旋转变换在解题中的应用
例谈利用旋转变换作辅助线解题
例谈利用旋转变换作辅助线解题作者：邓朋伟来源：《科学大众·教师版》2014年第06期摘要：笔者在一次测验中发现，学生对于一道经典题的解答错误率极高。
笔者对学生的错误情况和原因进行了分析并反思自己的教学，从而产生了一些思考。
关键词：数学教学；几何题中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2014）06-011-002题目：已知正方形ABCD，E是BC上一点，F是CD上一点，且∠EAF=45°，求证EF=BE+DF一、错误分析1.基本思路未形成结论是一个不对称式，解决的思路是化成对称式。
方法有两种，①是将等式左边的EF分成两段分别证与等式右侧两段分别相等。
②是将等式右侧的两条线段合成一条线段与等式左侧相等。
解答中，学生选择①，在EF上取点G，使EG=BE。
然后认为一定能够能证明，麻醉自己，得证。
2.基本思维不能突破从心理学角度讲在原有图形上添设辅助线条件容易想到，拓展在图形外添设辅助线这一点很难突破，这也是学生为什么只是作AQLEF或EG=BE连AG的重要原因，基本思维学生有待突破。
二、教学反思上述出现的问题，对教师提出了一定的要求。
笔者在让学生突破上述两个问题时，除了加强对证明的思路的培养外，更要加强学生解决问题途径的拓展及思路的引导。
如何添设辅助线在此类问题中感觉到尤为的重要。
下面通过一些例题，谈谈如何利用旋转变换作辅助线解决此类问题。
通过添设适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使它们相对集中、聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论。
旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分，绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法。
旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。
旋转变换经常用在等腰三角形、等边三角形及正方形中。
1.用旋转变换添设辅助线在等腰三角形中应用例1：已知，如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上任一点。
六年级数学技巧解决几何问题的旋转变换
六年级数学技巧解决几何问题的旋转变换在数学学科中，几何是一门需要具备解决问题的技巧的重要领域。
在六年级学生的课程中，掌握几何问题的解决方法对于提高数学能力至关重要。
其中，旋转变换是一种常用的技巧之一。
通过旋转变换，学生可以更好地理解和解决各种几何问题。
本文将详细介绍几个旋转变换的技巧，以帮助六年级学生在数学学习中更加轻松地应对几何问题。
一、旋转变换的基本概念在开始介绍旋转变换的具体技巧之前，我们首先需要了解旋转变换的基本概念。
旋转变换是指将一个图形按照一定角度围绕一个固定点旋转，从而得到一个新的图形。
在旋转变换中，固定点被称为旋转中心，旋转的角度被称为旋转角度。
通过旋转变换，我们可以改变图形的朝向和位置，进而解决几何问题。
二、旋转变换的基本技巧1. 顺时针和逆时针旋转在旋转变换中，有两种基本的旋转方式：顺时针旋转和逆时针旋转。
顺时针旋转是指图形按照顺时针方向绕旋转中心旋转，而逆时针旋转则是指图形按照逆时针方向绕旋转中心旋转。
通过掌握这两种旋转方式，学生可以更加灵活地应对不同的几何问题。
2. 旋转角度的确定在进行旋转变换时，旋转角度的确定是非常关键的。
旋转角度通常以度数表示，可以是正值也可以是负值。
根据题目给出的旋转要求，学生需要准确地确定旋转角度，并按照要求进行旋转变换。
3. 图形特征的保持在进行旋转变换时，保持图形的某些特征是十分重要的。
例如，保持图形的某条边不动，只对其他部分进行旋转变换。
通过保持某些特征，学生可以更好地理解图形的变化规律，并解决与旋转变换相关的几何问题。
三、旋转变换的应用技巧1. 旋转对称图形的性质旋转对称图形是指经过旋转变换后仍然与原图形完全相同的图形。
在解决旋转对称图形相关问题时，学生可以利用该性质来简化问题。
例如，对于一个正方形，它的每一条边都相等且与旋转中心的连线长度相等，利用这些性质，学生可以快速获得其他边的长度等信息。
2. 旋转变换的组合运用在实际的几何问题中，旋转变换可以与其他几何技巧相结合，进一步解决更加复杂的问题。
利用旋转解决几何问题较难
例2．如图，在ΔABC中，∠ ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3 ，PB=1，PC=2。求∠ BPC旳度数。
1350
分析：将ΔACP绕C点逆时针旋转90度，AC与 BC重叠，得ΔCBPˊ
提醒1： ΔCBPˊ为等腰直角三角形 提醒2： ΔBPPˊ为直角三角形 ( ⊙o⊙?)
提醒：△ BNQ为Rt△ 提醒：△MCN≌△QCN
推论：在解题过程中，会发觉图形中旳线段AM、BN、MN构成一种直角三角形， 即有结论：MN2=AM2+BN2．
类比练习：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，D 是 BC 上的
任意一点，求证：BD2+CD2=2AD2．
A
B
D
C
提示：将△ADC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABE，连结 ED．
例 3 如图 3，将边长为 2 的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一
个绕点 B 顺时针旋转一个角度，若使重叠部分面积为 4 3
多少 解：连结BH。
由旋转可知，Rt△ BA' H RtBCH
又因为 S BCH
14 23
3
所以 1 BC HC 2 3
2
3
又BC=2，所以HC 2 3 3
则以线段 OA、OB、OC 为边构成三角形的各角度数是Fra bibliotek多少？A
O
B
C
图2
分析：可将△BOC绕B点按逆时针方向旋转60°可得△BMA。
提醒：△BOM是等边三角形
