判断函数单调性的常见方法

判断函数单调性的常见方法

一、函数单调性的定义：

一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I∈A，如对于区间内任意两个值X1、X2，

1）、当X1

2）、当X1>X2时，都有f(X1)>f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为函数的单调减区间。

二、常见方法：

Ⅰ、定义法：

定义域判断函数单调性的步骤

①取值：

在函数定义域的某一子区间I内任取两个不等变量X1、X2，可设X1

②作差（或商）变形：

作差f(X1)-f(X2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形；

③定号：

确定差f(X1)-f(X2)的符号；

④判断：

根据定义得出结论。

例：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明

解：任取x1、x2∈(-∞，+∞)，x1

f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=(x13+x1)- (x23+x2)=(x1-x2)+(x13-x23)

=(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1)

=(x1-x2)[﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22]

∵x1、x2∈(-∞，+∞)，x1

∴x1-x2<0,（x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22>0

故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

∴f(x)在(-∞，+∞)上单调递增

Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）：

①函数y=-f(x)的单调性相反

②函数y=f(x)恒为正或恒为负时，函数y=f(x)的单调性相反

③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数例：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性

解：设y1=-x+1,y2=1/x,

∵y1在（0，+∞）上↓，y2在（0，+∞）上↓,

∴y=-x+1+1/x在（0，+∞）内↓

Ⅲ、图像法：

说明：⑴单调区间是定义域的子集

⑵定义x1、x2的任意性

⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数

自变量与函数相对→单调减函数

Ⅳ、分析法：

复合函数单调性判断：

例：判断y=1/(-2x-3)的单调性

解：令u=-2x-3,

∵y=1/u在（0,+∞）↓,在（-∞，0）↑，

u(x)在(-∞,+∞)↓

∴y=1/(-2x-3)在（0,+∞）↑，在（-∞，0）↓

这种方法概括为“同减异增”

判断函数单调性的常见方法有定义法、直接判断法、图像法、分析法……

做题时要结合具体题意，找出适当的方法解题。