
坡度的概念
A、B两点 的水平距 离
i=I/L=tga 即：i 值越大，直线越陡。
点和直线的标高投影
直线的标高投影
2、直线的坡度和平距：
例：两平面平行， 则它们的坡度比例 尺平行，平距相等， 而且高程数字增大 或减小的方向一致。
二、平面的表达法
1、几何元素表示法：五种方法表示
2、一组等高线 3、一条等高线+坡度线（带箭头和坡度 值）
平距 关 l=1/i 键
如何转换
关Hale Waihona Puke Baidu键
0
1
2
3
4
5
？图中可以直接量到是：
A B 平距 坡度 B平距
平面的表达法
要点 求出等高 线之间的距离 : L= l *DH l=1/i
2
例:求作图示平面的等高线（平面表示法间的转换)
1.以B为圆心，R=1.8为半径，再平面斜坡一侧画弧（R应以图中比例 量取）
2.过a3向弧作切线，即得等高线3。
3.过各整数标高点4、5座等高线3的平行线，即得等高线4、5
例：在高程为2m的地面上开挖一基坑，坑底高程为-2m， 坑底的形状、大小和各坡面的坡度如图所示，求开挖线和坡 面线。 解：1）求开挖线：地面高程为2m，因此开挖线就是各 坡面上高程为2m的等高线。它们分别与相应的坑底边线平 行，其水平距离可由L=l H求得。其中高差H=4m，所以 L1=14m=4m， L2 =1.54m=6m，L3 =24m=8m。 2）求坡面线： 分别连接相邻两坡面 相同高程等高线的交 点，即得四条坡面交 线。 3）画出各坡面 。 的示坡线
3.根据直线端点A、B的标 高，确定其在等高线组中 的位置。
a 3.3 4
5
0 1
6
2
7
3
8
4
b 8.6
5
4.连接A、B得到AB与各 等高线的交点，由各交点 求得直线上各整数标高点。
§10-3 平面的标高投影
一、平面的坡度和平距
下图画出一个由平行四边形ABCD表 示的平面P，图中AB位于H面上，是平面P 与H面的交线，以PH 标记。 如果以一系列平行于基准面H且相距 为一单位的水平面截割平面P，则得到P面 上一组水平线I-I、II-II 等，他们的H投 影为1-1，2-2等，称为该平面的等高线。 平面P的等高线都平行于PH，且间隔 相等。这个间隔，称为平面的间距。
平距
7
1.作平行于直线标高投 影的基线，基线标高为 小于等于直线最低端点 的整数 2. 利用比例尺，作平 行于基线等间距的一组 平行线。 3.根据直线端点A、B 的标高，确定其在等高 线组中的位置。 4.连接A、B得到AB与 各等高线的交点，由各 交点求得直线上各整数 标高点。
a
3.3
4
5
0 1
6
2
坡度比例尺 ＝最大坡度线的水平投影 +整数标高点 +比例尺形式
平面的标高投影
4、坡度比例尺
？
转换为 等高线表达
3、一条一般位置线＋坡度方向线 平面的最大坡度线 b8
等高线
Pi
3 1 A a5 E 1 B 2 3
0 1 2 3 4 5
2
坡度比例尺上的一个单位 实质为平面的平距
三、 求作 平面 的等 高线
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C
坡度i=I/L=tg
i
A

B
b2
0 1
a4 a
2 3 4m
I
二、直线的标高投影
坡度i=I/L=tg
C
A
平距l=L/I=ctg
B

平距=1/坡度
1
b2
0
1
a4 a
2 3 4m
I
C
坡度i=I/L=tg
i
A

B
b2
0 1
a4 a
2 3 4m
I
C
坡度i=I/L=tg