（二）等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ΔABC中， ∠C=Rt∠ , P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时 针方向旋转900，使得AC与BC重叠。经过这么旋转变化，在图（3-1-b）中旳一种 ΔP' CP为等腰直角三角形。
利用旋转变换解决与圆形有关的高考试题
利用旋转变换解决与圆形有关的高考试题介绍本文档将介绍如何利用旋转变换解决与圆形有关的高考试题。
通过了解旋转变换的概念和应用，我们可以更好地解答与圆形相关的问题，提高高考的得分。
旋转变换的概念旋转变换是指将一个图形绕着一个固定点旋转一定角度的变换。
在与圆形相关的试题中，我们可以使用旋转变换来简化问题，找到更便捷的解题方法。
解题示例示例一试题：已知圆的半径为r，点A在圆上，点B在圆的半径上，且∠AOB = α°，求∠DAB的度数。
解答步骤：1. 以圆心O为中心，顺时针旋转AB，使AB重合。
2. 根据旋转变换的性质，旋转过程中不改变角度大小，所以∠AOB和∠DOE的度数相等。
3. 旋转后，A、B、D三点重合，所以∠DAB = ∠DOE = α°。
示例二试题：已知直径AC的长度为d，点B在直径上，且AB = BC，求∠ABC的度数。
解答步骤：1. 将AC旋转180°，得到A'C'。
2. 由于AB = BC，所以A'B' = B'C'。
3. 旋转过程中不改变角度大小，所以∠ABC = ∠A'B'C'。
4. 由对称性可知，∠A'B'C' = ∠ABC，所以∠ABC = ∠A'B'C' = 180°。
结论通过利用旋转变换，我们可以简化与圆形相关的高考试题，找到更快捷的解题方法。
在解题过程中，要灵活运用旋转变换的性质和概念，合理选择旋转的中心和角度，将问题转化为更简单的形式。
通过熟练掌握旋转变换的应用技巧，可以提高解题效率，得到更好的成绩。
以上是关于利用旋转变换解决与圆形有关的高考试题的介绍。
希望对您有所帮助！。
培优专题5 平移与旋转 (含解答)-
培优专题5 平移与旋转平移是几何变换中最常用的变换之一，用它可以将一些不在同一三角形中要证的两条线段或两角，进行“搬家”，把它们搬到同一个三角形（或平行四边形）中，再利用图形的性质与题设条件，找到解（或比）的途径．平移法能把分散的条件集中起来，收到事半功倍的效果．旋转也是几何变换中较常用的变换之一，在解决问题中主要应用在以下两个方面：一是在题设条件和结论间联系不易沟通或条件不易集中利用的情形下，通过旋转起到铺路架桥作用；二是图形错综复杂，但图形中的量与量之间的关系多，这时也可以看能否使用旋转的办法，移动部分图形，使题目中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径．平移、旋转两种变换在使用中，一定要善于观察变换前后哪些量变了，哪些量没变．只有这样，我们才能充分发挥两种变换的功能，达到有效解决相关问题的目的．例1如图，在△ABC中，D、E是BC边上两点，BD=CE，试说明AB+AC>AD+AE．分析利用平移变换，•将图中已知条件转化为梯形的对角线之和大于两腰之和．解：把△ABD作平移，使BD与EC重合，分别过点E作AB的平行线，过点A作BC•的平行线，两线交于点F，连结CF．再连结EF交AC于O．则AB=EF，∠ABD=∠FEC．∵BD=CE，∴△ABD≌△FEC．∴AD=CF．在梯形AECF中，AO+OE>AE，FO+OC>CF，∴AO+OE+FO+OC>AE+CF．即AC+EF>AE+CF．∴AB+AC>AD+AE．练习11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD+BC=3，AC=3，BD=6，求此梯形的面积．2．如图，长方形花园ABCD中，AB=a，AD=b，花园中建有一条长方形道路LMPQ•及一条平行四边形道路RSTK，若LM=RS=c，求花园中可绿化部分的面积．3．如图，△ABC中，E、F分别为AB、AC边上的点，且BE=CF，试说明EF<BC．例2 如图，△ABC中，∠ACB=90°，M是AB的中点，∠PMQ=90°，请说明PQ2=•AP2+BQ2．分析本题中PQ、AP、BQ不在同一个三角形中，•如果将它们平移，•使PQ、BQ分别转化为PD、AD，将三线段转化在同一三角形中，巧妙运用直角三角形中的勾股定理求解．解：将BQ平移到AD，连结PD、MD．∵BQ∥AD，∴∠BAD=∠ABC．∵MA=MB，BQ=AD，∴△AMD≌△BMQ，∴∠AMD=∠BMQ．而∠AMQ+∠BMQ=180°，∴∠AMQ+∠AMD=180°．∴D、M、Q三点共线．∴∠PMD=∠PMQ=90°，MD=MQ．∴PQ=PD．∵∠PAD=∠BAC+∠BAD=∠BAC+∠ABC=90°．∴△PAD为直角三角形，PD2=AP2+AD2．∴PQ2=AP2+BQ2．1．如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，∠BEG与∠CFH都是锐角，•已知EG=3，FH=4，四边形EFGH的面积为5，求正方形ABCD的面积．2．如图，△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，AN、CM•交于点P，•若BC=AM，BM=CN，求∠APM的度数．3．如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，且AB-ED=CD-AF=EF-BC>0，请问，六边形ABCDEF的六个角是否都相等．例3如图，在正方形ABCD的边BC和CD上分别取点M和点K，并且∠BAM=∠MAK．求证：BM+KD=KA．分析把Rt△BAM绕点A顺时针旋转90°到△ADM′，使BM与DN拼成一条线段的KM′，只要证明KM′=KA即可．证明：把Rt△ABM绕点A旋转90°，则点B变为点D，M变为M′，则Rt•△BAM•≌Rt•△ADM′，∴∠M′=∠BMA∴DM′=BM．∵∠BAM=∠MAK，∴∠KAM′=∠MAD．∴∠KAM′=∠M′．∴AK=KM′．∴BM+KD=AM．1．如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D•的点，•且∠NMB=∠MBC，求AMAB的值．2．如图，P是等边△ABC内一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比为5：6：7，•求以PA、PB、PC之比为边的三角形三内角之比（从小到大）．3．