2019届吉林省长春市普通高中高三一模考试试题卷数学(理科)试题Word版含答案

2019届吉林省长春市普通高中高三一模考试试题卷

数学（理科）试题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设i 为虚数单位，则()()122i i -+-=（ ） A ．5i B ．5i - C ．5 D ．-5 2．集合{},,a b c 的子集的个数为（ ） A ．4 B ．7 C ．8 D ．16

3．右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y 关于测试序号x 的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论： ①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大；

③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升． 其中正确结论的个数为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

4．等差数列{}n a 中，已知611||||a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9

5．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（ ）

A ．95，94

B ．92，86

C ．99，86

D ．95，91

6．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y =上，则角α的取值集合是

（ ）

A ．{|2,}3

k k Z π

ααπ=-∈ B ．2{|2,}3

k k Z π

ααπ=+

∈ C ．2{|,}3k k Z πααπ=-

∈ D ．{|,}3

k k Z π

ααπ=-∈ 7．已知0,0x y >>，且4x y xy +=，则x y +的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．12 D ．16

8．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）

A ．4立方丈

B ．5立方丈

C ． 6立方丈

D ．12立方丈

9．已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O ，半径为R 的球面上，6,AB BC ==且四棱锥O ABCD -

的体积为R 等于（ ）

A ．4

B ． D 10．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）

A ．求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和

B ．求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和

C ．求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和

D ．求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和

11．已知O 为坐标原点，设12,F F 分别是双曲线2

2

1x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线上任一点，过点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则||OH =（ ） A ．1 B ．2 C ． 4 D ．

12

12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，当[0,

]2

x π

∈时，(

)f x =()()()1g x x f x π=--在区间3[,3]2

π

π-

上所有零点之和为（ ） A ．π B ．2π C ． 3π D ．4π 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知角,αβ满足2

2

π

π

αβ-

<-<

，0αβπ<+<，则3αβ-的取值范围是 ．

14．已知平面内三个不共线向量,,a b c 两两夹角相等，且||||1a b ==，||3c =，则||a b c ++= ．

15．在ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1

(s

i n )c o s s i n c o s 2

b C A A C

-=，

且a =ABC 面积的最大值为 ．

16．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为 ．

三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．

17．已知数列{}n a 的前n 项和1

22n n S n +=+-．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设2log 1)n n b a =-（，求证：122334

1

1111

1n n b b b b b b b b +++++

<． 18．长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：

（Ⅰ）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数．

（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[]0,1000内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000,3000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X 的分布列与数学期望． 19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．

（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；

（Ⅱ）设1,60PA ABC =∠=，三棱锥E ACD -的体积为

8

，求二面角D AE C --的余弦值．

20．已知椭圆C 的两个焦点为()()121

,0,1,0F F -，且经过点E ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（点A 位于x 轴上方），若11AF F B λ=，且23λ≤<，求直线l 的斜率k 的取值范围．

21．已知函数()x

f x e =，()()ln

g x x a b =++．

（Ⅰ）若函数()f x 与()g x 的图像在点()0,1处有相同的切线，求,a b 的值； （Ⅱ）当0b =时，()()0f x g x ->恒成立，求整数a 的最大值；

（Ⅲ）证明：23

ln 2(ln 3ln 2)(ln 4ln 3)+-+-[ln(1)ln ]1

n e

n n e +

++-<

-． （二）选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为()1,2，点M 的极坐标为(3,

)2

π，若直线l 过点P ，且倾斜角为

6

π

，圆C 以M 圆心，3为半径． （Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求||||PA PB ⋅．