中考数学备考培优专题卷：《圆锥计算》(解析版)

培优专题卷：《圆锥计算》
一．选择题
1．如图，如果从半径为6cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是（）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
2．已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的全面积是（）A．65πcm2B．90πcm2C．130πcm2D．155πcm2
3．如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥底面的半径长为3m，母线长为6m，为防止雨水，需在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价是每平方米10元钱，那么购买油毡所需要的费用是（）
A．540π元B．360π元C．180π元D．90π元
4．如图，BC是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为3m，母线长6m，若一只小虫从点B沿圆锥的侧面爬行到母线AC的中点P．则小虫爬行的最短路径是（）
A．3 B．C．D．4
5．已知圆锥的高为AO，母线为AB，且＝，圆锥的侧面展开图为如图所示的扇形．将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在上F点，则弧长CF与圆锥的底面周长的比值为（）
A．B．C．D．
6．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，底面半径OB＝6米，则圆锥的侧面积是多少平方米（结果保留π）．（）
A．60πB．50πC．47.5πD．45.5π
7．如图，某物体由上下两个圆锥组成．其轴截面ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝90°，若下面圆锥的侧面积为1，则上部圆锥的侧面积为（）
A．B．C．D．2
8．如图，从一块直径为4的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形CAB，且点C，A，B 都在⊙O上，将此扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径是（）
A．B．C．D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝16，AD＞AB，以点A为圆心裁出扇形ABE（点E在边AD上），将扇形ABE围成一个圆锥（AB和AE重合），则此圆锥底面圆半径是（）
A．4 B．4C．8 D．16
10．如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（）
A．15cm B．12cm C．10cm D．20cm
11．如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且l：l＝1：3（l表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（）
A．1：3 B．1：πC．1：4 D．2：9
12．如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（）
A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
二．填空题
13．圆锥的母线长为3，底面圆的半径为2，则这个圆锥的全面积为．
14．已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是．15．如图，圆锥母线长9厘米．
（1）若底面圆的半径为4厘米，则侧面展开扇形图的圆心角为；
（2）若一只蚂蚁从A点出发沿侧面爬行一周回到出发点，最短路径长9厘米，则侧面展开扇形图的圆心角为．
16．如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为3cm，则这个扇形的半径是cm．
17．如图，已知圆锥的底面圆半径为r（r＞0），母线长OA为3r，C为母线OB的中点，在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短路线长为．
三．解答题
18．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．
（1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数；
（2）如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这根
绳子的最短长度．
19．如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，现在准备用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，求需要毛毡的面积是多少？
20．如图，圆锥母线的长l等于底面半径r的4倍，
（1）求它的侧面展开图的圆心角．
（2）当圆锥的底面半径r＝4cm时，求从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长
21．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），若该圆弧所在圆的圆心为D点，请你利用网格图回答下列问题：（1）圆心D的坐标为；
（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根号）．
22．打谷场上，有一个近似于圆锥的小麦堆如图a，测得底面直径为16m，高为1.5m，每立方米的小麦约重750千克．
（1）求这堆小麦约有多少吨？（π取3.14，得数保留整数吨）
（2）图b为装小麦的粮仓，粮仓下面为一圆柱，上面为一圆锥，已知圆柱底面半径为1米，粮仓下面圆柱的侧面积为4π平方米，图b中粮仓上面圆锥的高为图a中小麦堆的高的，将打谷场上的这堆小麦全部装入图b同样的粮仓中，至少需要这样的粮仓几个？
23．如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
参考答案
一．选择题
1．解：扇形的弧长为：＝8πcm，
圆锥的底面半径为：8π÷2π＝4cm，
故选：B．
2．解：这个圆锥的侧面积＝×2π×5×13＝65π（cm2）．
底面积为：52×π＝25π（cm2），
所以全面积为65π+25π＝90π（cm2）．
故选：B．
3．解：底面半径为3m，则底面周长＝6π，侧面面积＝×6π×6＝18π（m2）．所需要的费用＝18π×10＝180π（元），
故选：C．
4．解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n，则：＝6π，其中r＝6
∴n＝180°，如图所示：
由题意可知，AB⊥AC，且点D为AC的中点，
在Rt△ABD中，AB＝6，AD＝3，