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，AH⊥BC，且AH=1，•求四边形ABCD的面积．例4如图，在等腰三角形ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，且PA=1，PB=3，PC=7，求∠APC 的度数．分析本题将△BAP绕点A旋转90°，得到△CAQ，构造直角三角形，利用勾股定理求解解：将△BAP绕点A旋转90°，使AB与AC重合，得△CAQ，则△CAQ≌△BAP．∴AQ=AP=1，CQ=BP=3，∠CAQ=∠PAB，∴∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=∠PAC+∠PAB=90°Rt△AQP中，PQ2=AQ2+AP2=2，∴PQ=2，∴∠APQ=45°．在△CPQ中，PQ=2，CQ=3CP=7，CQ2=CP2+PQ2．∴△CPQ是直角三角形，∠CPQ=90°．∴∠APC=∠CPQ+∠APQ=135°．练习41．等边三角形内一点到三个顶点距离分别为3、4、5，则此等边三角形边长的平方为________．2．如图，P是正方形内的点，若PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数．3．如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD各有一点P、Q，若△APQ的周长为2，•求∠PCQ．例5 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，以BC为边的三角形BPC是等边三角形，求AP的最大、最小值．分析通过旋转把AP转移到有两条边确定的三角形中，利用三角形的性质求最值．解：把△ABP绕B点顺时针旋转60°得△DBC，则△ABP≌△DBC．∴DC=AP，BD=BA，∠DBA=60°．∴△ABD是等边三角形，AD=AB=3．在△ACD中，有DC<AD+AC=5，当C在DA的延长线上时才有DC=AD+AC=5，说明DC≤5，•即AP≤5．……①在△ACD中，有DC>AD-AC=1时，当C在DA线段上时才有DC=AD-AC=1，说明DC≥1，•即AP≥1．……②由①②得AP最大值为5，最小值为1．练习51．如图，正方形ABCD中，有一个内接三角形AEF，若∠EAF=45°，AB=8，EF=7，•求△EFC的面积．2．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，过BC上的中线AD=6，求BC的长．3．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，∠ADB>∠ADC．试证明：•CD>BD．答案:练习11．解：将BD 平移到CE 交AD 延长线于点E ， 则四边形BDEC 为平行四边形∴DE=BC ，CE=BD ，S △BCD =S △CDE ∵△ABC 与△DBC 同底等高， ∴S △ABC = S △BCD = S △CDE∵S 梯形ABCD = S △ABC + S △ACD = S △CDE + S △ACD = S △ACE ． 又AE=AD+DE=3=2236AC CE +=+，∴△ACE 为直角三角形，∠ACE=90°． ∴S 梯形ABCD = S △ACE =12·AC·CE=322．2．解：把长方形和平行四边形道路平移，在移动过程中道路面积不变，如图，则四块空白可组成长（b-c ），宽（a-c ）的空白长方形，其面积为（b-c ）（a-c ）=ab-bc-ac+c 2．3．解：将EF 平移为BG ，BF 平移为FG ，作∠CFG 的角平分线交BC 于D ，连结DG ，•则由平移知四边形BEFG 是平行四边形． ∴EF=BG ，BE=FG ． ∵BE=CF ，∴FG=CF ． ∵∠1=∠2，FD=FD ． ∴△FGD ≌△FCD （SAS ）． ∴DG=CD ．在△BGD 中， ∵BG<BD+DG ，∴EF<BC ．练习21．解：过E 、F 、G 、H 分别平移AD 、AB ，交点分别为P 、Q 、R 、T ，则四边形PQRT•为矩形．设正方形边长为a ，PQ=b ，PT=c ，由勾股定理得b= 223a -，c=224a -， ∵S △AEH =S △TEH ，S △BEF =S △PEF ， S △CFG =S △QFG ， S △DGH =S △RGH 则S 正方形ABCD +S 矩形PQRT =2S 四边形EFGH ∴a 2+b·c=10． 即a 2+223a -·224a -=10．∴5a2=44，a2=445．∴S正方形ABCD=445．2．解：把MC平移，使点M至A点，过A作MC的平行线，过点C作AB的平行线，•两线交于点D，则MC=AD．∠APM=∠NPC=∠NAD……①∵BM=NC，CD=AM=BC，∠DCN=∠CBM=90°，∴△DCN≌△CBM．从而DN=MC，∴DN=DA……②∴∠CMB=∠DNC．∵∠BCM+∠DMB=90°，∴∠BCM+∠DNC=90°．即MC∥AD．∴ND⊥AD．……③由①，②，③得∠APM=45°．3．解：六个角都相等且都等于120°．将AB沿着BC平移到QC，CD沿着DE平移到ER，EF沿着FA平移到AP，∵AB∥ED，BC∥EF，CD∥AF，∴AB=QC，BC=AQ，CD=ER，DE=CR，EF=AP，FA=PE．∵AB-ED=CD-AF=EF-BC，∴QC-CR=ER-PE=AP-AQ．即PQ=PR=QR．∴∠1=∠2=∠3=60°．由平行线性质知：∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°．练习31．解：将△BAM绕B点旋转90°，A点变为C点，M点变为P点，连结MP，则△BAM≌△BCP．∴∠BPC=∠BMA=∠CBM=∠NMB．∵BM=BP，∴∠NMP=∠NPM．∴MN=NP=NC+CP=NC+AM．设AB=1，AM=x，在Rt△MND中，则有12+x=221()(1)2x+-．∴x=13．即AMAB=13．2．解：将△ABP绕B点顺时针旋转60°得△BCP′，连结PP′，则△ABP≌△CBP′．∴AP=P′C，BP=BP′，∠APB=∠CP′B．∵∠PBP′=60°，∴△BPP′是等边三角形．∴PP′=BP，∠BPP′=60°=∠BP′P．