计算方法实验报告

1、用列主元Gauss 消去法解线性方程组Ax b =，其中：

810 2 31-1 3.712 4.623,2-2 1.072 5.6433A b -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

。 1）算法组织

1． For k=1,2,…,n -1 1.1 找满足ik k

i k

max k ααμ≥=的下标k μ

1.2 If 0=k k μα then 输出错误信息；stop 1.3 For

j=1,2,…n

1.3.1 j kj k μαα⇔

1.4 k k μββ⇔

1.5 For i=k+1,k+2,…n

1.5.1 ik kk ik /ααα⇒ 1.5.2 For j=k+1,k+2,…,n

1.5.

2.1

ik kj ik ij αααα⇒-

1.5.3 i ik i βαβ⇒-

2.

[回代过程]

2.1 n nn n x /⇒αβ

2.2 For k=n-1,n-2,…,1

2.2.1 k kk n

k j j ki k x /x ⇒⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

-

∑+=ααβ1 2）计算结果与结果分析

列主元Gauss 消去法解线性方程组，在消去过程中，适当交换方程顺序，使绝对值最大的一个换到（k,k ）位置，保证了消去过程的

顺利进行及计算解的精确度。

2、矩阵T LDL 分解与Cholesky 分解

求矩阵()2020ij A α⨯=的T LDL 分解与Cholesky 分解，其中 ,min(,),ij i i j

i j i j

α=⎧=⎨

≠⎩ 。

1）算法组织 1.1） 矩阵T LDL 分解

本算法计算分解式T A LDL =，A 只需给出下三角部分的元，L 存于A 的下三角部分，D 存放于A 的对角线上。

1． For k=1,2,…,n

1.1 For p=1,2,…,k-1

1.1.1

p

kp pp r ⇒αα

1.2 ∑-=⇒∙-1

1

k p kk

p kp kk r ααα

1.3 If

=kk α then 输出错误信息；stop

else

1.4

For i=k+1,k+2,…,n

ik kk k p p ip ik /r αααα⇒⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛-∑-=11

1.2） Cholesky 分解

本算法n 阶对称正定矩阵A ，计算Cholesky 矩阵G ，其元存放于A 矩阵的（i ，k ）位置上。

1. ()1121

11αα⇒

2． For i=2,3,…,n

2.1 For j=1,2,…,i-1

ij jj j p jp ip ij /ααααα⇒⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛-∑-=1

1

2.2

ii

i p ip ii ααα⇒⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∑-=2

1

1

12

2）计算结果与结果分析

当A对称时，A=LDL T；进一步，如果A还是正定矩阵，则A=GG T,G 为Cholesky三角阵。

3、求三对角方程组Tx f

的解，其中：

11000121000

13100014100015T ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，125(,,

,)T x x x x =，(3,8,15,24,29)T f =。

1）算法组织

本算法解三对角线性方程组，系数存于数组a 、b 和c 中，d 是右端向量。

1.

11μ⇒b ，11y d ⇒

2. For k=2,3,…,n 2.1 k

k k l /a ⇒-1μ

2.2 k

k k k c l b μ⇒∙--1 2.3 k

k k k y y l d ⇒∙--1

3.

n

n n x /y ⇒μ

4. For k=n-1,n-2,…,1 4.1

()k

k

k k k x /x c y ⇒∙-+μ1

2）计算结果与结果分析

矩阵的LU 分解同未选主元的Gauss 消去法完全等价，故一般情况下，算法TSS 不一定能顺利进行，或会产生大的误差。但本题中的矩阵是严格对角占优的，故不必进行行与列的交换，就能保证各步的主元就是绝对值最大的元。

4、用Jacobi 和Gauss Seidel -方法解线性方程组

1234 0.78 -0.02 -0.12 -0.140.76-0.02 0.86 -0.04 0.060.08-0.12 -0.04 -0.72 -0.08 1.12-0.14 0.06 -0.08 0.740.68x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭

1）算法组织 1.1） Jacobi 迭代

此种迭代方式的数学依据是：()

ii n i j j j ij i k i x x ααβ/10)

(⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=∑≠=

本算法用Jacobi 迭代求方程组的解，初始向量必须赋予()0x 中，结果在x 中。

1.

For

k=1,2,…, max N 1.1 For

i=1,2,…,n

1.1.1 ()

i ii n i j j j ij i x x ⇒⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-∑≠=ααβ/10

1.2 ()e x x max i i i

⇒-0

1.3 If ε

1.4 For

i=1,2,…,n

1.4.1 ()0i i x x ⇒

2.

输出错误信息：“不收敛”；stop

1.2） Gauss Seidel -迭代

本算法用Gauss-Seidel 迭代解方程组，要求给出的初始向量赋予x 中，结果也在x 中。

1. For i=1,2,…,n

1.1 ()0i i x x ⇒

2.

For

k=1,2,…,max N