∴BD＝＝＝3（米）
故蚂蚁沿线段BP爬行，路程最短，最短的路程是3米，
故选：B．
5．解：连接AF，如图，
设OB＝5a，AB＝18a，∠BAC＝n°，
∴2π×5a＝，解得n＝100，
即∠BAC＝100°，
∵将扇形沿BE折叠，使A点恰好落在上F点，
∴BA＝BF，
而AB＝AF，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠BAF＝60°，
∴∠FAC＝40°，
∴的长度＝＝4πa，
∴弧长CF与圆锥的底面周长的比值＝＝．故选：B．
6．解：∵AO＝8米，OB＝6米，
∴AB＝10米，
∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，
＝lr＝×12π×10＝60π米2．∴S
扇形
故选：A．
7．解：连接AC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠BAC＝30°，
∴＝tan∠BAC＝tan30°＝，
设圆锥的底面周长为c，
则上部圆锥的侧面积＝×c×AB，下面圆锥的侧面积＝×c×BC，∴上部圆锥的侧面积：下面圆锥的侧面积＝AB：BC＝，
∵下面圆锥的侧面积为1，
∴上部圆锥的侧面积为，
故选：C．
8．解：连接BC，如图，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，BC＝4，
∴AB＝AC＝2，
设该圆锥底面圆的半径为r，
∴2πr＝，解得r＝，
即该圆锥底面圆的半径为．
故选：C．
9．解：设圆锥底面圆半径为R，
的长＝＝8π，
则2πR＝8π，
解得，R＝4，
故选：A．
10．解：过O作OE⊥AB于E，∵OA＝OB＝90cm，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OE＝OA＝45cm，
∴弧CD的长＝＝30π，
设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝30π，解得r＝15．故选：A．
11．解：连接OD交AC于M．
由折叠的知识可得：OM＝OA，∠OMA＝90°，
∴∠OAM＝30°，
∴∠AOM＝60°，
∵且：＝1：3，
∴∠AOB＝80°
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
＝2πr，
∴r：l＝2：9．
故选：D．
12．解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，
根据题意，得＝π（6﹣x），
解得x＝4．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
13．解：圆锥的侧面积＝×3×2π×2＝6π，
底面积为22π＝4π，
所以全面积为：6π+4π＝10π．
故答案为：10π．
14．解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为n°，圆锥的底面圆的半径＝＝3，
根据题意得2π×3＝，
解得n＝216．
即该圆锥侧面展开图的圆心角为216°．
故答案为：216°．
15．解：（1）设圆心角为n．
由题意：＝2π•4，
∴n＝160°，
故答案为160°．
（2）如图是圆锥的侧面展开图，作OH⊥AA′于H．
由题意AA′＝9，
∵OA＝OA′，OH⊥AA′，
∴AH＝HA′＝，∠OAH＝∠OA′H，
∵cos∠A＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠A＝∠A′＝30°，
∴扇形是圆心角∠AOA°＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故答案为120°．
16．解：设扇形的半径为r，则＝2π×3，
解得R＝9cm．
故答案为：9．
17．解：设圆锥展开图扇形的圆心角为n，
如图，作CF⊥OA于F，
底面圆的周长＝2πr，即圆锥展开图扇形的弧长为2πr，
则＝2πr，
解得，n＝120°，
∴∠1＝60°，
∴CF＝OC•sin∠1＝r×＝r，OF＝OC＝r，
∴AF＝OA﹣OF＝r，
由勾股定理得，AC＝＝r，即蚂蚁从点A爬行到点C的最短路线长为r，
故答案为：r．
三．解答题（共6小题）
18．解：（1）圆锥的高＝，
底面圆的周长等于：2π×2＝，
解得：n＝120°；
（2）连结AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝60°．
由AB＝6，可求得BD＝3，
∴AD═3，
AC＝2AD＝6，
即这根绳子的最短长度是6．
19．解：设底面圆的半径为R，
则πR2＝25π，
解得，R＝5，
由勾股定理得，圆锥的母线长＝＝，
所以圆锥的侧面积＝×2π×5×＝5π；
圆柱的侧面积＝2π×5×3＝30π，
所以需要毛毡的面积为（30π+5π）m2．
20．解：（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2πr＝，
而l＝4r，
所以2πr＝，解得n＝90，
所以它的侧面展开图的圆心角为90°；
（2）连接BB′，如图，
此时BB′为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径，∵r＝4，
∴l＝2r＝16，
∵∠BAB′＝90°，
∴△ABB′为等腰直角三角形，
∴BB′＝AB＝16．
21．解：（1）分别作线段AB和线段BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点，就是圆心D，如图，
D点正好在x轴上，D点的坐标是（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）；
（2）连接AC、AD、CD，
⊙D的半径长＝，
∵AD2+CD2＝20+20＝40，AC2＝40，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°．
设圆锥的底面圆的半径长为r，
则，
解得：，
所以该圆锥底面圆的半径长为．
22．解：（1）圆锥形的小麦堆的体积＝×π×82×1.5＝100.48（m3），所以这堆小麦的质量为：100.48×750＝75360（千克）≈75（吨）；
（2）设圆柱的高为h，
根据题意得2π×1×h＝4π，解得h＝2，
图b中粮仓上面圆锥的高为1.5×＝0.45（m），
∴图b的粮仓的体积为×π×12×0.45+π×12×2≈6.751（m3），∵100.48÷6.751≈15，
∴至少需要这样的粮仓15个．
23．解：∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BD＝AD＝6，
∴BC＝2BD＝12，
∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S
△ABC ﹣S
扇形EAF
＝×6
×12﹣＝36﹣12π；（2）设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝2，这个圆锥的高h＝＝4．。