∵∠APB：∠BPC：∠CAP=5：6：7，又∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠1=120°-60°=60°，∠2=100°-60°=40°，∠PCP′=180°-60°-40°=80°．由PA=P′C，PP′=PB，∴△PP′C是由PA、PB、PC组成的三角形．∴三内角之比为2：3：4．3．解：将△ABH绕A点旋转90°得△ADP，则△ABH≌△ADP．∴∠APD=∠AHB=90°，AH=AP．∵∠BAD=∠BCD=90°，∠HAP=90°．∴四边形AHCP是正方形．∵AH=1，∴S正方形AHCP=1=S四边形AHCD+S△ADP．S四边形ABCD=S四边形AHCD+S△ABH．又∵S△AOP =S△ABH．∴S四边形ABCD=S正方形AHCP=1．练习41．解：如图，以A为中心将△ACP绕A顺时针旋转60°，则C与B重合，P与P′重合，连结AP′，BP′，PP′则AP′=AP，BP′=CP，∠PAP′=60°．∴△APP′是等边三角形，PP′=3．△BPP′中，BP=4，PP′=3，BP′=CP=5．由32+42=52．∴△BPP′为直角三角形，∠BPP′=90°．∴∠BPA=150°．过B作BE⊥AP，交AP延长线于E．∵∠EPB=180°-150°=30°，在Rt△BEP中，BP=4，BE=2，EP=23，Rt△ABE中，BE=2，AE=23+3，AB2=22+（23+3）2=25+123．2．解：将△ABP绕B点旋转90°，得△CBP′，连结PP′，则△ABP≌△CBP′．∴PB=BP′=2，AP=P′C=1，∠APB=∠CP′B．在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴PP′=22，∠BP′P=45°．在△PP′C中，PC=3，P′C=1，PP′=22．有PC2=P′C2+P′P2，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°．∴∠APB=∠CP′B=∠BP′P+∠PP′C=135°．3．解：将△CDQ绕C点旋转90°，得△CBM，则△CDO≌△CBM，∠QCM=90°．∵∠D=90°，∠CBA=90°，∴P、B、M在一条直线上．∵QA+AP+QP=2，DQ+AQ+AP+BP=2，∴QP=DQ+BP．∵BM=DQ，PM=PB+BM，∴QP=PM．又CP=CP，CQ=CM．∴△CQP≌△CMP．∴∠QCP=∠PCM．又∠QCP+∠PCM=∠QCM=900∴∠PCQ=45°．练习51．解：把△ADF绕A点旋转到△ABD′的位置．∵∠D和∠ABC均为直角，∴D′、B、E三点在一条直线上，∵∠EAF=45°，∴∠D′AE=45°．在△AD′E和△AEF中，AD′=AF，AE=AE，∠D′AE=∠EAF，∴△AD′E≌△AFE．∴S△D`EF =2S△AD`E =S ABEFD=S正方形ABCD-S△EFC．∴S△EFC =S正方形ABCD-S ABEFD=S正方形ABCD-2S△AD`E =82-2×12×8×7=8．2．解：将△ADC绕D点旋转180°得△BDE．∵BD=CD．- 11 - ∴C 与B 重合，设A 落到E 处，显然A 、D 、E 共线．在△ABE 中，BE=AC=13，AB=5，AE=2AD=12． 则有132=122+52．∴△ABE 为直角三角形，∠BAE=90°． 在Rt △ABD 中，AB=5，AD=6，则有BD=2256 =61．∴BC=2BD=261．3．证明：将△ABD 绕A 点旋转∠BAC 的度数， 得△ACE ，连结DE ．由于AB=AC ． ∴B 与C 重合，则△ABD ≌△ACE ． ∵AD=AE ，∴∠1=∠2．∵∠AEC=∠ADB>∠ADC ．∴∠4>∠3，∴CE<DC ．∵BD=CE ，∴CD>BD ．。
教你如何应用全等三角形的旋转变换
全等三角形作为初中数学中的一个重要知识点，转变换是其中的一个重要应用。
旋转变换是指将一个图形围绕一个固定点进行旋转后得到另一个图形的变换。
在三角形的旋转变换中，我们常用的是以三角形某一个顶点为旋转中心，将整个三角形围绕该点旋转一定角度，再得到一个全等三角形。
本文将教大家如何应用全等三角形的旋转变换。
一、基本概念在进行旋转变换时，我们首先需要了解几个基本概念，这些概念将帮助我们更好地理解旋转变换。
1.旋转中心：旋转中心是指在旋转变换中被旋转的图形围绕的点。
在三角形旋转变换中，我们通常将三角形的某个顶点作为旋转中心。
2.旋转角度：旋转角度指的是图形围绕旋转中心顺时针或逆时针旋转的角度。
在三角形旋转变换中，我们通常使用角度制来表示旋转角度。
3.旋转方向：旋转方向分为顺时针和逆时针两种，根据具体问题来决定采用哪种旋转方向。
二、旋转变换的规律在进行旋转变换时，我们需要掌握一定的规律，这样才能更加准确地进行计算、解题。
1.旋转后对应的点与原点的距离相等在三角形的旋转变换中，旋转后的三角形中点的位置与原三角形中对应点的位置相同，且距离相等。
因此，我们可以通过计算原三角形中对应点与旋转三角形中对应点之间的距离来确定旋转角度。
2.旋转角度相等在三角形的旋转变换中，旋转角度相等，也就是说，如果我们将一个三角形绕不同的顶点旋转，保持其它条件不变，那么我们得到的三角形是全等的。
这个规律对于解决一些旋转变换问题非常有用。
三、应用全等三角形的旋转变换下面我们将通过一些例题来说明如何应用全等三角形的旋转变换。
例题1已知 AB=AC，P为三角形ABC内部一点，且∠CBP = 30°，∠BCP = 75°。
求∠APB 和∠APC 的度数值。
解析：我们可以通过旋转变换来求解该问题。
具体步骤如下：1.以点B为旋转中心，将△BCP绕B点逆时针旋转105°，得到△B'DP。
2.连接AD，可知△B'DA ≌△BCA 。
三角形旋转解题技巧初中
三角形旋转解题技巧初中篇一：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。
在初中数学中，三角形旋转通常用于解决角度问题和面积问题。
以下是一些初中三角形旋转的解题技巧:1. 了解三角形旋转的性质：三角形旋转后，其顶点的位置不会改变，而边的长度会发生变化。
同时，三角形的面积也可以通过旋转来变化。
2. 利用旋转角求解角度问题：在初中数学中，常常需要求解三角形中的某个角度。
可以利用三角形旋转的性质，将求解的问题转化为已知角度的问题，然后再通过旋转来解决。
