微积分复习提纲

高等数学复习提纲

基本内容：

1、函数基本概念及性质。

基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

注：分段函数一般不是初等函数。

特例：2,0

,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩

为初等函数。

2、极限定义：n lim n a a →∞

=⇔对任给0ε>，存在,N 当n N >时，有||n a a ε-<.

（等价定义）

3、无穷小的定义与性质。

1）若函数f(x)当x x 0→(或∞→x )时的极限为零,则称f(x)当

x x 0→(或∞→x )时为无穷小量。

注：（1）无穷小量是个变量而不是个很小的数.

（2）零是常数中唯一的无穷小量。

2）无穷小的性质：有限个无穷小的代数和是无穷小、有界

函数与无穷小的乘积是无穷小、常数与无穷小的乘积是无穷小、有限个无穷小的乘积也是无穷小。

3）函数极限与无穷小的关系：()

()A x f x

x x =∞→→lim 0

的充要条件是

()α

+=A x f ，其中A 为常数，α是当x x 0→(或∞→x )时的无

穷小。 4、无穷大的定义。

若当x x 0→(或∞→x )时,f(x)的绝对值无限增大,则称函数f(x)当

x x 0→(或∞→x )时为无穷

大量。

注：无穷大是变量,不是一个绝对值很大的数。

5、无穷大与无穷小互为倒数。

6、极限的运算法则。

0型：1）用0

sin lim

1x x

x →=。2）因式分解法23

39lim x x x →--。3）分子分

母有理化法1

13

1

lim --→x x x 。

∞

∞

型： 分子分母同除以一个非零因式,

如：22321

23

lim x x x x x →∞+--+。

7、两个重要极限。 1）0

sin lim

1x x

x

→= 2）e x x

x =⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞

→11lim 以及()e x x

x =+→1lim

10

。

会用重要极限求函数极限。

8、求两个无穷小之比极限时，分子、分母都可用等价无穷小代

替。如：x

x

x 3tan 2sin lim 0→、2336lim sin 35x

x x x →∞-+

注：等价无穷小只能在乘积和商中进行，不能在加减运算中代换

9、连续的两种定义。

函数()x f 在点x 0处连续，必须同时满足三个条件： 1) ()x f 在点x 0处有定义； 2）)(lim 0

x f x x →

存在 ；

3）极限值等于函数值，即

()x f x f x x 0

)(lim 0

=→

。

例：已知函数1

(12sin ),0(),

0x x x f x a x ⎧

⎪

-≠=⎨⎪=⎩ ，在0x =处连续，则

a = .

10、函数()

x f y =在点x 0连续的充分必要条件是：

()()()x x x f f f 00000=+=-（既左连续又右连续）。

11、函数在点x 0处连续与该点处极限的关系：

函数在点x 0处连续则在该点处必有极限，但函数在点x 0

处有极限并不一定在该点连续。 12、如何求连续函数的极限？

连续函数极限必存在，且极限值等于函数值，即

)()(0

lim 0

x f x f x x =→

13、对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两

侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进

行讨论。

如：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<--=1,2

11,1

122x x x x g x x

14、如何求连续区间？

基本初等函数在其定义域内是连续的； 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

15、间断点的定义。 16、间断点的类型。

（一）第一类间断点

1、可去间断点

（1）()x f 在x 0处无定义，但)(lim 0

x f x x →

存在。

（2）()x f 在x 0处有定义，()x f 在x 0处左右极限存在且相等，但是)()(0lim 0

x f x f x x ≠

→

。

2、跳跃间断点：()x f 在点x 0处左右极限都存在，但不相等，

即()()x f x x x f x x lim lim 0

→≠→+

-

。

第一类间断点的特点:函数在该点处左右极限都存在. （二）第二类间断点(若()x f x x lim 0

+

→

与()x f x x lim 0

-

→

中至少有一个不存

在，称x 0为()x f 的第二类间断点。) 1、无穷间断点。