3. 利用旋转来解决面积问题：在解决面积问题时，可以利用三角形旋转的性质，将原来的问题转化为面积相等的三角形，然后再通过旋转来解决。
4. 熟悉三角形旋转的基本公式：三角形旋转的基本公式为:旋转角度=原角度 - 旋转角度，旋转角度=旋转角度 + 原角度。
这些公式可以帮助更好地理解和解决三角形旋转的问题。
三角形旋转在初中数学中是一种常见的几何变换，可以帮助我们更好地理解和解决一些问题。
通过不断练习和积累，可以逐渐掌握三角形旋转的解题技巧，提高解题能力。
篇二：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。
在初中阶段，三角形旋转通常作为求解几何问题的一种技巧来介绍。
下面是一些常见的三角形旋转解题技巧:1. 了解三角形旋转的基本性质：三角形旋转是一个沿固定轴旋转的变换，可以保持不变的性质有面积、周长、对称中心、对称轴等;可以改变的性质有方向、位置、形状等。
2. 利用旋转变换求解几何问题：在初中阶段，常见的利用三角形旋转求解的几何问题有：求解对称轴、对称中心、重心等;将复杂的几何问题转化为简单的代数问题，从而实现化繁为简、化难为易的目的。
3. 掌握常见的旋转变换公式：在三角形旋转中，存在一些常用的旋转公式，如旋转角度、旋转角度与旋转中心的关系、旋转前后面积的变化等。
熟悉这些公式可以更好地理解和解决旋转问题。
4. 实践三角形旋转的技巧：在初中阶段，可以通过一些简单的例子来实践三角形旋转的技巧，如求解三角形的重心、对称中心、对称轴等。
九年级数学下册《旋转变换》优秀教学案例
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结旋转变换的定义、性质、表示方法和应用。
-强调旋转变换在实际问题中的应用，提高学生的几何解题能力。
2.对学生在课堂上的表现给予积极评价，鼓励他们在今后的学习中继续努力。
（五）作业小结
1.布置课后作业，巩固旋转变换的知识。
-基础题：运用旋转变换解决简单几何问题。
-学生能够将旋转变换应用于解决平面几何问题，如求旋转后图形的面积、周长等。
-学生掌握旋转变换在坐标平面中的应用，能够解决旋转相关的坐标问题。
3.掌握旋转变换与其他几何变换（如平移、轴对称）的综合运用，培养几何变换的综合运用能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、探究旋转变换的性质，培养学生的空间想象能力和几何直观。
3.培养学生运用数学思维解决问题的能力，提高数学素养。
-教学过程中，教师引导学生运用数学语言描述旋转变换，培养数学表达和逻辑思维能力。
-学生通过解决旋转变换的实际问题，体会数学在实际生活中的应用，提高数学素养。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发他们的学习积极性。
-教师通过生动的教学情境，让学生感受旋转变换在生活中的应用，激发学习兴趣。
-提高题：结合其他几何变换，解决综合几何问题。
2.鼓励学生利用课余时间观察生活中的旋转变换现象，将数学知识融入日常生活。
五、案例亮点
1.生活情境导入，激发学习兴趣
本案例以生活中的旋转变换现象为切入点，通过多媒体展示和实际操作，让学生直观感受到旋转变换在实际生活中的广泛应用。这种导入方式既激发了学生的学习兴趣，又使他们能够将抽象的数学知识与社会生活紧密联系在一起，增强了学习动机。
四、教学内容与过程
利用“旋转变换”解决三角形中的最值问题
利⽤“旋转变换”解决三⾓形中的最值问题本⽂题⽬摘⾃'初中数学动点最值思路⽅法⼤汇总'本系列⽂章摘⾃“初中数学动点最值思路⽅法⼤汇总”PDF书，该书是《初中数学典型题思路分析》书的新增赠送内容之⼀！买全套典型题思路分析书赠送内容达300G.特⾊资料如下：1、《初中数学解题思路⽅法⼤汇总》2、《初中数学动点问题思路⽅法⼤汇总》3、《初中数学典型超级易错题》4、《初中⼏何典型解题模型》以上pdf⽂件均包含典型例题分析.qq群1：453495932（已满），qq群2：994823340群⽂件分享过该系列⽂章⽂档！点击⽂末左下⾓”阅读原⽂“进⼊微店查看！所谓“动点问题”是指图形中有⼀个或多个动点，在线段、射线或者弧线上运动的⼀类开放性题⽬，⽽解决这类题的关键是动中取静，让动点定下来，灵活地运⽤相关数学知识解决问题．在变化中找到不变的性质是解决数“动点”问题的基本思路．数学压轴题正逐步转向数形结合、动态⼏何、动⼿操作、实验探究等⽅向，加强了对⼏何图形运动变化的考核，从变化的⾓度来研究三⾓形、四边形、函数图象等，通过“对称”“翻折”“平移”“旋转”等研究⼿段和⽅法来探究图形性质及变化．让学⽣经历探索的过程，培养学⽣分析问题、解决问题的能⼒，把运动观点、⽅程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想有机地结合起来．利⽤“三点共线”解决最值问题典型例题未完，更多内容见《初中数学典型题思路分析》的附赠资料《初中数学动点最值思路⽅法⼤汇总》.利⽤“旋转变换”解决最值问题【典型例题1】难度★★【思路分析】构造包含所求线段的三⾓形，通过三边关系求解；解直⾓三⾓形求出AB 、BC ，再求出CD ，连接CG ，根据直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半求出CG ，然后根据三⾓形的任意两边之和⼤于第三边判断出DC 有最⼤值再代⼈数据进⾏计算即可得【答案解析】解：待续...《初中数学典型题思路分析》书，全套7册共14本书（七上—九下+综合）；每册分解析版和原题版；有和教材同步的多个版本可选。
旋转变换解题的高效技巧与策略
旋转变换解题的高效技巧与策略在解决数学或几何问题时，旋转变换是一种常用且有效的技巧。
通过旋转图形或坐标系，我们可以简化问题，找到更加高效的解决方案。
本文将介绍使用旋转变换解题的一些技巧与策略，并通过一些实例来加深理解。
首先，让我们来了解旋转变换的基本原理。
旋转变换是将图形或坐标系绕某个中心点旋转一定角度的操作。
它可以改变图形的朝向、位置和形状，使问题更易于理解和解决。
一、利用旋转变换简化图形问题当我们面对一个复杂的图形问题时，可以尝试通过旋转变换将其简化。
以下是一个实例：问题：一个正方形ABCD，边长为2，要证明两条对角线相等。
解决方案：我们可以通过旋转变换将问题简化。
将正方形绕其中心点O逆时针旋转90度，得到正方形A'B'C'D'。
由于旋转不改变长度和角度，故正方形A'B'C'D'的边长也为2，且AB'与AD'相交于点E。
接下来，我们可以通过证明三角形ABE与三角形ADE全等来得到结论。
因为旋转变换不改变形状，所以两个相等的角旋转后仍然相等。
因此，我们可以得出结论：正方形ABCD的两条对角线相等。
通过利用旋转变换简化问题，我们可以更清晰地理解并解决问题。
二、利用旋转变换求解几何问题旋转变换还可以用于解决一些几何问题。
以下是一个实例：问题：一个等边三角形ABC，要证明角度BAC的大小。
解决方案：我们可以通过旋转变换求解。
将等边三角形ABC绕顶点A逆时针旋转60度，得到等边三角形ABA'。
由于旋转不改变角度大小，我们可以得知角BAA'的大小为60度。
又因为等边三角形ABA'的三条边长度相等，所以角BAA'、角BAC和角CAC'也相等。
通过旋转变换，我们可以得出结论：角BAC的大小为60度。
三、旋转变换在坐标系中的应用除了图形问题和几何问题，旋转变换还可以在坐标系中得到应用。
以下是一个实例：问题：平面上有一条线段AB，坐标分别为A(2, 4)和B(6, 8)，要求将线段绕原点顺时针旋转45度后的坐标。
利用图形的旋转变换解题举例
利用图形的旋转变换解题举例这一轮课程改革,对几何作了较大幅度的调整,印象较深之一是加强了"几何变换"的内容,即从变换的角度去认识传统几何中的证题术。
初中几何涉及的变换主要有平移、对称和旋转,本文从"旋转"这一角度举些例子,供大家参考。
我们知道,图形的旋转变换不改变图形的形状、大小,只改变图形的位置,故解题时可充分利用图形的旋转变换的这一特点,把图形位置进行改变,从而达到优化图形结构,进一步整合图形〔题设〕信息的目的,使较为复杂的问题得以顺利求解。
例1、如图〔1〕分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆,若正方形的边长为 ,求阴影部分的面积。
解:连AC、BD如右图,则绕AD中点将图中②逆时针旋转到图中③,将图中①绕AB中点顺时针方向旋转到图中④,则原图中阴影部分的面积就和△DBC的面积相等,所以图中阴影部分的面积=S⊿DCB = S 正方形ABCD= 。
这里我们用旋转变换的方法改变了图中①和②的位置,从而顺利地完成了计算。
例2、如图⑵所示,在⊿ABC中,AB=AC,∠BAC= ,D是BC上任一点,试说明。
证法一(非旋转法):过A点作AE⊥BC于E,如图⑶,则容易证明AE=BE=EC,又BD=BE-DE,DC=CE+DE,所以 , ,所以 = + = ,而在直角三角形ADE中,存在 ,所以 ,这是传统的证明方法。
本题考虑到BD、DC、AD三线段分散在两个三角形中,而且构成平方和的条件不明显,若利用旋转变换,将BD、DC放到一个三角形中,若这个三角形是直角三角形,则创造就更能接近所证的目标了.证法二(旋转法): 将△ADC绕A点顺时针方向旋转到△AEB,如图⑷, 连DE, 易知△ADE、△DBE均为直角三角形,且AE=AD,BE=DC, 所以在Rt△EBD中有 , 在Rt△AED中有 ,所以。
例3、如图⑸所示,P为正方形内一点,且PA=1,BP=2,PC=3,求∠APB的大小解: 如图(6),将⊿BPC绕B点逆时针旋转到△BEA, 连EP易知∠PBE= 且AE=PC=3 BE=BP=2,在Rt⊿BEP中, ,且∠EPB= ,在⊿AEP中,又,所以△APE是直角三角形,即∠APE= ,∠APB=∠APE+∠EPB= + = ,即∠APB为。
初二学而思数学旋转在解几何题中的九种常用技巧
初二学而思数学旋转在解几何题中的九种常用技巧摘要：1.旋转的基本概念和作用2.九种常用旋转技巧概述3.旋转在解几何题中的应用实例4.总结与建议正文：随着年龄的增长和学业的深入，初二年级的学生已开始接触几何知识。
在学习过程中，旋转这一概念的应用越来越重要。
本文将为大家介绍初二学而思数学中，旋转在解几何题中的九种常用技巧，帮助大家在解题过程中事半功倍。
一、旋转的基本概念和作用旋转是指在平面内，将一个图形围绕某个点或轴进行转动。
旋转后的图形与原图形相似，但位置和方向发生了变化。
在几何题中，合理运用旋转可以简化问题，化繁为简。
二、九种常用旋转技巧概述1.旋转对称：将图形围绕某一点旋转一定角度，得到与原图形关于旋转中心对称的图形。
2.轴对称：将图形围绕某一直线轴旋转180度，得到与原图形关于轴对称的图形。
3.中心对称：将图形围绕某一点旋转180度，得到与原图形关于中心对称的图形。
4.旋转变换：将图形围绕某一点旋转一定角度，用于转化图形的形状和位置。
5.相似变换：将图形围绕某一点旋转一定角度，使得图形的形状相似，但大小和位置发生变化。
6.垂直平分线：将图形的某一边或线段旋转180度，得到与原图形垂直且平分的线段。
7.角平分线：将图形的某个角旋转180度，得到与原角平分的角。
8.平行线变换：将图形中的一条直线旋转一定角度，使得旋转后的直线与另一条直线平行。
9.切线变换：将图形的某一点作为旋转中心，使得旋转后的图形切线与原图形的切线重合。
三、旋转在解几何题中的应用实例1.题目：已知矩形ABCD，求证AB=CD。
解题思路：将矩形ABCD围绕对角线AC旋转180度，得到平行四边形ABCD"。
由于旋转后的平行四边形与原矩形相似，且对应边相等，故可证明AB=CD。
2.题目：已知等腰三角形ABC，求证∠ACB=90°。
解题思路：将等腰三角形ABC围绕顶点A旋转180度，得到等腰三角形ABC"。
圆锥曲线解题技巧与方法综合如何通过平移与旋转变换简化解析几何问题
圆锥曲线解题技巧与方法综合如何通过平移与旋转变换简化解析几何问题解析几何是数学中的一个重要分支，它通过运用几何图形和代数方法解决各种问题。
而在解析几何中，圆锥曲线是一个特别重要的概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在解析几何问题中，我们可以运用平移与旋转变换的方法，来简化解答问题的过程。
本文将介绍圆锥曲线解题技巧与方法，并探讨如何通过平移与旋转变换来简化解析几何问题。
一、椭圆的解析几何问题对于椭圆的解析几何问题，我们可以运用平移与旋转变换的方法来简化解答问题的过程。
首先，我们将椭圆的中心平移到坐标原点上，这样可以将椭圆的方程形式简化为标准方程。
对于椭圆的标准方程，可以通过旋转变换来使其长轴与坐标轴重合。
通过变换后的方程，我们可以更加方便地求解椭圆的焦点、顶点、离心率等重要参数。
二、双曲线的解析几何问题对于双曲线的解析几何问题，同样可以通过平移与旋转变换来简化解答问题的过程。
首先，我们可以将双曲线的中心平移到坐标原点上，使其方程形式变为标准方程。
通过旋转变换，我们可以将双曲线的方程转化为标准方程，使其对称轴与坐标轴重合。
这样，我们就可以更方便地求解双曲线的焦点、渐近线等重要参数。
三、抛物线的解析几何问题对于抛物线的解析几何问题，同样可以利用平移与旋转变换来简化解答问题的过程。
将抛物线的焦点平移到坐标原点上，将其方程形式转化为标准方程，从而更便捷地求解抛物线的顶点、焦点、直径等重要参数。
通过旋转变换，使抛物线的方程转化为标准方程，使其对称轴与坐标轴重合，进一步简化计算过程。
四、通过平移与旋转变换简化解析几何问题的优势通过平移与旋转变换来简化解析几何问题，可以将图形的方程形式转化为标准方程，从而更方便地计算图形的重要参数。
这种方法的优势在于能够减少问题的复杂度，简化计算过程，提高解题的效率。
通过合理运用平移与旋转变换，可以将解析几何问题转变为更加简单直观的形式，使问题更易于理解和解答。
总结：对于解析几何问题中的圆锥曲线，我们可以运用平移与旋转变换的方法来简化解答问题的过程。
旋转在解题中的妙用
一
１ 如图 ５０是等边￣ＡＢ ． ， ￣ Ｃ内
点 ， 知 Ａ０ 已 Ｂ一 １ ５， Ｂ Ｃ １。 ０
图４
＝１５， ２ 。求以 Ｏ Ｏ ０ ２ Ａ、 Ｂ、 （为边构成的三角形 的各角的度
数．
二 、 求 角的 度 数上 在
【 ２ 如 图 ２ 正方形 ＡＢ Ｄ 中有一 点 Ｐ， Ａ＝ 例 】 ， Ｃ Ｐ ａＰ ， Ｂ＝２ ， Ｃ ａ 求 Ａ Ｂ的度数． ａ Ｐ ＝３ ， Ｐ 分 析 ： 知 条 件 Ｐ Ｐ Ｐ 的 已 Ａ、 Ｂ、 Ｃ 长是 边 ， 所求 的结论 是角 ， 由图形不 可 直 接得 出结 论 ． 果 旋 转 图 中 的 三 如 角形 ， 改变 图形 的位 置 ， 利用 特殊 图 形， 寻找解题思路 ． 可以把△ＡＢ Ｐ绕 着点 Ｂ按顺 时 针方向旋转 ９ 。得 ＡＣ Ｑ， Ｏ， Ｂ 连接 Ｐ Ｑ， 则△ Ｐ Ｑ是 等 腰 直角 三 角 形 ， Ｂ
线 段 Ｃ 的 中点 ， 证 ： Ｂ ＝２ Ｄ Ｅ Ｅ 求 ＡＦ Ａ ．
Ｃ
【 ３ 如 图 ３ 尸是等边＆Ａ Ｃ内一点 ， Ａ一２ 例 】 ， Ｂ Ｐ ，
图７
图８
Ｐ Ｂ＝２／ ， Ｃ ， ， Ｐ ＝４求△ＡＢ ５ ｃ的边长．
分析 ： 已知条 件 中三 条线段 Ｐ Ｐ Ｐ Ａ、 Ｂ、 Ｃ不 是一 个 三角形的三条边 ， 条件不好直接用 ， 如果把△Ｂ Ｐ旋转 ， Ｃ
中学 教 学 参考
教学 时空
旋 转 在 解 题 中 的 妙 用
江 苏南京 市九龙 中学（ １ ０ ５ 朱 定兰 ２０３ ）
图形与变换是《 数学课程标 准》 里的规定 内容 ， 图形 的变换是平 面几何的重要组成部 分 ， 种版本 的新教材 各 对该部分知识都给予了足够的关注． “ 图形的平移、何变换 中的基本 变换 ， 旋转 的两个基本 要素是： 旋转中心和旋转角． 中心对称是旋转的特殊情况． 旋转在解题中的作用是不可代替 的 ， 常常能巧妙地 解决 问题 ， 它也是初 中数学 的难 点之一 ， 文举 例说 但 本 明旋转在解题中的妙用．
“旋转变换在等线段图形中的应用”教学实录与评析
１ ．复习旧知 ，引入新知 师 ：首先请 大家先和我 一起 回忆一下 ，到 目前为 止我们学 过的几种 图形变换 ？请看大屏幕．
（ 电脑 展 示 出 ３种 动 态 图形 变换 的 图案 如 图 １所 示． ）
Ａ Ｄ
、
Ｅｆ Ｂ ｃ
（） ２
图 １
（） ３
师 ：现在要想证 明ＡＢ＝Ｂ Ｃ，只需解决什么问题？
生 ：证 明 Ｂ Ｃ＝Ｃ 即可 ． Ｄ
师 ：我们该 如何证 明呢？看看我们 刚才所讲 的内容能不 能
给你点启发呢？ （ 师指 向大屏幕． 教 ）
０
【 析】 评 对例题 的变式训练 可增加 学生思 维的深度和广 度 ， 对新 问题 的解决过程 也是对新 知识的获得和 巩 固过程 ，渗透 数
的 好 奇 心 已被 调 动 起 来． ）
如 图 ２ △Ｏ ， ＡＢ绕 点 ０ 逆 时 针 旋 转 得 到 △Ｏ Ｄ，在旋 转 过 程 中 ： Ｃ （ ） 转 中心 是 — — ，旋 转 角 是 １旋
— —
【 评析 】 学生在 尝试 中不 断产 生思维碰撞 ，大大激发 了学生
的探 究欲 望 ，为 学 生 对旋 转 变换 的深 入 理 解埋 下 了伏 笔．
是 改 变 了三 角 形 的位 置 ，并 没 有 改 变
Ａ 图４ Ｃ
它 的大小 ；也就是说 旋转前后 的两个 三角形是全 等的 ，而全 等三角形 的对应 边和对应 角相等 ，所 以
师 ：正方 形是一 个具 有等 线段 的 图形 ，Ａ 与 ＡＢ不 但相 我们可 以利 用旋转变换这 种手段迁移 三角形的边 和角 ，进而 去 Ｄ 等 ，而且它们还有 一个 公共 的端点 ．这个端点就是 旋转 中心 ， 解决一些图形 内部运用常规手段 不好解决 的问题．下面我们就来 我们把 正方形这样 的图形简称 为具有等线段共端点的图形 ． 那么 亲身感受一下 ：大家来看这样一个问题 ． ３ 例题示范 ，探究新知 ． 除 了正方 形 以外 ，还 有 哪些 图形 也含 有相 等 的线 段 和公共 的 端点 呢？ （ 学生纷纷表达 自己的想法，学习热情高涨． ） （ 教师在 黑板上板书例题 ． ）
三角形旋转解题技巧初中
三角形旋转解题技巧初中引言三角形是初中数学中重要的几何图形之一，而旋转是一种常见的几何变换。
本文将介绍如何运用旋转解决与三角形相关的问题。
我们将从基本概念开始，逐步深入探讨旋转解题技巧，并通过实例演示其应用。
1. 旋转的基本概念1.1 什么是旋转？旋转是指以某个固定点为中心，按照一定的角度和方向，将图形或物体绕着该点进行移动的操作。
在数学中，我们通常以坐标平面上的原点为中心进行旋转操作。
1.2 旋转角度在二维平面上，我们使用弧度或度数来表示旋转角度。
一个完整的圆周对应360°或2π弧度。
在初中数学中，我们通常使用度数来表示旋转角度。
1.3 顺时针和逆时针顺时针方向是指按照钟表走时方向进行旋转；逆时针方向则是相反方向。
在解题过程中，需要根据具体情况确定顺时针或逆时针方向。
2. 三角形的旋转性质2.1 三角形的旋转不改变其形状和大小在二维平面上，三角形绕着一个点进行旋转后，仍然是一个三角形，并且其形状和大小保持不变。
这一性质是我们运用旋转解决三角形问题的基础。
2.2 顶点旋转当我们将一个三角形绕着顶点进行旋转时，可以通过观察发现以下性质：•旋转前后的两条边长度不变；•旋转前后的两条边夹角度数不变。
这些性质对于解题非常有用，可以帮助我们确定未知边长或夹角度数。
2.3 边中点旋转当我们将一个三角形绕着边的中点进行旋转时，可以通过观察发现以下性质：•旋转前后的两条边长度不变；•旋转前后的两条边夹角度数相等；•边中点连线在旋转前后保持不变。
这些性质同样对于解题非常有用，可以帮助我们确定未知边长或夹角度数，并且可以构造出一些特殊图形来简化问题。
3. 旋转解题技巧3.1 求未知边长当我们已知一个三角形的两条边和它们的夹角度数，需要求解第三条边长时，旋转可以帮助我们简化问题。
以顶点旋转为例，假设三角形ABC中，已知边AB和AC的长度分别为a和b，夹角BAC的度数为θ°。
我们需要求解BC的长度。
轴对称及中心对称变换平移及旋转变换
轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换变换是极为重要的数学思维方法，利用几何变换解题在数学竞赛中经常用到，本文介绍几何变换中的基本变换：轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换。
一、轴对称变换把一个图形F沿着一直线l折过来，如果它能够与另一个图形F'重合，我们就说图形F和F'关于这条直线l对称。
两个图形中的对应点叫做关于这条直线l的对称点，这条直线l叫做对称轴，如右图。
轴对称图形有以下两条性质：1.对应点的连线被对称轴垂直平分；2.对应点到对称轴上任一点的距离相等。
例1 凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：BC+AD＞AB+CD。
分析：题中条件比较分散，故考虑“通过反射使条件相对集中”，注意到AC⊥BD，于是以BD(AC)为对称轴，将BC(AD)反射到BC'(AD')，把有关线段集中到△ABO内，利用三角形中两边之和大于第三边易证得结果。
证明：∵AC⊥BD，且OA＞OC，OB＞OD，于是以BD为对称轴，作C点关于直线BD为对称点C'，以AC为对称轴作D点关于AC 的对称点D'。
连结BC'，AD'相交于E点，则BC= BC'，AD=AD'，CD=C'D'。
∴ BE＋AE＞AB ①EC'＋ED'＞C'D' ②①＋②，得BC'＋AD'＞AB＋C'D'。
∴BC＋AD＞AB+CD。
注：(1)本题的结论对于凹四边形仍然成立；(2)还可将四边形推广成2n边形，也有类似结论。
其证明思路也完全相同，读者试自证。
二、中心对称变换如果平面上使任意一对对应点A，A'的连线段都通过一个点O，且被这一点所平分，则这个变换叫做中心对称变换(亦称点反射或点对称)，点O叫对称中心，点A和A'叫做关于对称中心的对称点，如果一个图形F在中心对称变换下保持不变(还是自身)，则这个图形F叫做中心对称图形。
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旋转变换在解题中的应用
道真县旧城中学：郑周宇
旋转变换就是将图形中某一部分绕某点旋转适当角度的一种变形模式，是从运动的角度来理解几何图形的一种思维方法，该方法往往能够使问题简化，达到事半功倍的成效。
一、 求面积
例1：如图1，A 为⊙o 直径， AC = CD
= DB ，若AB=a ，求阴影面积。
分析：将ABM 绕点旋转180 ，AMC
就与DMO 重合，因此，阴影部分面 积就与扇形COD 的面积相等。
图1
解：阴影S ACD=扇形S COD= 60360．π ．2
12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2124a π 例2．如图2，已知⊙o 半径R ，求阴影面积。
图2
分析：将阴影沿图形OA 、OB 、OC 剪开并绕A 、B 、C 点旋转60 转换成右图则问题就容易多了。
解：阴影S =S ⊙O -正六边形S =2R π - 6
⨯122R R ⨯
=2R π⎛ ⎝
⎭ 二、 求角度 例3 ：已知：如图3，ABD 和ACE CD
相交于O ，求BOC ∠
的度数 分析：将ADC 绕A 点逆时针旋转60 就与
ABE 重合，这时DC 边与BE 重合，所以：
DOB ∠=60 ，因此BOC ∠=120 。
图3 例4：设P 为等边三角形ABC 外一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求APB ∠的度数。
分析：从3 ，4 ，5 长的线段发现，它们
首尾相接可组成一个三角形。
将APC 绕A
点旋转60 ，如图4点P 落在M 点，PC 与 MB 重合，PM=PA ，所以PAM 为直角三 图4 角形，PAM 为等边三角上形。
故APB ∠=90 -60 =30
三、 巧用旋转变换证明
例5：已知：如图5，ABC 和ADE 是正三角形，B 、C 、D 在同一直线上：
求证：CE=AC+CD
分析：将ACE 绕A 点旋转60 就与ABD
重合了，因此EC 与BD 相等，即得 图5 CE=BC+CD ，故得出结论。
例6：ABC 为等腰三角形，如图6，90A ∠= ，AB=AC ，D 为斜
边上任意一点，
求证：2222BD DC AD +=
分析：将ABD 绕A 点旋转90 后，
ABD 就成了ABC 的位置，因此 图6
1245∠=∠= ，所以DEC 为直角三角形，问题就容易了。
证明：将ABD 绕A 点旋转90 ，ADE 为等腰三角形；
222DE AD =
又 1245∠=∠=
∴DEC 为直角三角形式22222DE CD EC BD CD =+=+ ∴2222BD DC AD +=
四、巧用旋转求线段长
例7：已知，如图7在RT ABC 中，90C ∠= ，AB=2，一动点D
分析：要设法找到与ABC D
的位置，则利用旋转变换构造与D 相关，又与ABC 边长相
解：设D 为动点任位置，将ADC
绕C 点旋转60 ，则CDE 为正
三角形。
DC=DE ，又AD=ME ，
150BCM = ∴ AD+DC+DB=ME+ED+DB 图7
又 ME+ED+DB ≥MB
∴D点应在MB上，设在D处，
由题意可知，
中，
MCB
2222cos150
=+-
MB MC BC MC BC
设AC=X ，MC=X ，
∴222cos150
X
=
3
=解得1X=1 ，2X
，BC=1
当X=1时，
∴RT ABC
两直角边长为1
由上可知，旋转变换在几何解题中，有其独特之处，熟练地掌握了它，能将问题巧妙地解决。